Algebra I 1er. Cuatrimestre 2013 Práctica 1 - Conjuntos

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1 lr I 1r. utrimstr 013 Práti 1 - onjuntos Si s un suonjunto un onjunto rrnil V, notrmos por l omplmnto rspto V. Por onvnión, si x s un númro rl positivo, x not l únio númro rl positivo uyo uro s x. 1. Do l onjunto = 1,,3},1,}, 1}, trminr uáls ls siuints irmions son vrrs: i)3 ii)1,} iii)1,}. iv)3} v)3}} vi). vii) 1,} viii) ix)1,, 1}.. Dtrminr si n uno los siuints sos () = 1,, 9} = 1,,3}, 3}. () = 1,,0, 1, } = x R/ x+3 1}. () = 1,, 9} = 1,,3,4,5}. () = } =. () = x R/ < x < 3} = x R/x < 3} 3. Dos los onjuntos = 1,3,5,7,8,11} y = 1,3 5,7, 8,11}, llr,, y. 4. Do l onjunto rrnil V = n N/n s múltiplo 15}, llr l omplmnto l suonjunto V inio por = n V /n 13}. 5. DolonjuntorrnilV = 1,3},,7,10,1,,3},3}yoslossuonjuntos = 1,,7,3}, = 1,3},10} y =,1,,3},3} llr i) ( ) ii)( ) iii)( ) iv)( ) v) vi)( ) 6. En un rupo 110 lumnos y 63 lumnos qu stuin inlés, 30 qu stuin lmán y 50 qu stuin rnés. Sino qu y 7 lumnos qu stuin los trs iioms, 30 qu sólo stuin inlés, 13 qu sólo stuin lmán y 5 qu sólo stuin rnés, trminr () uántos lumnos stuin xtmnt os iioms? () uántos lumnos stuin inlés y lmán pro no rnés? () uántos lumnos stuin lmán y rnés pro no inlés? () uántos lumnos stuin inlés y rnés pro no lmán? () uántos lumnos no stuin ninún iiom? 7. Sn, y onjuntos. Rprsntr n un irm Vnn i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) iv)( ) v) ( ) vi)( ) ( ) vii) ( ) viii) ( ) ix)( ) ( ) 1

2 8. Enontrr órmuls qu srin ls prts rys los siuints irms Vnn, utilizno únimnt intrsions, unions y omplmntos. i) ii) iii) iv) 9. Dtrminr uáls ls siuints irmions son vrrs ulsquir sn los onjuntos, y y uáls no. Pr ls qu sn vrrs, r un mostrión, pr ls otrs r un ontrjmplo. () ( ) = ( ). () ( ) =. () ( ) ( ). () ( ) = ( ) ( ). () = ( ). () = =. () ( ) = ( ) ( ). () =. 10. Sn, y suonjuntos un onjunto rrnil V. Pror qu () ( ) = ( ) ( ). () ( ) =. () ( ) = ( ) ( ). () ( ) = ( ) ( ). () ( ) =. () ( ) = ( ). () = =. (). (i) = ( ) = ( ) ( ). (j) = = ( ) =. 11. () Hllr l onjunto P() prts n los sos i) = ii) = 1} iii) =,} iv) = 1,, 1}} v) = 1,1,}} vi) = 1,3,5, }

3 () Qué rlión xist ntr l nti lmntos y l su onjunto prts? () Sn y onjuntos. Pror qu P() P(). 1. () Sn = 1,,3}, = 1,3,5,7}, =,,}. Hllr,, ( ), ( ) y ( ) () Sn X Y onjuntos. Si X tin n lmntos Y tin m lmntos, uántos lmntos tin X Y? () Sn, y onjuntos. Pror qu i)( ) = ( ) ( ) iii)( ) = ( ) ( ) ii)( ) = ( ) ( ) iv)( ) = ( ) ( ) 13. Si s un onjunto on n lmntos y s un onjunto on m lmntos, uánts rlions n y? 14. S = 1,,3,4,5,6}. Grir l rlión R = (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(6,4),(4,6),(4,4),(6,6)} iujno 6 puntos n l plno qu rprsntn uno los lmntos y un l pr (,) R. Vino l ráio trminr si R s rlxiv, simétri, ntisimétri o trnsitiv. 15. S =,,,,,,,}. Pr uno los siuints ráios sriir por xtnsión l rlión n qu rprsnt y trminr si s rlxiv, simétri, ntisimétri o trnsitiv. i) ii) iii) iv) 16. En uno los siuints sos trminr si l rlión R n s rlxiv, simétri, ntisimétri, trnsitiv, quivlni o orn. () = 1,,3,4,5}, R = (1,1),(,),(3,3),(4,4),(5,5)}. () = 1,,3,4,5}, R = (1,1),(,),(3,3),(4,4),(5,5),(1,),(1,3),(,5),(1,5)}. () = 1,,3,4,5,6}, R = (1,1),(,),(3,3),(4,4),(5,5)}. () = N, R = (,) N N/+ s pr}. 3

4 () = N, R = (,) N N/+ s impr}. () = Z, R = (,) Z Z/ }. () = P(R), R ini por R /. () = P(R), R ini por R 1,,3} 1,,3}. (i) = Z, R ini por R +3 s ivisil por 4. (j) = N, R ini por R s múltiplo. 17. Dr un jmplo un rlión n R qu: () s simétri y ntisimétri. () no s ni simétri ni ntisimétri. () s simétri y trnsitiv pro no rlxiv. () s rlxiv y simétri pro no trnsitiv. () s quivlni y orn. 18. S =,,,,,} y s R l rlión n rprsnt por l ráio uál s l mínim nti prs qu s n rr R mnr qu l nuv rlión otni s () rlxiv, () simétri, () trnsitiv, () rlxiv y simétri, () simétri y trnsitiv, () rlxiv y trnsitiv, () quivlni. 19. Do l onjunto =,,,,,,} nuntr un rlión orn R n qu tn 1 lmntos y qu vriiqu (,) R, (,) R y (,) / R. Es úni? 0. S =,,,,,}. D l rlión quivlni n llr R = (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} () l ls, () l ls, () l ls, 4

5 () l prtiión soi R. 1. S = 1,,3,4,5,6,7,8,9,10}. Hllr y rir l rlión quivlni n soi l prtiión 1,3},,6,7},4,8,9,10},5}}.. Hllr tos ls prtiions l onjunto = 1,, 3}. uánts rlions quivlni pun inirs n? 3. () Dtrminr si R s un unión n n los sos i. = 1,,3,4,5}, =,,,}, R = (1,),(,),(3,),(4,),(5,)}, ii. = 1,,3,4,5}, =,,,}, R = (1,),(,),(3,),(4,),(5,),(3,)}, iii. = 1,,3,4,5}, =,,,}, R = (1,),(,),(3,),(4,)}, iv. = 1,,3}, =,,,,}, R = (1,),(,),(3,)}, v. = N, = R, R = (,) N R/ = 3}, vi. = R, = N, R = (,) R N/ = 3}, vii. = Z, = Z, R = (,) Z Z/+ s ivisil por 5}, viii. = N, = N, R = (,) N N/ = }, () Pr un ls rlions n inis n ) qu sn unions llr l imn y trminr si s inytiv, sorytiv o iytiv. 4. Dtrminr si ls siuints unions son inytivs, sorytivs o iytivs. Pr ls qu sn iytivs llr l invrs y pr ls qu no sn sorytivs llr l imn. () : R R, (x) = 1x 3 5. () : R R, (x) = 1x 5. () : R R, (x,y) = x+y. () : R R 3, (x) = (x,x,x 7). x si x < 6, () : R R, (x) = x+6 si x 6. n () : N N, (n) = si n s pr n+1 si n s impr.. n 1 si n s pr () : N N, (n) = n si n s impr. () : Z Z Z, (,) = si s pr (i) : Z Z, () = 1 si s impr. 5. () Ds ls unions : N N (n) = n si n s ivisil por 6 3n+1 n otro so : N N N (n,m) = n.(m+1) lulr ( )((3,4), ( )((,5) y ( )((3,). 5

6 () Ds ls unions : R R x si x 7 (x) = x 1 si x > 7 : N R (n) = n Hllr toos los n N tl qu i. ( )(n) = 13. ii. ( )(n) = Hllr n los sos () : R R, (x) = x 18 : R R, (x) = x+3. () : R R, (x) = x+3 : R R, (x) = x 18 n si n s ivisil por 4 () : N N, (n) = n 1 si n no s ivisil por 4, : N N, (n) = 4n. () : R R R, (x) = (x+5,3x) : N R, (n) = n. 7. Hllr os unions : N N y : N N tls qu = i N y i N, on i N : N N not l unión inti. 8. Sn, y onjuntos. Pror qu si : y : son unions ntons vln () si s inytiv ntons s inytiv. () si s sorytiv ntons s sorytiv. () si y son inytivs ntons s inytiv. () si y son sorytivs ntons s sorytiv. () si y son iytivs ntons s iytiv. 6

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