Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de

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1 SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 -

2 SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina ingreso@frro.utn.edu.ar El objetivo de este Curso de es reafirmar y profundizar los conocimientos adquiridos durante el nivel de enseñanza del polimodal. Se pretende generar un ámbito de información y de formación en el que el aspirante alcance los conocimientos y habilidades que le permitan el abordaje de las asignaturas del primer nivel de la carrera. Elaboración del Material Ing. Guillermo Cibils Fuente Material de Ingreso elaborado por Lic. Eduardo Fongi, Lic. María I. González Digitalización Máster Rosa R. Maenza Revisión y ampliación Esp Est. Graciela Gervasoni Revisión y ampliación de la actual edición Ing. Diana Elina Martínez

3 INDICE Objetivos Específicos... Polinomios... Definición:... Nombres Especiales... Grado de un Polinomio... Valor numérico de un Polinomio.... Igualdad de Polinomios... Polinomios opuestos... Operaciones con Polinomios... Suma y resta de Polinomios... Producto de Polinomios... 5 Productos notables... 6 Cuadrado de un binomio Cubo de un binomio Producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos... 6 División de Polinomios... 7 Regla de Ruffini... 8 Teorema del Resto... 0 Raíces de un Polinomio... Factorización de Polinomios... Teorema de descomposición factorial de polinomios... INDICE

4 Teorema fundamental del álgebra... Casos de factoreo... Factor común... Factor común por grupos... Forma factorizada de un polinomio de segundo grado... Trinomio cuadrado perfecto... Cuatrinomio cubo perfecto... Diferencia de cuadrados... Teorema de Gauss... 5 Aplicación... 5 Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases... 5 Epresiones algebraicas racionales... 6 Simplificación de epresiones racionales... 7 Operaciones con epresiones racionales... 7 Adición... 7 Sustracción... 8 Multiplicación... 9 División... 9 Ejercicios resueltos... 0 Ejercicios propuestos... 6 Respuestas:... 0 INDICE

5 Objetivos Específicos Identificar tipos de polinomios: monomios, binomios, trinomios y sus elementos. Conocer las relaciones de igualdad definidas para polinomios. Operar con polinomios: sumar, restar, multiplicar, dividir. Factorizar polinomios. Simplificar fracciones racionales. Operar con fracciones racionales. Determinar si un número real dado es, o no, raíz de un polinomio dado Utilizar la relación entre el concepto de raíz de un polinomio y el de divisibilidad de polinomios. Distinguir la diferencia entre la igualdad de fracciones racionales y la igualdad entre los valores numéricos de las mismas. Poder epresar una fracción racional como un polinomio o como suma de un polinomio más otra fracción racional cuyo denominador tenga grado menor que el del denominador. Epresiones Algebraicas Página de

6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Polinomios Definición: En lenguaje coloquial podemos decir que un polinomio en una variable es una epresión con uno o más términos que se suman o restan y donde los eponentes de la variable deben ser enteros positivos o cero. Simbólicamente, un polinomio en una variable es una epresión de la forma: P() a n n a n- n-... a a a 0 0 donde n es un entero positivo o cero, es una variable y a n, a n-,..., a, a, a 0 son números reales constantes (también pueden llegar a ser números complejos) llamados coeficientes. Al número a n 0 se lo llama coeficiente principal. El número a 0 es el término constante o independiente. Se indica R[] para representar al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. Ejemplos: a) coeficientes: 6, - y 7. Término independiente: 7 b) coeficientes:,. Término independiente: c) coeficiente:. Término independiente: 0 d) 5 coeficiente: 5. Término independiente: 5 e) 8 5 coeficiente:, -8, -. Término independiente: 5 Pregunta: Las epresiones dadas a continuación son polinomios de una variable? Justifica. / 5 () / - Nombres Especiales El prefijo poli significa muchos. Polinomio significa entonces muchos términos. Las epresiones polinomiales que contienen uno, dos, tres o cuatro términos se conocen respectivamente como monomio, binomio, trinomio y cuatrinomio. Cabe aclarar que no se les dan nombres especiales a los polinomios de cinco términos en adelante. Así, considerando los ejemplos anteriores, a) es un trinomio, b) un binomio, c) y d) son monomios y e) es un cuatrinomio Epresiones Algebraicas Página de

7 Grado de un Polinomio El grado de un polinomio está dado por el mayor eponente del término de coeficiente no nulo (el valor al que se eleva la variable del coeficiente principal). Se simboliza gr (P()). Simbólicamente: Si a n 0, n es el grado del polinomio. Normalmente los polinomios se escriben ordenados según los grados de sus monomios de mayor a menor. En ocasiones parece que "falta" alguno de los monomios intermedios. Eso es así porque el coeficiente de ese monomio es cero y, por tanto, no se escribe. Nota: si un polinomio tiene todos sus coeficientes iguales a cero, se lo denomina polinomio nulo y carece de grado. En los casos dados anteriormente a) Grado del polinomio: b) Grado del polinomio: c) Grado del polinomio: d) 5 Grado del polinomio: 0. Denominado polinomio constante. Complete: 6 7 es un polinomio de grado... y su coeficiente principal es. -/ 5 es un polinomio de grado y su término independiente es. Valor numérico de un Polinomio Es el valor que toma un polinomio al sustituir la variable por un cierto número. Así, dado el polinomio P() 5, su valor numérico para - es: P(-) (-) 5 7 Vamos a trabajar con el polinomio P() los puntos anteriores. gr (P()) : 5 (grado del polinomio) Coeficiente principal: Término independiente: - Valor numérico de P() para 0: P(0) - Valor numérico de P() para : P() Si en alguno de los polinomios no eistiera un término de un determinado grado, se considera, como ya se ha dicho, que su coeficiente es 0. Epresiones Algebraicas Página de

8 Igualdad de Polinomios Dos polinomios son iguales sí y solo sí tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos de igual grado son iguales. Calcular h sabiendo que P() h y Q() 8 son polinomios iguales. Ambos tienen el mismo grado. Los coeficientes del término independiente coinciden. Los coeficientes del término de grado deben coincidir, por lo tanto: h 8, luego para que P() Q(), h. Polinomios opuestos Son aquellos que tienen los términos del mismo grado con signos contrarios, es decir que la suma de dos polinomios opuestos es igual al polinomio nulo. Se simboliza: P() - R() ó - P() R() P() 5 R() - 5 si sumamos miembro a miembro nos queda: 0 0 Operaciones con Polinomios Suma y resta de Polinomios La suma o resta de dos polinomios da como resultado un nuevo polinomio obtenido de sumar o restar los términos semejantes (de igual grado). Se verifica por lo tanto la ley de cierre de la suma en el conjunto. Al sumar términos semejantes, en realidad sumamos los coeficientes con su signo, por lo cual, la suma de polinomios es, en definitiva, suma de números reales. Esta operación, así definida, verifica las propiedades: - Asociativa: [P() Q()] R() P() [Q() R()] - Conmutativa: P() Q() Q() P() - Eiste elemento neutro: polinomio nulo - Cada polinomio tiene su opuesto Pregunta: Al sumar o restar un polinomio de grado con otro de grado, de qué grado será la suma? y la resta? Epresiones Algebraicas Página de

9 Siendo P() 5 - y Q() 7 5, será: P() Q() 5 7 P() - Q() Pregunta: En general: al sumar o restar dos polinomios de grados distintos, de qué grado será el polinomio resultante? Producto de Polinomios Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es otro polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores y cuyos términos se obtienen de aplicar la propiedad distributiva entre los términos de P() y Q(). Simbólicamente: P() a n n a n- n-... a 0 0 Q() b m m b m- m-... b 0 0 Se define el producto P(). Q() a n. b m mn... ( a. b 0 a 0. b ) a 0 b 0 0 Donde grado (P(). Q()) grado P() grado Q() Siendo P() - y Q() -, vamos a calcular P(). Q(). P(). Q() ( - ) - ( - ). (- ) (- ) -.. (-) (-) Otra forma de hacerlo sería utilizando la disposición vertical: Epresiones Algebraicas Página 5 de

10 Igual que para la suma, el producto de polinomios verifica las propiedades: - Asociativa: [P(). Q()]. R() P(). [Q(). R()] - Conmutativa: P(). Q() Q(). P() - Eiste elemento neutro: P() - No eiste polinomio inverso: Es decir, dado un polinomio cualquiera no eiste otro que multiplicado por aquél dé. Por último, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma: P() [Q() R()] P().Q() P().R() Productos notables Cuadrado de un binomio. ( a b ) (a b) (a b) a. a a. b b. a b. b a a b b ( a b ) a a b b ( a - b ) (a - b) (a - b) a. a - a. b - b. a b. b a - a b b ( a - b ) a - a b b ( ) (). (). Cubo de un binomio. ( a b ) (a b) (a b) (a b) (a a.b b ) a.a.b a.b b.a a b b ( a b ) a a b a b b ( ) 6 8 Producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos (a b) (a - b) a.a - a.b b.a - b.b a - b (a b) (a - b) a - b ( ) ( - ) () Recuerda que las igualdades que acabamos de demostrar tienen una aplicación inmediata en el trabajo con números complejos en su forma binómica. Epresiones Algebraicas Página 6 de

11 División de Polinomios Dado un polinomio P() (polinomio dividendo) y otro D() 0 (polinomio divisor), siempre eisten y son únicos otros dos polinomios C() (polinomio cociente) y R() (polinomio resto) tal que: P() D(). C() R() donde: grado R() < grado D() ó R() 0 Es decir que si dividimos como con reales la notación simbólica representa esta división: P() D() R() C() Para dividir polinomios debemos completar el dividendo y ordenar dividendo y divisor según las potencias decrecientes de la variable. Para completar un polinomio se deben agregar los términos que faltan con coeficientes cero. Dado el polinomio P() 8 Completo nos quedaría P() Una vez que completamos el polinomio y ordenamos las potencias decrecientes de la variable podemos comenzar con la división. Para facilitar la operación, es conveniente proceder de la siguiente manera: Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente: Se multiplica este término del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo: Se reitera el procedimiento indicado en a) y b) tantas veces como sea necesario hasta que el resto se transforme en el polinomio nulo, o bien, su grado sea menor que del divisor. Epresiones Algebraicas Página 7 de

12 Luego: C() 8 7 y R() Observaciones: El grado del cociente, es la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. Es decir gr (C()) gr (P()) gr(d()) Si al dividir el polinomio P() por otro Q(), el resto es el polinomio nulo (R() 0), se dice que el cociente es eacto y que P() es divisible por Q() o bien que Q() es divisor de P(). Regla de Ruffini Cuando el divisor es un polinomio de la forma - α, siendo α un número real, se simplifica el proceso utilizando la regla de Ruffini. Se muestra el proceso con el ejemplo anterior P() 8 y Q() Primero escribimos en una fila los coeficientes del dividendo completo y ordenado, según las potencias decrecientes de la variable: Luego se traza una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor En la tercer fila se obtienen los coeficientes del cociente, el primero de los cuáles es el primero del dividendo: Epresiones Algebraicas Página 8 de

13 Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el resultado anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo (que actúa como pivote ) y se lo coloca en la segunda fila en la columna correspondiente. Luego se suma este producto al correspondiente coeficiente de la primera fila (ubicado en la misma columna). El último número así obtenido es el resto RESTO Como se puede observar, como en estos casos el divisor es de grado uno, el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo. El grado del resto, es cero, por tratarse de una constante. Así nos queda C() 8 7 y Resto Efectuar la división del polinomio - - por el binomio Cociente: - - Resto: 0 Es decir - - ( - ) ( - - ) 0 Efectuar la división del polinomio - por el binomio Epresiones Algebraicas Página 9 de

14 - Cociente: - Resto: Es decir - ( ) ( - ) 0-7 Efectuar el cociente anterior utilizando el algoritmo de división Cociente: - Resto: 7 Teorema del Resto Hipótesis: Sea el polinomio P() y otro polinomio Q() de la forma Q() ( α) Tesis: El resto de la división entre P() y Q() es igual al valor numérico del polinomio P() valorizado en - α es decir P(-α), siendo α un número real. Demostración: Sabemos que si C() es el cociente de la división de P() por Q(), entonces: P() C(). Q() R(), pero Q() ( α) reemplazando: P() C(). ( α) R(), Pero para - α, se tiene: P(-α) C(-α). (-α α) R(-α) es decir : 0 P(-α) R(-α) P() Q() P() () 0 resto de la división es 0 Epresiones Algebraicas Página 0 de

15 Raíces de un Polinomio Un número α R es una raíz o un cero del polinomio P() a n n a n- n-... a 0 0 si el valor numérico para α es igual a 0. Es decir, α es raíz de P() si P(α ) a n α n a n- α n-... a 0 α 0 0 El teorema del resto es una herramienta para reconocer una raíz de un polinomio. Sea P() Si α resulta que P() 0 es una raíz del polinomio Considera α -. Es este número otra raíz del polinomio? Considera el polinomio G() ( ) ( ) ( ) Calcula G(), G(-) y G(). Qué deduces? Cuál es el grado de G()? Teorema de caracterización de las raíces de un polinomio: Un número α real es raíz de P() sí y solo sí el resto de la división de P() por - α es cero. Es decir α real es raíz de P() R 0 Demostración: Sabemos que si C() es el cociente de la división de P() por Q(), entonces: P() C(). Q() R(), pero Q() ( - α) reemplazando: P() C(). ( - α) R(), Pero para α, se tiene: P(α) C(α). (α - α) R(α) 0 0 R(α) R 0 Otra forma de enunciar el teorema anterior es: un número α real es raíz de P() sí y sólo sí P() es divisible por - α. Es decir: α real es raíz de P() C() / P() C(). ( - α) Nota: el gr (C) gr (P) En el caso anterior P() es divisible por pero no es divisible por Sea P() 9 Este polinomio es: divisible por ( - ) pues: P() divisible por ( ) pues: P(-) Epresiones Algebraicas Página de

16 Factorización de Polinomios Recordamos la descomposición factorial de un número entero como el producto de potencias de números primos, es decir dado a Z, a, a -, eisten y son únicos los números primos p, p,..., p r y los naturales n, n,..., n r tales que: a p n n n r. p... p r Esta descomposición factorial de un número entero tiene su análoga para el uso con los polinomios. En este curso veremos solamente los casos más simples pudiéndose presentar algunos casos en que ciertos factores no serán polinomios primos pero cuya descomposición está por afuera de nuestro alcance. Debido a esto diremos que un polinomio de grado positivo ha sido factoreado o factorizado si ha sido descompuesto en producto de polinomios de grado positivo, primos o no. Y diremos que ha sido factoreado total o factorizado total si es primo o si ha sido descompuesto en producto de polinomios primos. Un polinomio es primo cuando no puede epresarse como un producto de polinomios de menor grado. Teorema de descomposición factorial de polinomios Todo polinomio de grado n, positivo, admite una única descomposición en factores de la forma ( - α i ), donde α i es una raíz o cero del polinomio, resultando: P() a n ( - α ). ( - α ) ( - α n ), donde a n es el coeficiente principal de P() y α,α,...,α n son n raíces, no necesariamente distintas. Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz, a ésta se la llama raíz múltiple, y a la cantidad de veces con que aparece se la llama grado de multiplicidad. En general: P() a n ( - α ) h. ( - α ) h ( - α r ) h r, donde a n es el coeficiente principal de P(), α,α,...,α r son r raíces distintas de P(), h, h,...,h r indican las respectivas multiplicidades de α, α,...,α r y h h... h r n P() ( ) ( 9) es una factorización de un polinomio, pero no es una factorización total pues 9 no es un polinomio primo. P() ( ) ( ) ( ) es una factorización total del polinomio anterior, pues ( ), ( ) y ( ) son polinomios primos (recordar que todos los polinomios de primer grado son primos). Epresiones Algebraicas Página de

17 Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n positivo tiene eactamente n raíces, considerando las reales y las complejas. Una consecuencia de este teorema es que un polinomio de grado n tiene como máimo n raíces reales. En los polinomios a coeficientes reales, las raíces complejas vienen siempre de a pares de allí que un polinomio a coeficientes reales de grado impar siempre tiene por lo menos una raíz real. Casos de factoreo Para factorizar polinomios se aplican diversos recursos algebraicos, agrupados en casos de factoreo que se detallan a continuación: Factor común Es una aplicación directa de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma o la resta. En realidad es la propiedad distributiva, sólo que presentada al revés de lo que habitualmente se hace; es decir: a. c b. c c (a b) (se etrae el factor común) en lugar de c (a b) a. c b. c P() 6 5 ( 5) Q() ( 6 5 ) Factor común por grupos Consiste en agrupar los términos del polinomio P() dado, de modo que en cada grupo g (), g (),..., g k () se pueda aplicar el primer caso de factoreo, con un mismo factor común para cada grupo, es decir, de modo que: g () q (). h(), g () q (). h(),..., g k () q k (). h() Luego de ello, volviendo a aplicar el primer caso se tendrá: P() g () g ()... g k () q (). h() q (). h()... q k (). h() h() [q () q ()... q k ()] P() 6a a ( ) a ( ) aplicando factor común: P() ( a) ( ) a Epresiones Algebraicas Página de

18 Forma factorizada de un polinomio de segundo grado Un polinomio de segundo grado de la forma P() a b c a ( ) ( ) siendo y las raíces de P() (halladas por la resolvente) P() ( ¼) ( ½) ( ½) ( ½) Trinomio cuadrado perfecto Se aplica cuando se tiene un trinomio de grado par, con dos términos que son cuadrados perfectos y un término que es el doble del producto de las bases de los cuadrados perfectos. Su factorización como cuadrado de un binomio es una consecuencia de la igualdad: ( a) a a con a R P(). ( ) (epresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto). cuadrado de un binomio Cuatrinomio cubo perfecto Análogamente al caso anterior, esta factorización es una consecuencia de la igualdad: ( a) a a a, a R 6 8 ( ) del cuatrinomio cubo perfecto). cubo de un binomio (epresión factorizada Diferencia de cuadrados Se factorea como producto de la suma por la diferencia de dos monomios, como consecuencia de la igualdad: ( a ) ( a). ( a), a R ( ). ( ) Epresiones Algebraicas Página de

19 Teorema de Gauss Cuando una fracción irreducible a p/q es raíz de un polinomio P() con coeficientes enteros, p es divisor del término independiente (a 0 ) y q es divisor del coeficiente principal (a n ). Si a es raíz de P(), el resto de la división de P() por ( a) es cero. En consecuencia el polinomio dividendo queda epresado como producto del divisor por el cociente C() es decir: P() ( a ) C () P() 8 6 Divisores de a0 : {-,, -,, -,, - 6, 6} Divisores de an : {-, } Posibles raíces racionales : {-,, -,, -,, - 6, 6} P (- ) (-) (-) (-) 8 (-) P ( ) () () 8 () es decir es raíz de P() Por lo tanto P() ( ) C() () Para encontrar C() aplicamos Ruffini: Cociente: Reemplazando en () resulta : P() ( ) ( - 6) Aplicación Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases Para a R, n N, se verifican: P () n ± a n Divisores n impar n a n ( a) n - a n ( a) n par n - a n ( a) ( a) n a n No tiene divisores de la forma ( ± a) Epresiones Algebraicas Página 5 de

20 La aplicación de estos resultados nos permite factorear binomios que son suma o diferencia de potencias de igual grado. Ejemplos: ) P() 6, es divisible por y por - entonces 6 se puede factorizar como: 6 C(). ( ), donde C() es el cociente de la división de 6 por. Calculemos entonces C(), aplicando la Regla de Ruffini: resto C() 8, es decir : P() 6 ( 8). ( ) ) P () 8, no tiene raíces reales ) P () 7, es divisible por ( ) aplicando Ruffini se obtiene: P() ( ). ( 9) Epresiones algebraicas racionales Así como llamamos números racionales a los números de la forma b a con a y b enteros (b 0), llamaremos epresiones racionales a las epresiones de la forma: P( ) Q( ) donde P() y Q() son polinomios de una sola variable, siendo Q() no nulo y de grado distinto de cero. es una epresión racional, porque el numerador P() es un polinomio y el denominador Q() también es un polinomio y además 0 Epresiones Algebraicas Página 6 de

21 Simplificación de epresiones racionales Podemos simplificar una epresión racional cuando después de haber factoreado numerador y denominador, figura en ambos un mismo factor (no nulo). Sea 6 8 con 0 y 6 ( Por qué?) Si factoreamos numerador y denominador, se tiene: 6 8 ( 6)( 6) ( 6) Luego, la epresión simplificada es: 6 Operaciones con epresiones racionales Las definiciones de suma y producto en este nuevo conjunto son similares a las dadas en. Adición. Sustracción. Multiplicación. División Recordemos que se procede de la misma manera que se hizo con los números reales. A los fines de simplificar la notación consideremos P() como P. Adición Es conveniente ahora tener presente que: Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios, se los factorea, y se considera luego, el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor eponente. Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de P() 9 ; Q() 6 9 y S() Epresiones Algebraicas Página 7 de

22 luego: 9 ( ). ( ) 6 9 ( ) Así el m.c.m. pedido es: ( ). ( ) Digamos que si llamamos M al mínimo común múltiplo de Q y S, podemos definir: P Q R S M Q. P M M S. R ; con 0 y - Como M es.( ), resulta: ( ) ( )..( ) ( ) ( ) 7 ( ) se factorizan los denominadores se halla m.c.m y las fracciones equivalentes se suman numeradores Sustracción Definimos opuesta de la epresión racional S R a -S R Entonces, Para restar dos epresiones racionales, a la primera se le suma la opuesta de la segunda. Se simboliza: P Q R S P Q R S Epresiones Algebraicas Página 8 de

23 Epresiones Algebraicas Página 9 de Multiplicación Definición: con y - Factoreamos todos los numeradores, los denominadores y luego, simplificamos:. ) )( ( ).(. ) ( ) )( )( ( División Definimos la recíproca de S R como R S (con R 0) Luego, ) ( ) )( ( ) ( : QS PR S R Q P... R S Q P S R Q P. : con Q y R 0

24 Ejercicios resueltos - Dados los siguientes polinomios: T U V halla W ( U T ) T V U U ( ) 6 9 T ( U T ) V ( 8 ) ( ) ( U T ) V T resto. Por ser la operación final una división, el resultado deberá poseer un cociente y un 0 9 C( ) 9 6 R( ) Epresiones Algebraicas Página 0 de

25 Epresiones Algebraicas Página de - Encontrar el valor numérico de la siguiente epresión algebraica para los valores dados: con: - Dividir P() por Q() utilizando la Regla de Ruffini, donde: - Desarrollar las siguientes epresiones: i) ii) y y y y 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y ) ( 5 P ) ( Q α ) ( C 5 ) ( R uw w v u 6 9 w u w v u w v u uw w v u ( ) y y

26 ( ) y y 8 y. y. y. y.9 y 7 y y 6 y 5 y 7 y Factorizar los siguientes polinomios: i) y y ( ) ( ) ( ) y y y y y y y ii) ( a b) ( a b) 5a ( a b) ( a b) ( a b) 5a ( a b) ( a b) ( a b) 5a ( a b) ( 6a b) iii) 9 6 a b u v ab u v ( ) ( ) ( ) ( ) 6 a b 9u v ab u v ab ab u v u v ( aba b u vu v) iv) ( ) ( ) Recordar que: admite por divisor a Q() Realizando el pertinente cociente por Ruffini, obtenemos que: 6- Operar y simplifica i) ay na a a. y na ( a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ay na a a a y na a a a. a y na a y na a Epresiones Algebraicas Página de

27 ii) a 6 a a ay y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a 6 a a a a y a ay y y a y a a ( a ) ( a ) ( a ) ( y ) ( y ) ( a ) iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 7- Hallar m y n tal que se verifique las siguientes igualdades: i) ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( 5) m n m m n n ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( 5) m n m m n n n n 5 n 6 m n 9 6 m 6 m m 9 ii) m n 9 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n ( ) ( ) ( ) m n m n 9 6 ( m n) n ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n n Epresiones Algebraicas Página de

28 8- Calcular directamente el resto en el siguiente cociente: ( 5 6 ) ( ) α ( α ) ( ) ( ) R P P( ) Determinar a tal que los siguientes cocientes sean eactos: 6a 6a i) ( 6a 5) ( ) a ( a) ( a) 5 5 a 6 a R 0 6 a 0 a a ii) ( 5 a ) ( ) a α a 5 5 a 5 6a 8 6a R 0 8 6a 0 a iii) ( a ) ( ) R P( α) P().. a 0 a 0- Determinar b tal que el resto del siguiente cociente sea igual a : ( b b) ( ) Epresiones Algebraicas Página de

29 ( ) ( ) ( ) R P( α) P( ). b b b - Dado P(), obtener k, sabiendo que α - es raíz de P(): P( ) k 6 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 P( α ) P( ) 0 P( ) k 6 0 k k En una división de P() por Q() se obtiene el siguiente cociente C() y resto R(): C( ) 9 R( ) 8 si: Q( ) halla P() P( ) Q( ) C( ) R( ) Q( ) C( ) 5 8 P Q C R ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Epresiones Algebraicas Página 5 de

30 Ejercicios propuestos - Dados los siguientes polinomios. A -6 9 B C 5 Halla A C B B - Encontrar el valor numérico de las siguientes epresiones algebraicas para los valores dados: a b 6 9 i) ( 9a b ) b con a ( ) - b ii) 5p q p q pq ( ) con p 8 q 8 Dividir P () por Q() utilizando la Regla de Ruffini, donde: i) P() 5 Q() ii) P() Q() iii) P() Q() - ( ) - - Desarrollar las siguientes epresiones: i) (- y ) ii) p q 5 - Factorizar los siguientes polinomios. i) a a ii) Epresiones Algebraicas Página 6 de

31 iii) (p ) (p ) iv) 6 a b 8 v) 5 a 5 ab 5 a b 5 a 5 a b 5 ab 6 - Opera, simplifica e indica los valores para los cuales la epresión carece de sentido : i) 6t 6t t t t t t ii) ( a ) ( a 8) ( a ) ( 9 a 6 ) ( a ) iii) 5 5 iv) y y y y y y v) 9 y : 6y vi) y y y vii) 7 - Hallar p y q tal que se verifiquen las siguientes igualdades: i) 5 q 5 p - q q ii) q p - q q 5 p p q iii) iv) q 5p ( 5) 5 5 Epresiones Algebraicas Página 7 de

32 8 - Calcular directamente el resto en el siguiente cociente: i) ii) y y y y 5y y y 9 - Determinar a tal que los siguientes cocientes sean eactos: i) Utilizar el algoritmo de la división: ( a ) : (- ) ii) Utilizar la regla de Ruffini: (5 a ) : ( ) iii) Utilizar el teorema del resto: ( a - ) : ( ) 0 - Determinar b tal que el resto de los siguientes cocientes sea igual a: i) (5 b b) : ( ) resto - ii) ( b ) : ( ) resto iii) ( b ) : ( ) resto - - Dado P(), obtener k, sabiendo que a es raíz de P(): i) P() - k a ii) P() k -k a - En las siguientes divisiones P() por Q() se obtienen los respectivos cocientes C() y restos R(). Si se conoce Q(), hallar P(): i) C() - R() 0 Q() - ii) C() 5 R() 9 Q() Epresiones Algebraicas Página 8 de

33 .- Para qué valor/es de se verifican las siguientes igualdades? a) b) ( 5) ( ) b) c) Indique el o los valores de para los cuales carecen de sentido las igualdades a) y.- a) Para qué valores de A, B y C se verifica la igualdad: A B C b) Para qué valores de R carece de sentido la igualdad del punto a)? Epresiones Algebraicas Página 9 de

34 Respuestas i) 7 ii) 8 - i) C() 9 R() 0 ii) C() 5 R() 5 iii) C() - - / / R() - /9 i) 9 y y ii) - 6 p 6 p q p q q i) ( ) (a ) ii) ( ) ( ) ( ) iii) (p ) (p 5) (p ) iv) 8( a b ) ( a b a b ) v) /5 a ( a ) (a b) 6 - i) -t ii) a 8 iii) iv) y v) / vi) y vii) 7 - i) p - q - 7 ii) p q 0 iii) p q - iv) p - /50 q 7/0 8 - i) 7 ii) i) a -/ ii) a / iii) a 5/ 0 - i) b -7 ii) b ± - i) k -7/ ii) k - 5 iii) b /9 Epresiones Algebraicas Página 0 de

35 - i) P() - ii) P().- a) 5/ b) - 7/ c) a) 5-5 b) -.- a) A B 0 C b) 0 Epresiones Algebraicas Página de

36 Trabajo Práctico - Resuelve estos productos especiales. a) (a b)(a ab b ) b) (a b)(a ab b ) - Para qué valores de k y h los polinomios son iguales? P() ( k ).( h) Q() Halla las raíces reales de: a) P() 5 5- b) P() c) P() 5 6- Para qué valores de h el polinomio P() es divisible por? P() h 7- Factorizar a) y h) m m b) 8y z i) 8 c) a n 8a n j) a 6 b 6 d) 8 k) a ay b by e) a b 6b 5 l) z 8 z 8 z f) 8 6 m) y 6 g) y 6 y y 5 n) - 8- Reduce a la mínima epresión. a) b) a a b a b a b b a c) d) - Reducir a la epresión más simple a) a ( a b) ab( a b) a ( a b ) b) a ab b ( a b ) Epresiones Algebraicas Página de