LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

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1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONTINUIDAD DE FUNCIONES EALES DE UNA VAIABLE EAL.- Estudiar la continuidad, n los puntos y d la función: f ( ) L( ) si / si Solución: f continua n y El dominio d la función s: dom f { y } (, ) / > 0 (0, ) a) Continuidad n. En st punto, la función s continua, por composición d funcions continuas. b) Continuidad n. b.) f () L ( ) b.) lim f( ) lim lim lim ( )( ) ( )( ) ( ) Por lo tanto, lim f ( ) f() f s continua n.- Estudiar la continuidad n 0 (indicando tipo d discontinuidad) d la función: f ( ) sn( / ) / si 0 si 0 0 Solución: f no s continua n 0 (D. I. d ª spci) a) f (0) 0 b) El lim f ( ) lo vamos a studiar por la izda y por la drcha, porqu pud cambiar: 0 3

2 sin(/ ) [sin( )] [acotado] lim f( ) lim lim lim 0 / / / sin(/ ) [sin(- )] lim f ( ) lim lim lim [acotado] lim f( ) lim f( ) / Por lo tanto, la función NO s continua n 0 con una discontinuidad ª invitabl d spci 3.- Estudiar la continuidad d la función: f ( ) 9 3 si si 3 3 a) En 3 b) intrvalo (3,4) c) intrvalo [3,4]. Solución: a) f no s continua n 3 b) f s continua n (3,4) c) f no s continua n [3,4] a) En l punto 3 a.) f (3) ( 3)( 3) a.) lim f( ) lim lim( 3) Por lo tanto, n l punto 3 la función s discontinua, con una discontinuidad vitabl. b) En l intrvalo (3, 4) Es vidnt qu f s una función continua n cualquir punto distinto d 3 por composición d funcions continuas. Por lo tanto, como s continua n todos los puntos d st intrvalo, s continua n l intrvalo. c) En l intrvalo [3, 4] Para qu sa continua n st intrvalo, la función db sr continua n l intrvalo abirto qu lo s, como hmos visto n l apartado antrior- y a la drcha dl punto 3 y a la izquirda dl punto 4. Es vidnt qu n l punto 4 la función s continua, como antriormnt hmos indicado. En l punto dl punto 3, tndrmos: 4

3 ( 3)( 3) lim f( ) lim lim( 3) f (3) lim f( ) f(3) f no s continua n [3, 4] Estudiar la continuidad n 0 (indicando n caso d sr discontinua, tipo d discontinuidad) d las funcions: / ( ) a) f ( ) sn Solución: D. I. (ª spci) ( ) b) g ( ) sn Solución: D. E. ) c) h ( ) 3 Solución: D. E. / d) i ( ) sn( / ) Solución: D. I. (ª spci) ) j ( ) Solución: D. I. (ª spci) a) f( ) /sn( ) Inicialmnt, ya s pud afirmar qu la función no srá continua n l orign porqu no stá dfinida n l punto (0,0). Estudiamos, sin mbargo los límits para dtrminar l tipo d discontinuidad. sin lim f( ) lim 0 0 sin lim f( ) lim Por lo tanto, s una discontinuidad invitabl d ª spci. b) g ( ) sn( ) La función no stá dfinida n l punto y admás su dominio s. Por lo tanto, no pud habr límit nada más qu por la drcha. En conclusión: la función no s continua n st punto, con una discontinuidad invitabl d ª spci. Calculamos a continuación l límit, SÓLO como jrcicio. Db qudar muy claro qu no sría ncsario dtrminarlo. sin lim g ( ) lim lim / lim

4 ) c) h ( ) L( 3 Inicialmnt, ya s pud afirmar qu la función no srá continua n l orign porqu no stá dfinida n l punto (0,0). Estudiamos, sin mbargo los límits para dtrminar l tipo d discontinuidad. L( ) lim h ( ) lim lim Por lo tanto, n l orign ist una discontinuidad vitabl. / d) i( ) sn( / ) Inicialmnt, ya s pud afirmar qu la función no srá continua n l orign porqu no stá dfinida n l punto (0,0). Estudiamos, sin mbargo los límits para dtrminar l tipo d discontinuidad lim i ( ) lim sn( / ) lim [acotado] [,] ± lim i ( ) / / Por lo tanto, s una discontinuidad invitabl d ª spci. ) j ( ) Inicialmnt, ya s pud afirmar qu la función no srá continua n l orign porqu no stá dfinida n l punto (0,0). Estudiamos, sin mbargo los límits para dtrminar l tipo d discontinuidad lim j ( ) lim lim lim j( ) lim j( ) lim j( ) lim j ( ) lim lim la función prsnta una discontinuidad invitabl d ª spci. y por lo tanto, 6

5 5.- Dada la función: f ( ) / / si 0 si 0 0 a) Estudiar l tipo d discontinuidad qu prsnta n 0. b) Cómo db dfinirs la función para qu sa continua a la izquirda dl punto 0? Solución: a) Discontinuidad invitabl ª spci b) g ( ) S T f ( ) si 0 si 0 a.) f (0) 0 a.) / / / Si 0 lim f( ) lim lim / / / / Si 0 0 lim f( ) lim lim / Estamos ant una discontinuidad invitabl d ª spci. b) Dbría cumplirs qu / / (0) ( ) si 0 f f si 0 7

6 6.-Estudiar n l punto l tipo d discontinuidad d la función: f ( ) sn[ /( )] /( ) si 0 si Solución: Discontinuidad invitabl ª spci a) f () 0 b) Estudiamos lo límits latrals: sn[/( )] sn[ ] [acotado] Si lim f( ) lim lim lim 0 /( ) /( ) /( ) sn[/( )] [acotado] Si lim f( ) lim lim lim f( ) /( ) Por lo tanto, no ist l límit n l punto y la función prsnta una discontinuidad invitabl d ª spci. 7.- Estudiar l tipo d discontinuidad, n /, d la función: f ( ) tg( ) si tg ( ) 0 si / / Solución: Discontinuidad invitabl ª spci a) f ( /) 0 b) Estudiamos lo límits latrals tg( ) tg( ) Si 0 lim f( ) lim lim tg( ) tg( ) tg( ) tg( ) Si 0 lim f( ) lim lim tg( ) tg( ) Por lo tanto, st punto prsnta una discontinuidad invitabl d ª spci. 8

7 8.- Estudiar la continuidad (indicando n cada caso tipo d discontinuidad): ( ) a) f ( ) sn b) g ( ) sn( / ) ) c) h ( ) L( 3 d) i ( ) L( 4 3 ) ) j ( ) f) k( ) / L g) l ( ) S T [( / ) ( / )] ( ) si 0 0 si 0 h) m ( ) n l punto / tg ( ) Solución: a,b) f continua n lq. 0 En 0 D. E. b g b g b, g b3, g. En 0,3 D. I. c) Continua n 0,,. En 0, D. E. d) Continua n ) Continua n lq. 0 En 0 D. I. (ª spci) f) Continua n 0,, q. En 0 D.E. l En ± D. I. (ª spci) g) Continua n lq. 0 En 0 D. I. (ª spci) h) D. I. (ª spci) a) f ( ) sn( ) El dominio d la función s { 0} D ntrada, s pud afirmar qu sta función s continua n { 0} por composición d funcions continuas. En l orign, la función no stá dfinida y por lo tanto, s pud afirmar qu no s continua. Sin mbargo, vamos a studiar n s punto l yipo d discontinuidad: sn( ) lim f( ) lim lim Por lo tanto, la función prsnta n l orign una discontinuidad vitabl. En rsumn, la función s continua n { 0} 9

8 b) g ( ) sn( / ) El dominio d la función s { 0} Por otro lado, s pud afirmar qu sta función s continua n { 0} por composición d funcions continuas. En l orign, la función no stá dfinida y por lo tanto, s pud afirmar qu no s continua. Sin mbargo, vamos a studiar n s punto l tipo d discontinuidad: lim g ( ) lim sn( / ) lim [acotado] Por lo tanto, la función prsnta n l orign una discontinuidad vitabl. En rsumn, la función s continua n { 0} ) c) h ( ) L( 3 { } ( ) ( ) dom f / > 0, 3,. S pud afirmar qu sta función s continua n l dominio por composición d funcions continuas. En l punto, la función no stá dfinida y por lo tanto, s pud afirmar qu no s continua. Sin mbargo, vamos a studiar n s punto l tipo d discontinuidad. L ( ) lim h ( ) lim lim lim 3 ( )( ) 3 Por lo tanto, la función prsnta n l punto una discontinuidad vitabl. En rsumn, la función s continua n 0,, b g b g d) i( ) L( 4 3 ) { } { } dom f / 4 3 > 0 /( )( 3) > 0 (,) (3, ) En l dominio, la función s continua por composición d funcions continuas. No s ncsario studiar ningún punto n particular. En rsumn, la función s continua n, 3, b g b g 30

9 ) j ( ) / El dominio d la función s { 0} Por otro lado, s pud afirmar qu sta función s continua n { 0} por composición d funcions continuas. En l orign, la función no stá dfinida y por lo tanto, s pud afirmar qu no s continua. Sin mbargo, vamos a studiar n s punto l tipo d discontinuidad: j Si 0 / lim ( ) lim / 0 0 / Si 0 0 lim j( ) lim / 0 0 Por tanto, n l orign, la función prsnta una discontinuidad invitabl d ª spci. En rsumn, la función s continua n { 0} f) k( ) L { } { } dom f / / ± 0 Como la función s simétrica, basta con studiarla n 0 y n uno d los dos puntos ±. a) Continuidad n l punto lim k ( ) lim lim lim ± lim k ( ), por lo tanto, la L L - función NO s continua n los puntos ± b) Continuidad n l punto 0. S pud afirmar qu la función NO s continua n st punto porqu no stá dfinida. Sin mbargo, vamos a studiar l tipo d discontinuidad: / lim k ( ) lim 0 Por lo tanto, n l orign, prsnta una discontinuidad 0 0 L vitabl. En rsumn, la función s continua n 0,, l q 3

10 g) l ( ) S T [( / ) ( / )] ( ) si 0 0 si 0 Si > 0 ( ) ( ) ( ) [(/ ) (/ )] [(/ ) (/ )] / [(/ ) (/ )] [( / ) (/ )] 0 Si < 0 ( ) ( ) ( ) Entoncs, la función antrior s pud prsar: > l ( ) si < 0 0 si 0 / ( ) si 0 El dominio d sta función s toda la rcta ral. Admás, s pud afirmar qu por composición d funcions continuas, s una función continua n cualquir punto cpto quizá n l orign. A continuación studiamos la continuidad n 0: g.) g.) lim l ( ) lim ( ) lim ( ) / lim l ( ) lim ( ) 0 0 g.3) l (0) 0 Por lo tanto, ist límit pro no coincid con l valor d la función n l punto. Por lo tanto, n l orign hay una discontinuidad vitabl. En rsumn, la función s continua n { 0} i) m ( ) n l punto / tg ( ) tan Si tan 0 lim m( ) lim tg tan Si tan lim m( ) lim lim 0 tg tg Por lo tanto, al sr lim m ( ) lim m ( ) lim m ( ) y por lo tanto, la función NO s continua n s punto, con una discontinuidad invitabl d ª spci. 3

11 9.- Calcular las constants A y B para qu la función f sa continua n : f ( ) sn ( ) si / Asn ( ) B si / < < / cos( ) si / Solución: A -, B El dominio d sta función s toda la rcta ral. Admás, s pud afirmar qu s continua por composición d funcions continuas n cualquir punto cpto quizá n los puntos n lo qu cambia la dfinición d la función, s dcir, n los puntos, ± A continuación studiamos la continuidad n sos dos puntos: a) a.) f ( /) cos 0 a.) lim f( ) lim cos 0 a.3) lim f ( ) lim ( Asin B) A B Por lo tanto, para qu la función sa continua n s l valor d la función db sr igual al límit d la función n l punto. Por lo tanto, db cumplirs qu A B 0 b) b.) f( / ) sin b.) lim f( ) lim sin b.3) lim f ( ) lim ( Asin B) A B Para qu la función sa continua n st punto db cumplir qu: A B Entoncs, A B A A B 0 A B B 33

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