CREDITOS ALG. 5/4/06 12:23 PM Page 1 ÁLGEBRA

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2 ÁLGEBRA

3 ÁLGEBRA MANUAL DE PREPARACIÓN PRE-UNIVERSITARIA IDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓN Departamento de Creación Editorial de Lexus Editores LEXUS EDITORES S.A. Av. Del Ejército 05 Miraflores, Lima-Perú Primera edición, febrero 008 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: ISBN: EDICIÓN 008

4 PRESENTACIÓN Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apropiado. Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos tendientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva como herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran en etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores. Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-universitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios, usando métodos apropiados, fáciles y amigables. Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejercicios resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecuado conocimiento y dominio de la materia. Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor en casa a tiempo completo. Los Editores

5 SUMARIO Pag. Conceptos Fundamentales Expresión algebraica / Clasificación de las expresiones algebraicas Término algebraico 4 Teoría de exponentes 4 Potenciación 5 Leyes que rigen a los exponentes 5 Multiplicación de potencias de bases iguales 5 División de potencias de bases iguales / Exponente cero 5 Exponente negativo / Potencia de un producto / Potencia de un cociente 5 Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raíz de una potencia 6 Raíz de un producto 7 Leyes de los signos en las operaciones algebraicas 7 Multiplicación / División 7 Potenciación / Radicación 8 Ejercicios Resueltos 8 Ejercicios Propuestos 5 Ecuaciones exponenciales 6 Solución de una ecuación exponencial 6 Ejercicios Resueltos 6 Valor numérico de las expresiones algebraicas Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos 5 Grado de las Expresiones Algebraicas 9 Grado 9 Grado de un monomio / Grado de un polinomio 9 Ejercicios Resueltos 40 Ejercicios Propuestos 47 Notación Polinómica 50 Polinomio 50 Valor numérico de un polinomio 50 Cambio de variable en un polinomio 50 Ejercicios Resueltos 5 Ejercicios Propuestos 56

6 Polinomios Especiales 59 Polinomio ordenado / polinomio completo 59 Polinomio homogéneo 59 Polinomios idéntico / Polinomio idénticamente nulos 60 Polinomio entero en x 60 Ejercicios Resueltos 60 Ejercicios Propuestos 68 Expresiones Algebraicas 70 Suma y resta 70 Supresión de signos de colección / Introducción de signos de colección 70 Ejercicios Resueltos 70 Ejercicios Propuestos 7 Multipicación de expresiones algebraicas 74 Propiedades de la multiplicación 74 Ejercicios Resueltos 74 Casos que se presentan en la multiplicación 76 Productos notables 76 Ejercicios Resueltos 77 Valor numérico de una expresión algebraica 8 Ejercicios Resueltos 8 Ejercicios Propuestos 88 División algebraica / Definición 90 Propiedades de la división / Casos de la división 90 Método normal 90 Método de coeficientes separados / Método de Horner 9 Ejercicios Resueltos 9 Regla de Ruffini 99 Ejercicios Resueltos 00 Ejercicios Propuestos 0 Teorema del resto o de Descartes 05 Regla práctica para hallar el resto 05 Ejercicios Resueltos 06 Ejercicios Propuestos Divisibilidad Algebraica 5 Principios de la divisibilidad algebraica 5 Ejercicios Resueltos 6 Ejercicios Propuestos

7 Cocientes Notables 6 Definición 6 Forma general de los coeficientes notables 6 Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso 6 Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso 7 Desarrollo del cociente notable 7 Reglas prácticas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable 7 Determinación de un término cualquiera de un cociente notable 8 Ejercicios Resueltos 9 Ejercicios Propuestos Factorización 6 Definición / Método para factorizar 6 Factor común / Factor común monomio / Factor común polinomio 6 Factor común por agrupación 6 Ejercicios Resueltos 7 Método de identidades 9 Diferencia de cuadrados 9 Trinomio cuadrado perfecto 9 Suma o diferencia de cubos 9 Ejercicios Resueltos 9 Método del aspa 4 Aspa simple 4 Ejercicios Resueltos 4 Aspa doble 4 Ejercicios Resueltos 45 Aspa doble especial 46 Ejercicios Resueltos 47 Método de divisores binomios 49 Finalidad / Divisor binomio 49 Fundamento teórico 49 Ceros de un polinomio 49 Determinación de los posibles ceros de un polinomio 49 Formas de factorización 49 Ejercicios Resueltos 50 Método de artificios de cálculo 5 Reducción a diferencia de cuadrados 5 Ejercicios Resueltos 5

8 Métodos de sumas y restas 5 Cambio variable 55 Ejercicios Resueltos 55 Factorización recíproca 57 Polinomio recíproco 57 Procedimiento para factorizar un polinomio reciproco 57 Ejercicicios Resueltos 57 Factorización simétrica y alternada 59 Polinomio simétrico 59 Representación de expresiones simétricas 59 Propiedad fundamental de un polinomio simétrico 60 Polinomio alterno 60 Propiedades fundamentales de un polinomio alterno 60 Propiedades de los polinomios simétricos y alternos 60 Factorización de un polinomio simétrico y alternos 60 Otros artificios 6 Ejercicios Resueltos 6 Ejercicios Propuestos 64 Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo 69 Máximo común divisor 69 Mínimo común múltiplo 69 Ejercicios Resueltos 69 Ejercicios Propuestos 7 Fracciones Algebraicas 7 Principales conceptos / Definición 7 Signos de una fracción 7 Cambios de signo en una fracción 7 Simplificación de fracciones 74 Ejercicios Resueltos 74 Operaciones con fracciones algebraicas 75 Suma y resta 75 Multiplicación y división 76 Ejercicios Resueltos 76 Ejercicios Propuestos 80 Introducción el Binomio de Newton 8 Factorial de un número 8 Propiedades de los factoriales 8 Ejercicios Resueltos 8

9 Variaciones / Permutaciones / Combinaciones 85 Propiedades de las combinaciones 86 Ejercicios Resueltos 87 Desarrollo del binomio de Newton / Método de inducción 90 Fórmula del término general 9 Ejercicios Resueltos 9 Término central 94 Ejercicios Resueltos 94 Triángulo de Pascal o de Tartaglia 96 Ejercicios Propuestos 97 Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario 00 Propiedades del desarrollo del binomio 00 Ejercicios Resueltos 00 Ejercicios Propuestos 04 Radicación 06 Principales conceptos / Definición 06 Elementos de una raíz / Signo de las raíces 06 Raíz de un monomio 06 Raíz cuadrada de un polinomio / Regla práctica 07 Raíz cuadrada por el método de coeficientes indeterminados 07 Raíz cúbica de polinomios / Regla práctica general 08 Ejercicios Resueltos 09 Raíces dobles / Concepto Transformación de radicales dobles en radicales simples o sencillos Ejercicios Resueltos Descomposición de radicales múltiples en simples 9 Ejercicios Resueltos 9 Ejercicios Propuestos 4 Operaciones con Raíces 7 Principales conceptos 7 Valor Aritmético de un radical / Valor algebraico de un radical 7 Radicales homogéneos / Homogenización de radicales 7 Radicales semejantes / Teorema fundamental de los radicales 7 Suma de radicales / Multiplicación de radicales 8 Potencia de radicales / Raíz de radicales 8 Ejercicios Resueltos 8 Racionalización 4 Fracción irracional / Factor racionalizante 4 Casos 5

10 Primer caso / Ejercicios Resueltos 5 Segundo caso / Ejercicios Resueltos 5 Tercer caso / Ejercicios Resueltos 7 Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos 8 Ejercicios Propuestos 40 Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas 4 Principales conceptos 4 Formas singulares o determinadas 4 Formas indeterminadas 4 Verdadero valor / Cálculo del verdadero valor 4 Forma 0/0 4 Ejercicios Resueltos 44 Forma / / Ejercicios Resueltos 47 Forma - / Ejercicios Resueltos 49 Forma 0. / Ejercicios Resueltos 5 Ejercicios Propuestos 5 Cantidades Imaginarias y Números Complejos 55 Principales conceptos 55 Cantidades imaginarias / Definición 55 Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria 55 Transformación de la potencia i m donde m es entero y positivo 55 Ejercicios Resueltos 56 Ejercicios Propuestos 6 Números complejos, Definición 64 Clase de números complejos / Complejo real / Complejo puro 64 Complejo nulo / Complejos iguales 64 Complejos conjugados / Complejos opuestos 64 Representación gráfica de un complejo 64 Representación cartesiana / Representación polar o trigonométrica 64 Operaciones con complejos / Suma de complejos 65 Multiplicación de complejos / Propiedades 65 División de complejos 65 Potencia de un complejo / Propiedades 66 Raíz de un complejo 66 Ejercicios Resueltos 67 Raíces cúbicas de la unidad 69 Propiedades / Ejercicios Resueltos 69 Ejercicios Propuestos 74

11 Ecuaciones 77 Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes 77 Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuación 77 Clasificación de las ecuaciones 77 Principios fundamentales que permiten transformar las escuaciones 77 Ecuaciones de primer grado con una incógnita / Discución de la solución 78 Ejercicios Resueltos 78 Problemas Resueltos 8 Ejercicios Propuestos 87 Sistema de ecuaciones 90 Sistema de ecuaciones lineales / Sistemas equivalentes 90 Solución del sistema 90 Clasificación de los sistemas de ecuaciones 90 Principios fundamentales para la trasformación de sistema de ecuaciones 90 Métodos de eliminación y resolución / Método de sustitución 90 Método de igualación / Método de reducción 9 Ejercicios Resueltos 9 Problemas Resueltos 98 Ejercicios Propuestos 04 Determinantes 07 Definición 07 Signos de un elemento 07 Determinante de un segundo orden 07 Valor determinante de segundo orden 08 Determinante de tercer orden 08 Regla de Sarrus 08 Forma práctica de la regla de Sarrus 09 Menor complementario de un determinante 09 Desarrollo de un determinante por menores complementarios 0 Propiedades de los determinantes 0 Ejercicios Resueltos Método de los determinantes para hallar la solución de un sistema de ecuaciones 0 Regla de Cramer 0 Discusión de la solución de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos 7 Ejercicios Propuestos Ecuaciones de Segundo Grado 6 Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita 6 Deducción de la fórmula general 6

12 Discución de las raíces de la ecuación de segundo grado 7 Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado 7 Forma de una ecuación de segundo grado conociendo raíces. 7 Ejercicios Resueltos 7 Ejercicios Propuestos 5 Ecuaciones reductibles a cuadráticas / Ecuaciones bicuadradas 9 Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada 9 Formación de una ecuación bicuadrada 9 Ejercicios Resueltos 9 Ecuaciones recíprocas 40 Ejercicios Resueltos 40 Ecuaciones binomias y trinomias 4 Ejercicios Resueltos 4 Ecuaciones que se resuelven mediante artificios / Ejercicios Resueltos 45 Ejercicios Propuestos 50 Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos 5 Sistemas diversos / Ejercicios Resueltos 56 Ecuaciones exponenciales 58 Ejercicios Resueltos 59 Ejercicios Propuestos 60 Desigualdad e Inecuaciones 6 Desigualdades, definiciones importantes 6 Propiedades de las desigualdades 6 Ejercicios sobre desigualdades 64 Clases de desigualdades 65 Inecuaciones de primer grado con una incógnita 65 Solución a una inecuación 66 Intervalo abierto / Intervalo cerrado 66 Valor absoluto / Ejercicios Resueltos 66 Inecuaciones / Sistema de inecuaciones 67 Sistema de inecuaciones con una incógnita 67 Sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas 67 Ejercicios Resueltos 67 Inecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos 70 Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos 7 Ejercicios Propuestos 7 Progresiones 75 Progresión aritmética (P.A.) o progresión por diferencia / Propiedades 75 Medios aritméticos o diferenciales / Definición 75

13 Interpolación de medios aritméticos 76 Ejercicios Resueltos 76 Progresión geométrica (P.G.) o progresiones por cociente 79 Representación de una progresión geométrica / Propiedades 79 Medios geométricos o proporcionales / Definición 80 Interpolar medios geométricos entre dos números dados.. 80 Ejercicios Resueltos 80 Ejercicios Propuestos 85 Logaritmos 88 Principales conceptos / Definición 88 Ejercicios Resueltos 88 Sistema de logaritmos 89 Propiedades generales de los logaritmos 90 Cologaritmo / Antilogaritmo 90 Cambio de un sistema de logaritmos a otro 90 Ejercicios Resueltos 9 Logaritmos como progresiones / Definición 96 Base del sistema de logaritmos definido por una P.G. una P.A. 96 Sistema de logaritmos neperianos 97 Sistema de logaritmos decimales / Vulgares o de Briggs 98 Propiedades del sistema logaritmos 98 Cálculo de la mantisa 98 Transformar un logaritmo totalmente negativo en otro parcialmente negativo y viceversa 98 Cálculo logaritmico / Suma de logaritmos / Resta de logaritmos 99 Producto de logaritmos / Multiplicación y división de logaritmos entre si 99 Conversión de logaritmos decimales a logaritmos neperianos 400 Conversión de logaritmos neperianos a logaritmos decimales 400 Ejercicios Resueltos 400 Ejercicios Propuestos 40 Interés Compuesto 404 Principales conceptos / Deducción de la fórmula 404 Caso en que el tiempo es múltiplo del período de capitalización 405 Anualidades, Definición 405 Anualidad de capitalización (A c ) / Deducción de la fórmula 405 Anualidad de amortización (A a ) / Deducción de la fórmula 406 Ejercicios Resueltos 406 Ejercicios Propuestos 4

14 Á L G E B R A CONCEPTOS FUNDAMENTALES ALES El álgebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general obteniendo generalizaciones sobre el comportamiento operacional de los números. Estudia de esta manera, funciones numéricas; para lo cual se emplea números, letras y signos de operación. Como el estudio de una función conduce finalmente al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice también que el álgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos son analizados a continuación: EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el conjunto de números y letras unidos entre sí por los signos de operación de la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación.(*) Ejemplos: Son expresiones algebraicas las siguientes: i) x ii) 4x iii) 4x + 5y + 7z _ iv) x x - 5xy 4 x y - xy 7 No son expresiones algebraicas: i) 5 x ii) log a x iii) sen x (*)Las letras son empleadas tanto para representar valores conocidos o datos (en este caso; por convención, se usa las primeras letras del alfabeto) como valores desconocidos (se usa las últimas letras del alfabeto). Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen números y letras son expresiones algebraicas; a excepción de las últimas tres, que reciben el nombre de funciones trascendentes y que son utilizadas muy a menudo en el cálculo superior. Para una mayor ilustración, indicaremos la definición de las siguientes funciones trascendentes: Función exponencial.- Representada por una base numérica y un exponente literal, como por ejemplo: 7 x (base = 7, exponente = x). Función logarítmica.- Representada por el símbolo log. y que se toma en una cierta base a un determinado número. Ejemplo: log b N y se lee logaritmo en base b del número N. Función trigonométrica.- Representada por las funciones seno, coseno, tangente y sus complementos aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que se lee: seno de x. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Según el tipo de número o variable de sus exponentes, radicales o denominadores las expresiones algebraicas pueden clasificarse en: { Enteras Racionales Expresiones {Fraccionarias Algebraicas Irracionales a) Expresión algebraica racional Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes enteros o no tiene letras en su cantidad subradical (es decir, al interior de la raíz). - -

15 Ejemplos: i) 4ax + 5y + 7z 4 ii) 4x -7 + y - + z -7 iii) x 4 + x 8 + x 4 5 x 4z z iv) + + yz 7xy 9y 4 NOTA: Se entiende por cantidad subradical a la parte de una raíz que se encuentra en el interior del radical. De este modo: n A, se lee raíz n de A Donde n = índice, A = cantidad subradical a.) Expresión algebraica racional entera Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes enteros positivos o no tiene letras en su denominador. Ejemplos: i) x + 5y 7 + y 5 ii) + + z 4 x 5y 4 iii) 4x y z 4-8w 4 t 5 a.) Expresión algebraica racional fraccionaria Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes negativos o tiene letras en su denominador. Ejemplos: i) 4x - + 7y -9 + z -4 7 ii) + + x 5y 4z 4x + y + 7z 4 iii) 4x 5 + 5yz iv) 4x 4 + 5y + 8z 5 + 9t - b) Expresión algebraica irracional Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad subradical. Ejemplos: i) 5x / + 7y / + 8z /5 ii) 4x -/ + 8y -/5 + 7z -/8 iii) 4x + 5y + 8 z 7 8 iv) + + x y z _ v) 4x 0 + 5y 8 +7x xyz Resumen de las características de las expresiones algebraicas. Racionales Enteras Exponente Exponente entero Subradical Denominador sin letras sin letras {Fraccionarias Expresiones Exponente entero negativo Denominador con letras Irracionales Exponente Algebraica{ fracción Subradical con letras TÉRMINO ALGEBRAICO entero positivo Es aquella expresión algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos. En otras palabras, un término algebraico es un monomio. Ejemplos: i) 4x ii) +5y z 4 iii) -x 4 y 5 z 8-4 -

16 Á L G E B R A Partes de un Término Algebraico (-7) x 4 exponente TEORIA DE EXPONENTES coeficiente parte literal La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así: POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia, y se representa así: Ejemplos: Potencia = (base) exponente i) 7 = = factores ii) 5 5 = = factores 5 iii) 4 6 = = factores 4 En general: a n = a a. a. a.. a n factores a NOTA: Recuerdese que para efectos del estudio algebraico, la base es literal y el exponente es numérico: x 5, y 4, z 8, etc. LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES Multiplicación de Potencias de Bases Iguales. Se escribe la base común y como exponente se escribe la suma de ellos. a m. a n = a m+n Ejemplos: i) x 5. x 7 = x 5+7 = x ii) x 8. x 6. x -.x -8.x = x = x 5 iii) m+. m+4. 4-m = m++m+4+4-m = = 048 División de Potencias de Bases Iguales. Se escribe la base común y como exponente se escribe la diferencia de dichos exponentes. Ejemplos: x 8 i) = x 8- x a m = a m-n a n x ii) = x -(-) = x + = x 5 x - m+ iii) = m+-(m-) = m+-m+ = 6 = 64 m- 5 x+. 5 x+ 5 x++x+ 5 x+5 iv) = = 5 x+ 5 x+ 5 x+ = 5 x+5- (x+) = 5 4 = 65 Exponente Cero. Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es igual a la unidad. Así: Ejemplos: i) = 5 = 5 ii) a 0 =, donde: a 0 = 4 = 4 = 6 iii) = = 5-5 -

17 Exponente Negativo Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción cuyo numerador es y cuyo denominador es igual a la misma expresión pero con el signo del exponente cambiado a positivo. Así: a -n =, donde: a 0 a n Ejemplos: i) x - = ii) a = a b 4 x b 4 a - b 5 iii) - = = 0,5 iv) = b -5 a Potencia de un Producto. Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. Ejemplos: i) (a. b) 5 = a 5.b 5 _ ii) ( x ) = x iii) x 4 y 4 = (xy) 4 (a.b) n = a n. b n x. x (. )x 6 x iv) = = 6 x 6 x 6 x Potencia de un Cociente. Se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. ( a ) n = a n b b n Ejemplos: x 4 x 4 x 7 x i) ( ) ( ) = ii) = 7 y y 4 y 7 y 7 8 n 8 iii)( ) = = iv) n n = ( ) = 4n Potencia Negativa de un Cociente. Se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva. Luego, puede procederse como en el caso anterior. ( a ) ( = -n ) b b n Ejemplos: - 5 = 5 = i) ( ) = ( ) - 5 ii) ( ) = ( ) = 5 = iii)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = Potencia de Potencia. = = 656 Se escribe la misma base y el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes. Ejemplos: i) (x ) = x ()() = x 6 (a m ) n = a m. n ii) [(x ) 4 ] 5 = x ()(4)(5) = x 60 iii) (x - ) -4 = x iv) (x - ) 5 = x -0 Nota: Para el caso de tener muchos exponentes, se puede generalizar la regla como sigue: { [(a m ) n ] r } s = a m. n. r. s RAÍZ DE UNA POTENCIA Se escribe la base y como nuevo exponente, la división del exponente de la potencia entre el índice del radical. _ p n ap = a n - 6 -

18 Á L G E B R A Ejemplos: 0 _ i) 5 x 0 = x 5 = x 48 ii) 4 x 48 = x 4 = x = x = x 4 iii) x 64 = x = x 6 = x 8 = x 4 Nota: Cuando se tiene muchos radicales, se puede gene-ralizar la regla como sigue: _ a = mnsr a = a mnsr Exponente Fraccionario Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el denominador de la fracción y el numerador permanece como exponente. Por lo tanto: Ejemplos: _ i) a 5 = a 5 _ ii) 8 = 8 = p_ a n = a n p _ iii) 64 = ( 64 ) = (4) = 6 RAÍZ DE UN PRODUCTO Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efectuar el producto. n ab = a n. b n Ejemplo: i) x 5 0 y 5 = x y 5 = x y 5 ii) 7 xy = 7 x. 7 y Raíz de un Cociente. Se extrae la raíz tanto del numerador como del denominador, y luego se procede a dividir estas raíces resultantes. n n a a = n b b Ejemplos: x 0 x 5 i) 5 = _ 0 = x 4 5 y x 5 0 y 7 4 ii) 4 6 = x 0 = 5 y Introducción de un Factor en un Radical. Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical, de la siguiente forma. a p b n = a n pn. b Ejemplos: i) x y 5 = x 5 ()(5) y = x 5 0 y i) x y = x (5)() y = x 5 y LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS MULTIPLICACIÓN El producto de dos términos de signos iguales es positivo, y de signos diferentes es negativo. DIVISIÓN a) [+]. [+] = [+] b) [-]. [-] = [+] c) [+]. [-] = [-] d) [-]. [+] = [-] La división de dos términos de signos iguales es positivo, y de signos diferentes es negativo: - 7 -

19 [+] [+] a) = [+] b) = [-] [+] [-] [-] [-] c) = [+] d) = [-] [-] [+] POTENCIACIÓN La potencia de una base con exponente par, siempre es positiva; pero la potencia de una base con exponente impar, depende del signo de la base: RADICACIÓN a) [+] par = [+] b) [+] impar = [+] c) [-] par = [+] d) [-] impar = [-] Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad subradical es negativa el resultado será una cantidad imaginaria, que no existirá en el campo real. _ a) impar [+] = [+] _ b) impar [-] = [-] _ c) par [+] = [±] _ d) par [+] = cantidad imaginaria Nota: Para efectos de estudio, se empleará, en el caso (c), raíces de índice par y cantidad subradical positivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el valor positivo. EJERCICIO RESUELTOS Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los signos en las operaciones algebráicas..- Calcular el valor de: x+4 + 6( x- ) E = x+5 - ( x+ ) - 4( x+ ) - 6( x- ) Por la ley de la teoría de exponentes se conoce que: a m+n = a m. a n ; a m-n = a m a n Aplicando al ejercicio: x ( x ) E = x x. 5 - ( x. ) - 4( x. ) - 6 ( ) Operando apropiadamente: 6. x + 9. x E =. x - 6. x - 8. x -. x Se hace el cambio de x = a, para hacer más simple las operaciones: 6a + 9a 5a E = = = 5 a - 6a - 8a - a 5a Rpta.: = 5.- Calcular el valor de: 4 -n 4 (8 ) E = [4(4 - ) n ] Transformemos el numerador, para escribir con base 4: -n -n -n 4 4 (8 ) = [ ( ) ] = (4 ) n = [ ( ) ] = 4 Reemplazando en la expresión original: n n 4 -n E = = = (4. 4 -n ) (4 -n ) 4 -n E = 4 -n(-n) = 4 -n-+n = 4 = 4 Rpta.: = 4-8 -

20 Á L G E B R A.- Hallar el valor de la expresión: _ n 0 n+ E = 4 n+ + n+ Transformando el denominador: 4 n+ + n+ = 4 n+ + (n+) = 4 n+ + ( ) n+ = 4 n+ + 4 n+ = 4 n+ (4 +) = 4 n+. 5 reemplazando en la expresión, y transformando el numerador: n E = (4. 5) n+ 4 n+. 5 operando en el numerador: n E = 4 n+. 5 n+ 4 n+. 5 simplificando y descomponiendo la potencia: _ n E = 5 n. 5 = n 5 n = 5 n = 5 4 Rpta.: Calcular el valor de: E = Se sabe que: (a. b) n = a n. b n descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley: (. 7) 6 (7. 5) ( 4. 5) E = (. 5) 4 (. 7) 9 (.. 5) aplicando la ley anterior: E = multiplicando potencias de bases iguales: E = simplificando: E = = - = = Rpta.: 5.- Calcular el valor de: ] -6 E = [ Escribimos la raíz principal en la forma exponencial: -6 [ _ E = _ ] luego, transformamos los exponentes: [ ] [ / -/6 -/6 ( ) - / E = () = () ] [ = = (). = () = = = Rpta.: ] 6.- Simplificar la expresión: E = { Efectuando operaciones: } - m -[m(m ) ]5 - - E = (m - ) - [(m ) ] 5 {[(m ) ] } E = m. m 5. m 5 = m

21 E = m 5 = m 5 = m - = m = m Rpta.: m 7.- Calcular: _ n+ n+ E = n _ 4 4 n Trabajando con el denominador: _ n+ _ 4 4 n = n n/ n+ n n+ + n+ = 4 = 4 n+ n+ n+ _ = () = n+ n+ = n+ = reemplazando, descomponiendo y simplificando: n n n. E = = n n = n = = Rpta.: 8.- Calcular: _ n 0 n + 5 n + 6 n E = n + -n En primer lugar transformemos el denominador: _ n 0 n + 5 n + 6 n E = n n n Dando común denominador en el denominador de la raíz: _ Luego: _ n [ (5.. ) ] n 0 n + 5 n + 6 n n (5.. ) = n E = 0 n + 5 n + 6 n Simplificando: n E = (0) n n = 0 n = 0 = 0 Rpta.: Calcular: _ E = [ n+. 5 n+ - n. 5 n ] n n Separemos los exponentes que aparecen sumados: _ n.. 5 n. 5 - n. 5 n n n E = [ ] Hagamos que: n = a; 5 n = b: _ 0ab - ab n = [ 9ab ] n = a n 8b + b 9b E = [ ] n reponiendo: E = ( n ) n = n = = Rpta.: 0.- Calcular: (n + 6) veces (n + ) veces x. x. x.. x x. x. x. x x. x. x.. x x 6 x 4444 n+ E = [ ][ ][ ] (4n - ) veces E = n 0 n + 5 n + 6 n 6 n + 5 n + 0 n 5 n. n. n ( ) Cada expresión se reduce: E = [ x n+6 ][ x n+ ][ x ] 4n- x 6 x n

22 Á L G E B R A Que se puede escribir así: x n x 6 x n x x n+n. x 6+ E =.. = x 4n x - x 6 x n x x 4n+n. x -+6+ x n x 6 x n x E = = = x 9-6 = x x 4n x - x 6 Rpta.: x.- Resolver: _ x- x- - x-7 8 x- = 0 Transpongamos términos: _ x- x- = x-7 8 x- = 0 _ x- _ x- (x-) = ( ) x-7 _ x- _ x- x- = x-7 Si igualamos los exponentes (dado que son funciones exponenciales): x - x - 9 = x - x - 7 (x - )(x - 7) = (x - ) (x - 9) 9x - x - x + 7 = 9x - 7x - 9x + 7 simplificando: -x - x + 7x + 9x = 7-7 x = 0 5 Rpta.: x =.- Resolver: _ x ( ) = Transformemos buscando una base común: ( x- 4 / ) ( ) = ( ) 4 4 ( x- -/ ) ( ) = ( ) ( ) = ( 4 4 ) x-- igualando los exponentes: x - - = eliminado los denominadores: Rpta.: x = 7/ x - - = 4 x = 7.- Hallar el valor de: n 56 n+ n+ 4 n - E = n+ 64 n 4 - Previamente se opera en forma parcial: 56 n+ = (64. 4) n+ = 64 n+. 4 n+ n - n - (n+)(n-) n+ 4 n - = 4 n+ = 4 n+ =4 n+ = 4 n- - - _ n 4 - = 4 n = 4 n = 4 -n Reemplazando las expresiones transformadas, en la expresión inicial: n 64 n+. 4 n+. 4 n- E = 64 n+. 4 -n simplificando y efectuando: _ n 4 n++n- E = 4 -n _ E = n 4 n-(-n) = n 4 n+n = n 4 n n E = 4 n = 4 = 64 Rpta.:

23 4.- Calcular el valor de: a b 4 a-b +. 4 R = a-b a-b 4 a+b La expresión se puede escribir así: a b a b R = 4 a-b +. 4 a-b = 4 a-b +. 4 a-b a+b a+b a+b 4 a-b 4 a-b 4 a-b Operando convenientemente: a a+b - R = 4 a-b a-b + a+b b - a-b a-b 4 y, efectuando los exponentes: a-a-b R = 4 a-b + a+b-b 4 a-b Simplificando: Rpta.: 7 a-b R = 4 a-b + = 4 + = 7 a-b 4 a-b 5.- Calcular el valor de: n 8 n E = _ n+ [ 6 ] Por convenir, se realiza las siguientes equivalencias: n = x n n n 8 = ( 4 ) + ( ) 4 = x 4 n+ = (n. ) = ( n. ) = ( n ) = x 6 = 6 Reemplazando los equivalentes en la expresión propuesta: x E = 4 x _ [ (6 ) ] x Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera: _ x 4 x 4 x x 4 E = x = x _ = x [ (6 ) x ] [ 6 ] x 4 E = x4 6 x4 = 6 x4 = 6 Rpta.: Calcular _ el valor de: n- n- E = 4 n n n + 5 _ -n + Desarrollando el caso general: _ n- n- [ 6 x ] _ 6 -n + 7 -n + n- n- 6 n- + 7 n a n- + = a n- + a -n + a -(n-) + n- n- = a n- + = a n a n- a n- a n- _ n- a n- + _ n- = =a n- = a a n- + a n- Por lo tanto, por analogía: _ n- 4 n- + = 4 4 -n + 5 _ n- 5 n- + = 5 5 -n + 5 _ n- 6 n- + = 6 6 -n + 5 _ n- 7 n- + = 7 7 -n

24 Á L G E B R A Luego: E = = Rpta.: 7.- Simplificar: n n x 4n + x x n + n E = x n + x n x n + Resolviendo por partes: n n x 4n + x n x n (x n + ) = x n + x n x 4n (x n + ) = x n n -n = x n n = x n Reemplazando: n n x 4n + x n x n (x n + ) E = = x n + x n x 4n (x n + ) n _ = x n n = x n Rpta.: x 8.- Simplificar: _ n _ n _ n n E = x n x n x n x n4 n x nn Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente: n n n E = x. x n x n x n4 n x nn n n E = x. x. x n x n4 n x nn n4 E = x. x. x. x n4 n x nn por lo que, al final se obtendrá: E = x. x. x. x x = x 4444 n n veces Rpta.: x n 9.- Calcular el valor de: [ ] E = [( 7 ) ( 7 ) ] Si definimos 7 7 = x, luego: _ 7 7- = 7 7 = 7= 7 x - 7 / 7 x -7 7 = 7 7 = = = 7 Reemplazando: ( x x x ) 7 E = _ x _ (7 ) x (7 -x ) x x 7 x 7 = = = Reponiendo el valor de x: E = ( 7 7 ) 7 = 7 Rpta.: Señalar el exponente de x después de simplificar (hay n radicales): 4 4 _ E = x x x 4 x 4 Suponiendo n =, se obtiene que: 4-4 x = x /4 = x 4 Suponiendo n =, se obtiene que: 4 x 4 x = 4 x 4 x. 4. x = 4 x. x 4-5 = x 6 = x 4 - -

25 Suponiendo _ n =, se obtiene: 4 6 _ 4 - x x 4 4 x = 4 x 6 = x 4 = x 4 6 n 6 E = [( ) ] = 0 0 _ n Suponiendo n = 4, se obtiene: _ 4 4 _ 4 - x x x 4 4 x = 44 x 55 = x 4 4 y, así sucesivamente. Para n casos se puede generalizar como: _ 4 n - E = x 4 n 4 n - luego, el exponente es: 4 n.- Simplificar la expresión: 6n + n. n+. 0 n+ n E 4 n+ 5 =[ ] n-. 5 n. 4 n+. 5 n n - n 7 n Trabajando por partes: n. n+ n (4. ) n+ n. 4 n+. n+ = = 4 n+ 4 n+ 4 n+ = n. n. = 9. 6 n 0 n+ (6. 5) n+ 6 n+. 5 n+ = = = 6 n. 6 = 6. 6 n 5 n+ 5 n+ 5 n+ n+. 5 n =. n. 5 n = (. 5) n =. 0 n. 5 n. (4) n. 5 n. (7. ) n = =. 0 7 n 7 n Reemplazando: E = 6 n n n [ ]. 0 n n -. 0 n E = 4 (6) [ ] n 4 (0) n _ n _ n Rpta.: 0,6.- Simplificar: [ E = b -b -b b -b ] b b b b Trabajando con el exponente: _ - b b b ( bb b ) ( bb b ) b = b (b = b - (b )] b [b b = b = b b -b - b -b ) -b A continuación, hagamos que x = b -b-b, y reemplacemos en E: Rpta.: b E = [b b-x ] bx = b b-x. b x = b b0 = b = b.- Calcular: 5 n. n E = n n n+. 5 n - 5 n. 8-5 n+ 5 - /n 5 - Operando por partes: 5 n. n n = (5 ) n. n n = 5 n. n n = (5. ) n n = 50 n n = 50 n. (I) 5 n. 8-5 n+ = 5 n. 8-5 n. 5 = 5 n. (II) _ n - (n+)(n-) 5 n+ n+ = 5 =5 n- (III) /n 5 - = (5 - ) (/n) = (5 - ) n = 5 -n (IV) - 4 -

26 Á L G E B R A Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: 50 n n ( ) n- n. n 5n. 5 5n- E =[ ] [ ] = n 5 --n 0 n. 5 n- n n. 5 n. 5 n- n 5 --n 5 --n = [ ] = [ ] = [ n. 5 n+n-++n ] n = [ n. 5 n ] n = [(. 5 ) n ] n =. 5 = 50 Rpta.: Calcular el valor de:. [ - - ] E = Haciendo x =, por lo tanto x = Reemplazando: x. [ x _ x ] E = x x. x x Efectuando las operaciones necesarias: [ ] _. _ E = x x. (x ) x = (x x ) x [x ] x x x x x = x x. x = x. =. = 9 Rpta.: 9. Calcular: E = [ ] a) b) c) d) e) 4. Hallar E = a.b en la relación: a b. b a = / a) b) c) d) e) 4. Simplificar: E = 5 5 EJERCICIOS PROPUESTOS _ a) 5 b) 65 c) 5 d) 5 e) Calcular n en la igualdad: _ x x x x = x n radicales ( ) a) 6 b) c) 5 d) 4 e) 8 5. Efectuar: 4 J = ( _ ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) 6 5 b) 5 c) 5 6 d) 6 e) 5 6. Efectuar: a) b) c) 5 d) e)

27 - - ( ) E = [( ) ( ) + ( ) + ( ) ] Efectuar: a) / b) /4 c) d) 4 e) 9. Calcular: _ 4 x x 4 4 x E = 5 x x 5 x 5 a) /x b) x c) x d) x e) x 4 8. Calcular: { x x E = x x x xx - [ x x x ] x x x x } 0. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z después de simplificar: _ a x a b b c y b c a E = z c y c b z x a a) b) x c) x d) x e) x x ECUACIONES EXPONENCIALES Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas. Ejemplos de ecuaciones exponenciales: i) 5 x = 5 ii) 8x = 5 iii) [A 4x ] -x = A 645 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL Es el valor o valores que verifican la igualdad relativa. Ejemplos: i) 5 x = 5 x =, dado que: 5 = 5 ii) 7 x+ = 4 x =, dado que: 7 + = 7 = 4 Para obtener la solución se debe tener en cuenta: ) Las bases de las potencias deben ser iguales. ) Para que haya igualdad, los exponentes de las potencias, como consecuencia, deben ser iguales. En resumen: Si A m = A n m = n a) a b) b c) c d) e) 0 EJERCICIOS RESUELTOS.- Resolver: ( 9 x 8 x- ) ( ) = 4 7 Transformando las potencias: x x- [ ( ) ] [. ( ) ] = Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia: x- ) {[ ( ) ] } = ( ) ( x - - ( x -+ ) ( ) = ( ) - x-x+ ( ) = ( ) - Igualando los exponentes: -x + = - x = 4 Rpta.: 4.- Resolver: x + x- + x- + x- + x-4 = 6-6 -

28 Á L G E B R A Transformando las potencias: x x x x x = 6 4 haciendo y = x, se obtiene: y y y y y = eliminado denominadores: 8y + 7y + 9y + y = y = 6. 8 reduciendo: y = y = y = 4 pero: y = x = 4 = 5 x = 5 Rpta.: 5.- Resolver: 9 x+ = 9 x + 40 Descomponiendo las potencias: 9 x. 9 = 9 x + 40 haciendo: y = 9 x 8y = y + 40 de donde: y = Sustituyendo en (a): (a) Efectuando operaciones: 5 8x. 4 -x = igualando exponentes: 8 x. 4 -x = 6 60 transformando: x = 40 Rpta.: Resolver: ( ) -x ( ) x = ( 4 ) 60 x. -x = 40 x-x = 40 ( ) 4x x = 40 ( ) = 0,707 4 _ - Obsérvese que: 0,707 = = = ( ) ( ) ( ) 4x 4/ ( 4 ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) de donde: 4 x = 4 / luego: x = o: ˆ x = / Rpta.: / 4.- Resolver: 9 x = 9 x = 9 / [5 8x ] 4-x = Rpta.: / 6.- Resolver: x x = Haciendo el cambio de variable: y= x (a) - 7 -

29 Extrayendo raíz cúbica: x = y x = y (b) reemplazando (a) y (b) en la ecuación inicial: o, también: ( y ) y = (y ) = y y y = Elevando al cubo, se tendrá: y y = de donde: y = reemplazando en (b): Rpta.: 7.- Resolver: x = x [5 ] 9 = 5 99 Efectuando operaciones: o: de donde: 5 9. x = x = x = 9 9 = ( ) 9 = 8 igualando los exponentes: luego: x = Rpta.: 9 + x = 8 x = 9 = 8.- Calcular el valor de n : _ n- x n + x n +5 = x 5 x n + x n+5 Descomponiendo las potencias: _ n- x n + x n. x 5 = x 5 x n + x n. x 5 factorizando los numeradores y denominadores: _ n- x n ( + x 5 ) = x 5 x n ( + x 5 ) n- x n = x 5 x n n- x n -n = x 5 luego: Rpta.: 5 n(n-) x (n-) = x 5 x n = x 5 n = Resolver la siguiente ecuación exponencial: x = 7 9x-4 Como 7 = entonces: x = ( ) 9x-4 =.9x-4 igualando los exponentes: x =. 9 x-4 =. ( ) x-4 =. x-8 = x-7 x = x-7 igualando los exponentes: x = x - 7 x = 7 Rpta.: 7-8 -

30 Á L G E B R A 0.- Resolver la siguiente ecuación exponencial: [(a x ) x ] x-x = a /8 Efectuando operaciones: _ (a x ) x-x = a a x. x -x = a - igualando los exponentes: _ x. x -x = - x -x = -/ = ( - ) / = ( ) / por comparación: Rpta.: - x -x = ( ) x =.- Resolver: n x n + a n = (b a) n + x n b Elevando a la potencia n ambos miembros de la igualdad: x n + a n = (b a) n + x n b b n (x n + a n ) = (b a) n + x n b n x n + b n a n = b n a n + x n transponiendo términos: b n x n - x n = b n a n - b n a n x n (b n -) = b n a n (b n -) simplificando: x n = b n a n x = ab Rpta.: ab x n = (ab) n.- Resolver: donde : b = x xx b xn-x = x xxx Reemplazando b en la ecuación: n (x xx ) xn-x = x xxxn Efectuando operaciones: x xx. x n-x = x xxxn x xx+n-x = x xxxn igualando exponentes: x xn = x xxxn x n = x xxn igualando exponentes nuevamente: n = x xn Elevando a la n potencia e intercambiando los exponentes: de aquí se obtiene: de donde: n Rpta: n.- Resolver: n n = ( x xn ) n = (x n ) xn x x n = n x = n n = x -. 8 Transformando los exponentes negativos en positivos: x x =. 8 x

31 transponiendo: x x x x = = (8. ) 8 x = (... ) 8 = (. ) 8 x x = [(. ) ] 8 efectuando: x x = 6 6 elevando a la : x por lo tanto: x = 6 Rpta.: Resolver: x x = 6 6 x (b b. x) x = b b-b Elevando a la potencia b b : luego: (b b.x) bb. x = b b-b. b b = b b-b+b = b b (b b. x) bb. x = b b identificando exponentes: x = b -b Rpta.: b -b 5.- Resolver: b b b. x = b ; x = b b x - x + 4 x - = - x- x Transformando adecuadamente: 4 x x - = x. - 4 x 4 Transponiendo términos negativos: 4 4 x x + = x. + x 4 x ( + ) = ( x + ) 4 x + ( ) = ( x ) 4 x. = x x = x 4 x 8 4 / 4 / x / = = = ( ) ( 4 x 4 ) = ( ) / por lo tanto: Rpta.: 6.- Resolver: x = x + x ( ) - x + x - x m = m = m Transformando a fórmulas exponenciales: + x - x - x + x m 9 =m 9. m (/9) - x - 0 -

32 Á L G E B R A de aquí: + x - x + - x + x ( ) - x m 9 =m 9 9 igualando exponentes: + x - x = x + x ( + x )( - x ) Eliminado denominadores: ( x )( + x ) = ( - x )( - x ) + Efectuando operaciones: + x + x + x = - x - x + x eliminando términos y transponiendo: x + x + x + x = 9 9 eliminando denominadores: x + x + x + x = 8 0x = 8 x =,8 Rpta.:,8 7.- Resolver la ecuación exponencial: x x = 4 Trabajando con el segundo miembro: _ _ 4 8 x x = ( ) = [( ) ] = ( ) = [( ) ] 6 x x = ( 6 ) como consecuencia: x = 6 Rpta.: 6 VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se denomina valor numérico de una expresión algebraica al valor que toma dicha expresión cuando se le asigna determinados valores a sus letras. EJERCICIOS RESUELTOS.- Hallar el valor numérico de: - - -( ) ( ( ) ( - ) - ( z y x) E = ) - ( ) + ( ) z y x para: x = 4, y =, z = Reemplazando los valores asignados: E = ( ) - ( ) + ( ) ( ) 4 ( ) ( - ) - ( ) Efectuando operaciones y transformaciones: Rpta.: 5 = ( ) - ( ) + ( ) _ = () - () + (4) / = = 5 = 5.- Calcular el valor numérico de: [ ] a b-a + b a-b E = a b+a + b a+b para: a b = y b a = 0,5 - -

33 Transformando previamente: [ ] [ ] a b. b-a + b a. a-b a b(ba ) -a + b a(ab ) -b E = = a b. ba + b a. ab a b. ba + b a. ab reemplazando los datos: [ ] [ ] (a b ) ba + (b a ) ab 0,5 + (0 5) E = = (a b ) ba + (b a ) ab 0,5 + (0 5) [ ] + ( ) 4 + ] 4 E = =[ ]= [ E = = 8 Rpta.: E = 8.- Hallar el valor numérico de: E = x xx+xx+xx ; para: x xx = Transformando la expresión: E = x xx. x xx+xx = x xx. x xx. x xx Reemplazando el dato: Rpta.: E = 6 E = () ()() = 4 = Hallar el valor numérico de: = (x xx ) ( x x x ) ( x xx ) =[ ] - x x x E x 4 / _ x x x x para: x = 6 Transformando el numerador y denominador separadamente: x x x x = 6 x 4 = x 4/6 _ / x x x x = x 9 = x /9 reemplazando: [ ] = [ x 6 9 ] x 6-6 E = = [x ] x 9 6] ( )( ) = [x = x 6 9 =x 4 = x 4 _ E = 4 6 = Rpta.: E = 5.- Calcular el valor numérico de: E = x xy si se cumple las condiciones siguientes: Multiplicando (). (): de aquí: x a y b = a () x b y a = b () x a+b. y a+b = a+b Dividiendo () entre (): xy = () x a-b = a-b y a-b x = y - -

34 Á L G E B R A Luego, se deduce que: Sustituyendo (4) en (): x = y (4) (y) (y) = y = y = Sustituyendo en (4): x = y x = () = Por lo tanto: Rpta.: E = 4 E = (x) xy = (). = Calcular el valor numérico de: E = x + b a - bx x - b a + bx para x = a - b _ E = (a - bx) (x + b) (a + bx) (x - b) Introduciendo factores: Operando el cuadrado cada expresión: _ E = (a - bx) (x + bx + b ) (a + bx) (x - bx + b ) si x = a - b x = a - b reemplazando: (a - bx) (a - b + bx + b ) E = (a + bx) (a - b + bx + b ) _ (a - bx) (a + bx) E = (a + bx) (a - bx) Rpta.: E = 7.- Calcular el valor numérico de: para: x xxx = [x x(x x- - ) + E = x5xxx. ] Transformando la expresión: + [xx. x x- - x + E = x5xxx. ] = x 5x xx.[xxx - x + ] E = x 5xxx.(x x x - x)+ x x E = x 5xxxx. x xx = x 5xxx+xx -x. x xx el orden de los factores exponentes no altera el producto y sacando 5: E = [( x ) ] x 5 xxx xxx Reemplazando x xxx = se obtiene: E = [() ] 5 = 0 = 04 Rpta.: Calcular el valor numérico de: E = b b + x + x b + x x x b a para: x = b - a Factorizando y efectuando: ( b + x ) (x + b) (b + x) E = = x x x x = b + x b ( ) = ( + ) - -

35 Reemplazando x : ] b + b a E = [ b - a E = E = ] b - a [ + a ] [ + b - a + a a [ ] E = b = b = b a a a b Rpta.: E = a 9.- Calcular el valor numérico de: _ (a + b)(b + c + d) (a + b + c)(c + d + b) E = + b cd _ (a + b)(a + c + d) + a si: ab + ac + ad + bc + bd = 0 Efectuando operaciones se obtiene: _ ab + ac + ad + b + bc + bd E = b (c + d) + ab + ac + bc + bd + ad + c + d reemplazando por el valor del dato se obtiene: E = b + (c + d) + a = b + c + d + a b c + d a b c + d a E = + + = Rpta.: E = 0.- Calcular el valor numérico de E = x+y, en la siguiente ecuación: ab n- = b x n-y ab n- ab Efectuando operaciones en el primer miembro: n- n- n- n -n+- - n- - a n- n-. b = a n-. b n- n- (n-) n(n-) n a n-. b n- = a n-. b n- Igualando el segundo miembro: n x + a n-. b n- = b x. a n-y. b n-y = b Por lo tanto, se puede deducir que: = n - n - y n - y = n - y = n-y. a n-y Del mismo modo, también se deduce que: n x + = n - y n - n x + = n - n - n x + = x = n - y n - E = x + y = + = Rpta.: E = - 4 -

36 Á L G E B R A EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcular el valor de: n 9 n+/4 n- E = n a) b) c) 9 d) 7 e) 8. Calcular el valor de: [ x m + m ] m - E = x m m + m+ para x = m- m m a) b) m m c) m d) m e) m m+. Simplificar la expresión: [ E = (x _ ] _ x - x x+ x- ) x - a) x b) x x c) x x d) e) x 4. Simplificar la expresión: _ a a y = a a a a-a aa a a a aa. a -a- a) a a b) a a c) a d) a e) a -a 5. Simplificar: - 5 {(ab) -[ab{(ab) } ] } n -n m } m E = {[( ab ab ) ] [a m b m ] a) ab b) a c) d) e) a b ab 6. Simplificar: m J = m+. 7 m+ - m+. 7 m. ( m ) - m+5. 7 m - m+. 7 m+ _ a) b) m 9 c) m 7 d) m e) 7. Si x y = y x, calcular: xy -x -x -y -y -x G = [x -y ] [y -x ] a) x b) y x c) y d) x -y e) y x 8. Calcular: n- C = 0 n- + 6 n- + 5 n- ( n- ) - + ( n- ) - + (5 n- ) - a) b) 6 c) 0 d) 0 e) 8 9. Calcular: - _ R = ( ) - a) / b) c) d) e) 4 0. Simplificar: _ x - x E = (x ) x- ( x _ x x a) x b) x c) d) x x e) x 5. Simplificar: [ ] [ ] _ x n-. (x n ) -n (x n- ) n- x x R =. - _ -n x -. -n x - -n x (x x 0 ) - n veces a) x 6 b) x 9 c) x d) x e) - 5 -

37 . Simplificar: {[(a ) ] 4 } -/6. a -/6. {a [a (a ) - ] - } L = _ - 7 [ a a a a ]. [ a a -4] a) a 0 b) a 8 c) a d) a e). Calcular: _ _ ] ]_ 7 _ 7 _ -7 y = [ 7 7 [ 7 a) 7 b) c) 7 d) 49 e) 4 4. Señalar el exponente de x, después de simplificar: ] 4 7 x _ 6x 8 P =[ x x. x 9 x a) b) c) 4 d) e) 5 5. Efectuar: 4 4 [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] J = ( ) _ ( ) _ a) b) c) 6 6 d) 6 e) 6 6. Efectuar: R = { [ ( ) - +( ) - +( ) - ] -. ( ) - () - [ ] ( - ) - ( ) - + ( 5 ) - }- a) 5 b) 6 c) 4 d) 9 e) 8 7. Efectuar: - [ _ _ 6 4 A = ] [ ] 4 _ 8 (7 7) a) / b) / c) /9 d) /4 e) 8. Calcular: _ n n n + - n + 6 n 5n n 8 n + 4 n C = n+ n+ - -n -n + n+ 8 - n+ n- + a) b) 0 c) - d) - e) / 9. Expresar en forma simplificada: _ L = x n x n- xn- x x x a) x n x b) x n- x n c) x n- n x _ d) n x n e) x 0. Simplificar la expresión: 6-0 [ _ x x x E = x a) x b) x c) x d) x e) ]. Resolver la ecuación exponencial: _ x -xx = a) b) c) d) e) - 6 -

38 Á L G E B R A. Hallar el valor de x y n en la siguiente igualdad: xx...x n x = - a) x = b) x = c) x = -8 n = /4 n = n = - d) x = -5 e) x = -8 n = - n = /8. Calcular x en: n x n + 9 n = n 8 + x n a) 7 b) 9 c) d) 8 e) 4 4. Calcular x después de resolver: x = 6 x a) b) 4 c) 9 d) e) Calcular el valor de a después de resolver: siendo a b. a a = b b a b = a a) b) c) d) 8 e) Resolver y dar un valor de x en: (x + y) x-y = 9 x-y 4 = 8x + xy + y a) -/4 b) -9/4 c) 5/4 d) /4 e) 9/4 7. Resolver la ecuación exponencial: x xx = 4 a) b) c) d) e) 4 8. Resolver y dar el valor de y en: (x) x+y = (y) x+y x (x) x = ( y ) y a) b) c) d) e) Resolver: x x- = a) b) c) - d) - e) Resolver: x+ -. x+ = 6 x - a) b) c) - d) e). Si E = 6, calcular x siendo: E = 4 xx. 4 -xx. 4 x-x. 4 -x-x. xx a) b) - c) d) - e) 4. Calcular el valor de: F = ( a b c )( b c a )( c a b ) si abc = u 8 a) u b) u 5 c) u 7 d) u 9 e) u. Calcular el valor de A = xyz si: (0,) 0,4 (0,) 0, (0,) 0, (0,4) 0, = x. y. 5 z a) 0, b) -0, c) 0, d) -0, e) /5 4. Calcular el valor de n en: {[ }n ] + [7 ] -9- = 4 a) b) c) d) e)

39 5. Hallar el valor numérico de: 5 R = x x x x 5 x _ para x = 7 60 a) 4 b) 8 c) 6 d) e) 6. Calcular Y = x -X5, si se cumple que: 5 x 5xxxx = 5 a) 5 b) 5 5 c) d) 5 5 e) Calcular el valor de E = P p x _ si x = y P = x x x x a) 64 b) c) 6 d) 4 e) 8. Calcular L = m n siendo:. _... _ _ m = 0 0 n = 5 5 a) 0 b) 0 c) d) 5 e) 5 9. Calcular el valor numérico de: -/ _ a 8 a - b C = - - _ a a a _. ( a a a ) - para a = b = 6 a) 4 b) c) 8 d) 6 e) 40. Hallar el valor numérico de: E = a) 5 b) c) 0 d) 7 e) 0 CLAVE DE RESPUESTAS )C )A )E 4)C 5)D 6)E 7)C 8)C 9)A 0)D )C )D )B 4)D 5)E 6)A 7)D 8)A 9)C 0)B )B )C )A 4)B 5)C 6)C 7)A 8)E 9)B 0)C )A )E )A 4)C 5)A 6)C 7)D 8)C 9)B 40)C - 8 -

40 Á L G E B R A GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO Es una características de la expresión algebraica, que viene dados por el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero y positivo, y permite determinar el número de soluciones de una ecuación. Puede ser de dos tipos: relativo y absoluto. El primero se refiere a una sola letra y el segundo a todas sus letras. GRADOS DE UN MONOMIO Monomio. Es la mínima expresión algebraica que tiene un sólo término algebraico. Como toda expresión algebraica tendrá dos grados que son: Grado Absoluto. (G.A.). El grado absoluto de un monomio está dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. Grado relativo. (G.R.). Está dado por el exponente de la letra referida a dicho monomio. Ejemplo: Determinar los grados siguiente monomio: M = 4 5 x 7 y 8 z 4 Se debe dar como respuesta los dos grados es decir, el grado absoluto y el relativo. ) G.A.M. = = 9 ) { GR x = 7 con respecto a x G.R.M. = GR y = 8 con respecto a y GR z = 4 con respecto a z GRADOS DE UN POLINOMIO Polinomio. Es una expresión algebraica que tiene o más términos algebraicos; recibe el nombre de binomio cuando tiene términos; trinomio cuando tiene términos, etc. Grado Absoluto de un Polinomio (G.A.P.). Está dado por el término que tiene mayor grado absoluto. Grado Relativo de un Polinomio (G.R.P.). Está dado por el término de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio. Ejemplo: Determinar los grados del siguiente polinomio. P = 4x 4 y z 5 + 8x 5 y 4 z 6 + 9x 6 y z 8 Como no se especifica qué grado debe darse, se obtendrán los dos grados: absoluto y relativo. { G.A. de 4x 4 y z 5 es Grado () Absoluto = G.A. de 8x 5 y 4 z 6 es 5 de P G.A. de 9x 6 y z 8 es 6 ={ Luego: G.A.P. = 6 Grado Relativo con respecto a x = 6 (por ser el mayor exponente) Grado Grado Relativo con respecto a y = 4 (por ser el mayor () Relativo exponente) de P Grado Relativo con respecto a z = 8 (por ser el mayor - 9 -

41 EJERCICIOS RESUELTOS.- Hallar a y b si el Grado Absoluto del monomio es igual a 7, y su coeficiente tiene el mismo valor que el Grado relativo con respecto a x. Siendo el monomio: DATOS: i) G.A.M. = 7 Efectuando: M = (a + b) x (a-) y b a - + b = 7 Luego por el enunciado (): ii) (a - ) = a + b efectuando: a + b = 9 (a - ) + b = 7 a - = a + b (I) o también: a - b = (II) De (II): a = + b (III) reemplazando (III) en (I): de donde: b = ( + b) + b = 9 En (III): a = + = 5 Rpta.: a = 5 b =.- Hallar el valor que debe darse a m para que la expresión: M = sea de 6to. Grado. x m- x 4 m _ 6 x 5m-4 Simplificando la expresión: m m 5m-4 x m- 4 m- + x - M = = 4 6 x 5m-4 x 6 m 5m-4 m también: M = x Para que la expresión sea de 6to. Grado el exponente debe ser igual a 6. m - m 5m = 6 8 Dando común denominador y eliminado denominadores: (m - ) + m - (5m - 4) = 6. 6 m - + m - 0m + 8 = 6 5m = 0 Rpta.: m = 44.- Hallar el grado absoluto de la expresión: M = a+b x c y a b+c w a z c si se cumple la siguiente expresión: (b + c) - + (b - a) - + (b - c) - + (b + a) - = 0 El grado absoluto de M será la suma de los exponentes de x, y, w, z. c + a c + a (c + a) (b + a + b + c) G.A.M. = + = a + b b + c (a + b)(b + c) (a + c) + b(a + c) G.A.M. = ab + ac + bc + b de la condición: a + c + ac + ab + bc = (I) b + ab + ac + bc = 0 b + c b - a b - c b + a

42 Á L G E B R A Agrupando y efectuando de acuerdo a lo señalado gráficamente: b - c + b + c b + a + b - a + = 0 b - c b - a b b + = 0 b - c b - a dividiendo entre b: + = 0 b - c b - a b - a + b - c = 0 (b - c )(b - a ) Para que la expresión sea cero, el numerador debe ser cero, así: b - a + b - c = 0 b = a + c Reemplazando (II) en el G.A.M. (I): b + ac + bc + ba G.A.M. = b + ab + ac + bc (b + ac + bc + ab) = = b + ab + ac + bc Rpta.: G.A.M. = 4.- Si se cumple que: n = m 4 n + Hallar el grado de: x n+m M = x x 4 x... n factores El grado pedido es: (II) G.A.M. = n + m - ( ) + + n + de la condición: n = m 4 5 n n =m n + n = m 4 5 n + ( ) ( ) = m n + n haciendo: = p 4 5 n + n - p = m p = n - m (I) Sustituyendo en el G.A.M. = n + m - (n - m) = n + m - n + m = m Rpta.: G.A.M. = m 5.- Hallar el grado de la expresión: M = 4 a x El grado es el exponente de x: = m Elevando al cubo se obtiene: = m pero se puede reemplazar la raíz por su valor que es m : 4 + m = m m - m - 4 = 0 probando para m =, se obtiene: Rpta.: G.A.M. = () - () - 4 = 0-4 -