Tema 1: Teoría de Conjuntos. Logica proposicional y Algebras de Boole.

Transcripción

1 Tema 1: Teoría de Conjuntos. Logica proposicional y lgebras de oole. 1.1 Teoria de conjuntos Objetivo específico: Operar con conjuntos y aplicar sus propiedades para resolver problemas reales.

2 Piensa Elabora una lista de amigos y asigna las personas a los conjuntos cuando cumplen con el requisito dado. ={personas que me hacen reír} ={personas que siempre han estado dispuestas a ayudar} C={personas con las que me gustaría salir}

3 Ejemplos Motivadores una reunión asisten 50 personas de las cuales 30 cantan 20 bailan y 10 no cantan ni bailan. Cuántas personas cantan y bailan? Y si las que bailan son 25? Cuántos enteros positivos menores que 60 no son divisibles entre 2 ni entre 3 ni entre 5?

4 Ejemplos En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes del Instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian español 30 estudian alemán 42 estudian francés 8 español y alemán 10 estudian español y francés 5 alemán y francés 3 estudian los tres idiomas. Cuántos estudiantes tienen el francés como único idioma de estudio?

5 Contenidos Teoría de Conjuntos Definición elementos. Cardinal de un conjunto conjunto finito conjunto vacio. Subconjunto. Igualdad de conjuntos. Operaciones con conjuntos: Unión Intersección Complementación Diferencia

6 Teoría de Conjuntos Definición de conjunto: Es una colección de objetos bien definida de cualquier clase. Por etensión Cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos Por comprensión Cuando se da una propiedad que la cumplan todos los elementos del conjunto y sólo ellos.

7 Teoría de Conjuntos Ejemplos: Definir por etensión los siguientes conjuntos. Por etensión ={7} ={2-2} C={coret} 2 no pertenece r pertenece a C m no pertenece C Por comprensión ={/-5=2} ={/ 2 =4} C={/ es letra de la palabra correcto }

8 Teoría de Conjuntos Ejemplos: Definir por comprensión los siguientes conjuntos. Por etensión D={a b c d e} E={ } F={ } Por comprensión D={/ es una de las 5 primeras letras del alfabeto} E={/ es múltiplo de 2} F={/ es un número entero positivo impar menor que 10}

9 Teoría de Conjuntos Cardinal de el conjunto es el número de sus elementos y se denota Ø conjunto vacio Ø =0 ={7} =1 ={2-2} =2 C={coret} C =5 E={/ es múltiplo de 2} E = N={n/n es un número natural} N = Z= {n/n es un número entero} Z =

10 Teoría de Conjuntos Subconjunto / Igualdad de conjuntos El conjunto vacio X X E={ } F={ } E F N N N Z

11 Teoría de Conjuntos Operaciones Ejemplo Unión } : { } { } { } { i e d c b a i e a d c b a

12 Intersección Teoría de Conjuntos Operaciones { : } Ejemplo { a b c d} { a e i} { a}

13 Teoría de Conjuntos Operaciones Ejemplo Complementación } : { Si X X c } { } { } { i h g f e i h g f e d c b a X d c b a

14 Diferencia Teoría de Conjuntos Operaciones { : } Ejemplo { a b c d} { a e i} { b c d}

15 Propiedades sociativa. Conmutativa Teoría de Conjuntos ( ) C ( C) ; ( ) C ( C) ; Idempotente ;

16 Teoría de Conjuntos Elemento Ínfimo Elemento universal U Ley de simplificación Propiedad distributiva Propiedades U U U ; ; ) ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( C C C C

17 Complementario Teoría de Conjuntos Si X c { : X } Propiedades X ; X ; Si entonces X ;

18 Teoría de Conjuntos Pero si los conjuntos y C no son disjuntos Principio de adición: Si y son conjuntos finitos no vacíos y disjuntos (es decir ) entonces C C C C C ) (

19 Principio de Inclusión-eclusión Conocido también como principio de la criba. Establece que si 1... n son conjuntos finitos entonces:

20 Ejemplos Cuántos enteros positivos menores que 60 no son divisibles entre 2 ni entre 3 ni entre 5? ={divisibles entre 2} ={divisibles entre 3} C={divisibles entre 5}

21 Problema De un total de 130 estudiantes 60 usan lentes 51 usan zapatos tenis y 30 usan lentes y tenis. En este conjunto de 130 estudiantes se encuentran 54 estudiante con camisa blanca de los cuales 26 usan lentes 21 tenis y 12 lentes y tenis. Todo estudiante que no tiene lentes ni tenis usa pantalón vaquero. (a) Cuántos estudiantes usan pantalón vaquero? (b) Cuántos estudiantes que no tienen camisa blanca usan lentes pero no tenis? (c) Cuántos estudiantes que no usan camisa blanca no tienen lentes ni tenis?