OPTIMIZACION = 5. Para comprobar que se trata de un mínimo acudimos al citerior de la segunda derivada

Transcripción

1 0 OPTIMIZACION En un eperimento en un lbortorio se hn relizdo medids del mismo objeto, que hn ddo los resultdos siguientes: m 0.9; m 0.9; m 0.9; m 0.90; m 0.9. Se tomrá como resultdo el vlor de tl que l sum de los cudrdos de los errores se mínim. Es decir, el vlor pr el que l función E() ( m ) ( m ) _ ( m ) lcnz el mínimo. Clcule dicho vlor.. Se pide clculr el mínimo de un función, pr ello se deriv l función y se igul cero. E ( m) ( m ) ( m) ( m ) ( m ) E ( m) ( m ) ( m) ( m ) ( m ) 0 m m m m m 0 E 0 m m m m m 0 m m m m m 0 m m m m m ,9 Pr comprobr que se trt de un mínimo cudimos l citerior de l segund derivd E 0 > mínimo 0 Se dministr un medicin un enfermo y t hors después l concentrción en sngre del principio t ctivo viene dd por c t t e miligrmos por mililitro. Determine el vlor máimo de c(t) e indique en qué momento se lcnz dicho vlor máimo. Sbiendo que l máim concentrción sin peligro es de mg/ml, señle si en lgún momento hy riesgo pr el pciente. L función tendrá máimos reltivos en quellos puntos donde su primer derivd se cero y su segund derivd se negtiv. t t t t c ( t) e t e e t t c ( t) t 0 : e 0 : 0 : t En l resolución de l ecución, hy que tener en cuent que l prte eponencil nunc se nul c t t c e e < 0 e c e 0,7 mg ml e t t t t ( t) e e e e L concentrción del fármco es máim ls dos hors de hberlo dministrdo, siendo el vlor máimo (0,7 mg/ml) inferior l concentrción máim que no entrñ riesgo pr el pciente, por lo tnto, el pciente no corre ningún riesgo. t

2 0 Los estudintes de un centro docente hn orgnizdo un rif benéfic, con l que pretenden recudr fondos pr un ONG. Hn decidido sorter un ordendor portátil, que les cuest 600 euros. Quieren fijr el precio de l ppelet, de modo que l recudción se máim. Sben que si el precio de cd un es euros, venderín 000 ppelets, pero que, por cd euro de incremento en dicho precio, venderán 00 ppelets menos. A qué precio deben vender l ppelet? Si el único gsto que tienen es l compr del ordendor, cuánto dinero podrán donr l ONG? Problem de optimción. cntidd en en que se increment el precio ce l ppelet Precio de l ppelet: Número de ppelets vendids: Recudción en función del incremento del precio de l ppelet: R ( ) ( ) 00 ( ) ( 0 ) 00 ( 0 ) L recudción máim se obtiene derivndo l función e igulndo cero R 00 ; R 0 ; 00 ( ) 0 : Pr comprobr que es un máimo es utiliz el criterio de l segund derivd: R < 0 Pr un precio de 6 por ppelet se obtiene un recudción máim. Donción Recudción Gstos Donción R Hllr, b, c de modo que l función f b c lcnce en un máimo reltivo de vlor, y teng en un punto de infleión. En el enuncido se inform que l función tiene un máimo en el punto (, ), por lo tnto se debe cumplir dos condiciones: - f - f 0 L tercer condición es que en eiste un punto de infleión. - f 0 Ls tres condiciones ecuciones con tres incógnits. f b c f b f 6 que debe cumplir l función permiten plnter un sistem de tres f b c b c f 0 b 0 : b : f f 9 9 b c

3 0 Ddo el polinomio P() b c, obtener los vlores de, b y c de modo que se verifiquen ls condiciones siguientes: El polinomio P() teng etremos reltivos en los puntos de bsciss /,. L rect tngente l gráfic de P() en el punto (0, P(0)) se y. Los dtos que precen en el enuncido permiten plnter cutro ecuciones con tres incógnits. - etremos reltivo. P 0 - etremos reltivo. P 0 - L pendiente de l rect tngente en 0 vle (y m n). P ( 0) - L tngente y l función comprten el punto de tngenci. Si 0, y 0 P(0). El punto (0, ) pertenece l función. P ( 0) P 0 P P P : P 0 : ( 0) : 0 0 ( 0) : 0 0 b 0 b b b 0 : b b b 0 : b : b b c c c P() Dd l función f () se pide: ) ( punto). Hllr l ecución de l rect tngente su gráfic en el punto (, f ) pr > 0. b) ( punto). Hllr los puntos de corte de l rect tngente hlld en el prtdo ) con los dos ejes coordendos. c) ( punto). Hllr el vlor de > 0 que hce que l distnci entre los dos puntos hlldos en b) se mínim. Solución. L ecución de l rect tngente un función en un punto en form punto-pendiente es: y y m o, y o Punto donde: m Pendiente o o Teniendo en cuent que l pendiente de l rect tngente es l derivd de l función m f, y que el punto pertenece l función y por tnto tiene l form prticulrizd en el punto ( ( o )) (, f ) o 0, l ecución de l tngente en el punto o tiene l form: y f f ( ) donde: f () f f sustituyendo en l ecución de l rect tngente y ( ) multiplicndo tod l ecución por y ordenndo se ps form generl

4 0 y 0 b. Pr obtener los puntos de intersección de l rect con los ejes coordendos, se ps l ecución form cnónic. y 0 y OX: (,0) A OY: y y B 0, c. d ( A B) ( b ) ( b ) ( 0 ) 0 Pr obtener el mínimo de est función se derivd respecto de y se igul cero. 0 : 0 : : : ± Como se pide el vlor positivo de, el posible mínimo está en. Pr comprobr que es un mínimo, el signo de l primer derivd l izquierd de uno ( ) debe ser negtivo (decreciente) y l derech ( ) positivo (creciente). Pr que resulte más sencillo el estudio, es conveniente simplificr l epresión de l derivd ( ) teniendo en cuent l epresión simplificd de l derivd, su signo solo depende del numerdor. ( ) ( ) < 0 : pr eiste un mínimo. ( ) ( ) > 0 Clculr un polinomio de tercer grdo p() b c d sbiendo que verific: i) tiene un máimo reltivo en. ii) tiene un punto de infleión en el punto de coordends (0, l). iii) se verific: p d 0 Se pide clculr cutro prámetros de un polinomio conocids cierts crcterístics del mismo. Es necesrio clculr ls dos primers derivds. p b c p 6 b i) Si l función tiene un máimo reltivo en, l derivd del polinomio prticulrizd en debe ser cero. p b c 0 : b c 0 ii) Si el polinomio tiene un punto de infleión en (0, l), debe de cumplir dos condiciones ( 0,) y p p( 0) : p( 0) 0 b0 c0 d : d Si en ( 0, ) eiste infleión p ( 0) 0 : 6 0 b 0 : b 0 iii) ( b c d) 0 d b c d 0

5 0 b c d b 6c d L crcterístics del polinomio genern un sistem de cutro ecuciones con cutro incógnits b c 0 d c 0 b 0 6c c b 6c d p Clculr l bse y l ltur del triángulo isósceles de perímetro y áre máim. Se piden ls dimensiones del triángulo isósceles de áre máim y perímetro constnte, pr ellos se deberá epresr el áre del triángulo en función de un únic vrible. Supóngse un triángulo como el de l figur, que pr simplificr los cálculos l bse se l denomin y los ldos igules y, l dividirlo en dos se obtiene un triángulo rectángulo en el que se encuentr, medinte el teorem de Pitágors, l relción entre l ltur y ls longitudes de los ldos e y. b A b h : y y h y L epresión obtenid permite clculr el áre de culquier triángulo isósceles conocids ls longitudes de los ldos. Si el perímetro del tringulo debe ser, se deberá cumplir demás y y simplificndo y despejndo y pr sustituirl en el áre A y ( ) 6 6 epresión que permite clculr el áre de culquier triángulo isósceles de perímetro en función de l mitd de l longitud de l bse. Pr clculr el máimo de est función se deriv y se igul cero ( ) 0 : 0 A 0 : ( ) 0 : 0 : 6 6 L solución 0 no tiene sentido geométrico. Pr comprobr si en un máimo bst con estudir el signo l derech y l izquierd de Sí < > 0 A > 0 A() es creciente Sí > < 0 A < 0 A() es decreciente En el áre lcnz un vlor máimo Si y El triángulo isósceles de áre máim es equilátero de ldo l función present

6 0 Se dese construir un cj cerrd de bse cudrd cuy cpcidd se dm. Averigur ls dimensiones de l cj pr que l superficie eterior se mínim. (, y) y : A y A A 0 y 6 6 A A > 0 Mínimo Bse ; ltur Se consider un ventn como l que se indic en l figur (l prte inferior es rectngulr; l superior, un semicircunferenci). El perímetro de l ventn mide 6 m. Hllr ls dimensiones e y del rectángulo pr que l superficie de l ventn se máim. (Epresr los resultdos en función de π ) Solución Es un problem de optimción en el que se pide optimizr ls dimensiones de un ventn pr que su áre se máim siendo su perímetro constnte. ÁREA VENTANA ÁREA RECTÁNGULO ÁREA SEMICÍRCULO π A(, y) y π y Función de dos vribles que permite clculr el áre de culquier ventn como l de l figur, conocid l longitud de l bse y de l ltur de l prte rectngulr. Teniendo en cuent que el perímetro debe ser de 6 m: π π Perímetro 6 y π y y Despejndo y de l ecución del perímetro y sustituyendo en l del áre se obtiene un epresión A() que permite clculr el áre de culquier ventn como l de l figur de perímetro 6 en función únicmente de l longitud de l bse. π 6 π y sustituyendo en A(,y) π π π π π A() π A() Derivndo est epresión se obtienen los vlores de que optimizn l función:

7 0 Pr π π π 6 A' 0 ; ; y π π π π A " < 0 6, y el áre de l ventn es máim. π π Dos línes férres se cortn perpendiculrmente. Por cd líne vnz un locomotor (de longitud desprecible), dirigiéndose mbs l punto de corte; sus velociddes son 60 km/h y hn slido simultánemente de estciones situds, respectivmente, 0 y 0 km del punto de corte.. Hllr l distnci l que se encuentrn ls locomotors, en función del tiempo que ps desde que inicin su recorrido.. Hllr el vlor mínimo de dich distnci. Solución.- Se pide clculr un epresión pr l distnci de seprción de dos puntos móviles que se desplzn perpendiculrmente y con velociddes constntes en función del tiempo. Tomndo un sistem de referenci como el de l figur y considerndo el desplzmiento positivo, el ejercicio se reduce clculr l hipotenus de un triángulo rectángulo en el que l longitud de los ctetos será función del tiempo. Trnscurrido un tiempo t, l posición de los móviles vendrá dd por s I 60t 0 s II 0t 0 por lo que l distnci de seprción entre los móviles será s(t) (60t 0) (0t 0) 000t² 000t t² 0t.- Se pide clculr el mínimo de l función s(t). Se clcul l derivd: 60t 0 s' (t) 0 0t² 0t igulndo cero l derivd: 0 S '(t) 0 60t 0 0 ; t h. 60 Criterio: S' < 0 S( t) Decreciente : eiste un mínimo S' > 0 S( t) Creciente