Después de construir modelos matemáticos de programación

Transcripción

1 Introducción Después de construir modelos matemáticos de programación lineal, necesitamos desarrollar métodos que nos permitan encontrar la solución de estos modelos. En esta unidad se resolverán modelos de P. L. de dos variables (2 dimensiones) por el método gráfico. Los pasos a seguir en este método son: Graficar las restricciones. Hallar la región de soluciones factibles (polígono de solución). Graficar la función objetivo. Desplazar la función objetivo hasta encontrar la solución óptima. Aunque difícilmente se encuentran ejemplos reales de dos dimensiones, nos sirven como antecedente para comprender mejor el método símple analítico o tabular, el cual se estudiará en la siguiente unidad. Este método se utiliza para resolver problemas de P. L. de n dimensiones. Además realizaremos un análisis de sensibilidad, el cual consiste en estudiar el comportamiento de la solución óptima cuando se cambian los coeficientes de la función objetivo o las cantidades limitantes de las restricciones. Habrá modelos cuya solución no eista o bien no sea única, también analizaremos algunos ejemplos de este tipo, los cuales se presentan continuamente en la realidad Gráfica de rectas y regiones en el plano Una línea recta es un objeto geométrico. Euclides definió la recta como la distancia más corta entre dos puntos en el plano. Más tarde Descartes asocia a toda línea recta una representación algebraica a través de una ecuación lineal de dos variables. La definición en geometría analítica de la línea recta es: Definición. Decimos que una línea recta que pasa por el punto ( 0, y 0 ) está formada por todos los puntos del plano cartesiano (, y) tales que la relación 125

2 Unidad 4 m y y permanece constante. A este número se le da el nombre de pendiente de una línea recta y se denota con la letra m. Geométricamente la pendiente de una línea recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje positivo de las abscisas (ángulo de inclinación) medido en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (véase la figura 4.1.). 0 0 Figura 4.1. Gráfica de una línea recta. La ecuación general de una línea recta es de la forma A + By + C = 0, donde A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer orden con dos incógnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas y después despejar el valor de la otra variable. El conjunto solución de esta ecuación es infinito y representa todos los puntos que forman la línea recta. Obtener la gráfica de la ecuación 3 2y = 8. Ejemplo 1 Sabemos que dados dos puntos, sólo eiste una recta que pasa por ellos, por lo tanto, basta conocer estos dos puntos que pertenecen a la línea recta para poderla trazar. 126

3 1. Damos un valor arbitrario a la variable y que puede ser el valor cero (y = 0), sustituimos en la ecuación: 3 2(0) = 8. Se resuelve la ecuación resultante 3 = 8. Despejamos y obtenemos 8, por lo que el primer 3 8 punto de la recta es 3, En la ecuación 3 2y = 8, damos el valor arbitrario 2 a la variable ( = 2), sustituyendo en la ecuación se tiene 3(2) 2y = 8. La ecuación 8 resultante es 6 2y = 8. Despejamos y para obtener y 6 donde y = 1. 2 Se obtiene así el segundo punto de la recta: (2, 1). 3. Localizamos estos puntos en un plano cartesiano y trazamos la recta cuya ecuación es 3 2y 8. y Ejercicio 1 1. La pendiente de una línea recta es del ángulo de inclinación. 2. Euclides definió la línea recta como más corta entre dos puntos en el plano. 127

4 Unidad 4 3. La intersección de la ecuación 3y = 10 con el eje de las ordenadas es: a) (0, 10) b) 0, c) 0, 3 3 d) 0, La gráfica de la ecuación + y = 0 es: y y y y 5. La gráfica de la ecuación = 4 es: a) b) c) d) 6. Obtener la gráfica de la ecuación 6 5y =

5 Gráfica de desigualdades lineales de dos variables Una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad lineal de dos variables, tienen por solución una región del plano cartesiano. Por ejemplo, si tenemos la desigualdad + y > 0, el punto (2, 3) pertenece al conjunto solución de esta desigualdad ya que = 5 > 0 y, en general, el conjunto solución de esta desigualdad está dada por el plano que se encuentra sobre la recta + y = 0. Gráficamente se representa como la región sombreada (véase la figura 4.2.): y Figura 4.2. En este caso los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solución, ya que estos puntos hacen que se cumpla la igualdad y no la desigualdad. En los modelos de I. O. generalmente se permiten ambos, es decir, la igualdad y la desigualdad. Esto lo denotamos utilizando los símbolos < (menor o igual que) o > (mayor o igual que). En estos casos la línea recta pertenece al conjunto solución y se marca como una línea continua. Si queremos graficar una desigualdad lineal, se procede como sigue: 1. Graficar la igualdad asociada a la restricción. Con esto obtenemos una línea recta, la cual divide al plano cartesiano en dos regiones. 2. Para saber cuál de las dos regiones satisface la desigualdad, tomamos un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad. 129

6 Unidad 4 3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el punto es la región solución. Si no satisface la desigualdad entonces la región solución es la opuesta a donde tomamos el punto. Obtener la gráfica de la desigualdad < Se traza la gráfica de la igualdad asociada: = 10 Ejemplo 2 2. Se toma un punto, por ejemplo, (5, 10) que está por encima de la recta. 3. Lo sustituimos en la desigualdad 5(5) + 3(10) < 10 y verificamos que ésta se cumpla: 5(5) + 3(10) < < < 10 Observamos que esta epresión es falsa, por lo tanto se toma la región que no incluye al punto seleccionado. Esto quiere decir que la región solución es la sombreada en la siguiente figura: 130

7 Figura 4.3. Ejemplo 3 Obtener la gráfica de la desigualdad < 6 1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada = 6 2. Se elige el punto (0, 0) que está por debajo de la recta. 3. Sustituimos en la desigualdad y verificamos si se satisface: 20 ( ) 30 ( )

8 Unidad 4 El origen cumple con la desigualdad, por lo tanto se toma la región que incluye al origen, la gráfica es la región sombreada en la siguiente figura: Figura 4.4. Obtener la gráfica de la desigualdad > Se traza la gráfica de la igualdad asociada. Ejemplo 4 132

9 2. Se elige el punto (2, 0) que está por debajo de la línea recta. 3. Sustituimos este punto en la desigualdad y verificamos si la satisface: 2(2) + 6(0) > > 12 4 > 12 Esta última epresión es falsa, por lo tanto, se toma la región que no contiene al punto (2, 0). La región es la parte sombreada en la siguiente figura: Figura La gráfica de la desigualdad > 15 es: Ejercicio

10 Unidad 4 2. Para graficar una desigualdad lineal primero se traza la asociada. 3. La gráfica de la desigualdad 1 > 0 es: a) 2 y 1 b) La gráfica de la desigualdad 2 es: 5. Obtener la gráfica de la desigualdad < Obtener la gráfica de la desigualdad >

11 4.2. Región de soluciones factibles en maimización En la sección anterior aprendimos a graficar desigualdades lineales con dos incógnitas, esto nos va a ayudar a obtener la solución de problemas de P. L., los cuales se resuelven primero por método gráfico; para posteriormente utilizar un método analítico. Un modelo de maimización de P. L. de dos dimensiones tiene la forma general: Z má = f( 1, 2 ) Sujeto a las restricciones (s. a.): a a 12 2 < b 1 a a 22 2 < b 2... a n1 1 + a n2 2 < b n con las condiciones de no negatividad: 1 > 0 2 > 0 Donde: Z má = f( 1, 2 ) es una función lineal de dos variables, la cual queremos maimizar; un conjunto de desigualdades lineales de dos variables, las cuales pueden ser de la forma menor o igual que y la condición de no negatividad para las variables. Lo primero que debemos hacer es buscar la región del plano que contiene los puntos solución de todas las desigualdades, para hacerlo primero debemos graficar cada una de las desigualdades y posteriormente empalmar todas las gráficas, la intersección de todas las regiones solución, es llamada región de soluciones factibles. O bien en un solo sistema coordenado se grafica al conjunto de restricciones (rectas y regiones) y la intersección será la región de soluciones factibles. 135

12 Unidad 4 Ejemplo 5 Obtener la región de soluciones factibles del siguiente conjunto de desigualdades < > 0 Graficamos por separado cada una de las desigualdades y obtenemos: < > 0 Si empalmamos estas dos gráficas, podremos observar que se intersectan en una franja, que se forma entre las dos líneas rectas. 136

13 Esta zona contiene los puntos solución de ambas desigualdades, por ejemplo, el punto (1, 1) está dentro de esta zona y al sustituirlo en las desigualdades las satisface: 3(1) + 2(1) < > < 6 2 > 0 5 < 6 Sin embargo, el punto (4, 5) sólo está en la zona de la desigualdad > 0, esto quiere decir que solo satisface esta desigualdad. Para verificarlo se sustituye en ambas desigualdades el punto mencionado. 3(4) + 2(5) < > < 6 9 > 0 22 < 6 Falso Verdadero Por lo tanto este punto no pertenece a la región de soluciones factibles. Nota. La región de soluciones factibles de un conjunto de desigualdades también se llama región factible. Cuando tenemos varias desigualdades, la zona factible puede ser de dos formas: No acotada. Acotada. 137

14 Unidad 4 Si la región factible es no acotada, quiere decir que se puede etender indefinidamente hacia algún etremo del plano cartesiano. Si es acotada, lo que tenemos es un polígono irregular que contiene todos los puntos solución del sistema. Es importante añadir que las líneas del polígono también pertenecen a la zona factible; recordemos que estamos trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye. Ejemplo 6 Obtener la región factible del siguiente conjunto de desigualdades < 18 2 < 6 1 < 4 1 > 0 2 > 0 a) Graficamos la primera desigualdad que es <

15 b) Graficamos la segunda desigualdad que es 2 < c) Graficamos la tercera desigualdad que es 1 < 4 d) Las desigualdades cuarta y quinta nos indican que nos limitamos a valores positivos de 1 y 2 dentro del primer cuadrante. 139

16 Unidad 4 e) Finalmente, si colocamos todas las gráficas en un mismo plano cartesiano y sombreamos sólo la parte donde se traslapan, obtenemos la zona factible. En este caso obtuvimos un polígono irregular de 5 lados. Otro método Podemos graficar todas las desigualdades sobre un mismo sistema coordenado marcando con una flecha la región que corresponde a cada una. La intersección es la región factible como se muestra en la figura 4.6. Figura

17 Obtener la región factible del siguiente problema de P. L. Ejemplo 7 s.a.: Z má = < > 1 2 < 3 1 > 0 2 > 0 Graficamos cada una de las desigualdades: < 12 (1) a) Graficamos primero la igualdad = ( ) (, 0 6) ( 0) ( 4, 0) 141

18 Unidad 4 b) Ahora sustituimos el punto (6, 6) en la desigualdad ( ) 26 ( ) Como la desigualdad es falsa, se considera la región que no contiene el punto > 1 (2) a) Graficamos primero la igualdad asociada = (, 0 1) (, 1 0) 142

19 b) Ahora sustituimos el punto (2, 2) en la desigualdad Como la última epresión es verdadera, entonces el punto es un punto solución de la desigualdad y, por lo tanto, se considera la región que lo contiene. 2 < 3, 1 > 0, 2 > 0 (3) a) Graficamos las igualdades asociadas a cada desigualdad. La primera es una línea paralela al eje 1 al igual que la tercera. La segunda es una línea paralela al eje 2 que pasa por el origen. Nota. En este tipo de rectas no es necesario obtener dos puntos para graficarlas. 143

20 Unidad 4 b) Las desigualdades 1 > 0, 2 >0 nos limitan al primer cuadrante del plano cartesiano, mientras que la desigualdad 2 < 3 se satisface con los puntos que están por debajo de la recta asociada, por lo tanto, la zona solución de estas desigualdades es: Ahora colocamos todas las gráficas en un plano cartesiano y obtenemos la región factible del problema de P. L Obtenemos un polígono irregular de 5 lados. Cada uno de los segmentos de línea que limitan la región factible, recibe el nombre de fronteras. La intersección de dos fronteras forma un vértice. Decimos que dos vértices son adyacentes si comparten una frontera. Se asegura (como resultado de un teorema) que la solución óptima de nuestro problema (al maimizar o minimizar la función objetivo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible. 144

21 Para saber cuál de los cinco vértices es el punto solución óptima, tenemos que graficar la función objetivo. Para hacerlo, tomamos un punto arbitrario de la región factible y lo sustituimos en la función objetivo para obtener un valor inicial. Por ejemplo, tomemos el punto (2, 2). Z má = Z (2, 2) =3(2) + 2 Z (2, 2) =8 Ahora buscamos todos los puntos del plano para los cuales la función objetivo tiene el valor 8. Estos puntos los encontramos graficando la ecuación =8 Sólo un segmento de esta recta cae dentro de la región factible, es justamente este segmento el que contiene todos los puntos que son las combinaciones que pueden tomar nuestras variables de decisión, sin embargo, todas ellas dan a nuestra función objetivo el valor constante de ocho. Sabemos que el lado derecho de una ecuación lineal determina la posición de la recta dentro del sistema cartesiano, sin afectar la pendiente de la misma. Se trata de que la función objetivo asuma el máimo valor posible, entonces tomamos un valor mayor a ocho, digamos 10 y graficamos dentro del sistema cartesiano, es decir, se grafica la ecuación =10 145

22 Unidad 4 Al darle un valor más grande a nuestra función objetivo, ésta se desplazó hacia la derecha, entonces debemos desplazarla en esta dirección sin salirnos de la región factible. Esto lo podemos hacer con ayuda de unas escuadras y unas hojas milimétricas, para poder identificar el último punto que toca la función objetivo. Así encontramos que la solución óptima del modelo de P. L. dado es 1 = 4 y 2 = 0 con el cual obtenemos un valor máimo de la función objetivo en Z = 12, ya que no eiste ningún punto dentro de la región factible que haga que la función objetivo tome un valor mayor a

23 Ejemplo 8 Recordemos que en la primera unidad se planteó el siguiente problema: La empresa Patito produce dos tipos de detergentes, uno para ropa blanca y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia de $ 2 por litro vendido, mientras que el de ropa de color deja una ganancia de $ 3. La empresa sólo puede producir 10 litros del de color y 15 del de ropa blanca al día. Los vendedores pueden vender como máimo 15 litros de detergente al día sin importar de cual se trate. Cuál es la combinación que maimiza las ganancias de la empresa? El modelo de programación lineal asociado es: Z má = 2 + 3y s.a.: + y < 15 (1) < 15 (2) y < 10 (3) > 0 (4) y > 0 (5) Si resolvemos este modelo utilizando el método gráfico, obtenemos: 147

24 Unidad 4 a) Graficamos cada una de las desigualdades sobre un mismo sistema cartesiano para hallar la zona factible. y b) Tomamos un punto arbitrario dentro de la zona factible y lo sustituimos en la función objetivo, para hallar un valor y poder graficarla. Por ejemplo el punto (5, 5); por lo tanto, Z (5, 5) = 2(5) + 3(5) = 25, con lo que tenemos que graficar la ecuación 2 + 3y=25 c) Damos un valor mayor (Z = 28) y graficamos, para ver hacia dónde se mueve la función objetivo. 148

25 En general siempre que demos un valor mayor al lado derecho de una ecuación lineal de dos variables, esta se va a desplazar a la derecha sobre el eje horizontal. Si la línea es paralela a este eje, entonces se desplaza hacia arriba. d) Desplazamos la función objetivo en la dirección de maimización, sin salirnos de la región factible. El último punto que toque es la solución óptima. Esto quiere decir que debemos producir 5 litros del detergente para ropa blanca y 10 litros de detergente para ropa de color, con esta combinación la empresa va a tener una ganancia de $

26 Unidad 4 Ejercicio 3 1. Un modelo de P. L. está formado por una función que se tiene que maimizar o minimizar. 2. El método gráfico se utiliza para resolver problemas en dimensiones. 3. El área donde coinciden todas las gráficas de las desigualdades se llama: a) Solución. b) Región factible. c) Región no factible. 4. Si la región factible es acotada, lo que obtenemos es un: a) Cuadrado. b) Triángulo. c) Polígono irregular. 5. Los candidatos a solución del problema son: a) Los puntos interiores. b) Los puntos eteriores. c) Los vértices. 6. Obtener la región factible del siguiente modelo de programación lineal, además de la solución óptima con el valor de Z má : Z má = s.a.: < > 1 2 < 3 1 > 0 2 > 0 150

27 4.3. Región de soluciones factibles en minimización En esta sección resolveremos problemas de P. L. por método gráfico, donde la función objetivo se va a minimizar. Como los pasos a seguir son esencialmente los mismos, vamos a desarrollar el método resolviendo el siguiente problema Resolver el siguiente problema de P. L Z mín = s.a.: 2 2 Ejemplo 9 Su región factible ya la calculamos, por lo tanto sólo la dibujamos: Ahora debemos graficar la función objetivo. La gráfica queda entonces de la siguiente forma: 151

28 Unidad 4 La diferencia es que ahora le damos un valor menor a la función objetivo y observamos hacia donde se desplaza. Por ejemplo, con el valor Z = 4 graficamos la línea recta =4 La recta se desplaza hacia la izquierda, por lo tanto debemos desplazar esta recta paralelamente hasta alcanzar el último punto de la región factible. 152

29 De esta manera, la solución óptima se encuentra en el vértice (0, 1), donde la función objetivo toma el valor Z mín =1. La única diferencia para resolver un problema de maimizar o de minimizar es la dirección en la que se debe desplazar la línea que representa la función objetivo. Ejercicio 4 Obtener la región factible de los siguientes modelos de programación lineal, además de la solución óptima 1. Z mín = s.a.: Z mín = s.a.: Solución gráfica con propiedades especiales Al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales, eisten tres casos posibles: Que el problema tenga solución única. Que el problema no tenga solución. Que el problema tenga una infinidad de soluciones. 153

30 5. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal. Z 10 5 má s.a.: , Análisis gráfico de sensibilidad Una vez que obtuvimos la solución del modelo de programación lineal, debemos realizar un análisis de sensibilidad, debido a que los sistemas con los que se trabaja en la realidad son dinámicos y no estáticos. Por ejemplo, cómo se afecta la solución si cambiamos los coeficientes de la función objetivo? o qué pasa si se varían las cantidades limitantes en las desigualdades? Esto es importante, ya que si la empresa tiene capital para comprar una mayor cantidad de alguna de las materias primas, debemos decidir en cual nos conviene este aumento. El análisis de sensibilidad presentado en esta sección se basa en ideas gráficas, un análisis analítico lo vamos a llevar a cabo en la unidad 5. Cambio en los coeficientes de la función objetivo Los coeficientes de la función objetivo representan la utilidad unitaria de cada uno de los productos, o bien el costo unitario. En ambos casos una variación en estos datos hacen que la función objetivo cambie. Para llevar a cabo el análisis de sensibilidad en este caso, revisemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 13 Una empresa fabrica bocinas de 3 y 8 de diámetro. Las bocinas de 3 dejan una utilidad de $ 20, mientras que las de 8 de $ 30. La empresa puede fabricar como máimo 300 bocinas al día, por políticas del departamento de ventas se deben producir al menos 100 bocinas de 3 y como máimo 150 bocinas de 8. Cuántas bocinas de cada tamaño se deben producir para maimizar la utilidad? 159

31 Unidad 4 Las variables de decisión son: 1 = número de bocinas de tres pulgadas que se deben fabricar. 2 = número de bocinas de ocho pulgadas que se deben fabricar. El modelo de P. L. asociado a este problema es: Z má Zmá s.a.: Los coeficientes de la función objetivo se obtienen de las ganancias que deja cada tipo de bocinas. Aplicando el método gráfico, obtenemos la siguiente región factible. 2 En el punto (150, 150) Z má tiene un valor de $ La pregunta ahora es qué pasa con la solución si la ganancia de la bocina de 3 aumenta a $ 25? Este cambio hace que la función objetivo cambie de coeficientes, sin embargo, no afecta ninguna de las desigualdades, por lo tanto la zona factible se mantiene igual y lo único que cambia es la inclinación de la recta que representa la función objetivo. Lo que nos interesa saber es si debemos seguir produciendo 150 bocinas de cada tipo, o si este cambio realizado afecta nuestra solución. Esto depende de qué tanto cambie la inclinación de la recta. Realicemos un análisis gráfico para determinar el rango en que se puede variar la inclinación de dicha recta sin cambiar el vértice solución. 160

32 La ecuación de la recta asociada a Z má en el punto solución es: =7 500, con una pendiente de m Z má con la modificación del coeficiente asociado a la bocina de 3 es: =7 500, con una pendiente m Si graficamos ambas rectas obtenemos lo siguiente: La pendiente disminuyó, lo que hizo que la recta se desplazara hacia abajo, por lo que al desplazarla nuevamente hacia arriba llegamos al mismo punto óptimo, pero el valor de Z má ahora es $ El vértice no varió, porque el cambio de la pendiente se mantuvo entre las pendientes de las fronteras del vértice solución óptima, esto es, de las rectas =300 con pendiente m a = 1 y la recta 2 =150 con pendiente m b = 0. Por ejemplo, si la ganancia de las bocinas de 3 se incrementa a $ 35 entonces Z má toma la forma =9 750 (9 750 porque la evaluamos en el punto (150, 150)), cuya pendiente es m que se sale del intervalo [ 1, 0]. Si graficamos esta recta obtenemos: 161

33 Unidad 4 En la gráfica se ve claramente que esta recta giro más allá de la frontera =300, y que, además, podemos seguir moviéndola hacia la derecha sin salirnos de la región factible, y así llegar al vértice (300, 0) que es nuestra nueva solución, con un valor de Z = $ El punto que escogimos hizo que la pendiente fuera negativa, si cambiamos los coeficientes para que la pendiente sea mayor a cero, esto implicaría que una de las bocinas causará pérdidas en lugar de utilidades. Realicemos el análisis, porque en ocasiones esto sucede en la realidad, ya que el introducir un nuevo producto puede reportar pérdidas en lugar de ganancias. Por ejemplo, digamos que nuestras bocinas de 3 dejan una pérdida de $ 20. Con esto la función objetivo toma la forma =4 200 con una pendiente m Si graficamos obtenemos: 162

34 La recta giró más allá de la frontera 2 =150. En este caso para maimizar la función Z má debemos desplazar la recta hacia arriba, por lo que la solución pasa a ser el punto (100, 150) con una ganancia de $ Podemos decir entonces que la solución no va a cambiar de vértice, a menos que la pendiente se salga del intervalo [m a, m b ] que son las pendientes de las fronteras que se intersectan en dicho vértice. Cambio en las cantidades limitantes Ahora supongamos que la empresa quiere producir 400 bocinas en lugar de las 300 que originalmente consideramos. Cómo afecta esto la solución? 163

35 Unidad 4 Ésta es la otra posibilidad, cambiar las cantidades limitantes de las desigualdades y mantener constantes los coeficientes de la función objetivo. Vamos a analizar el caso donde sólo varió una de las restricciones, posteriormente se pude generalizar este análisis. El cambiar la cantidad límite de alguna de las desigualdades implica que la región factible también se modifique, sin embargo, la función objetivo se mantiene sin cambios, lo importante ahora es determinar nuevamente cómo se afecta el punto óptimo. El cambiar el valor numérico de una ecuación de la forma =400 no afecta su pendiente, lo que hace es desplazarla sobre los ejes, moviendo su ordenada al origen. Esto ocasiona que la región factible se haga más grande o más pequeña. En el ejemplo la región factible toma la forma: En este caso la región factible aumenta de tamaño, el vértice solución óptima se desplaza hacia la derecha, lo que hace que la función objetivo pueda tomar un valor mayor. Lo que debemos cuidar al variar el lado derecho de las desigualdades es no variarlo de tal manera que resulte una región no factible. Otra pregunta importante es: En cual de las desigualdades me conviene aumentar o disminuir su cantidad limitante? Esta pregunta la vamos a contestar cuando realicemos el estudio del problema dual, por el momento sólo debemos tener presente que pequeños incrementos en las cantidades limitantes de las desigualdades implican pequeños aumentos en la región factible, lo que se traduce en pequeños aumentos de la función objetivo Z má. Para ejemplificación del análisis de sensibilidad ver aneo al final del libro. 164