Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -"

Transcripción

1 SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 -

2 SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina El objetivo de este Curso de es reafirmar y profundizar los conocimientos adquiridos durante el nivel de enseñanza del polimodal. Se pretende generar un ámbito de información y de formación en el que el aspirante alcance los conocimientos y habilidades que le permitan el abordaje de las asignaturas del primer nivel de la carrera. Elaboración del Material Ing. Guillermo Cibils Fuente Material de Ingreso elaborado por Lic. Eduardo Fongi, Lic. María I. González Digitalización Máster Rosa R. Maenza Revisión y ampliación Esp Est. Graciela Gervasoni Revisión y ampliación de la actual edición Ing. Diana Elina Martínez

3 INDICE Objetivos Específicos... Polinomios... Definición:... Nombres Especiales... Grado de un Polinomio... Valor numérico de un Polinomio.... Igualdad de Polinomios... Polinomios opuestos... Operaciones con Polinomios... Suma y resta de Polinomios... Producto de Polinomios... 5 Productos notables... 6 Cuadrado de un binomio Cubo de un binomio Producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos... 6 División de Polinomios... 7 Regla de Ruffini... 8 Teorema del Resto... 0 Raíces de un Polinomio... Factorización de Polinomios... Teorema de descomposición factorial de polinomios... INDICE

4 Teorema fundamental del álgebra... Casos de factoreo... Factor común... Factor común por grupos... Forma factorizada de un polinomio de segundo grado... Trinomio cuadrado perfecto... Cuatrinomio cubo perfecto... Diferencia de cuadrados... Teorema de Gauss... 5 Aplicación... 5 Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases... 5 Epresiones algebraicas racionales... 6 Simplificación de epresiones racionales... 7 Operaciones con epresiones racionales... 7 Adición... 7 Sustracción... 8 Multiplicación... 9 División... 9 Ejercicios resueltos... 0 Ejercicios propuestos... 6 Respuestas:... 0 INDICE

5 Objetivos Específicos Identificar tipos de polinomios: monomios, binomios, trinomios y sus elementos. Conocer las relaciones de igualdad definidas para polinomios. Operar con polinomios: sumar, restar, multiplicar, dividir. Factorizar polinomios. Simplificar fracciones racionales. Operar con fracciones racionales. Determinar si un número real dado es, o no, raíz de un polinomio dado Utilizar la relación entre el concepto de raíz de un polinomio y el de divisibilidad de polinomios. Distinguir la diferencia entre la igualdad de fracciones racionales y la igualdad entre los valores numéricos de las mismas. Poder epresar una fracción racional como un polinomio o como suma de un polinomio más otra fracción racional cuyo denominador tenga grado menor que el del denominador. Epresiones Algebraicas Página de

6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Polinomios Definición: En lenguaje coloquial podemos decir que un polinomio en una variable es una epresión con uno o más términos que se suman o restan y donde los eponentes de la variable deben ser enteros positivos o cero. Simbólicamente, un polinomio en una variable es una epresión de la forma: P() a n n a n- n-... a a a 0 0 donde n es un entero positivo o cero, es una variable y a n, a n-,..., a, a, a 0 son números reales constantes (también pueden llegar a ser números complejos) llamados coeficientes. Al número a n 0 se lo llama coeficiente principal. El número a 0 es el término constante o independiente. Se indica R[] para representar al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. Ejemplos: a) coeficientes: 6, - y 7. Término independiente: 7 b) coeficientes:,. Término independiente: c) coeficiente:. Término independiente: 0 d) 5 coeficiente: 5. Término independiente: 5 e) 8 5 coeficiente:, -8, -. Término independiente: 5 Pregunta: Las epresiones dadas a continuación son polinomios de una variable? Justifica. / 5 () / - Nombres Especiales El prefijo poli significa muchos. Polinomio significa entonces muchos términos. Las epresiones polinomiales que contienen uno, dos, tres o cuatro términos se conocen respectivamente como monomio, binomio, trinomio y cuatrinomio. Cabe aclarar que no se les dan nombres especiales a los polinomios de cinco términos en adelante. Así, considerando los ejemplos anteriores, a) es un trinomio, b) un binomio, c) y d) son monomios y e) es un cuatrinomio Epresiones Algebraicas Página de

7 Grado de un Polinomio El grado de un polinomio está dado por el mayor eponente del término de coeficiente no nulo (el valor al que se eleva la variable del coeficiente principal). Se simboliza gr (P()). Simbólicamente: Si a n 0, n es el grado del polinomio. Normalmente los polinomios se escriben ordenados según los grados de sus monomios de mayor a menor. En ocasiones parece que "falta" alguno de los monomios intermedios. Eso es así porque el coeficiente de ese monomio es cero y, por tanto, no se escribe. Nota: si un polinomio tiene todos sus coeficientes iguales a cero, se lo denomina polinomio nulo y carece de grado. En los casos dados anteriormente a) Grado del polinomio: b) Grado del polinomio: c) Grado del polinomio: d) 5 Grado del polinomio: 0. Denominado polinomio constante. Complete: 6 7 es un polinomio de grado... y su coeficiente principal es. -/ 5 es un polinomio de grado y su término independiente es. Valor numérico de un Polinomio Es el valor que toma un polinomio al sustituir la variable por un cierto número. Así, dado el polinomio P() 5, su valor numérico para - es: P(-) (-) 5 7 Vamos a trabajar con el polinomio P() los puntos anteriores. gr (P()) : 5 (grado del polinomio) Coeficiente principal: Término independiente: - Valor numérico de P() para 0: P(0) - Valor numérico de P() para : P() Si en alguno de los polinomios no eistiera un término de un determinado grado, se considera, como ya se ha dicho, que su coeficiente es 0. Epresiones Algebraicas Página de

8 Igualdad de Polinomios Dos polinomios son iguales sí y solo sí tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales. Calcular h sabiendo que P() h y Q() 8 son polinomios iguales. Ambos tienen el mismo grado. Los coeficientes del término independiente coinciden. Los coeficientes del término de grado deben coincidir, por lo tanto: h 8, luego para que P() Q(), h. Polinomios opuestos Son aquellos que tienen los términos del mismo grado con signos contrarios, es decir que la suma de dos polinomios opuestos es igual al polinomio nulo. Se simboliza: P() - R() ó - P() R() P() 5 R() - 5 si sumamos miembro a miembro nos queda: 0 0 Operaciones con Polinomios Suma y resta de Polinomios La suma o resta de dos polinomios da como resultado un nuevo polinomio obtenido de sumar o restar los términos semejantes (de igual grado). Se verifica por lo tanto la ley de cierre de la suma en el conjunto. Al sumar términos semejantes, en realidad sumamos los coeficientes con su signo, por lo cual, la suma de polinomios es, en definitiva, suma de números reales. Esta operación, así definida, verifica las propiedades: - Asociativa: [P() Q()] R() P() [Q() R()] - Conmutativa: P() Q() Q() P() - Eiste elemento neutro: polinomio nulo - Cada polinomio tiene su opuesto Pregunta: Al sumar o restar un polinomio de grado con otro de grado, de qué grado será la suma? y la resta? Epresiones Algebraicas Página de

9 Siendo P() 5 - y Q() 7 5, será: P() Q() 5 7 P() - Q() Pregunta: En general: al sumar o restar dos polinomios de grados distintos, de qué grado será el polinomio resultante? Producto de Polinomios Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es otro polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores y cuyos términos se obtienen de aplicar la propiedad distributiva entre los términos de P() y Q(). Simbólicamente: P() a n n a n- n-... a 0 0 Q() b m m b m- m-... b 0 0 Se define el producto P(). Q() a n. b m mn... ( a. b 0 a 0. b ) a 0 b 0 0 Donde grado (P(). Q()) grado P() grado Q() Siendo P() - y Q() -, vamos a calcular P(). Q(). P(). Q() ( - ) - ( - ). (- ) (- ) -.. (-) (-) Otra forma de hacerlo sería utilizando la disposición vertical: Epresiones Algebraicas Página 5 de

10 Igual que para la suma, el producto de polinomios verifica las propiedades: - Asociativa: [P(). Q()]. R() P(). [Q(). R()] - Conmutativa: P(). Q() Q(). P() - Eiste elemento neutro: P() - No eiste polinomio inverso: Es decir, dado un polinomio cualquiera no eiste otro que multiplicado por aquél dé. Por último, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma: P() [Q() R()] P().Q() P().R() Productos notables Cuadrado de un binomio. ( a b ) (a b) (a b) a. a a. b b. a b. b a a b b ( a b ) a a b b ( a - b ) (a - b) (a - b) a. a - a. b - b. a b. b a - a b b ( a - b ) a - a b b ( ) (). (). Cubo de un binomio. ( a b ) (a b) (a b) (a b) (a a.b b ) a.a.b a.b b.a a b b ( a b ) a a b a b b ( ) 6 8 Producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos (a b) (a - b) a.a - a.b b.a - b.b a - b (a b) (a - b) a - b ( ) ( - ) () Recuerda que las igualdades que acabamos de demostrar tienen una aplicación inmediata en el trabajo con números complejos en su forma binómica. Epresiones Algebraicas Página 6 de

11 División de Polinomios Dado un polinomio P() (polinomio dividendo) y otro D() 0 (polinomio divisor), siempre eisten y son únicos otros dos polinomios C() (polinomio cociente) y R() (polinomio resto) tal que: P() D(). C() R() donde: grado R() < grado D() ó R() 0 Es decir que si dividimos como con reales la notación simbólica representa esta división: P() D() R() C() Para dividir polinomios debemos completar el dividendo y ordenar dividendo y divisor según las potencias decrecientes de la variable. Para completar un polinomio se deben agregar los términos que faltan con coeficientes cero. Dado el polinomio P() 8 Completo nos quedaría P() Una vez que completamos el polinomio y ordenamos las potencias decrecientes de la variable podemos comenzar con la división. Para facilitar la operación, es conveniente proceder de la siguiente manera: Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente: Se multiplica este término del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo: Se reitera el procedimiento indicado en a) y b) tantas veces como sea necesario hasta que el resto se transforme en el polinomio nulo, o bien, su grado sea menor que del divisor. Epresiones Algebraicas Página 7 de

12 Luego: C() 8 7 y R() Observaciones: El grado del cociente, es la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. Es decir gr (C()) gr (P()) gr(d()) Si al dividir el polinomio P() por otro Q(), el resto es el polinomio nulo (R() 0), se dice que el cociente es eacto y que P() es divisible por Q() o bien que Q() es divisor de P(). Regla de Ruffini Cuando el divisor es un polinomio de la forma - α, siendo α un número real, se simplifica el proceso utilizando la regla de Ruffini. Se muestra el proceso con el ejemplo anterior P() 8 y Q() Primero escribimos en una fila los coeficientes del dividendo completo y ordenado, según las potencias decrecientes de la variable: Luego se traza una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor En la tercer fila se obtienen los coeficientes del cociente, el primero de los cuáles es el primero del dividendo: Epresiones Algebraicas Página 8 de

13 Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el resultado anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo (que actúa como pivote ) y se lo coloca en la segunda fila en la columna correspondiente. Luego se suma este producto al correspondiente coeficiente de la primera fila (ubicado en la misma columna). El último número así obtenido es el resto RESTO Como se puede observar, como en estos casos el divisor es de grado uno, el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo. El grado del resto, es cero, por tratarse de una constante. Así nos queda C() 8 7 y Resto Efectuar la división del polinomio - - por el binomio Cociente: - - Resto: 0 Es decir - - ( - ) ( - - ) 0 Efectuar la división del polinomio - por el binomio Epresiones Algebraicas Página 9 de

14 - Cociente: - Resto: Es decir - ( ) ( - ) 0-7 Efectuar el cociente anterior utilizando el algoritmo de división Cociente: - Resto: 7 Teorema del Resto Hipótesis: Sea el polinomio P() y otro polinomio Q() de la forma Q() ( α) Tesis: El resto de la división entre P() y Q() es igual al valor numérico del polinomio P() valorizado en - α es decir P(-α), siendo α un número real. Demostración: Sabemos que si C() es el cociente de la división de P() por Q(), entonces: P() C(). Q() R(), pero Q() ( α) reemplazando: P() C(). ( α) R(), Pero para - α, se tiene: P(-α) C(-α). (-α α) R(-α) es decir : 0 P(-α) R(-α) P() Q() P() () 0 resto de la división es 0 Epresiones Algebraicas Página 0 de

15 Raíces de un Polinomio Un número α R es una raíz o un cero del polinomio P() a n n a n- n-... a 0 0 si el valor numérico para α es igual a 0. Es decir, α es raíz de P() si P(α ) a n α n a n- α n-... a 0 α 0 0 El teorema del resto es una herramienta para reconocer una raíz de un polinomio. Sea P() Si α resulta que P() 0 es una raíz del polinomio Considera α -. Es este número otra raíz del polinomio? Considera el polinomio G() ( ) ( ) ( ) Calcula G(), G(-) y G(). Qué deduces? Cuál es el grado de G()? Teorema de caracterización de las raíces de un polinomio: Un número α real es raíz de P() sí y solo sí el resto de la división de P() por - α es cero. Es decir α real es raíz de P() R 0 Demostración: Sabemos que si C() es el cociente de la división de P() por Q(), entonces: P() C(). Q() R(), pero Q() ( - α) reemplazando: P() C(). ( - α) R(), Pero para α, se tiene: P(α) C(α). (α - α) R(α) 0 0 R(α) R 0 Otra forma de enunciar el teorema anterior es: un número α real es raíz de P() sí y sólo sí P() es divisible por - α. Es decir: α real es raíz de P() C() / P() C(). ( - α) Nota: el gr (C) gr (P) En el caso anterior P() es divisible por pero no es divisible por Sea P() 9 Este polinomio es: divisible por ( - ) pues: P() divisible por ( ) pues: P(-) Epresiones Algebraicas Página de

16 Factorización de Polinomios Recordamos la descomposición factorial de un número entero como el producto de potencias de números primos, es decir dado a Z, a, a -, eisten y son únicos los números primos p, p,..., p r y los naturales n, n,..., n r tales que: a p n n n r. p... p r Esta descomposición factorial de un número entero tiene su análoga para el uso con los polinomios. En este curso veremos solamente los casos más simples pudiéndose presentar algunos casos en que ciertos factores no serán polinomios primos pero cuya descomposición está por afuera de nuestro alcance. Debido a esto diremos que un polinomio de grado positivo ha sido factoreado o factorizado si ha sido descompuesto en producto de polinomios de grado positivo, primos o no. Y diremos que ha sido factoreado total o factorizado total si es primo o si ha sido descompuesto en producto de polinomios primos. Un polinomio es primo cuando no puede epresarse como un producto de polinomios de menor grado. Teorema de descomposición factorial de polinomios Todo polinomio de grado n, positivo, admite una única descomposición en factores de la forma ( - α i ), donde α i es una raíz o cero del polinomio, resultando: P() a n ( - α ). ( - α ) ( - α n ), donde a n es el coeficiente principal de P() y α,α,...,α n son n raíces, no necesariamente distintas. Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz, a ésta se la llama raíz múltiple, y a la cantidad de veces con que aparece se la llama grado de multiplicidad. En general: P() a n ( - α ) h. ( - α ) h ( - α r ) h r, donde a n es el coeficiente principal de P(), α,α,...,α r son r raíces distintas de P(), h, h,...,h r indican las respectivas multiplicidades de α, α,...,α r y h h... h r n P() ( ) ( 9) es una factorización de un polinomio, pero no es una factorización total pues 9 no es un polinomio primo. P() ( ) ( ) ( ) es una factorización total del polinomio anterior, pues ( ), ( ) y ( ) son polinomios primos (recordar que todos los polinomios de primer grado son primos). Epresiones Algebraicas Página de

17 Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n positivo tiene eactamente n raíces, considerando las reales y las complejas. Una consecuencia de este teorema es que un polinomio de grado n tiene como máimo n raíces reales. En los polinomios a coeficientes reales, las raíces complejas vienen siempre de a pares de allí que un polinomio a coeficientes reales de grado impar siempre tiene por lo menos una raíz real. Casos de factoreo Para factorizar polinomios se aplican diversos recursos algebraicos, agrupados en casos de factoreo que se detallan a continuación: Factor común Es una aplicación directa de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma o la resta. En realidad es la propiedad distributiva, sólo que presentada al revés de lo que habitualmente se hace; es decir: a. c b. c c (a b) (se etrae el factor común) en lugar de c (a b) a. c b. c P() 6 5 ( 5) Q() ( 6 5 ) Factor común por grupos Consiste en agrupar los términos del polinomio P() dado, de modo que en cada grupo g (), g (),..., g k () se pueda aplicar el primer caso de factoreo, con un mismo factor común para cada grupo, es decir, de modo que: g () q (). h(), g () q (). h(),..., g k () q k (). h() Luego de ello, volviendo a aplicar el primer caso se tendrá: P() g () g ()... g k () q (). h() q (). h()... q k (). h() h() [q () q ()... q k ()] P() 6a a ( ) a ( ) aplicando factor común: P() ( a) ( ) a Epresiones Algebraicas Página de

18 Forma factorizada de un polinomio de segundo grado Un polinomio de segundo grado de la forma P() a b c a ( ) ( ) siendo y las raíces de P() (halladas por la resolvente) P() ( ¼) ( ½) ( ½) ( ½) Trinomio cuadrado perfecto Se aplica cuando se tiene un trinomio de grado par, con dos términos que son cuadrados perfectos y un término que es el doble del producto de las bases de los cuadrados perfectos. Su factorización como cuadrado de un binomio es una consecuencia de la igualdad: ( a) a a con a R P(). ( ) (epresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto). cuadrado de un binomio Cuatrinomio cubo perfecto Análogamente al caso anterior, esta factorización es una consecuencia de la igualdad: ( a) a a a, a R 6 8 ( ) del cuatrinomio cubo perfecto). cubo de un binomio (epresión factorizada Diferencia de cuadrados Se factorea como producto de la suma por la diferencia de dos monomios, como consecuencia de la igualdad: ( a ) ( a). ( a), a R ( ). ( ) Epresiones Algebraicas Página de

19 Teorema de Gauss Cuando una fracción irreducible a p/q es raíz de un polinomio P() con coeficientes enteros, p es divisor del término independiente (a 0 ) y q es divisor del coeficiente principal (a n ). Si a es raíz de P(), el resto de la división de P() por ( a) es cero. En consecuencia el polinomio dividendo queda epresado como producto del divisor por el cociente C() es decir: P() ( a ) C () P() 8 6 Divisores de a0 : {-,, -,, -,, - 6, 6} Divisores de an : {-, } Posibles raíces racionales : {-,, -,, -,, - 6, 6} P (- ) (-) (-) (-) 8 (-) P ( ) () () 8 () es decir es raíz de P() Por lo tanto P() ( ) C() () Para encontrar C() aplicamos Ruffini: Cociente: Reemplazando en () resulta : P() ( ) ( - 6) Aplicación Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases Para a R, n N, se verifican: P () n ± a n Divisores n impar n a n ( a) n - a n ( a) n par n - a n ( a) ( a) n a n No tiene divisores de la forma ( ± a) Epresiones Algebraicas Página 5 de

20 La aplicación de estos resultados nos permite factorear binomios que son suma o diferencia de potencias de igual grado. Ejemplos: ) P() 6, es divisible por y por - entonces 6 se puede factorizar como: 6 C(). ( ), donde C() es el cociente de la división de 6 por. Calculemos entonces C(), aplicando la Regla de Ruffini: resto C() 8, es decir : P() 6 ( 8). ( ) ) P () 8, no tiene raíces reales ) P () 7, es divisible por ( ) aplicando Ruffini se obtiene: P() ( ). ( 9) Epresiones algebraicas racionales Así como llamamos números racionales a los números de la forma b a con a y b enteros (b 0), llamaremos epresiones racionales a las epresiones de la forma: P( ) Q( ) donde P() y Q() son polinomios de una sola variable, siendo Q() no nulo y de grado distinto de cero. es una epresión racional, porque el numerador P() es un polinomio y el denominador Q() también es un polinomio y además 0 Epresiones Algebraicas Página 6 de

21 Simplificación de epresiones racionales Podemos simplificar una epresión racional cuando después de haber factoreado numerador y denominador, figura en ambos un mismo factor (no nulo). Sea 6 8 con 0 y 6 ( Por qué?) Si factoreamos numerador y denominador, se tiene: 6 8 ( 6)( 6) ( 6) Luego, la epresión simplificada es: 6 Operaciones con epresiones racionales Las definiciones de suma y producto en este nuevo conjunto son similares a las dadas en. Adición. Sustracción. Multiplicación. División Recordemos que se procede de la misma manera que se hizo con los números reales. A los fines de simplificar la notación consideremos P() como P. Adición Es conveniente ahora tener presente que: Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios, se los factorea, y se considera luego, el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor eponente. Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de P() 9 ; Q() 6 9 y S() Epresiones Algebraicas Página 7 de

22 luego: 9 ( ). ( ) 6 9 ( ) Así el m.c.m. pedido es: ( ). ( ) Digamos que si llamamos M al mínimo común múltiplo de Q y S, podemos definir: P Q R S M Q. P M M S. R ; con 0 y - Como M es.( ), resulta: ( ) ( )..( ) ( ) ( ) 7 ( ) se factorizan los denominadores se halla m.c.m y las fracciones equivalentes se suman numeradores Sustracción Definimos opuesta de la epresión racional S R a -S R Entonces, Para restar dos epresiones racionales, a la primera se le suma la opuesta de la segunda. Se simboliza: P Q R S P Q R S Epresiones Algebraicas Página 8 de

23 Epresiones Algebraicas Página 9 de Multiplicación Definición: con y - Factoreamos todos los numeradores, los denominadores y luego, simplificamos:. ) )( ( ).(. ) ( ) )( )( ( División Definimos la recíproca de S R como R S (con R 0) Luego, ) ( ) )( ( ) ( : QS PR S R Q P... R S Q P S R Q P. : con Q y R 0

24 Ejercicios resueltos - Dados los siguientes polinomios: T U V halla W ( U T ) T V U U ( ) 6 9 T ( U T ) V ( 8 ) ( ) ( U T ) V T resto. Por ser la operación final una división, el resultado deberá poseer un cociente y un 0 9 C( ) 9 6 R( ) Epresiones Algebraicas Página 0 de

25 Epresiones Algebraicas Página de - Encontrar el valor numérico de la siguiente epresión algebraica para los valores dados: con: - Dividir P() por Q() utilizando la Regla de Ruffini, donde: - Desarrollar las siguientes epresiones: i) ii) y y y y 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y ) ( 5 P ) ( Q α ) ( C 5 ) ( R uw w v u 6 9 w u w v u w v u uw w v u ( ) y y

26 ( ) y y 8 y. y. y. y.9 y 7 y y 6 y 5 y 7 y Factorizar los siguientes polinomios: i) y y ( ) ( ) ( ) y y y y y y y ii) ( a b) ( a b) 5a ( a b) ( a b) ( a b) 5a ( a b) ( a b) ( a b) 5a ( a b) ( 6a b) iii) 9 6 a b u v ab u v ( ) ( ) ( ) ( ) 6 a b 9u v ab u v ab ab u v u v ( aba b u vu v) iv) ( ) ( ) Recordar que: admite por divisor a Q() Realizando el pertinente cociente por Ruffini, obtenemos que: 6- Operar y simplifica i) ay na a a. y na ( a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ay na a a a y na a a a. a y na a y na a Epresiones Algebraicas Página de

27 ii) a 6 a a ay y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a 6 a a a a y a ay y y a y a a ( a ) ( a ) ( a ) ( y ) ( y ) ( a ) iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 7- Hallar m y n tal que se verifique las siguientes igualdades: i) ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( 5) m n m m n n ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( 5) m n m m n n n n 5 n 6 m n 9 6 m 6 m m 9 ii) m n 9 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n ( ) ( ) ( ) m n m n 9 6 ( m n) n ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n n Epresiones Algebraicas Página de

28 8- Calcular directamente el resto en el siguiente cociente: ( 5 6 ) ( ) α ( α ) ( ) ( ) R P P( ) Determinar a tal que los siguientes cocientes sean eactos: 6a 6a i) ( 6a 5) ( ) a ( a) ( a) 5 5 a 6 a R 0 6 a 0 a a ii) ( 5 a ) ( ) a α a 5 5 a 5 6a 8 6a R 0 8 6a 0 a iii) ( a ) ( ) R P( α) P().. a 0 a 0- Determinar b tal que el resto del siguiente cociente sea igual a : ( b b) ( ) Epresiones Algebraicas Página de

29 ( ) ( ) ( ) R P( α) P( ). b b b - Dado P(), obtener k, sabiendo que α - es raíz de P(): P( ) k 6 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 P( α ) P( ) 0 P( ) k 6 0 k k En una división de P() por Q() se obtiene el siguiente cociente C() y resto R(): C( ) 9 R( ) 8 si: Q( ) halla P() P( ) Q( ) C( ) R( ) Q( ) C( ) 5 8 P Q C R ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Epresiones Algebraicas Página 5 de

30 Ejercicios propuestos - Dados los siguientes polinomios. A -6 9 B C 5 Halla A C B B - Encontrar el valor numérico de las siguientes epresiones algebraicas para los valores dados: a b 6 9 i) ( 9a b ) b con a ( ) - b ii) 5p q p q pq ( ) con p 8 q 8 Dividir P () por Q() utilizando la Regla de Ruffini, donde: i) P() 5 Q() ii) P() Q() iii) P() Q() - ( ) - - Desarrollar las siguientes epresiones: i) (- y ) ii) p q 5 - Factorizar los siguientes polinomios. i) a a ii) Epresiones Algebraicas Página 6 de

31 iii) (p ) (p ) iv) 6 a b 8 v) 5 a 5 ab 5 a b 5 a 5 a b 5 ab 6 - Opera, simplifica e indica los valores para los cuales la epresión carece de sentido : i) 6t 6t t t t t t ii) ( a ) ( a 8) ( a ) ( 9 a 6 ) ( a ) iii) 5 5 iv) y y y y y y v) 9 y : 6y vi) y y y vii) 7 - Hallar p y q tal que se verifiquen las siguientes igualdades: i) 5 q 5 p - q q ii) q p - q q 5 p p q iii) iv) q 5p ( 5) 5 5 Epresiones Algebraicas Página 7 de

32 8 - Calcular directamente el resto en el siguiente cociente: i) ii) y y y y 5y y y 9 - Determinar a tal que los siguientes cocientes sean eactos: i) Utilizar el algoritmo de la división: ( a ) : (- ) ii) Utilizar la regla de Ruffini: (5 a ) : ( ) iii) Utilizar el teorema del resto: ( a - ) : ( ) 0 - Determinar b tal que el resto de los siguientes cocientes sea igual a: i) (5 b b) : ( ) resto - ii) ( b ) : ( ) resto iii) ( b ) : ( ) resto - - Dado P(), obtener k, sabiendo que a es raíz de P(): i) P() - k a ii) P() k -k a - En las siguientes divisiones P() por Q() se obtienen los respectivos cocientes C() y restos R(). Si se conoce Q(), hallar P(): i) C() - R() 0 Q() - ii) C() 5 R() 9 Q() Epresiones Algebraicas Página 8 de

33 .- Para qué valor/es de se verifican las siguientes igualdades? a) b) ( 5) ( ) b) c) Indique el o los valores de para los cuales carecen de sentido las igualdades a) y.- a) Para qué valores de A, B y C se verifica la igualdad: A B C b) Para qué valores de R carece de sentido la igualdad del punto a)? Epresiones Algebraicas Página 9 de

34 Respuestas i) 7 ii) 8 - i) C() 9 R() 0 ii) C() 5 R() 5 iii) C() - - / / R() - /9 i) 9 y y ii) - 6 p 6 p q p q q i) ( ) (a ) ii) ( ) ( ) ( ) iii) (p ) (p 5) (p ) iv) 8( a b ) ( a b a b ) v) /5 a ( a ) (a b) 6 - i) -t ii) a 8 iii) iv) y v) / vi) y vii) 7 - i) p - q - 7 ii) p q 0 iii) p q - iv) p - /50 q 7/0 8 - i) 7 ii) i) a -/ ii) a / iii) a 5/ 0 - i) b -7 ii) b ± - i) k -7/ ii) k - 5 iii) b /9 Epresiones Algebraicas Página 0 de

35 - i) P() - ii) P().- a) 5/ b) - 7/ c) a) 5-5 b) -.- a) A B 0 C b) 0 Epresiones Algebraicas Página de

36 Trabajo Práctico - Resuelve estos productos especiales. a) (a b)(a ab b ) b) (a b)(a ab b ) - Para qué valores de k y h los polinomios son iguales? P() ( k ).( h) Q() Halla las raíces reales de: a) P() 5 5- b) P() c) P() 5 6- Para qué valores de h el polinomio P() es divisible por? P() h 7- Factorizar a) y h) m m b) 8y z i) 8 c) a n 8a n j) a 6 b 6 d) 8 k) a ay b by e) a b 6b 5 l) z 8 z 8 z f) 8 6 m) y 6 g) y 6 y y 5 n) - 8- Reduce a la mínima epresión. a) b) a a b a b a b b a c) d) - Reducir a la epresión más simple a) a ( a b) ab( a b) a ( a b ) b) a ab b ( a b ) Epresiones Algebraicas Página de

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes

Más detalles

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42 PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA

Más detalles

Operatoria algebraica

Operatoria algebraica Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales.

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales. 1. 1.1 Epresiones algebraicas 1.1 Epresión algebraica. En matemáticas una epresión algebraica es un conjunto de letras y números, ligados por los signos de adición, sustracción, multiplicación, división,

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización CURSO DE NIVELACIÓN Apunte teórico - práctico Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización 1 FACTORIZACIÓN Una expresión polinómica es (justamente) una expresión formada por sumas y restas de términos,

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender

Más detalles

2. Si P(x)= x 3 -x 2-3x+1, Q(x)= 2x 2-2x+1 y R(x)= 2x 3-6x 2 +6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q.

2. Si P(x)= x 3 -x 2-3x+1, Q(x)= 2x 2-2x+1 y R(x)= 2x 3-6x 2 +6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q. ejerciciosyeamenes.com POLINOMIOS 1. Si P()= - +1 y Q()= -+, opera: a) P-Q b) P+Q c) P+Q P.Q Sol: a) P-Q= -6 +-1 b) P+Q= 1 - -6+7 c) P+Q= -+ P.Q= 1 5-1 +17 - -+. Si P()= - -+1, Q()= -+1 y R()= -6 +6-1,

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema

Más detalles

Multiplicación. Adición. Sustracción

Multiplicación. Adición. Sustracción bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

Números Reales. MathCon c 2007-2009

Números Reales. MathCon c 2007-2009 Números Reales z x y MathCon c 2007-2009 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Propiedades básicas de los números naturales....................... 2 1.2. Propiedades básicas de los números enteros........................

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes.

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes. Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta un informe Teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1

UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1 Unidad 1: Epresiones Algebraicas UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1 UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página Matemática Unidad

Más detalles

Raíces cuadradas y radicales

Raíces cuadradas y radicales Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama

Más detalles

5 Expresiones algebraicas

5 Expresiones algebraicas 8948 _ 04-008.qxd /9/07 :0 Página 9 Expresiones algebraicas INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o

Más detalles

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial

Más detalles

Polinomios. Antes de empezar

Polinomios. Antes de empezar Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,

Más detalles

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales: ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,

Más detalles

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles

Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado ÍNDICE COMPETENCIA Operaciones Fundamentales del Álgebra 5 COMPETENCIA Operaciones con Fracciones Algebraicas.. 7 COMPETENCIA E ponentes y Radicales 99 COMPETENCIA Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Polinomios Definición: P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Matemática para el ingreso

Matemática para el ingreso Universidad Nacional del Litoral Secretaría Académica Dirección de Articulación, Ingreso y Permanencia Año 0 Matemática para el ingreso ISBN en trámite Unidad. Polinomios y epresiones algebraicas Elena

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS 1. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN Q.

FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS 1. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN Q. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS CON APLICACIONES EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL JORGE ALFONSO HERNÁNDEZ Profesor Titular de Matemática Facultad de Ciencias Económicas Universidad de El

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 C u r s o : Matemática Material N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una epresión algebraica consiste en sustituir

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Dados = -+4i, z = 5-i, z = y z 4 =7i, calcular: a) ( - z ) z b) z 4 + z z 4 c) + z 4-5z d) + z -1 f) z g) ( + 1 ) 1 z z h) z 1 z i) z j) e) z -1 z + z 4 a)

Más detalles

14 Expresiones algebraicas. Polinomios

14 Expresiones algebraicas. Polinomios PARADA TeÓRICA 14 Expresiones algebraicas. Polinomios Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números, letras, ligados entre sí con la adición, sustracción,

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

Capitulo 4. Polinomios

Capitulo 4. Polinomios Capitulo 4. Polinomios Objetivo. El alumno usará y analizará los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para obtener raíces. Contenido. 4.1 Definición de polinomio. Grado de un polinomio.

Más detalles

9.1 Primeras definiciones

9.1 Primeras definiciones Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Curso Propedéutico de Matemáticas Unidad IV Secciones 6 y 8) 0.6 Operaciones con epresiones algebraicas. 0.8 fracciones

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : DIVISIBILIDAD

EJERCICIOS SOBRE : DIVISIBILIDAD 1.- Múltiplo de un número. Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. De otra forma sería: un número es múltiplo de otro cuando la división del primero entre el segundo

Más detalles

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de las bases matemáticas para mejorar el aprendizaje de los

Más detalles

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta 5 Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 6 2 b) V() = 3 P I E N S A Y C A L C U L A 1 Dado el prisma

Más detalles