1.1. Sistema internacional de unidades

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Sara Río Pérez
hace 5 años
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1 Cpítulo 1 Mgnitudes físics 1.1. Sistem interncionl de uniddes Un mgnitud es tod propiedd medile de un cuerpo. Medir es comprr es propiedd con otr de l mism nturlez que tommos como ptrón o unidd. P.e. l longitud de un mes es 2 m porque l comprrl con el ptrón o unidd estándr (que es el metro) resultó ser dos veces es cntidd. Mgnitudes fundmentles son quells que no se pueden definir en función de otr (e.g. el tiempo). Mgnitudes derivds son quells que se definen prtir de otrs (e.g. l velocidd). El Sistem Interncionl (S.I.) estlece un serie de mgnitudes con sus respectivs uniddes: Mgnitud Unidd Símolo tiempo segundo s longitud metro m ms kilogrmo kg tempertur kelvin K crg eléctric culomio C cntidd sustnci mol mol intensidd luminos cndel cd Cudro 1.1: Mgnitudes fundmentles del Sistem Interncionl (S.I.). Mgnitud Unidd Símolo fuerz newton N energí julio J potenci vtio W presión pscl P intensidd eléctric mperio A diferenci de potencil voltio V Cudro 1.2: Alguns mgnitudes derivds del Sistem Interncionl (S.I.). 1

2 2 CAPÍTULO 1. MAGNITUDES FÍSICAS Alguns de ls uniddes nteriores son, menudo, muy grndes o muy pequeñs pr medir ls correspondientes mgnitudes. En estos csos se utilizn múltiplos y sumúltiplos de l unidd medinte los siguientes prefijos: ter gig meg kilo mili micro nno pico T G M k m µ n p Cudro 1.3: Prefijos de ls uniddes del S.I. De est form, un milisegundo (1 ms) represent 10 3 s (i.e segundos) Mgnitudes esclres y vectoriles Un mgnitud esclr es quell que qued definid perfectmente con un numero y su correspondiente unidd. P.e. el tiempo, l ms o l superficie. Por contr, ls mgnitudes vectoriles no pueden ser descrits con un número y su unidd, si no que necesitmos conocer l dirección y sentido de ese número. P.e. l velocidd del viento en un determindo lugr, demás de su intensidd en m/s (cunto sopl) es necesrio especificr su dirección y sentido (de donde sopl). Otros ejemplos son l celerción, l grvedd terrestre, etc. m odulo direcci on sentido origen Figur 1.1: Elementos crcterísticos de un vector. Pr representr mgnitudes vectoriles se usn vectores (de hí su nomre). Desde el punto de vist geométrico, un vector es un flech en l que ce distinguir los siguientes elementos: 1. Módulo o longitud: L longitud de l flech. Lo representremos como. 2. Dirección: L rect sore l que se sitú el vector. 3. Sentido: Hci donde punt l flech. 4. Origen o punto de plicción: Donde comienz el vector.

3 1.3. OPERACIONES CON VECTORES Operciones con vectores Sum de vectores L sum de dos vectores y es otro vector que se otiene geométricmente de l form siguiente: se sitú el origen de en el extremo de, el vector que une el origen de con el extremo de es el vector sum +. A B C + Figur 1.2:(A) Queremos sumr los vectores y.(b) Colocmos consecutivmente mos vectores. (C) El vector sum + es el que result de unir el origen de con el finl de Producto de un número por un vector El producto de un número n y un vector es otro vector de igul dirección que cuyo módulo es el producto del módulo del vector inicil por el número (es decir, n ) y con sentido ddo por el signo del número (es decir, el mismo sentido que, si n es positivo, y sentido contrrio si n es negtivo) Diferenci de vectores L diferenci de los vectores y es otro vector que se otiene como l sum de ms el vector opuesto de (que se otiene multiplicndo por -1). Es decir, = +( 1 ) Componentes crtesins Culquier vector del espcio puede escriirse como un sum(cominción linel) de tres vectores, los que llmremos i, j y k, que se crcterizn por tener módulo uno y ser perpendiculres entre si. Esto es, todo vector se puede escriir como: = xi+yj+zk = (x,y,z). Los vectores i, j y k, y su origen común, definen un sistem de referenci. Los números (x, y, z) recien el nomre de componentes crtesins y son únics pr cd vector (un vez se h fijdo el sistem de referenci). Cundo se trj con el sistem de referenci nterior (esto es, con los vectores expresdos en componentes crtesins), se verific que:

4 4 CAPÍTULO 1. MAGNITUDES FÍSICAS A B C Figur 1.3:(A) Queremos restr los vectores y. (B) Colocmos consecutivmente mos vectores y clculmos el vector opuesto. (C) El vector diferenci es el vector que result de unir el origen de con el extremo de El módulo o longitud de un vector con componentes (x,y,z) se clcul sí: = x 2 +y 2 +z 2. P.e. el módulo del vector = (2, 1,3) es = 2 2 +( 1) = El producto de un número n por un vector = (x,y,z) se otiene de est form: n = nxi+nyj+nzk = (nx,ny,nz). P.e. si = (2, 1,3), se verific que 2 = 2(2, 1,3) = ( 4,2, 6). 3. L sum de los vectores 1 = (x 1,y 1,z 1 ) y 2 = (x 2,y 2,z 2 ) es + = (x 1 +x 2 )i+(y 1 +y 2 )j+(z 1 +z 2 )k = (x 1 +x 2,y 1 +y 2,z 1 +z 2 ), P.e. l sum de 1 = (2, 1,3) y 2 = (1,2, 3) es = (2+1, 1+2,3 3) = (3,1,0). 4. L diferenci de los vectores 1 = (x 1,y 1,z 1 ) y 2 = (x 2,y 2,z 2 ) es = (x 1 x 2 )i+(y 1 y 2 )j+(z 1 z 2 )k = (x 1 x 2,y 1 y 2,z 1 z 2 ). P.e. l diferenci de 1 = (2, 1,3) y 2 = (1,2, 3) es 1 2 = (2 1, 1 2,3 ( 3)) = (1, 3,6). Además de ls operciones nteriores, podemos definir dos más que serán importntes en cpítulos posteriores:

5 1.3. OPERACIONES CON VECTORES 5 Producto esclr El producto esclr de los vectores 1 = (x 1,y 1,z 1 ) y 2 = (x 2,y 2,z 2 ) es 1 2 = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2, y se crcteriz por ls siguientes propieddes: 1. El resultdo es un número y NO otro vector. P.e. el producto esclr de 1 = (2, 1,3) y 2 = (1,2, 3) es 1 2 = (2)(1)+( 1)(2)+(3)( 3) = = Es conmuttivo (es decir, el orden de los fctores no lter el producto): 1 2 = El producto esclr es igul l producto de los módulos de mos vectores por el coseno del ángulo que formn: cosα = P.e. el ángulo α que formn los vectores 1 = (2, 1,3) y 2 = (1,2, 3) es 9 cosα = = 9 ( ) 9 = α = rccos = 50 o Como consecuenci del resultdo nterior, el producto esclr de dos vectores ortogonles (es decir, perpendiculres) es nulo. Si 1 2 entonces 1 2 = 0. Producto vectoril El producto vectoril de los vectores 1 = (x 1,y 1,z 1 ) y 2 = (x 2,y 2,z 2 ) es i j k 1 2 = x 1 y 1 z 1 = y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 y 2 z 2 i x 1 z 1 x 2 z 2 j+ x 1 y 1 x 2 y 2 k = (y 1 z 2 z 1 y 2,z 1 x 2 x 1 z 2,x 1 y 2 y 1 x 2 ) = 1 2. y se crcteriz por ls siguientes propieddes: 1. El resultdo es un vector perpendiculr l plno que formn los vectores 1 y 2. P.e. el producto vectoril de 1 = (2, 1,3) y 2 = (1,2, 3) es 1 2 = i j k = ( 3,9,5). y se cumple que: ( 1 2 ) 1 = ( 3,9,5) (2, 1,3) = = 0, ( 1 2 ) 2 = ( 3,9,5) (1,2, 3) = = 0, que implic que 1 2 es perpendiculr 1 y 2.

6 6 CAPÍTULO 1. MAGNITUDES FÍSICAS 2. El sentido del producto vectoril coincide con el del vnce de un tornillo cundo se gir desde el primer vector l segundo siguiendo el ángulo menor, después de trsldrlos un origen común (regl del tornillo o de l mno derech). α Figur 1.4: El producto vectoril de y es un vector perpendiculr l plno que mos formn y con sentido ddo por l regl del tornillo. 3. No es conmuttivo pues se verific que 1 2 = El módulo del producto vectoril es igul l producto de los módulos de mos vectores por el seno del ángulo que formn: senα = P.e. el ángulo α que formn los vectores 1 = (2, 1,3) y 2 = (1,2, 3) es senα = = 0,766 = α = rcsen(0,766) = 50 o. 5. Del resultdo nterior se deduce que si 1 y 2 son prlelos, su producto vectoril es nulo. Esto mtemáticmente se escrie sí: si 1 2 entonces 1 2 = Prolems resueltos 1. Clcul el momento linel de un prtícul de 5 kg de ms que se mueve con velocidd v = 2i+3j k (en uniddes del S.I.). Respuest: p = mv = 5(2,3, 1) = (10,15, 5) kg m/s.

7 1.4. PROBLEMAS RESUELTOS 7 2. Ddos los vectores = 4i j, = 3i + 2j y c = 3j, encuentr el vector sum ++c. Respuest: ++c = (4, 1)+( 3,2)+(0, 3) = (4 3+0, 1+2 3) = (1, 2) = i 2j. c ++c c Figur 1.5: Sum geométric de los vectores = 4i j, = 3i+2j y c = 3j. 3. Clculr el módulo del vector r que tiene su origen en el punto A=(0,2) y su extremo en B=(1,1). Respuest: Se verific que: OA+ AB = OB, luego: r = AB = OB OA = (1,1) (0,2) = (1, 1) = i j. A A OA r B r B O OB O Figur 1.6: El vector r puede clculrse como OB - OA, o ien como el vector que result de trsldrlo hst situr su origen en O.

8 8 CAPÍTULO 1. MAGNITUDES FÍSICAS 4. Ddos los vectores = 3i+3j 3k y = 2i+3k, clcul el ángulo que formn. Respuest: Se se que el producto esclr verific l siguiente propiedd: luego tenemos que clculr: cosα =, = ( 3) 2 = 27, = = 13, = (3)(2)+(3)(0)+( 3)(3) = = 3. Por consiguiente, tenemos que: cosα = = = α = 1 73 rd 100 o. 5. Tod crg eléctric que entr con velocidd v en un región con cmpo mgnético B experiment un fuerz (llmd fuerz de Lorentz) de vlor F = qv B. Clcul l fuerz que experiment un crg q = 10 6 C con velocidd v = (2, 1, 3) m/s cundo entr en un región con B = (1,0,0) T. Respuest: Tn sólo hy que clculr: i j k F = qv B = = 10 6 ( 3j+k) N.

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