Métodos Numéricos para Fluidos

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1 Métodos Numéricos para Fluidos L. Héctor Juárez V. Departamento de Matemáticas UAM I Octubre, 202 XLV Congreso Nacional de la SMM

2 Dinámica de fluidos computacional Es una rama de la dinámica de fluidos en la que se utilizan métodos numéricos y algoritmos para analizar y resolver problemas que involucran flujos de fluidos. Motivación: Desde siempre, los seres humanos hemos querido entender la dinámica del mundo y los diversos fenómenos de la naturaleza. Uno de los objetivos es el control ó al menos la predicción. Desarrollo del cálculo y análisis + física Aparición de las ecuaciones diferenciales: siglo XVIII (D Alembert, Euler, Lagrange y Laplace)

3 Modelo: ecuaciones de Navier Stokes Navier, Poisson, 83 Stokes, 845: movimiento de fluidos viscosos como agua y aire ρ du = σ + f dt Conservación de momentum ρ t + (ρu) = 0 Conservación de masa ρ: densidad u: velocidad Claude Louis Navier, σ = p I + D(u): tensor de esfuerzos p: presión, D(u): tensor de deformación f: fuerzas externas por u. de volumen ρ dv = ρ u n ds = (ρ u) dv t V S V George Gabriel Stokes,

4 Derivada total: du dt = u t + u u Fluido Newtoniano: D(u) = µ ( u + ( u) t) Incompresible: ρ dv = 0 = u = 0 t V Inercia { }} { ( u ) ρ + }{{} t } u {{ u } Aceleración Aceleración convectiva no estacionaria u = 0 = p } {{ } Fuerza normal + µ 2 u } {{ } Fuerzas viscosas + f }{{} Fuerzas de volumen Uno de los sistemas de EDP más útiles: describe la física de un gran numéro de fenómenos de interés científico, académico y económico. Dado un estado inicial queremos conocer la evolución del sistema.

5 Preguntas Existen las soluciones bajo suposiciones razonables? Es posible calcularlas? Propiedades: El modelo (ecuaciones de N S) tiene que ser consistente internamente: Uno esperaría que el modelo tuviera soluciones únicas para al menos un rango de datos razonables. Las soluciones deben tener propiedades adicionales de cierto sentido común: Se disipa o se conserva la energía?, La velocidad permanece siempre finita?, Las posibles soluciones son aceptables? Todos los anteriores aspectos estan intimamente ligadas a la matemática.

6 Problemas Sean Ω un dominio en R d, y sea Q = Ω (0, T ), y sea H = { v L 2 (Ω) d : v = 0 en Ω, v n = 0 sobre Ω } Problema. Dado f L 2 (Q) d, u 0 H, encontrar u L 2 (0, T ; V ) L (0, T ; H), p D (Q) tales que Ahora sea u t + (u )u ν u + p = f, u t=0 = u 0. V = { v H (Ω) d : v = 0 en Ω, v n = 0 sobre Ω } Problema 2. Dado f L 2 (Q) d, u 0 H, encontrar u L 2 (0, T ; V ) L (0, T ; H) tal que u t v dx + (u )u v dx + ν u : v dx = f v dx Ω Ω Ω Ω v V t [0, T ] ctp

7 Algunos resultados Existe al menos una solución del problema 2. Existe una única solución para d = 2. Toda solución del problema 2 es solución del problema. La solución depende continuamente de los datos f, u 0. Algunos problema abiertos: Para d = 3, con datos no necesariamente pequeños, se desconoce la unicidad de la solución. Para d = 3, se desconoce si datos regulares producen soluciones regulares. El siguiente es un problema abierto con un premio de millon de dolares (Clay Institute of Mathematics): Si Ω = R 3, f = 0, u 0 C solenoidal, demostrar que el problema 2 tiene una solución de clase C

8 Razones para considerar las ecuaciones de N S Es un modelo que describe una familia importante de fenómenos. En la práctica, se utiliza en una gran diversidad de campos de conocimiento: Hidrodinámica, metorología, oceanografía, hidráulica, aerodinámica, astrofísica, vulcanología, etc. Contiene muchas de las dificultades que uno encuentra en las EDP no lineales. El análisis y la solución de estas ecuaciones es de mucho interés en matemáticas. Existe varios problemas abiertos para estas ecuaciones. J. Heywood, Open problems in the theory of the Navier-Stokes equations for viscous incompressible flow, Lecture Notes in Math. No. 43, pp. 22, Springer Verlag, Berlin 988.

9 Algunos métodos de solución de las EDP Método de las caracterísiticas (EDP de er. orden). Métodos de tranformadas (de Laplace, de Fourier,...). Funciones de Green. Cambio de variables. Separación de variables. Series de Fourier. Métodos de Grupos de Lie. Problema práctico: Para las ecuaciones de N S no es posible encontrar soluciones analíticas, salvo en casos excepcionalmente simples.

10 La realidad es compleja En aplicaciones reales las EDP usualmente Son no lineales. Por ejemplo, en la ecuación del calor la constante de difusión térmica k realmente depende de la solución e incluso puede depender de la dirección: u t = κ(u) u. Modelan fenómeneos en regiones complejas. Por ejemplo, la ecuación de calor (aunque sea lineal), en un dominio complejo usualemte no tiene solución analítica. Combinan diferentes operadores. Por ejemplo la ecuación de Fisher (advección-difusión-reacción) p t + u p = ν 2 p + s p ( p) Contienen combinaciones de las anteriores dificultades

11 Métodos de aproximación Las EDP se resuelven primero discretizando la ecuación, llevandolo a un subespacio de dimension finita. En general, el procedimiento reduce el problema a la solución de un sistema finito de ecuaciones algebraicas. La justificación teórica involucra teoremas del análisis, el análisis funcional y el algebra lineal. Técnicas de discretización: Diferencias finitas. Volumen finito. Elemento finito. Métodos sin malla. Elementos de frontera. Métodos espectrales. Métodos de partículas. Lattice Boltzamnn. Monte Carlo. Perturbación. Series.

12 Los métodos más populares ó conocidos Diferencias Finitas/forma diferencial Discretization techniques Aproximación de valores nodales Finite differences / differential form Fácil, efectivo y simple Limitado a mallas structuradas Discretization (por techniques bloques) limited to (block-)structured meshes Volumen Finito/forma integral approximation of nodal derivatives simple and effective, easy to derive Finite differences / differential form Finite volumes / integral form approximation of nodal derivatives approximation of integrals simple and effective, easy to derive conservative by construction limited to (block-)structured meshes Aproximación de integrales de volumen suitable for arbitrary meshes por integrales de supeficie Finite volumes / integral form Finite elements / weak form approximation of integrals weighted residual formulation conservative by construction remarkably flexible and general suitable for arbitrary meshes Conservativos por construcción Adecuado para mallas generales Bajo orden de suitable convergencia, for arbitrary meshes viscosidad artificial. Finite elements / weak form weighted residual formulation remarkably flexible and general

13 Finite volumes / integral form approximation of integrals conservative by construction Elemento Finito/forma débil suitable for arbitrary meshes Aprox. formulación variacional Finite elements / weak form weighted residual formulation Gran flexibilidad y generalidad remarkably flexible and general Adecuado para mallas generales suitable for arbitrary meshes Complejo para programar Métodos sin Malla/RBF No involucra integración numérica Fácil y simple de programar No requiere discretización del dominio Limitaciones de estabilidad

14 Método de diferencias finitas Finite difference method Idea: Sustituir las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en Principle: derivatives in the partial differential equation are approximated diferencias by linear combinations of function values at the grid points Principio: Las derivadas parciales en la ecuación se sustituyen por combinaciones D: Ω lineales = (0, X), de valores u i u(xde i ), la función i = 0,,. en.., Nlos nodos de la malla. grid points x i = i x mesh size x = X NÜÆ First-order derivatives ½ ÜÆ ½ ¼ Ü Ü¼ ܽ D : u ( x) Ω(0, = X), lim u i u(x i ), = i = lim,, N. x x 0 x x 0 x u( x + x) u( x x) = lim (by definition) x 0 2 x u( x + x) u( x) Ü Ü ½ u( x) u( x x) Puntos de malla: x i = i x = i h Tamaño de malla: h = x = L/N

15 Aproximación de las derivadas de primer orden Derivadas de primer orden u x ( x)=lim h 0 u( x+h) u( x) =lim h u( x) u( x h) h 0 h =lim h 0 u( x+h) u( x h) 2h Dif. hacia adelante Dif. hacia atrás Diferencias centrales ( ) u u ( ) i+ u i u u ( ) i u i u u i+ u i x x x x x x i Expansión en series de Taylor: u(x) = i n=0 i ( n ) u (x x i ) n x n i n! T + : T : ( ) u u i+ = u i + x x i ( ) u u i = u i x x i + ( x)2 2 + ( x)2 2 ( 2 ) u x 2 i ( 2 ) u x 2 i + ( x)3 6 ( x)3 6 ( 3 ) u x 3 + i ( 3 ) u x 3 + i

16 Aproximaciones Diferencia hacia adelante de er orden ( ) u T + = = u i+ u i ( x) ( 2 ) u x x 2 x 2 i i Error de Truncamiento O( x) Diferencia hacia atrás de er. orden ( ) u T = = u i u i + ( x) ( 2 ) u x x 2 x 2 i i O( x) Diferencia central de er. orden ( ) u T + T = = u i+ u i ( x)2 x 2 x 6 T + + T 2 i Diferencia central de 2do. orden ( 2 ) u = x 2 = u i+ 2 u i + u i x 2 x 2 2 i ( 3 ) u x 3 + i ( 4 ) u x 4 i O( x 2 ) O( x 2 )

17 Ejemplo: ecuación de difusión u t ν u = 0, x = (x, y) Ω, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), x Ω, u = g, x Ω, t 0. Discretización: U n i,j u(x i, y j, t n ) Ω = [0, X] [0, Y ] x i = i x, i = 0,,..., I, y j = j y, j = 0,,..., J, t n = n t, n = 0,,..., N. Esquema explícito U n+ i,j t U n i,j [ U n i,j 2Ui,j n + Ui+,j n = ν ( x) 2 + Un i,j 2Un i,j + Ui,j+ n ] ( y) 2.

18 Explicito, Implícito ó Semi-implicito? U := U i,j δ 2 x U := U i,j 2U i,j + U i+,j δ 2 y U := U i,j 2U i,j + U i,j+ U n+ U n t Esquema explícito [ δ 2 = ν x U n ( x) 2 + δ2 y U n ] ( y) 2 Crank Nicolson,Crank, J.; Nicolson, P. (947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc, 43: : U n+ U n t = ν 2 [ δ 2 x (U n+ + U n ) ( x) 2 + δ2 y (U n+ + U n ] ) ( y) 2 Sistema lineal con (I ) (J ) ecuaciones. Si x = y (ν x = ν y ), la matriz del sistema es: A I 4 A = I+ ν I A I I A I con A = I A 4 T (x, t) = O( x 2 ) + O( y 2 ) + O( t 2 )

19 0 n = 0 n = Y X Y X n = 6 n = Y X Y X I = J = 48, t =

20 Estabilidad Estabilidad Numérica: La variación total de la solución numérica en un tiempo fijo permanece acotada conforme t 0 (Los errores cometidos en un paso de tiempo no causa que los errores crezcan a medida que los cálculos continuan Crank, J., Nicolson, P. (947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc. 43: 50?-67, doi:0.007/bf Charney, J. G.; Fortoft, R.; von Neumann, J. (950), Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation, Tellus 2: doi:0./j tb00336.x n = 0 n = 0 n = 30 n = 50 Δt = Δt = Δ

21 Convergencia Consistencia: Un esquema es consistente si su error de truncamiento tiende a cero cuando los parámetros de discretización tienden a cero. La discretización de la EDP se transforma en la exacta cuando t, x 0. Convergencia: Un esquema numérico es convergente si lim t, x 0 Un i = u(x i, t n ). Teorema de equivalencia de Lax: consistencia + estabilidad = convergencia Para un esquema de diferencias finitas (lineal) consistente, convergencia equivale a estabilidad. Lax, P. D.; Richtmyer, R. D. Survey of the stability of linear finite difference equations. Comm. Pure Appl. Math., 9 (956), 267?-293.

22 Problema simple de Navier-Stokes Sean Ω un domino en R d (d = 2, 3) y T > 0. Dado el estado inicial u 0 (x) y g definida sobre Γ (0, T ), encontrar u(x, t) y p(x, t) tales que u t ν u + (u )u + p = 0 en Ω (0, T ], u = 0 en Ω (0, T ], u(0) = u 0 en Ω, u = g sobre Γ (0, T ). Principales dificultades: ) EDP no lineal, 2) condición de incompresibilidad, 3) sistema de EDP acopladas. Formulación variacional: Para t > 0, encontrar u(t) V, p(t) P, tales que para toda v V 0 y para toda q L 2 (Ω), se satisface u Ω t v dx + (u )u vdx p v dx + ν u : v dx = 0, Ω Ω Ω q u dx = 0, Ω u(0) = u 0, ( u 0 = 0).

23 Discretización: elemento finito T h = triangulación de Ω con parámetro de dicretización h. Aproximación de los espacios V, V 0, P: 86 Chapter 2. The finite element method V h = {v h v h (C 0 (Ω)) 2 5 9, v h T P 2 P4 2, T 4 5 T h, v h Γ = g h (t)}, V 0h = {v h v h (C 0 (Ω)) 2 6 2, v h T P 2 P 2, T 6 T h, v h Γ = 0}, P h = {q h q h C (Ω), q h T P, q h dx = 0 T T h }. 8 9 Figure 2.4: Local-to-global mapping for a simple mesh consisting of two triangles. The six local degrees of freedom of the left triangle (T) are mapped to the global degrees of freedom Ω ιt(i) =, 2, 4, 9, 8, 5 for i =, 2,..., 6, and the six local degrees of freedom of the right triangle (T )are mapped to ι T (i) =2, 3, 4, 7, 9, 6 for i =, 2,..., 6. Figure 2.5: Patching together a pair of quadratic local function spaces on a pair of cells (T, T ) to form a global continuous piecewise quadratic function space on Ω = T T Triangulación de Ω y función enitpholds that h Forma de la componente de una función en V h li T (v T) =lt i (v T ). (2.53) In other words, if two local degrees of freedom li T and li T aremappedtothesameglobaldegreeof

24 Problema semidiscreto Para t > 0, calcular u h (t) y p h (t), con u h (0) = u 0h y tales que: u h v dx+ (u h )u h v dx p h v dx+ν u h : v dx=0, v V 0h, Ω t Ω Ω Ω q u h dx = 0, q L 2 h, Ω Operator Splitting: Dado u 0 = u 0h, y conocido u n, n 0.. Encontrar u n+/3 y p n+ tales que u n+/3 u n v dx p n+ v dx = 0 v V 0h, Ω t Ω q u n+/3 dx = 0 q L 2 h ; Ω 2. Encontrar u n+2/3 = u(t n+ ), con u(t), t (t n, t n+ ), solución de u v dx + (u n+/3 ) u v dx = 0 v V 0h, Ω t Ω u(t n ) = u n+/3, and u(t) = g h (t n+ ) on Γ n+ (t n, t n+ ) 3. Finalmente, encontrar u n+ tal que { u n+ u n+2/3 v dx + ν u n+ : v dx = 0 v V 0h. Ω t Ω

25 Justificación del Operator Splitting Considérese el problema de valores iniciales: du dt + A U + B U + C U = 0, U(0) = U 0 A, B, y C lineales e independ. de t = U(t) = e (A+B+C)t U 0 Si A, B, C no conmutan: e (A+B+C) t = e C t e B t e A t + O( t 2 ). Esquema de partición del operador de er. orden: Dado U 0 = U 0, para n 0 y U n conocido, calcular:. U n+/3 = U(t n+ ), donde U(t) es solución sobre (t n, t n+ ) de: du/dt + A U = 0, U(t n ) = U n 2. U n+2/3 = U(t n+ ), donde U(t) es solución sobre (t n, t n+ ) de: du/dt + B U = 0, U(t n ) = U n+/3 3. U n+ = U(t n+ ), donde U(t) es solución sobre (t n, t n+ ) de: du/dt + C U = 0, U(t n ) = U n+2/3

26 Flujo pasando un obstáculo cilindrico 44 Chapter 2. A comparison of finite element schemes for the incompressible Navier Stokes equations a b c d Figure 2.2: Results for the Taylor Green vortex test problem Y X-Axis Figure 2.3: Illustration of the velocity field for the cylinder test problem at t = 5.

27 Transición a la turbulencia de un flujo oscilatorio 3.575e e e e e e e e+02.44e e+02

28 Problemas de fluidos más complicados Flujos electrohidrodinámicos Flujos magnetohidrodinámicos Flujos de superficie libre Flujos particulados Flujos multifásicos Flujos térmicos Flujos turbulentos Flujos compresibles Flujos viscoelásticos

29 Flujo electro-hidrodinámico Electro hidrodinámica: también llamada electro-cinética, es el estudio de la dinámica de los fluidos cargados eléctricamente. 2 CHAPTER 3. ELECTROOSMOTIC MICROPUMPS Estudio in some applications del (see movimiento Ref. [5]). However, de EOlas pumping partículas is limited by anionizadas important y su interacción drawback: its poor efficiency due to the Joule effect. The efficiency can be defined as con el fluido y los campos eléctricos. η = p Q P, (3.) where p is the pressure built by the pump, Q the flow rate and P the power delivered to the pump. In the DC case, we have P = V Aplicaciones: MEMS, canales 2 σelec with σelec being the conductivity of iónicos, celdas de combustible the electrolyte and V the applied voltage. Taking some values from Ref. [4], the reported EO pumps have a typical thermodynamic efficiency under %. This means that most of the energy is dissipated into heat. This heat can be a source of problem in some devices. This heat must be evacuated and can interfere with some process downstream the pump. XXV CONGRESO DE LA SOCIEDAD MEXICANA DE ELECTROQUÍM 3RD MEETING OF THE MEXICAN SECTION ECS Negatively charged surface D Debye Length Induced flow profile + Positively charged layers Negatively charged surface Figure 3.: Principle of electroosmotic pumping. The charged layers, induced by the electrodes potential, are driven by the parallel electrical field along the channel.viscosity transfers the momentum to the rest of the fluid. In the case of a vanishing back-pressure, the flow profile is flat in the bulk. (Brask, [3]) We will now give some brief description of various characteristic of the DC Electroosmotic pumps. 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 3.2. characteristics Figura. Montaje experimental usado en la evaluación de una celda de combustib Los 3.2 EO fenómenos pumps overview relacionan conversión de energía cinética en energía eléctrica ó visciversa.

30 Modelo: Navier Stokes, Poisson-Nernst-Planck Eduardo Ramos (CIE-UNAM), Ciro F Flores (ITESM Pachuca), Miguel Gozález (UAM-I) ) ρ ( u t + u u u = 0, µ 2 u + p = f, (f = ρ q φ) } {{ }, Fuerza eléctrica ɛ s 2 φ = ρ q (ρ q = F (z + C + z C )), Carga eléctrica total C + + u C + = (D + C + + w + z + F C + φ), t C + u C = (D C + w z F C φ). t advección Diffusion Electromigration El modelo es fácilmente generalizable a cualquier número de especies iónicas, lo cual ocurre en la mayoría de las aplicaciones.

31 Operator splitting:. Calcular φ (ec. Poisson) con las concentrciones C ±. 2. Calcular u, p (ecs. N S) con la fuerza eléctrica f. 3. Calcular las concentraciones C ± (ecs. N P) con φ, u Aplicación: capas límite en celdas de combustible. Electro cinética (flujo estacionario): u = 0 = p = ρ q φ. Condiciones de frontera en electrodos: ( C ± + w ± z ± C ± φ) n = 0 Condiciones iniciales { +v en el ánodo φ + λ S φ n = v en el cátodo C ± (x, 0) = c 0 ±(x), φ(x, y, 0) = vy o

32

33 Flujo con superficie libre Roland Glowinski, Giovanna Guidoboni, Suny Canic (University of Houston) Ecuaciones sobre Ω(t), 0 < t T [ ] u ρ + (u u) = ρ g + σ t u = 0. x 2 H γ (t) Ecuaciones sobre frontera libre γ(t): σn = s H(η) n η t n 2 = u n H(η) = radio de curvatura de f. l.: /( H(η) = 2 η x 2 + η x 2) 3/2 0 Ω (t) L x η(x, t), función de frontera libre. s, tensión superficial, n = normal unitaria a la frontera libre.

34 Formulación variacional Dado el estado inicial Ω(0) = Ω 0, u(0) = u 0. Suponiendo que en el tiempo t conocemos la región de fluido Ω(t), se calcula u(t), p(t) y η(t) tales que [ ] u ρ + (u u) v dx + 2µ D(u) : D(v) dx p v dx Ω(t) t Ω(t) Ω(t) = ρ g v dx + s γ(t) H(η(t)) n v dγ(t), v H p (Ω(t))) 2, Ω(t) Ω(t) q u dx = 0, q L 2 (Ω(t)), η t + u η = u 2, x sobre γ(t), with η(0, t) = η(l, t), Operator Splitting: este problema tiene cuatro dificultades:. La condición de incompresibilidad y la presión. 2. El término de convección. 3. El término de difusión. 4. La relocalización de la frontera libre.

35 Elemento finito isoparamétrico P iso P 2 Al tiempo t n el dominio Ω n es no poligonal, debido a la frontera libre curvada: a K a 3 a 2 K 4 K a 3 K Triángulo rectilineo 3 2 a a 2 23 a3t a3t K3T a K K 23T a T 4T T K2T a2t a2t Triángulo curvado

36 Ejemplo t=0.0 t=0.03 t=0.05 t=0.07 t=0. t=0.5 t=0.9 t=0.26 t=0.3 Flujo perturbado en un plano horizontal periódico.

37 Interacción fluido cuerpos rígidos Roland Glowinski, T. W. Pan (UH), J. Périaux, T Hesla, D Joseph,... Sobre la región con fluido: Navier-Stokes [ ] u ρ f + (u )u = ρ f g + σ t u = 0. B Sobre los cuerpos rígidos: Newton-Euler B 2 n d(m j V j ) dt d(i j ω j ) dt ( ) = M j g + F j F j = σ n B j ( ) = T j T j = Gj x σ n B j Para cada cuerpo rigido j =,, J: B 3 B(t) = J j= B j (t), M j y I j : masa y tensor de inercia V j y ω j : velocidad de traslación y rotación F j y T j : fuerza hidrodinámica y torque G j : centro de masa B 4 Ω f (t) = Ω \ B(t)

38 Las anteriores ecuaciones se complementan con Condición cinemática: dg j dt = V j, j =,..., J Condiciones iniciales: G j (0) = G 0j, V j (0) = V 0j, ω j (0) = ω 0j, j =,..., J u(x, 0) = u 0 (x) Condiciones de frontera: u(x, t) = 0 sobre Ω u(x, t) = V j (t) + ω j (t) G j (t)x, x B j (t), j =,..., J

39 Formulación Variacional Condiciones iniciales: u(x, 0) = u 0 (x), Ω(0) = Ω 0 G j (0) = G 0j, V j (0) = V 0j, ω j (0) = ω 0j, j =,..., J. Para t > 0, calcular {u(t), p(t)} (H (Ω f (t))) d L 2 (Ω f (t)) y {G j (t), V j (t), ω j (t)} J j= Rd R d R 3, tales que {v, Y, θ} R d R d R 3, se satisface [ ] u ρ f + (u )u vdx + 2µ D(u) : D(v)dx p vdx Ω f (t) t Ω f (t) Ω f (t) J ] J + [M j Vj Y j + (I j ω j ) t θ j = ρ f g vdx + M j g Y j Ω f (t) j= q u(t)dx = 0, q L 2 (Ω f (t)), Ω f (t) dg j = V j, j =,..., J. dt Condiciones de frontera: u(t) = g 0 (t) sobre Γ, u(x, t) = V j (t) + ω j (t) G j (t)x, x B j (t), j =,..., J. j=

40 Dominios Ficticios y Multiplicadores de Lagrange Para t > 0, encontrar {u(t), p(t)}, con u(t) = g 0 (t) sobre Γ, {G j (t), V j (t), ω j (t)} J j= y λ j (t) Λ j (t), tales que {v, Y, θ} [ ] u ρ f + (u )u vdx + 2µ Ω t Ω J + ( ρ ] f ) [M j Vj Y j + (I j ω j ) t θ j ρ j j= J λ j, v Y j θ j Gj x j = ρ f g vdx + j= Ω q udx = 0, q L 2 (Ω), Ω dg j dt = V j, j =,..., J, D(u) : D(v)dx Ω p vdx J ( ρ f )M j g Y j ρ j υ j, u(t) V j (t) ω j (t) G j (t)x j = 0, υ j Λ j (t), j =,..., J. j=

41 Operator splitting: las componentes de este problema consisten de: La condición de incompresibilidad y la presión, convección y difusión. El movimiento de cuerpo rígido y el multiplicador relacionado λ j (t). Los términos de colisión, cuando esten presentes. T = 0 T = 0.5 T = 0.2 T = 0.3

42 t=0 t = 0.2 t = 0.25 t = 0.3 t = 0.35 t = 0.4 t = 0.5 t = 0.6 t = 0.7 t=

43 Proyecto: aplicación a energía eólica Eduardo Ramos (CIE-UNAM), María Luisa Sandoval (UAM-I), Pedro González Casanova (IM-UNAM) La energía eólica puede considerarse como una fuente nueva y limpia, actualmente en evolución y que complementa otros tipos de producción de energía Para poder utilizar la energía del viento, es necesario que este alcance una velocidad mínima, que depende del aerogenerador que se vaya a utilizar pero que suele empezar entre los 3 a 4 m/s (0 a 4,4 km/h), y que no supere los 25 m/s (90 km/h). En esta industria emergente es importante tener mecanismos para estimar el campo de viento, y poder aprovecharlo en forma óptima con diseños convenientes de los aerogeneradores.

44 Recuperación de campos de viento ( agua) Pedro González-Casanova (IM-UNAM), María Luisa Sandoval (UAM-I), Jorge López (UJAT), Daniel Cervantes, Rafael Reséndiz, Daniel Jácome. Datos: velocidad inicial horizontal u I en Ω Problema: encontrar el campo real u, más cercano a u I, tal que Restricción física: u = 0 en Ω, Condiciones de frontera: u n = 0 sobre Γ N (flujo inviscido)

45 Mínimos cuadrados Encontrar el campo ajustado u = u I + w, más cercano a u I, tal que u = 0 en Ω, u n = 0 sobre Γ N. V = {v H(Ω; div) : v = 0, v n = 0 sobre Γ N } Problema de mínimos cuadrados: minimizar el funcional J(v) = 2 v ui 2 S S(v u I ) (v u I ) dx, v V, 2 Ω

46 Modelo de proyección Problema de punto silla S u λ = Su I enω, u = 0 en Ω, λ = 0 sobre Γ T, u n = u I n sobre Γ V, u n = 0 sobre Γ N. Problema de Poisson correspondiente para λ con nuevas condiciones de frontera: (S λ ) = u I en Ω, λ = 0 sobre Γ T, S λ n = 0 sobre Γ V, S λ n = u I n sobre Γ N.

47 Método de colocación con funciones de base radial λ(x) n ω j φ( x x j ). j= L λ = (S λ) B λ = g sobre Ω en Ω u(x) u I (x) + [ ] L φ [ω] = B φ n ω j S φ( x x j ). j= [ ] u I g Colocación de Nodos Campo inicial horizontal

48 x x e r 0 0 e r = , mdiv =

49 Extensión a 3 D FBR (muticuádricas) Total de nodos: 26 MEF (lineal) Total de nodos: 9,26 Nodos Nodos interiores: mdiv = er = z interiores: 6,859 er = mdiv = u = (x, y, 2z) 2

50 La forma de los aerogeneradores

51 t = 6 t = 2 t = 20 t = 26 t = 58 t = t t

52 GRACIAS!! L. Héctor Juárez V. Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa

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