CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 21 GUIA DE ESTUDIO PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 21 GUIA DE ESTUDIO PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

2 TEMARIO DEL CURSO I. Sistemas de coordenadas rectángulares y polares 1. Sistema de coordenadas rectángulares Puntos en el plano cartesiano Distancia entre dos puntos División de un segmento, dada una razón Coordenadas del punto medio de un segmento de recta Áreas y perímetros de polígonos. 2. Sistema de coordenadas polares Radio vector y ángulo polar Transformaciones De forma rectángular a polar De forma polar a rectángular. II. Lugares geométricos. 3. La recta Pendiente y ángulo de inclinación Formas de la ecuación de una recta Resolución de ejercicios sobre el tema de la recta Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas Intersección de rectas Relación entre rectas Distancia entre un punto y una recta Distancia entre dos rectas. III. Lugares geométricos Cónicas. 4. Las cónicas Circunferencia y su ecuación en: Forma ordinaria Forma canónica Forma general Conocidos tres de sus puntos Parábola y su ecuación: Elementos de la parábola Con vértice en el origen Con vértice en (h, k) De la tangente a una parábola Elipse y su ecuación Elementos de la elipse Con centro en el origen Con centro en (h, k) Tangente a una elipse Hipérbola y su ecuación Elementos de la hipérbola Con centro en el origen Con centro en (h, k) Asíntotas de la hipérbola 1

3 OBJETIVO. Acreditar con éxito un examen extraordinario de la asignatura Geometría Analítica, al estudiar, realizar y analizar los diversos ejercicios que se expresan en esta guía. GEOMETRÍA ANALÍTICA La GEOMETRÍA ANALÍTICA estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones. Es importante recordar, lo siguiente: La geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de coordenadas. René Descartes es considerado el creador o inventor de la geometría analítica. Sistemas de coordenadas cartesianas. Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, par haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica. Recordemos cómo se construye un sistema de coordenadas rectangulares: trazamos dos rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las x; la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y. Usando un segmento "unidad" conveniente, se divide cada eje de manera que los números enteros positivos queden a la derecha del origen sobre el eje x, y arriba del origen sobre el eje y. Los enteros negativos quedan a la izquierda del origen sobre el eje x, y abajo del origen sobre el eje y. Tomando los ejes como elementos de referencia, se puede localizar cualquier punto situado en el plano que forman, procediendo en la forma siguiente: se indica la distancia del punto a la derecha o a la izquierda del eje horizontal, y la distancia hacia arriba o hacia abajo del eje vertical. La abscisa es positiva o negativa según el punto P situado a la derecha o a la izquierda del eje horizontal; la ordenada es positiva o negativa según el punto este situado arriba o abajo del eje vertical. A la abscisa y a la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto y se escriben como un par de números dentro de un paréntesis separado por una coma; el primero de estos números representa siempre a la abscisa y el segundo a la ordenada. En general, un punto cualquiera por ejemplo el punto A, cuya abscisa es x y la ordenada y se designa mediante la notación A(x, y). Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes, llamada cada una cuadrante; los cuadrantes se numeran con números romanos I, II, III, IV como se indica en la figura anterior. Localización de puntos en el plano. En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plana, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y). En el proceso graficador 2

4 hay que tomar en cuenta loa signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes; para ello se emplea el papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localización y el marcado de puntos en el plano. Ejemplo: Traza un sistema coordenado rectangular y señala los puntos siguientes: (4, 3), (-1, 5), (-3, -2), (0,1), (6, -4), (-6, 4). Traza, además, el segmento de recta que une los puntos (-3, -1) con (5, 6). Distancia entre dos puntos. Para encontrar la distancia entre dos puntos P(x1,y1) y Q(x2, y2) que no estén en la misma recta vertical u horizontal, construimos un triángulo rectángulo que tenga al segmento PQ por hipotenusa, como se muestra en la figura, las longitudes de los lados de los catetos son x 2 x 1 y y 2 y 1. La distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos", Entonces: d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y) 2 Observa que si los puntos están en la misma vertical o en la misma horizontal, uno de los dos sumandos de la formula vale cero, pero el resultado sigue siendo cierto. La fórmula anterior, además de permitirnos obtener la distancia entre dos puntos, nos capacita para solucionar, entre otros, los siguientes problemas: 1. Determinar el perímetro de un triángulo o de algunas otras figuras geométricas. 2. Comprobar que un triángulo es rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras a las distancias obtenidas al verificar que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 3. Comprobar que un triángulo es isósceles, si dos de las distancias obtenidas son iguales. 4. Comprobar que un triángulo es equilátero, si sus tres lados son iguales. Para resolver un problema y de ser posible, se recomienda en todos los casas graficar los datos disponibles antes de realizar cualquier operación. Ejemplo: Encontrar la distancia entre P(3,5) y Q( -1,6). Solución: Sustituimos las coordenadas P y Q en la fórmula y obtenemos: d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y) 2 d(p, Q) = (( 1) 3) 2 (6 5) 2 = 17 3

5 Observa que no importa en el orden en que se tomen los puntos para calcular la distancia. Comprueba por ti mismo, el resultado ahora invirtiendo los puntos inicial y final para el análisis. A Continuación se cita una serie de ejercicios propios de la materia para que practiques y te prepares para tu próxima evaluación y logres acreditar de forma satisfactoria. ÉXITO! EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS INSTRUCCIONES. Conteste y resuelva cada una de las siguientes preguntas y/o ejercicios. 1. Qué es un punto? 2. Qué es una recta? 3. Qué es un polígono? 4. Qué diferencia existe entre un segmento y una recta? 5. Qué elementos se necesitan para trazar un segmento? 6. Qué elementos se requieren para trazar una recta? 7. Qué es una ecuación y como se clasifican? 8. Resuelve la ecuación 3x-2 = 2x-9 9. Resuelve la ecuación x²-9 = En qué puntos corta el eje horizontal (eje x), y = x² Qué es un sistema de coordenadas cartesianas? 12. Qué son los cuadrantes del sistema de coordenadas? 13. Cómo se enumeran los cuadrantes en que se divide el sistema de coordenadas cartesiano? 14. Qué es la pendiente de una recta? 15. Qué es un ángulo? 16. Cómo se calcula la pendiente? 17. Qué nombre reciben cada una de las coordenadas de un punto en el plano cartesiano? 18. Qué y Cuántos son los cuadrantes en un plano? 19. Cuál es el signo correspondiente de cada una de las coordenadas (abscisa y ordenada) de un punto localizado en cada uno de los cuadrantes en que se divide el sistema de coordenadas cartesiano? 20. Escriba la ecuación de la circunferencia en su forma canónica, su forma ordinaria y su forma general. 21. Qué es una parábola? 22. Qué es un círculo? 23. Qué es una hipérbola? 24. Qué es una elipse? INSTRUCCIONES. Seleccione la respuesta correcta. 25. Es la longitud de un segmento de recta dados dos puntos? A. Segmento de recta B. Distancia entre dos puntos C. Hipotenusa 26. Traza en el plano los siguientes puntos: P (2,1); Q (-1,2); R (-2,-1) Y S (1,-2) y únelos, qué figura representa? A. Cuadrado B. Trapecio C. Triangulo 27. Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice: A. Plano cartesiano B. Ángulo C. Ángulo recto INSTRUCCIONES. Conteste cierto o falso, según corresponda 28. Conteste cierto o falso según corresponda. Justifique su respuesta. a) La distancia entre (a + b,0) y (a b,0) es 2b CIERTO FALSO b) La distancia entre los puntos (a,b) y (0,0) es a - b CIERTO FALSO 4

6 GUÍA DE ESTUDIO 29. Complete la tabla de la derecha, de acuerdo a los puntos ilustrados en el plano cartesiano. PUNTO X Y PAR ORDENADO CUADRANTE A -2 3 (-2,3) II B 1 5 (1,5) I D F -5 5 (-5,5) III 4 4 (4,4) I G 5 0 (5,0) I,IV H 1 0 (1,0) I I 3-2 (3,-2) IV J 0-4 (0,-4) III,IV K -5-4 (-5,-4) III 30. Encontrar la distancia entre los puntos: P(3,5) y Q( -1,6). 31. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los puntos A (-5,3) Y B (6,1/2). Grafique. 32. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento ab en cinco partes iguales. A (1, 1); B(11, 6). Grafique. 33. Cuál es la razón en la que el punto P(10, 7) divide al segmento de la recta, cuyos extremos son los puntos P1( 5, 2) Y P2(1, 4)? 34. Calcular el perímetro del triángulo formado por los puntos: A(-3,6), B(6,5) Y C(1,6) y clasifíquelo. Posteriormente calcule el área (utilice la fórmula) a) LADO AB= b) LADO BC= c) LADO AC= d) PERÍMETRO= e) TIPO DE TRIANGULO= f) ÁREA= 35. De la siguiente imagen, indique a qué pendiente corresponde cada una: PENDIENTE INDEFINIDA, PENDIENTE NEGATIVA, PENDIENTE CERO ó PENDIENTE POSITIVA. a) b) c) d) 36. Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3,-4) y B(5,1)? 37. La pendiente de una recta es 2/3, si pasa por el punto M(2,-1) y el punto P (-10,y), cuál es el valor de y? 5

7 GUÍA DE ESTUDIO 38. Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-6,-1) t su pendiente es -3/4? 39. Cuál es la pendiente de la recta que es paralela a la recta que pasa por los puntos A(2,-5) y B (3,-4)? 40. Cuál es la ecuación de la recta que es paralela a otra recta que pasa por los puntos (5,-2) y (-7,8)? 41. En una práctica de campo, un estudiante de agronomía midió el crecimiento en centímetros de una planta de maíz durante 5 días de germinación. La tabla muestra los datos que registró. DESCRIPCIÓN UNIDAD DATOS Tiempo (días) t Altura (cm) h Pares ordenados (t,h) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) a) Completa los pares ordenados de la tabla y grafícalos en el plano cartesiano. b) Calcula la pendiente y c) Calcula el ángulo de inclinación de la recta que pasa por esos puntos. INSTRUCCIONES. Convierta los siguientes valores de grados a radianes y de radianes a grados, según corresponda. a) 360 b) 45 c) 60 d) 90 e) 120 π f) g) h) 4 2π 3 5π 2 6