Investigación Económica ISSN: Facultad de Economía México

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1 Invsigación Económica ISSN: Faculad d Economía México ÁNGELES CASRO, GERANDO; VENEGAS-MARÍNEZ, FRANCISCO Valuación d opcions sobr índics bursáils y drminación d la srucura d plazos d la asa d inrés n un modlo d quilibrio gnral Invsigación Económica, vol. LXIX, núm. 7, nro-marzo, 00, pp Faculad d Economía Disrio Fdral, México Disponibl n: hp:// Cómo ciar l arículo Númro complo Más información dl arículo Página d la rvisa n rdalyc.org Sisma d Información Cinífica Rd d Rvisas Ciníficas d América Laina, l Carib, España y Porugal Proyco académico sin fins d lucro, dsarrollado bajo la iniciaiva d accso abiro

2 invsigación conómica, vol. LXIX, 7, nro-marzo d 00, pp Valuación d opcions sobr índics bursáils y drminación d la srucura d plazos d la asa d inrés n un modlo d quilibrio gnral G Á C F V -M * I Mucho s ha aprndido n los úlimos años sobr l uso (para cobrura) y l abuso (para spculación) d los producos drivados financiros, sobr odo d los qu inn como subyacns índics bursáils, pro mucho quda odavía por aprndr sobr sus fcos n las conomías n los ámbios local y global. Evidnmn, los mrcados d drivados no originaron la crisis d 008, sólo la xacrbaron al gnrar una burbuja spculaiva. El orign d la crisis s db ubicar n la rcsión sadounidns y l impaco d ésa, n un norno d globalización, sobr l rso d la conomía mundial. D la misma manra, la racción qu uviron los mrcados d insrumnos d duda an la crisis financira d finals d 008 y principios d 009 poco uvo qu vr con la prdicción, d muchos modlos conómicos disponibls, sobr su comporamino. Por odo so s ncsario conar con un modlo d quilibrio gnral qu prmia valuar drivados sobr índics Manuscrio rcibido n agoso d 009; acpado n novimbr d 009. * Escula Suprior d Economía, Insiuo Poliécnico Nacional (IPN), <gangls@ipn.mx> y <fvngas@yahoo.com.mx>, rspcivamn. Los auors agradcn los valiosos comarios d dos dicaminadors anónimos. 43

3 44 G Á C F V -M bursáils y drminar d manra conjuna la srucura d plazos d la asa d inrés. Exisn n la liraura spcializada varios modlos d quilibrio gnral qu inn como objivo drminar los prcios d los difrns acivos disponibls n la conomía, por jmplo: Cox al. (985a), Grinols y urnovsky (993), Schmddrs (998) y Vngas-Marínz (00), (006), (008) y (009), nr oros. Asimismo, s ncunran n la liraura divrsas aproximacions para modlar la dinámica d la asa d inrés cora (la asa d inrés insanána), como por jmplo: Cox al. (985b), Longsaff (989), Vngas-Marínz y Gonzálz-Aréchiga (00) y L y Li (005). En l prsn rabajo s dsarrolla un modlo socásico d quilibrio gnral n una conomía poblada por consumidors-producors idénicos y compiivos qu oman dcisions d producción, consumo y porafolio. Suponindo qu: ) xis un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva, ) dicho índic s conducido por un movimino gomérico browniano y 3) la cnología s guiada por un procso markoviano d difusión, noncs s drminan, n l quilibrio, l valor d una opción d compra sobr dicho índic y la srucura d plazos d la asa d inrés. Una d las caracrísicas disinivas dl modlo propuso s qu produc asas coras con dinámicas alrnaivas a las nconradas n Cox al. (985b). Asimismo, sa invsigación gnraliza l modlo d Longsaff (989) sobr la dinámica d la asa cora al considrar l comporamino racional d los agns. ambién s discu sobr las vnajas n la simación d los parámros d la curva d rndimino obnida. En paricular, s musra qu los simadors obnidos d los parámros son más simpls d calcular qu los propusos n l caso d Cox al. (985b). Por úlimo, s llva a cabo una simación d la srucura d plazos cuando la asa cora s la asa d los Crificados d la sorría d la Fdración (CEES). En conclusión, l prsn arículo prsigu cuaro objivos, l primro d llos consis n valuar una opción d compra sobr un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva. El sgundo s proporcionar dinámicas d la asa cora alrnaivas a las obnidas n Cox al. (985b). El rcr objivo s gnralizar l modlo d Longsaff

4 Í 45 (989) con la inclusión d consumidors-invrsionisas maximizadors d uilidad. Por úlimo, l cuaro consis n drminar d manra ndógna, n l quilibrio, una srucura d plazos d la asa d inrés asociada a un mrcado d bonos cupón cro qu s min a difrns vnciminos y qu s ngocian a dscuno. Esa invsigación s ha organizado d la siguin manra. En la próxima scción s prsnan los supusos básicos qu rign a la conomía n cusión. En la scción 3 s dscribn los acivos y sus prcios. A ravés d la scción 4 s sablc la rsricción prsupusal dl consumidor racional rprsnaivo. En la scción 5 s caracrizan las posibilidads d producción n la conomía. En l ranscurso d la scción 6 s plana l problma d dcisión dl agn rprsnaivo. En la scción 7 s obinn las condicions d primr ordn dl problma dl consumidor. En la scción 8 s caracriza l prcio d una opción d compra sobr un índic bursáil a ravés d la solución d una cuación difrncial parcial linal d sgundo ordn. En la scción 9 s driva un procso alrnaivo para la asa cora d inrés n l quilibrio y n la scción 0 s xamina su dinámica. En l ranscurso d la scción s plana l problma d valuación d un bono cupón cro. En la scción s discu sobr la simación d la curva d cros. En la scción 3 s caracriza l prcio d un bono cupón cro, ngociado a dscuno, como la solución d una cuación difrncial parcial parabólica y d sgundo ordn con condicions d fronra. En la scción 4 s dfin l ipo d xpcaivas qu drminan la srucura d plazos d la asa d inrés. En l ranscurso d la scción 5 s obinn los simadors d los parámros asociados a la srucura d plazos. En la scción 6 s raliza una aplicación dl modlo obnido d asa cora. Por úlimo, n la scción 7 s prsnan las conclusions, así como las limiacions y sugrncias para fuuras invsigacions. S Con l propósio d obnr solucions analíicamn raabls, los supusos d la conomía s manndrán lo más simpls posibl. Considr una

5 46 G Á C F V -M conomía poblada por individuos con gusos idénicos con vida infinia y qu son maximizadors d uilidad. Los consumidors son a su vz producors. La conomía produc y consum un solo bin gnérico d carácr prcdro. Los consumidors inn accso a: ) un acivo subyacn (un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva), ) una opción uropa d compra sobr dicho subyacn y 3) la paricipación con capial n l procso producivo. odos los prcios d los acivos sán xprsados n érminos rals, s dcir, n érminos d unidads dl bin d consumo. El valor dl índic bursáil s drmina asociando a cada puno d dicho índic un valor n érminos d bins. Por úlimo, s supon qu xis un mrcado d bonos cupón cro a disinos vnciminos qu s ngocian a dscuno y qu inn asociada una srucura d plazos d la asa d inrés, la cual s drminará d manra ndógna n l quilibrio. A Suponga qu l valor n érminos rals, S, d un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva in una dinámica socásica conducida por l movimino gomérico browniano, d al forma qu ds = μ s S d + s S du [] dond l parámro d ndncia, μ s, rprsna l rndimino mdio sprado, l parámro d volailidad, s, s la variación insanána dl rndimino dl acivo subyacn y l procso {U } 0 s un movimino browniano dfinido sobr un spacio fijo d probabilidad (Ω U, F U, U ) juno con su filración aumnada U = {F U } 0. S supon qu las funcions μ s y s dpndn dl impo, s dcir, μ s = μ s () y s = s (), y s drminarán, posriormn, d manra ndógna.

6 Í 47 R En lo qu sigu s supon qu l individuo rprsnaivo mi una opción (uropa) d compra y manin l subyacn (l valor dl índic bursáil n érminos rals) para cubrirs dl posibl jrcicio d la opción. En s caso, la riquza ral, x, dl individuo, n cada insan, sá drminada mdian: x = S + ν + k [] dond ν = ν (S,) s la prima qu rcib l agn por la misión (vna) d la opción d compra sobr l índic bursáil y k s l capial (bins qu s dsinan a la producción, y ). San w = S /x la proporción d la riquza qu l individuo asigna a la nncia dl índic bursail para cubrir l vnual jrcicio d la opción, w = ν /x la proporción d la riquza qu asigna a la opción sobr l índic d prcio ν (S,), y w w la proporción complmnaria d capial, k, qu dsina a la producción, y. En conscuncia, la volución d la acumulación d la riquza ral sigu la cuación difrncial socásica: dx = x w dr s + x w dr ν + x ( w w )rd c d dond r s l coso d rposición l capial (la asa d inrés qu paga un bono cupón cro miido por l gobirno para financiar su gaso). El rndimino dl acivo con risgo (l índic bursáil) saisfac dr s dν = = µ d + du S s S [3] y l rndimino d una opción sobr dicho índic sá dado por: dr ν dν = ν [4]

7 48 G Á C F V -M En s caso, l rndimino d la opción s obin mdian la aplicación dl lma d Iô a ν (S,), lo cual conduc a o con y ν ν ν dν = d + ds + S d S S dν = μ ν ν d + ν ν du ν ν µ ν ν µ + + SS SS S S ν ν ν SS ν [5] En virud d [3] y [4], la rsricción prsupusal s pud scribir como: dx r + ( µ r) w + µ r w = x + ( w S + wv ) du S v c d x [6] S rquir spcificar un pago al vncimino dl conrao d opción, s dcir, ν (S,) = max (S K,0). P En sa scción s dfin l procso d producción n la conomía. Suponga qu los consumidors son, a su vz, producors y qu l procso d producción y in la forma:

8 Í 49 dond y dy = M(y )d + N(y )dw M ( y ) = κ( θ y ) [7] [8] N( y ) = ν y [9] Las canidads κ, θ y ν son consans posiivas y {W } 0 s un movimino Browniano dfinido sobr un spacio fijo d probabilidad (Ω W, F W, W ) juno con su filración aumnada W = {F W } 0. Suponga ambién, por simplicidad, qu Cov(dU,dW ) = 0. El parámro θ rprsna l valor d largo plazo d la producción, s dcir, l procso y prsna rvrsión a la mdia, l parámro κ s la vlocidad d ajus hacia l valor d largo plazo, θ y ν s l parámro d volailidad d la producción. En s caso, dw rprsna las flucuacions propias dl produco dbidas a cambios cnológicos o cambios n l prcio d rposición d los bins d capial. En lo qu sigu s supon una función d producción dl ipo y = Ak ; véans, al rspco, Rblo (99), Harrod (939), y Rivas-Acvs y Vngas-Marínz (00). Por simplicidad s supondrá, n lo qu sigu, qu A =, d al forma qu y y k son indisinos. P S supon qu l consumidor rprsnaivo obin saisfacción por l consumo d un bin d carácr prcdro. La uilidad sprada dl ipo von Numann-Morgnsrn, V, al impo d un individuo rprsnaivo, advrso al risgo y compiivo (omador d prcios) in la siguin forma: s V E δ u cs ys s (, ) d F [0]

9 50 G Á C F V -M dond c s s l consumo al impo, δ s la asa subjiva d dscuno y F s la información rlvan disponibl hasa l impo. En s caso, W U F F F. Así pus, l consumidor oma dcisions d consumo y porafolio d al manra qu s maximic su saisfacción. Es dcir, l consumidor dsa drminar la raycoria d consumo y las proporcions d su riquza qu va a asignar, n cada insan, a los difrns acivos disponibls n la conomía d al forma qu su saisfacción por l bin d consumo sa máxima. C La maximización d [0] suja a [6] y [7] conduc a la condición d Hamilon-Jacobi-Bllman d un problma d conrol ópimo socásico. Dicha condición sá dada por dond δs 0 max u( c, y ) + J c, w, w { s s c + J xx r + ( µ S r) w + ( µ ν r) w x + J xxx ( w s + w ν ) + J ym ( y ) + J yyn y δs J x, y, max E u( cs, ys ) ds c, w, w F [] s la función d uilidad indirca y J(x,y,) s la variabl d co-sado. Si s oma como candidao d solución a J(x,y,) = H(x,y ) δ y s supon qu u(c, y ) = ln(c ) + φln(y ), φ > 0, s in qu la cuación d Hamilon- Jacobi-Bllman s ransforma n

10 Í 5 0 c c φ y δ H H xx r µ S r w µ ν r w x + H xxx ( w s + wv ) + H ym ( y ) + H yyn y [] = max ln + ln + + ( ) + ( ) c, w, w En s caso, s saisfac qu H(x,y ) = g(y ) ln(x ) + f(y ) para algunas funcions g(y ) y f(y ). Dspués d drivar la cuación [] con rspco d las variabls d conrol, la condición ncsaria sobr l consumo s c x g y = [3] y las condicions d primr ordn sobr w y w son, rspcivamn, µ S r = w s + w S ν [4] y µ r = w + w ν S ν ν [5] dond w = w y w = w son invarians n l impo. Las dos úlimas cuacions pudn sr rscrias n érminos maricials como: s s s ν w µ S r = w µ r ν ν ν Las cuacions anriors, [4] y [5], confirman qu los prmios al risgo d mrcado ano dl subyacn como dl drivado coincidn, s dcir, µ S r µ r = ν S ν

11 5 G Á C F V -M La inuición d so s qu l movimino browniano modla jusamn l risgo d mrcado dl acivo subyacn, so s, modla las flucuacions d su prcio, las cuals podrían sr advrsas para l agn rprsnaivo. Ahora bin, d acurdo con la cuación [5], la cual fu obnida d la aplicación dl lma d Iô para obnr l cambio marginal n la prima d la opción, s in qu l conrao d opción hrda l risgo dl subyacn; al y como ra d sprars. Por úlimo, s imporan hacr noar qu la coincidncia d los prmios al risgo prmiirá valuar la opción d compra sobr l índic bursáil. C Con l fin d valuar la opción d compra, considr la solución d squina dada por w = y w = 0. En s caso, las condicions [4] y [5] s ransforman, rspcivamn, n: µ r = S S [6] y μ ν r = S ν [7] D la úlima cuación s sigu qu + + ν = ν ν ν µ S ss r ss S S v S ν Si s uiliza ahora la cuación [6], s obin + ( + ) + ν = ν ν s s ν s S r S v S r S S S ν Oras modologías para valuar drivados s ncunran n Vngas-Marínz (005).

12 Í 53 o + + ν ν ν s ν = S rs S r 0 S [8] con la condición d fronra ν (S,) = max(s K,0) Así pus, n condicions d quilibrio, l prcio d la opción, ν (S,), db saisfacr la cuación [8]. D hcho, s in qu ν (S,) = S Φ(ξ ) K r( ) Φ(ξ ) [9] dond la función Φ(ξ) s la función d disribución acumulada d una disribución normal sándar ε~ N(0,), s dcir, con Φ ξ ε ξ p ε ( ε ξ) = dε = Φ ξ π = y ξ = + + ln S K r S S ξ = ξ S La cuación [9] proporciona la prima o l prcio d una opción uropa d compra sólo n función d información disponibl al impo (momno n qu s valúa l insrumno), a sabr: l valor dl índic bursáil, l plazo por vncr dl conrao, l coso d rposición dl capial, l prcio d jrcicio

13 54 G Á C F V -M (o prcio srik), y la volailidad; aunqu sa úlima ndrá qu simars como la dsviación sándar d un rgisro hisórico d los rndiminos dl índic. Los supusos bajo los cuals [9] s válida son: l valor dl acivo subyacn s conducido por l movimino gomérico browniano, s dcir, los rndiminos son normals con mdia y varianza proporcionals al impo; la volailidad dl prcio dl acivo subyacn s manin consan a ravés dl impo; l mrcado opra n forma coninua, s dcir, no hay fins d smana ni días fsivos; no xisn oporunidads d arbiraj, so s, no s posibl gnrar ganancias librs d risgo (aunqu s podría suponr quilibrio gnral, lo cual ciramn llva a qu no xisan oporunidads d arbiraj). U A coninuación s prsna una fórmula alrnaiva para la asa d inrés d quilibrio. Obsrv qu a parir d [6], s cumpl qu r = µ S S [0] En lo qu sigu s supon qu µ S >. La asa d inrés d quilibrio s S pud rscribir d la siguin forma: r = ( w w ), s s v s v v w w x J J x xx dond w = y w = 0. En fco, s suficin obsrvar qu J x = δ g( y ) x Por lo ano, x J xx/j x =. La condición d quilibrio [0] srá d uilidad para drminar la asa d inrés insanána (o asa cora).

14 Í 55 D En sa scción, a parir dl procso para la función d producción, s drmina la dinámica socásica d la asa cora. Si s dfinn µ s = µ s y y = y n [0], s in qu s s r = γy dond Por lo ano, San γ = µ d r = κ γ / θγ / r d γ / ν r dw s s + a = κγ ½, b = θγ ½, = γ ½ ν D sa manra, + dr = a b r d r dw [] con a, b y canidads posiivas. Si s dfin ab = κθ = 4 noncs la cuación [] s pud rscribir como dr = a r d + r dw 4 []

15 56 G Á C F V -M En la cuación anrior l parámro a rprsna la vlocidad d ajus. Es dcir, si las asas d inrés son dmasiado grands o dmasiado pquñas con rspco d un valor d largo plazo, noncs las asas s ajusan con vlocidad a a mannrs crca d dicho valor d largo plazo. El parámro s la volailidad (por unidad d impo) d la asa insanána d inrés. V Considr un mrcado n dond los agns compran y min promsas d pago d una unidad monaria n l fuuro, librs d risgo crédio. Esas promsas qu s compran a dscuno srán llamadas bonos cupón cro. Sa B(,) l prcio n l impo d un bono qu s compra a dscuno con vncimino al impo, >, y qu paga una unidad monaria al vncimino, s dcir, B(,) = [3] La curva d rndiminos o srucura d plazos o, simplmn, curva d cros, n l impo, d un bono con vncimino, sá dada por R(, ) = ln B(, ), > [4] La asa forward insanána f(,) s dfinida por la siguin cuación: R, f, s = ds [5] Equivalnmn, = f, R, [6] La asa d inrés insánana o asa d inrés spo o, simplmn, asa cora a la qu los agns pudn comprar y vndr bonos s

16 Í 57 r R, lim R, = = [7] o r f, lim f, = = [8] Obsrv qu cuando, l plazo dl bono s hac cada vz más y más pquño. En conscuncia, crca d, l bono vncrá casi insanánamn y su rndimino s aproximará a la asa insanána d inrés, a sabr, r. Asimismo, crca d, la asas cora y forward insanánas son indisinguibls. Ahora bin, un bono d mono M qu paga la asa spo r, aumnará su valor, duran l insan d, n dm = M r d [9] Esa cuación s válida con oda crza n, ya qu r s conocida n. Sin mbargo, dspús d l nivl d la asa cora s inciro. En oras palabras r s un procso socásico, sujo a dos rquriminos. Primro, r s una función coninua dl impo. Sgundo, s supon qu r sigu un procso markoviano. Dando por supuso so úlimo, l comporamino fuuro d la asa cora, dado su valor acual, s indpndin dl pasado. En oras palabras, la disribución d r +u dado r, u, sólo dpnd d la información disponibl n l impo s dcir, sólo dpnd dl valor d r. Los procsos qu son coninuos y markovianos son llamados procsos d difusión. Esos procsos pudn sr dscrios a ravés d una cuación difrncial socásica d la forma: dr = α(r,)d + β(r,)dw [30] dond {W } 0 s un movimino browniano dfinido sobr un spacio fijo d probabilidad quipado con una filración (Ω, F, {F } 0, ). D acurdo con [3], las funcions α(r,) y β(r,) sán dadas por

17 58 G Á C F V -M α( r, ) = a r 4 y β( r, ) = r Asimismo, s supon qu n l mrcado d bonos no xisn cosos d ransacción (comisions impusos) y qu la información sá disponibl para odos los agns d forma simulána (información prfca y simérica). odos los invrsionisas acúan n forma racional (maximizan uilidad y mplan oda la información hisórica y acual). Admás, odos los invrsionisas inn xpcaivas homogénas y l mrcado sá n quilibrio, n conscuncia, no xin oporunidads d arbiraj. El prcio d bono cupón cro qu s coloca n y qu al vncimino paga una unidad monaria s dnoará mdian B = B(r,,), o n forma más simpl como B = B(,) cuando no sa ncsario dsacar la dpndncia con la asa cora. Así, la asa cora s la única variabl d sado d la srucura d plazos. D En la prsn scción s drmina d manra ndógna la srucura d plazos d la asa d inrés asociada al mrcado d bonos. A parir d la cuación [30], s sigu por l lma d Iô qu db = Bμ(r,,)d + B(r,,)dW [3] dond B B B µ ( r, ; ) = α β B + r + r [3]

18 Í 59 y ( r, ; ) = β B B r [33] Considr ahora un invrsionisa qu al impo mi una canidad w d bonos con fcha d vncimino y prcio B y simulánamn compra una canidad w d bonos con fcha d vncimino y prcio B. El valor dl porafolio s Π = w B w B. Si s dnoan W = w B y W = w B, l lma d Iô conduc a dπ = (W μ(r,, ) W μ(r,, ))d + (W (r,, ) W (r,, ))dw [34] Suponga qu las canidads W y W s slccionan d al forma qu y W W M r, ; = ( r, ; ) ( r, ; ) M r, ; = ( r, ; ) ( r, ; ) En conscuncia, l sgundo érmino n la cuación [34], l cual modla l risgo d mrcado, s cro. Por lo ano, la cuación [34] oma la forma d = M ( r, ; ) ( r, ; ) ( r,, ) ( r, ; ) ( r, ; ) ( r ) µ µ, ; d [35] D sa manra, l porafolio s libr d risgo d mrcado. Si los mrcados sán n quilibrio, l porafolio db producir l mismo rndimino qu l qu s obin por hacr un dpósio a la asa r. Si l rndimino dl pora-

19 60 G Á C F V -M folio fura mayor, l porafolio pud sr comprado con fondos prsados a la asa r, n caso conrario l porafolio s vndido y las ganancias son prsadas, lo qu produc oporunidads d arbiraj. Al comparar las cuacions [9] y [35], s sigu qu: o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ r, ; r, ; µ r,, r, ; r, ; r, ; = r µ ( r, ; ) r r, ; µ r, ; r = r, ; [36] Obsrv qu los cocins n cada lado d la cuación [36] son iguals para fchas d vncimino arbirarias y, s sigu qu la razón μ(r,,) r /(r,,)s indpndin d. Sa λ(r,) l valor común d al razón, noncs µ r, ; r λ( r, ) =, r, ; [37] A la canidad λ(r,) s l llama l prcio d risgo mrcado, s dcir, l valor qu l mrcado asigna al risgo. La canidad λ(r,) ambién pud inrprars como l rndimino adicional,por la xposición al risgo, por unidad d volailidad. La cuación [37] s pud rscribir como μ(r,,) r = λ(r,) (r,,) [38] Si s susiuyn la cuacions [3] y [33] n [38], s in qu B B α, λ,, β r, r + ( r ) + ( r ) ( r ) B + B r B = 0, r [39] juno con la condición final B(r,,) =.

20 Í 6 Una vz qu la forma d la dinámica socásica d la asa spo r, xprsada n la cuación [30], ha sido drminada y l prcio d risgo mrcado ha sido spcificado, λ(r,), noncs l prcio dl bono, asociado a la dinámica d r, s obin como solución d la cuación [36]. Posriormn, s calcula la srucura d plazos R(,) d la asa d inrés con la cuación siguin: R, ln B, = A parir d la fórmula anrior, una vz qu s drmin l vcor d prcios d bonos a odos los plazos con fcha inicial, s pud calcular l vcor d asas (anualizadas) d inrés a odos los plazos con fcha d rfrncia. S [40] Si r s la asa cora nural al risgo, s dcir, si l prmio al risgo s cro, noncs l prcio d un bono cupón cro, B = B(,), qu s coloca n y qu paga una unidad monaria al vncimino, saisfac la cuación difrncial parcial parabólica no linal: B + + B B r a r r 4 r r B = 0 [4] S propon una solución d [4] n érminos d variabls sparabls como sigu: = + + B A, r D, C, r, [4] Claramn, A(,) = D(,) = C(,) = 0, ya qu l valor nominal dl bono sá dado por + + = = B A, r D, C, r,

21 6 G Á C F V -M En l apéndic s musra qu ( ) / a a a A(, ) = ln + + ( ) 3 3 ( + ( ) ) D, = + = C, / a + ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Una vz qu s han drminado las funcions A(,), D(,) y C(,) sás s susiuyn n la cuación [4] para calcular l vcor d prcios d bonos cupón cro a odos los plazos con fcha d inicio. E Con bas n las cuacions [4], [40] y [4], la srucura d plazos s drmina mdian = R, ln B, r D, A, C, r = [43] Pud vrificars, fácilmn, qu lim R, ln B, a = [44]

22 Í 63 Como s mncionó ans, si las asas d inrés son dmasiado grands o dmasiado pquñas con rspco d un valor d largo plazo, noncs las asas s ajusan con vlocidad a (a = κγ ½ ) a mannrs crca d R(, ). E Rcurd qu la cuación difrncial socásica dl comporamino d la asa cora sá rprsnada por: dr = a r d + r dw 4 [45] Considr l cambio d variabl X = r y calcul las parcials d primro y sgundo ordn d X con rspco a r. Eso s, X = = r r X X = = r r r r X [46] X = 0 El lma d Iô conduc a dx X X = + r X a r r d r = a r r X + X 4 r X d + d X W r X r dw

23 64 G Á C F V -M = a r d + dw X x X = X + X r = ad + d W X a r r + d + 4 r r X r dw [47] Por lo ano, s in qu X X = a + u, =,,, N dond u ~ N(0, ). D sa manra, E[X X ] = a [48] y Var[X X ] = [49] Así pus, si Y = X X, los simadors d a y s obinn a ravés d las siguins cuacions y N Y = â N = N Y N = = [50] D acurdo con la cuación [45] para drminar la dinámica socásica d la asa cora spo s ncsario simar los parámros a y b. Para llo, las cuacions [49] y [50] proporcionan simadors qu son muy simpls d calcular.

24 Í 65 E En sa scción s llva a cabo una aplicación dl modlo propuso. La asa cora s la asa d CEES a 7 días. La gráfica musra la curva d cros n un priodo d.4 años. La asa cora acual (4 d marzo d 005) sá dada por r = Los simadors d la volailidad, ˆ, y vlocidad, â, calculados, con un rgisro hisórico d daos diarios d amaño 90, a parir d la cuación [50], sán dados por â = 0.06 y ˆ = Como pud obsrvars la gráfica musra l comporamino ípico d una srucura d plazos (curva d rndimino). Es dcir, d acurdo con la cuación [4], R(,) s una función cóncava qu s sabiliza alrddor d R(, ) = 0.4. G Curva d cros simada (j horizonal n años y j vrical n nivls d asas) R(,)

25 66 G Á C F V -M C S ha dsarrollado un modlo d quilibrio gnral n una conomía socásica poblada por agns idénicos, con vida infinia, maximizadors d uilidad, compiivos y advrsos al risgo para valuar un drivado sobr un índic bursail y para drminar una srucura d plazos d la asa d inrés. El risgo d mrcado fu modlado con l supuso d normalidad d disinas variabls financiras y conómicas, aunqu so podría vrs como una limiación dl modlo, los prcios (óricos) qu s obinn proporcionan una rfrncia imporan n las dcisions d los agns para paricipar n un mrcado. El modlo propuso ha proporcionado dinámicas para la asa cora difrns a las obnidas n Cox al. (985b) gnralizando, como un rsulado dl quilibrio gnral, l modlo d asa cora d Longsaff (989). Asimismo, con los simadors obnidos d los parámros, los cuals son muy sncillos d calcular, s llvó a cabo la dducción d la srucura d plazos cuando la asa cora s la asa d CEES a 7 días. Varios d los rsulados obnidos n l ranscurso d sa invsigación mrcn algunos comnarios adicionals. Por jmplo, cuando los agns son xpusos al risgo d mrcado és afca d manra imporan su comporamino. En fco, si un consumidor-invrsionisa oma dcisions d consumo y porafolio n un ambin drminisa, noncs l agn pud drminar su raycoria ópima d consumo (o al mnos so s lo qu dic la orodoxia noclásica). Minras qu n l caso socásico, inforunadamn, la raycoria d consumo ya no pud sr drminada por l agn porqu l consumo s convir n variabl alaoria, siuación qu sá más acord con la ralidad. Por oro lado, las cuacions [4] y [5] sablcn qu, n l quilibrio, los prmios al risgo d mrcado ano dl índic bursáil como d una opción uropa d compra sobr él coincidn, algo qu ra d sprars y qu sá d acurdo con hchos silizados obsrvados. Asimismo, la cuación [9] proporciona la prima o l prcio d una opción uropa d compra sobr un índic bursáil n función d información disponibl al momno n qu s valúa l insrumno; s rsulado coincid con l d Black y Schols (973) y Mron (973).

26 Í 67 Por úlimo s imporan mncionar qu l modlo pud sr xndido n varias dirccions, por jmplo: fala incorporar volailidad socásica n l comporamino d la asa cora y considrar oras formas funcionals disponibls n la liraura para la función d uilidad. A Dspués d drivar parcialmn la cuación [4] con rspco d y r, s ncunra qu: B = + + B A D C r r [A.] B = + C B D r r [A.] y B = + C + C B D r 4 r r r [A.3] Si s susiuyn las xprsions [A.], [A.] y [A.3] n la cuación [4] s in: + A D + C C + r r r D r + C 8 r + a r + 4 D C r = 0 r [A.4]

27 68 G Á C F V -M Dspués d dsarrollar la xprsión anrior, s sigu qu + A D + C r r C r + r D + r r DC + C C ac + ad r r = 0 8 r D Equivalnmn, A + D + D r + C a D + C + = C + C r a D [A.5] Si s driva con rspco d r, s in qu D + D + + = r r C C a D 0 [A.6] A fin d qu [A.6] s cumpla para oda r s ncsario qu s saisfaga D = D [A.7] juno con C = a C D [A.8]

28 Í 69 La cuación difrncial ordinaria [A.7] s dl ipo d Riccai. Considr sa cuación scria n la siguin forma, D, = D( ) [A.9] A parir d la cuación anrior, s in D D, du ( s, ) = ds =, U s, [A.0] El lado izquirdo d la cuación [A.0], s pud rscribir como D, du D du = 0 U U ( / ) D,, [A.] La ingral qu aparc n [A.] s calcula mdian ingración por fraccions parcials, so s, U du D du = ( / ) ( U + ( / ))( U ( / )) D,, 0 0 [A.] No qu l ingrando n [A.] s pud rscribir como A0 B0 = + ( U + ( / ))(( U ( / )) U + / ) U / ) D lo anrior, s in l siguin sisma d cuacions linals A 0 + B 0 = 0

29 70 G Á C F V -M y B0 A0 = La solución d s sisma d cuacions s A 0 = [A.3] y B 0 = [A.4] Al susiuir [A.3] y [A.4] n [A.], s obin U du D du = ( / ) (( U + ( / ))(( U ( / )) D,, 0 0 D(, ) du D(, ) du = + 0 U + ( / ) 0 U ( / ) = ln U + ( / ) U ( / ) = ln U + ( / ) = ln = ln + 0 D(, ) D(, ) 0 (, ) D D, ( / ) D, ( / ) + D, ( / ) D, ( / ) + ln U + ( / ) 0 ( / ) ln 0 + ( / ) 0 [A.5]

30 Í 7 No qu n la cuación [A.5] s ha considrado qu D(,) = 0 y qu ln( ) = 0. Si s susiuy la cuación [A.5] n la cuación [A.], s in: D, du D du = 0 U U ( / ) D,, = ln + D, / D, ( / ) D, ( / ) = ln D(, ) + ( / ) = ( ) [A.6] dond s ha supuso qu la canidad qu aparc dnro dl valor absoluo s posiiva. Por lo ano, ln D, D, + = ( ) [A.7] D la cuación [A.7], s obin ln D, D, + = ( ) [A.8] Equivalnmn, = D, + ( ) ( ) [A.9]

31 7 G Á C F V -M La función D(,) saisfac la cuación difrncial [A.7]. Sin mbargo, obsrv qu [A.9] no cumpl la condición final D(,) = 0. Por lo ano, s roma la cuación [A.6] suponindo ahora qu l argumno dl valor absoluo s una canidad ngaiva, lo qu conduc a ln D(, ) + = D, Al dspjar D(,), s in ( ) [A.0] = D, + ( ) ( ) [A.] o D, = + ( ) ( ) [A.] Esa función sí saisfac la cuación difrncial [A.7] y cumpl la condición final D(,) = 0. Así, sa solución s susiuy n la cuación difrncial parcial [A.8], lo cual llva a C = a C D = a C + ( ) ( ) [A.3] La cuación difrncial [A.3] s d variabls sparabls, así

32 Í 73 (, ) C (, ) C (, ) du s = a U + ( ) ( ) ds [A.4] Al rsolvr la ingral dl lado izquirdo d la cuación [A.4], s in qu du C( ) du = 0 a U U a = C(, ) du 0 U a C,, U 0 = ln U 0 (, ) a C = a 0 a ln U ln = a C, ln a / = ln a C, a a C = ln, a dond s ha omado n cuna qu C(,) = 0 y s ha supuso qu C(,) < a/. Por lo ano,

33 74 G Á C F V -M (, ) C du = a ln a a C, U 0 [A.5] Considr ahora l lado drcho d [A.4] y dfina l cambio d variabl ( s) U = +, noncs así s du = ds = U ds + ( ) U ds = U U du ( ) [A.6] El lado drcho d la cuación [A.6] s rsulv por fraccions parcials, so s, s dsan drminar A y B als qu Es dcir, y Por lo ano, = + = ( ) + U A B U U U U A U BU U U A + B = A =

34 Í 75 U A U U U U U B U = + d d U d ( ) = s + ( s ln ln + ) = ( s) s ln + ln ln + = ln 4 + = ln 4 ( ) ( ( ) ) ln ( ) Si, por un lado, s susiuy [A.7] n [A.6] y, por oro lado, s susiuyn [A.5] y [A.6] n [A.4], s in qu [A.7] (, ) C (, ) C du = U a + a + a C ( ) = ln ln, 4 ( s) ( s) ds ( ( ) ) Al dspjar C(,) d la cuación anrior, s in qu = C, ( ( ) ) ( ) / a + [A.8] [A.9]

35 76 G Á C F V -M Obsrv qu C(,) < a/ y qu si =, noncs C(,) = 0. S pud vrificar, d manra sncilla, qu [A.] y [A.9] cumpln con [A.8]. Ahora bin, si s susiuyn [A.7], [A.8], [A.] y [A.9] n [A.5], s obin qu A a ( ( ) / ) 4 ( ) / ( ) ( ) = 0 La xprsión anrior s pud rscribir como: a ( ( ) / ) ( + ( ) ) = ( ) A a ( + ) + ( ) [A.30] Por lo ano, = A, a + ( ) ( ) + ds ( ) ( ) ds [A.3] Para calcular la primra ingral, dl lado drcho d la cuación anrior, ( s) s dfin l siguin cambio d variabl sa u = +, d dond du = u ds u ds. En conscuncia, = ( ) a 3 ( u) a 4 4u u du = 3 u u u u du [A.3]

36 Í 77 La ingral dl lado drcho d [A.3] s calcula d nuvo por fraccions parcials. Eso s, 4 4u u A B C = + + u u u u u = ( ) + ( ) u ( u) A + u B A u C B La solución dl sisma gnrado s A = 0, B = 0 y C =. Por lo ano, a 4 4u u a 4 u u u u u u u 3 3 ( ) d = + d d a 4 = du 3 u u d u a = 4 3 ln ( s) + a a a ( ) = + 3 ( ) 3 ( + ) ( s) A coninuación s calcula la sgunda ingral qu aparc n [A.3], s dcir, ( s) ds = + ( s) 4 + = 4 + ( s) s ( s) ( s) ds ds [A.33]

37 78 G Á C F V -M ( + ( ) ) = ln ( 4 ) + = ln + ( ) / [A.34] No qu la ingral qu aparc n la sgunda igualdad d [A.34], ya fu rsula n [A.6]. Por úlimo, si s susiuyn las cuacions [A.33] y [A.34] n [A.3], s obin qu ( ) / a A(, ) = ln ( + + ) 3 a ( ) a ( ) 3 ( + ) [A.35] La xprsión anrior s pud rscribir como: a A(, ) = ln ( + + ) a + 3 ( ) a ( + ) 3 [A.36] Claramn, si =, noncs A(,) = 0.

38 Í 79 B Black, F. y M. Schols, h pricing of opions and corpora liabiliis, h Journal of Poliical Economy, vol. 8, núm. 3, 973, pp Cox, J.; J. Ingrsoll y S. Ross, An inrmporal gnral quilibrium modl of ass prics, Economrica, vol. 53, núm., 985a, pp , A hory of h rm srucur of inrs ras, Economrica, vol. 53, núm., 985b, pp Grinols, E.L. y S.J. urnovsky, Risk, h financial mark, and macroconomic quilibrium, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol. 7, núm. -, 993, pp Harrod, R., An ssay in dynamic hory, h Economic Journal, vol. 49, núm, 939, pp L, M. y W. Li, Drif and diffusion funcion spcificaion for shor-rm inrs ras, Economics Lrs, vol. 86, núm. 3, 005, pp Longsaff, F.A., A nonlinar gnral quilibrium modl of h rm srucur of inrs ras, Journal of Financial Economics, vol. 3, núm., 989, pp Mron, R.C., hory of raional opion pricing, Bll Journal of Economics and Managmn Scinc, vol. 4, núm, 973, pp Rblo, S., Long run policy analysis and long run growh, h Journal of Poliical Economy, vol. 99, núm. 3, 99, pp Rivas-Acvs, A. y F. Vngas-Marínz, Gobirno como promoor dl cambio cnológico: un modlo d crcimino ndógno con rabajo, dinro y duda, Economía Mxicana, Nuva Época, vol. 9, núm., 00, pp Schmddrs, K., Compuing quilibria in h gnral quilibrium modl wih incompl ass marks, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol., núm. 8-9, 998, pp Vngas-Marínz, F., mporary sabilizaion: a sochasic analysis, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol. 5, núm. 9, 00, pp , Baysian infrnc, prior informaion on volailiy, and opion pricing: A Maximum Enropy Approach, Inrnaional Journal of horical and Applid Financ, vol. 8, núm., 005, pp. -., Sochasic mporary sabilizaion: undivrsifiabl dvaluaion and incom risks, Economic Modlling, vol. 3, núm., 006, pp

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