Tema: Modulaciones Digitales

Transcripción

1 Tema: Modulaciones Digitales Adriana Dapena Janeiro Facultad de Informática Universidade da Coruña Campus de Elviña s/n A Coruña Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 1

2 Objetivos Representar geométricamente modulaciones digitales. Modulaciones en fase/amplitud (lineales). Modulaciones en frecuencia (no lineales). Estudiar sus prestaciones. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 2

3 Bibliografía recomendada A. Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge University Press, B. Sklar, Digital Communications, Prentice Hall, Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 3

4 Representación geométrica de señales Modelo de señal Representación geométrica de señales Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 4

5 Modelo de señal Transmisor La fuente puede emitir M posibles secuencias de k = log 2 M bits (mensajes, m i = b 1,..., b k ). El sistema transmite un mensaje cada T segundos, i.e., transmite K = log 2 M bits de información cada T seg a una velocidad R = k/t bps. El k-ésimo mensaje es transmitido en el intervalo [(k 1)T kt) utilizando una señal analógica s i (t) con energía E si = T 0 s2 i (t)dt Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 5

6 Modelo de señal (cont.) Transmisor La señal transmitida es s(t) = s 1 (t) + s 2 (t T) + s 1 (t 2T) +... Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 6

7 Modelo de señal (cont.) Receptor Objetivo: decidir el mensaje enviado en cada intervalo de forma que se reduzca la probabilidad de error. En canales AWGN el receptor óptimo equivale al criterio de distancia mínima. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 7

8 Representación geométrica de señales El conjunto de señales s i (t) de un modulador de dimensión M puede expresarse como una combinación lineal de elementos de una base ψ j (t) de dimensión N < M, s i (t) = N s ij ψ j (t) i = 1,..., M, 0 < t < T j=1 donde s ij = T 0 s i(t)ψ j (t)dt. Nos interesarán bases ortogonales, T ψ i (t)ψ j (t)dt = { 1 i = j 0 i j Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 8

9 Representación geométrica de señales (cont.) La representación de lo vectores s i = [s i1,..., s in ] es la constelación de la modulación. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 9

10 Modulaciones digitales lineales paso banda Representación geométrica Modulaciones en amplitud MPAM Modulaciones en fase MPSK Modulaciones en amplitud y fase MQAM Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 10

11 Representación geométrica Los bits van codificados en la fase y/o en la amplitud de la señal. En un intervalo de duración T se transmiten k = log 2 M bits (M es el tamaño de la modulación). La señal del modulador puede expresarse como s(t) = A(t)g(t)cos(2πf c t + θ(t) + θ 0 ) = A(t)g(t)cos(θ(t))cos(2πf c t + θ 0 ) A(t)g(t)sen(θ(t))sen(2πf c t + θ 0 ) La señal puede representarse como s i (t) = s i1 ψ 1 + s i2 ψ 2 siendo la base ortogonal ψ 1 (t) = 2 2 T g(t)cos(2πf ct+θ 0 ), ψ 2 (t) = T g(t)sen(2πf ct+θ 0 ) donde T >> 1/f c. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 11

12 Pulse Amplitude Modulation (PAM) PAM fue desarrollada por los AT&T. Aplicaciones: modems (< 300bits/seg), ethernet (100BASET2), PCM,... Las señales del modulador tienen la forma s i (t) = R{A i g(t)cos(2πf c t)} con 0 t T, T >> 1/f c, A i = (2i M 1)d, i = 1,..., M. El parámetro d determina la energía de la señal. 2 Definimos ψ 1 (t) = T g(t)cos(2πf ct) y, por tanto, s i1 = A i. d min = min i,j A i A j = 2d. Energía E si = T 0 A2 i ψ2 i (t)dt = A2 i. Energía media E s = 1 M 1 M i=0 A2 i. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 12

13 Pulse Amplitude Modulation (cont.) 4-PAM: Amplitudes: A 1 = 3d, A 2 = d, A 3 = d y A 4 = 3d Distancia mínima entre puntos: d min = 2d Energía media de la señal: E s = d2 4 ( ) = 2.5d2. Señal en el dominio temporal y constelación: Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 13

14 Pulse Amplitude Modulation (cont.) 8-PAM: Amplitudes: A 1 = 7d, A 2 = 5d, A 3 = 3d, A 4 = d, A 5 = d, A 6 = 3d, A 7 = 5d y A 8 = 7d Distancia mínima: d min = 2d Energía media E s = 21d 2. Constelación: Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 14

15 Phase Shift Keying (PSK) La información está embebida en la fase de la señal transmitida. El estándar de wireless LAN IEEE g utiliza diferentes modulaciones PSK dependiendo de la velocidad deseada. Por ejemplo, para 6 y 9 Mbps utiliza BPSK, y para 12 y 18 Mbps utiliza QPSK. EDGE (Enhanced Data rates for the GSM Evolution) combina GMSK (para malas condiciones) y 8-PSK (cuando la señal es suficientemente fuerte). T-Mobile Czech Republic da cobertura a las principales ciudades de la República Checa. Telstra en Australia. Orange tiene redes EDGE en Francia, Polonia, Rumania, Bélgica y en Reino Unido Bouygues Telecom cubre gran parte de Francia. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 15

16 Phase Shift Keying (cont.) La señal transmitida tiene la forma s i (t) = R{Ag(t)e jθ i e j2πfct } = Ag(t)cos(2πf c t + θ i ) = Ag(t)cos(θ i )cos(2πf c t) Ag(t)sen(θ i )sen(2πf c t) donde 0 t T, θ i = 2π(i 1)/M con i = 1, 2,..., M. Energía de la señal: E si = T 0 s2 i (t)dt = A2. 2 Utilizando la base ψ 1 (t) = T g(t)cos(2πf ct) y 2 ψ 2 (t) = T g(t)sen(2πf ct), se obtiene el vector de señal s i = [Acos(θ i ), Asen(θ i )] Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 16

17 Phase Shift Keying (cont.) Para una modulación de M niveles, se divide la circunferencia en M porciones de tamaño 2π/M. (Acos(2π/M), Asen(2π/M)) θ = 2π/M (A, 0) (A ( d min = s i s j = Acos 2π )) 2 ( ( M + Asen 2π M d min = A 2 ( 1 cos ( )) 2π M )) 2 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 17

18 Phase Shift Keying (cont.) 4PSK: θ 1 = 0, θ 2 = π/2, θ 3 = π y θ 4 = 3π/2. Distancia mínima: d min = A 2(1 cosπ/2) = A I Q señal Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 18

19 Phase Shift Keying (cont.) 8PSK: Fase: θ = π/4 Distancia mínima: d min = A 2(1 cosπ/4). Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 19

20 Quadrature Amplitude Modulation (QAM) Los bits de información son codificados tanto en la amplitud como en la fase de la señal. Se utiliza en televisión por cable (en EEUU: 64-QAM y 256-QAM), cable módem, etc. Señal transmitida: s i (t) = R{A i g(t)e jθ i e j2πf ct } = A i g(t)cos(θ i )cos(2πf c t) A i g(t)sen(θ i )sen(2πf c t) con 0 t T. E si = A 2 i. Utilizando la base ψ 1 (t) = ψ 2 (t) = T 2 g(t)cos(2πf ct) y T 2 g(t)sen(2πf ct), se obtiene el vector de señal s i = [A i cos(θ i ), A i sen(θ i )] Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 20

21 Quadrature Amplitude Modulation (cont.) Las constelaciones pueden ser muy diversas (circulares, cuadradas, rectangulares). En general, las constelaciones rectangulares son suboptimas. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 21

22 Quadrature Amplitude Modulation (cont.) s i1, s i2 toman valores (2i 1 L)d, i = 1, 2,..., L con L = M. La distancia mínima entre puntos es 2d (igual a PAM). d d d d d MQAM d LPAM Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 22

23 Detector de máxima verosimilitud Detector óptimo Criterio de máxima verosimilitud Regiones de decisión Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 23

24 Detector óptimo Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 24

25 Detector óptimo (cont.) Sea x(t) = s i (t) + n(t) la observación recibida en 0 t T. En cada rama del receptor tenemos x j = T 0 x(t)ψ j (t)dt = T 0 T s i (t)ψ j (t)dt+ 0 n(t)ψ j (t)dt = s ij +n j La probabilidad de x = [x 1,..., x N ] condicionada a s i = [s i1,..., s in ] viene dada por 1 p(x s i ) = exp 1 N (x (πn 0 ) N/2 j s ij ) 2 N 0 j=1 p(x s i ) p(x s j ) s i s j Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 25

26 Detector óptimo (cont.) El objetivo es elegir el mensaje m i tal que p(s i x) > p(s j x) j i. Este criterio se conoce como Criterio Máximo a Posteriori (MAP). Definiendo las regiones de decisión Z i = {x : p(s i x) > p(s j x) j i} el criterio equivale a identificar en qué región está la observación. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 26

27 Criterio de máxima verosimilitud El criterio de Máxima Verosimilitud (MV) consiste en elegir s i tal que max si L(s i ) con L(s i ) = p(x s i ). Cuando las señales son equiprobables, las reglas MAP y MV son equivalentes. Definiendo la función l(s i ) = log L(s i ), el criterio se convierte en min s i x s i 2 y las regiones de decisión se convierten en Z i = {x : x s i < x s j, j i} Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 27

28 Criterio de máxima verosimilitud (cont.) Por ejemplo, para el caso de N = 2 y M = 4 tenemos cuatro regiones de decisión. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 28

29 Regiones de decisión de MPAM Z 1 = (, A 1 + d), Z i = [A i d, A i + d), i = 2,..., M 1, Z M = [A M d, ). Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 29

30 Regiones de decisión de MPSK Z i = {re jθ : 2π M (i 0.5) θ < 2π M (i + 0.5)} Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 30

31 Regiones de decisión de MQAM Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 31

32 Rendimiento en canales AWGN Probabilidad de error del criterio MV Probabilidad de error en función de la E b /N 0 Probabilidad de error para modulaciones digitales Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 32

33 Probabilidad de error (cont.) Sea A ik el evento x s k < x s i cuando se ha enviado m i. x s k x s k s i x = n d ik s i Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 33

34 Probabilidad de error (cont.) Sea A ik el evento x s k < x s i cuando se ha enviado m i. La probabilidad de cada evento A ik puede expresarse en función de d ik : p(a ik ) = p( s k x < s i x s i ) = p(n > d ik /2) ) ( ) 1 = exp ( vn0 dij dv = Q πn0 2N0 d ik /2 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 34

35 Probabilidad de error (cont.) Función de error complementario Q(z) = 1 z 2π e x2 /2 dx = 1 2 erfc(z/ 2) 10 0 Funcion error complementario Q(x) Q(x) Q(x) x x Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 35

36 Probabilidad de error (cont.) La probabilidad de error asociada a la transmisión de m i es: P(x / Z i m i ) = p ( j=1, j i A ij ) = M j=1, j i Q ( ) dij 2N0 M j=1, j i p(a ij ) s s x s s Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 36

37 Probabilidad de error (cont.) La probabilidad de error asociada a la transmisión de m i es: P(x / Z i m i ) = p ( j=1, j i A ij ) = M j=1, j i Q ( ) dij 2N0 M j=1, j i p(a ij ) Para símbolos son equiprobables, Pe = M P(x / Z i m i ) = 1 M i=1 1 M M j=1, j i M j=1, j i P(x / Z i m i ) Q ( ) dij 2N0 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 37

38 Probabilidad de error (cont.) La expresión de la probabilidad de error puede simplificarse considerando únicamente los M dim puntos de la constelación situados a una distancia d min de s i. En este caso, P(x / Z i m i ) M j=1, j i Q ( ) ( ) dij dmin M dim Q 2N0 2N0 Por tanto, la probabilidad total será Pe = M P(x / Z i m i ) 1 M i=1 M j=1, j i Q ( ) ( ) dij dmin M dim Q 2N0 2N0 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 38

39 Pe versus E b /N 0 para AWGN P r la potencia de la señal recibida (sin ruido) y P n la potencia del ruido. Si las señales s i (t) tiene ancho de banda 2B, la SNR recibida será SNR = P r N 0 B Como P r = E s /T, la SNR puede expresarse como SNR = P r N 0 B = E s TN 0 B Para pulsos g(t) con T = 1/B, SNR = E s /N 0. Para el caso general T = k/b, ksnr = E s /N 0. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 39

40 Pe versus E b /N 0 para AWGN (cont.) El rendimiento de las modulaciones se mide generalmente en la probabilidad de error por símbolo, P s, en función de γ s = E s /N 0. O bien, en términos de probabilidad de error por bit, Pb, en función de γ b = E b /N 0. Una conversión aproximada es Pb γ b Ps log 2 M γ s log 2 M Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 40

41 Probabilidad de error de MPAM Probabilidad de error para cada punto: ( 2d Pe(s i ) = 2p(n > d) = 2Q 2 N 0 ). Probabilidad de error total: Ps = 1 M Pe(s i) = 2(M 1) M Q ( 2d 2 N 0 ). E s = 1 M M i=1 A2 i = 1 M M i=1 (2i 1 M)2 d 2 = 1 3 (M2 1)d 2. Por tanto, d 2 = 3E s M 2 1 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 41

42 Probabilidad de error de MPAM Finalmente, se obtiene donde γ s = E s /N 0. Ps = 2(M 1) M Q ( ) 6γs M 2 1 Para el caso binario, Pb = Q ( 2γb ). Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 42

43 Probabilidad de error de MQAM d d d MQAM d d LPAM Una constelación MQAM con constelación rectangular puede verse como dos LPAM con L = M. Probabilidad de error de una LPAM Ps = 2( M 1) Q M d ( 3γs M 1 ) Observar que se utiliza un factor 3 (en vez de 6) porque la energía se reparte en fase y en cuadratura. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 43

44 Probabilidad de error de MQAM (cont.) d d d MQAM d d LPAM Probabilidad de error de una MPAM para constelaciones rectangulares: Ps = 1 ( 1 2( M 1) Q M d ( )) 2 3γs M 1 Para constelaciones no rectangulares: Ps M dim Q ( ) dmin 2N0 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 44

45 Probabilidad de error de MPSK A A A A A A QPSK BPSK Una BPSK puede verse como una 2PAM con d = A, Pb = Q ( 2γb ). Una QPSK puede interpretarse como dos modulaciones BPSK (en fase y en cuadratura), Ps = 1 (1 Q ( 2γb ) ) 2 = 1 (1 Q ( γ s )) 2 Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 45

46 Probabilidad de error de MPSK (cont.) A A A A A A QPSK BPSK Para el caso general, pueden utilizarse: Cada punto tiene dos vecino M dim = 2 situados a una distancia d min = 2(1 cos2π/m). Por tanto, Ps M dim Q ( ) ( dmin = 2Q ( γ s 1 cos 2π ) ) 2N0 M Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 46

47 Probabilidad de error: Ejemplo Consideremos γ b = 15dB. Por tanto, γ s = log 2 (M) (en unidades naturales). La siguiente tabla muestra la probabilidad de error por símbolops y por bit Pb = Ps/log 2 (M) para distintas modulaciones: Modulación P s P b BPSK e e 15 8PSK e e 08 16PSK 1.9e e 04 La probabilidad de error crece con M ya que la distancia entre punto disminuye. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 47

48 Probabilidad de error: Ejemplo Consideremos γ b = 15dB. Por tanto, γ s = log 2 (M) (en unidades naturales). La siguiente tabla muestra la probabilidad de error por símbolops y por bit Pb = Ps/log 2 (M) para distintas modulaciones: Modulación P s P b 8QAM e e 11 16QAM e e 07 Combinar fase/amplitud, una modulación MQAM aprovecha mejor la energía que una PSK. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 48

49 Sistemas con desvanecimiento plano Probabilidad de outage Probabilidad de error media Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 49

50 Probabilidad de outage En canales con desvanecimiento nos interesará calcular la SNR mínima para alcanzar una determinada probabilidad de error. La probabilidad de outage se define como p out = p(γ s < γ 0 ) = γ0 0 p(γ)dγ donde γ 0 especifica la SNR necesaria para un buen rendimiento. Para canales con desvanecimiento Rayleigh, p out = γ0 0 e γ s/γ s γ s dγ s = 1 e γ 0 γ s γ s = γ 0 ln(1 p out ) Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 50

51 Probabilidad de outage (cont.) Consideremos que se transmite con una modulación BPSK en un canal que sufre un desvanecimiento Rayleigh. Nos interesa calcular el valor medio de la SNR necesaria para alcanzar la probabilidad de error sea menor a Ps = Pb = Q( 2γ b ) = 10 4 cuando γ b = 8.3dB σ s (db) pout Una probabilidad p out = 0.05 significa que el 95% del tiempo Ps < En este caso, γ s = dB Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 51

52 Probabilidad de error media Cuando existe desvanecimiento, la SNR γ se convierte en una variable aleatoria con distribución p(γ). Si el desvanecimiento es Rayleigh, la señal recibida r tiene distribución p(r) = r σ 2 e r2 2σ 2 Para valores de SNR altos, la probabilidad de error de una BPSK es P b 1 4γ b Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 52

53 Probabilidad de error media (cont.) Comparación de la probabilidad de error de una BPSK en un canal AWGN y con desvanecimiento plano. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 53

54 Ejercicio Utilizando algún programa de simulación (matlab, octave) representar curvas de probabilidad de error en función de γ b (en dbs) para MPAM, MPSK y MQAM. Comparar el rendimiento de cada modulación para distintos valores de M. Comparar el rendimiento entre modulaciones para el mismo valor de M. Modulaciones digitales.- Adriana Dapena p. 54