PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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1 IES ASTELAR BADAJOZ A nguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE URIA JUNIO (GENERAL) ATEÁTIAS II SOLUIONES Timpo máimo: hors minutos Osrvcions importnts: El lumno drá rspondr tods ls custions d un d ls opcions A o B No stá prmitido utilir clculdors progrmls ni qu rlicn cálculo simólico intgrls o gráics OPIÓN A º) ) Discut l sistm d cucions n unción dl prámtro α ) Rsulv l sistm cundo s comptil ) Ls mtrics d coicints mplid son ls siguints: Los rngos d n unción dl prámtro α son los siguints: R Rngo iguls ils dos ) ( Vmos studir hor l rngo d { } ± ±

2 { } Rsolvindo por Ruini rsultn ls solucions { } Pr α s A Rngo Pr α - s A Rngo D lo ntrior s conclu lo siguint: do r in omptil incóg n Rngo Rngo Pr min dt º < Incomptil Rngo Rngo Pr ) Rsolvmos pr α - qu l sistm s comptil indtrmindo El sistm rsult quivlnt Hcindo : ; ; R Solución :

3 º) onsidr l rct r l plno π : ) lcul l ángulo qu ormn l rct r l plno π ) Dtrmin l plno γ qu contin l rct r s prpndiculr l plno π ) El ángulo α qu ormn l plno π l rct r s l complmntrio dl ángulo qu ormn un vctor v dirctor d r un vctor n norml l plno π Sindo qu l ángulo qu ormn dos vctors s dduc dl concpto d producto sclr: v v n n v n cos β cos β v n Pr cilitr l comprnsión dl jrcicio hcmos un squm d l situción: r n β v α π Un vctor dirctor d l rct r s v ( ) l vctor norml dl plno π s ( ) n cos β v v n n ( ) ( ) ( ) 6 6 β 6º α º 6 L rct r l plno π ormn un ángulo d º ) El plno γ pdido por contnr r tin como vctor dirctor l vctor dirctor d

4 r v por sr prpndiculr l plno π tin como vctor dirctor l vctor norml d π n Un punto d l rct r s P(- ) L prsión gnrl dl plno γ s l siguint: ; n v P γ γ

5 si Dtrmin los vlors d L si > los prámtros α sindo qu () cumpl ls siguints propidds: º) onsidr l unción dd por ) () s continu n todo R ) () tin un trmo rltivo n l punto d scis Por sr continu n R tin qu cumplirs qu los its ltrls pr tinn qu sr iguls: ( ) ( L ) (*) Por tnr un trmo rltivo pr tin qu nulrs su drivd pr st vlor: si si > Sustitundo l vlor d α n l prsión (*):

6 º) ) Encuntr un primitiv d l unción ) lcul l ár dl rcinto limitdo por l gráic d l unción () l j d sciss ntr ) F t d dt ( t ) t d F dt dt t t t d t dt [ t L t ] ( ) [ L ] L( ) dt t ( ) [ L( )] F L ) Por sr positivs tods ls ordnds d l unción l siguint: l ár pdid s [ L( )] [ L( ) ] [ L( )] S d { } [( L ) ] ( L) u S

7 OPIÓN B º) S dic qu un mtri cudrd A s ortogonl si s cumpl qu I A A t dond I dnot l mtri idntidd A t s l trspust d A Dtrmin pr qué vlors d los prámtros α l mtri A s ortogonl I A A t ± ±

8 µ º) ) Hll l cución implícit (o gnrl) dl plno π µ ) Dtrmin l cución d l rct r qu s prpndiculr l plno π ps por l punto P(- ) ) Dos vctors dirctors un punto dl plno π son u ( ) ( ) P ( ) L prsión gnrl dl plno π s l siguint: π ( P; u v ) ( ) ( ) 6( ) 6 π 6 v ) Un vctor dirctor d l rct r pdid s culquir qu s linlmnt dpndint dl vctor norml d π qu s n ( 6 ) L rct r prsd por jmplo por uns cucions prmétrics s: r 6

9 º) Dd l unción s pid: ) Dominio d dinición cort con los js ) Estudio d ls síntots (vrticls horiontls olicus) c ) Intrvlos d crciminto dcrciminto Etrmos (máimos mínimos) d ) Rprsntción gráic proimd ) onsidrndo qu tin qu sr ; l vlor qu nul l dnomindor ( ) no s rlvnt con rspcto l dominio d l unción D ( ) ( ] [ ) Por no str dinid l unción pr l unción () no cort l j Y L unción () cort l j X n los puntos A(- ) B ) Ls síntots son ls siguints: Horiontls: son los vlors initos qu tom cundo tind vlr ininito; son d l orm k ± k ± ± ± Indt ± ± Asíntots horiontls: - Vrticls: son los vlors d qu nuln l dnomindor No tin síntots vrticls por no str dinid l unción pr Olicus: No tin

10 Pr qu un unción tng síntots horiontls s ncsrio qu l grdo dl numrdor s un unidd mor qu l grdo dl dnomindor c ) ) `( Por sr l dnomindor positivo D l signo dl vlor d l unción s l qu tng l dnomindor por lo cul: : < > o rcimint > < : nto Dcrcimi Tnindo n cunt qu () s continu n su dominio qu l drivd s nul pr qu pr st vlor ps d sr crcint dcrcint l unción tin un máimo rltivo pr 6 7 rltivo : P áimo d ) Rprsntción gráic proimd El punto d cort d l unción con l síntot s l siguint: D B X Y A P D O () -

11 º) ) Encuntr un primitiv d l unción ) lcul l ár dl rcinto limitdo por l gráic d l unción () l j d sciss ntr ) u d du ( ) F d d F d d dv v ) I d I I (*) u d du d I d dv v d ( ) I Sustitundo n (*) l vlor otnido pr I: F ( ) ( ) d [ ] ( ) F Tnindo n cunt qu tods ls ordnds d son positivs n R l ár pdid s l siguint: S d d [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 5 5 u S

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