Tasa de variació n media. Cónceptó de derivada

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1 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Ts de vrició n medi Cónceptó de derivd y L ts de vrición medi de un unción L TVM de TVM, b, b en un intervlo ( b) ( ) b, designd TVM, b, es el cociente: en es l pendiente del segmento que une los puntos A(, ( )) y (, ), b A veces, l intervlo se le design medinte l epresión su longitud, h En tl cso, l ts de vrición medi se obtiene sí:, h B b b nombrndo, sí, un etremo del intervlo,, y ( ) h TVM, h h El crecimiento de un unción en un punto viene ddo, de orm nturl, por el crecimiento (l pendiente) de l rect tngente l curv en ese punto Relción entre el crecimiento en un punto y l TVM L TVM de un unción en un intervlo se interpret como l pendiente de l cuerd correspondiente Y t X X X A X Si nos ijmos en l igur nterior será TVM, TVM, pendiente de, etcéter L rect tngente, de ls secntes t AX pendiente de AX ; TVM, pendiente de, se obtiene como límite de ls secntes AX, AX, AX, Por tnto, su pendiente es el límite AX i, cundo Xi A Derivd de un unción en un punto El crecimiento de un unción en un punto se mide por l pendiente de l rect tngente l gráic de l unción en ese punto Se obtiene medinte el siguiente límite: lim A este límite, cso de eistir y ser inito, se le llm derivd de en el punto y se design simbólicmente por ' Si el límite nterior no eiste o es, se dice que no eiste l derivd de en el punto, o que no es derivble en AX ; Derivds Págin

2 Unidd 0 Derivds Ejemplos Hllr l derivd de l unción lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics y en el punto de bscis Vemos si eiste el límite lim ( )( 7), cundo ( ) ( ) ( ) 4 0 lim lim lim 0 ( ) lim lim Hllr l derivd de l unción y Vemos si eiste el límite lim en el punto de bscis, cundo Por tnto '( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) 5 5 lim lim lim 0 Por tnto 4 Hllr l derivd de l unción en el punto de bscis 5 Vemos si eiste el límite lim, cundo 5 Mtemátics I - º Bchillerto 5 ' 4 ( 5) 5 0 ( )( ) ( 5)( ) lim lim lim lim lim lim lim ( 5)( ) ( 5)( ) ( 5)( ) lim 5 4 Por tnto '5 4 4 Hllr l derivd de l unción en el punto de bscis 4 Vemos si eiste el límite lim, cundo 4 ( 4) ( ) ( 4 4 ) ( 4)( 4 ) ( 4) ( 4)( 4 49) ( 4)( 4 ) ( 4)( 4 ) ( 4)( 4 ) lim lim lim lim lim lim lim lim Por tnto '( 4) Derivds Págin

3 Unidd 0 Derivds Supongmos que unción se le llm unción derivd de lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Funció n derivd es un unción y se A es conjunto de puntos en los que l unción ': A Pr hllr l unción derivd en un punto genérico Ejemplos lim Hllr l derivd de l unción ( ) ( ) Mtemátics I - º Bchillerto Derivds Págin y ', volvemos estudir l eistenci del límite es derivble Entonces l en un punto culquier de su dominio 0 lim lim lim 0 ( )( ) lim lim( ) 4 Por tnto, l derivd en un punto culquier ' 4 Esto es lo mismo que decir que si, entonces Hllr l derivd de l unción ' 4, es en un punto culquier de su dominio 0 ( )( ) 0 ( )( ) ( )( ) lim lim lim lim lim lim ( )( ) Por tnto, l derivd en un punto culquier, es '( ) Esto es lo mismo que decir que si, entonces ' en un punto culquier de su dominio ( ) 0 lim lim lim lim lim lim 0 ( ) ( ) Por tnto, l derivd en un punto culquier, es '( ), entonces ' Hllr l derivd de l unción Esto es lo mismo que decir que si Utilizndo l técnic vist en los ejemplos nteriores se pueden recopilr uns regls práctics con ls que se puede hllr, muy ácilmente, l derivd de culquier unción elementl En l siguiente sección se propone un tbl de derivds y uns regls elementles de derivción Tmbién se dn ls derivds de ls unciones compuests Pr ello hy que tener en cuent l siguiente regl, conocid por derivd de l unción compuest o regl de l cden ( g )' '( g ) g '

4 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Tbl de derivds y regls de derivció n Mtemátics I - º Bchillerto Tbl de derivds Función Derivd Función compuest Derivd y k y y y ' 0 y ' y' y y n y y e y y ' n n y ' y ' y' e ' ln y ln y log y y ' y ' n n y' n ' y y y y e y y ln ln y sen y' cos y cos y' sen y tg y rcsen y rccos y rctg y ( ) log ' y ' ' ' y ' ' ' ' y e ' ln ' y ' y ' ' ' ln y ' ' ln y sen y ' ' cos y cos y ' ' sen y tg y' tg y ' y ' y ' cos cos y ' ' tg ( ) y rcsen y rccos y rctg ( ) y ' y ' ' ' ' y ' ' ( ) Derivds Págin 4

5 Unidd 0 Derivds Regls de derivción lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Función Derivd de un número por un unción y k y ' k ' Derivd de un sum o de un dierenci y g y ' ' g ' Derivd Derivd de un producto y g y ' g g ' Derivd de un cociente y g y ' g ' g g Regl de l cden y ( g ) y ' g '( ) ' L regl de l cden viene decir que si un unción está compuest por vris se v derivndo desde uer hci dentro De tl mner que se deriv l primer unción que se observe Luego se multiplic por l derivd de l unción que hy dentro de l nterior y sí sucesivmente Observ ls dos últims columns de l tbl de derivds Ejemplos Si 4 Derivmos primero l potenci y luego se multiplic por l derivd de l unción que hy dentro ( ) ( ) ' ln Derivmos primero l ríz y luego el logritmo ' ( ) ln ln Derivmos primero l eponencil y luego l ríz ln ' ln 4 ln Derivmos primero l ríz, y luego lo que hy dentro de l ríz, que es un producto de dos unciones (hemos de utilizr l regl de l derivd de un producto) ln ' ln ( ln ) ln ln ln 5 e Esto es un cociente de unciones, por tnto, se plic l regl de derivción de un cociente Observ que l unción del numerdor es un eponencil de bse e, luego su derivd es ell mism multiplicd por l unción de rrib e e ' e e 6 5 Derivds Págin 5

6 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto IMPORTANTE Es muy importnte simpliicr el resultdo trs derivr, de tl mner que l derivd quede lo más mnejble posible Pr ello tenemos que plicr todos los recursos conocidos y que estén nuestro lcnce: operciones con rcciones, scr ctor común, propieddes de ls potencis y de ls ríces, rcionlizr, propieddes de los logritmos, etcéter 6 ln Se deriv l ríz, luego el logritmo y por último el cociente ', utilizdo l regl de l derivd de un cociente ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ( ) ( ) ln ln ln ln ( ) ln sen cos 7 Se trt de un producto de dos unciones Aplicmos pues l regl de derivción de un producto Además, el primer ctor es y sen sen Pr derivrlo se plic l regl de l cden: y ' sen cos Por tnto: ' sen cos cos sen sen sen cos sen 8 tg Derivmos l ríz y luego l tngente tg ' ( tg ) tg tg Derivmos primero el rcotngente y luego l unción y, que es un cociente de unciones ( ) ' ( ) ( ) 9 rctg ( ) 0 cos ln ( ) ( ) Se trt de un cociente de unciones Hemos de plicr l regl de derivción de un cociente ' sen ln cos ln ln ( ( sen ) ) ln ( ) ( cos ) Derivds Págin 6

7 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Rect tngente un unció n en un puntó Mtemátics I - º Bchillerto Un de ls plicciones de ls derivds es l posibilidd de clculr l rect tngente l gráic de un unción en un punto ddo En concreto, dd un unción de l cul conozcmos su derivd, y un número rel donde l unción esté deinid, sbemos que l gráic de l unción ps por el punto ( ) de l unción que pse por el punto,, Podremos pues trzr l rect tngente l gráic Observ l gráic de l derech Sbemos que un rect tiene ecución y m n, y que l número m derivd de l unción en, el punto (, ( )) '( ) se le llm pendiente de l rect Pues bien, l, tiene l propiedd de que es justmente l pendiente de l rect tngente en Además, l ecución de l rect tngente es: Por ejemplo, supongmos que tenemos l unción ' y, cuy gráic es l siguiente: Si tommos el número rel, observmos que su imgen es gráic de l unción ps por el punto (, ) (,,8 ) ( ) 7 9,8 O se, que l 6 5 5, el cul se h mrcdo en l gráic con un puntito lgo más grueso Ahor queremos hllr l rect tngente l gráic de l unción que ps por este punto Procedemos del siguiente modo: Primero, derivmos l unción y l simpliicmos en l medid de lo posible: ' Derivds Págin 7

8 Unidd 0 Derivds Ahor hllmos l derivd de lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics en el punto, es decir, ( ( ) 6) ( 5) Ahor sustituimos en y ( ) '( )( ) cso tenemos:,8, ( ) ( ) ' '( ), : Mtemátics I - º Bchillerto, que, recordemos, es l epresión de l rect tngente En este, ( ) ' ', 44 Entonces: y,8, 44 y,8, 44 y,8, 44 4, y, 44,5 Por tnto l rect tngente l gráic de en el punto que, eectivmente, est rect es tngente en,,8,,8 es y,44,5 Vmos dibujrl pr ver rect tngente en Est plicción de ls derivds es muy importnte Trtr con ciertos enómenos en determinds áres del conocimiento, que se justn modelos o unciones más o menos complicds es bstnte común Además, en ocsiones nos interes sber qué le ocurre ese enómeno en cierto momento o en cierto punto Podemos hcer proimciones válids utilizndo l rect tngente en dicho punto Bst con observr que, en ls cercnís del punto de tngenci, l gráic de l unción se prece mucho l rect tngente Tnto que llegn conundirse Y l rect, l ser un polinomio de grdo uno, es mucho más ácil de trtr que un unción cuy epresión mtemátic siempre será más complicd Derivds Págin 8

9 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mónótóní y etremós reltivós de un unció n Mtemátics I - º Bchillerto Ls derivds proporcionn inormción sobre l monotoní de un unción, es decir, en qué intervlos es creciente o en qué intervlos es decreciente L ide intuitiv de crecimiento y decrecimiento es muy clr Formlizrl cuest lgo más: un unción deinid en un intervlo es estrictmente creciente si ls imágenes conservn el orden de los originles, y es estrictmente decreciente si ls imágenes invierten el orden de los originles (ver igur) estrictmente creciente estrictmente decreciente Se dice que un unción es constnte en un intervlo si ls imágenes permnecen constntemente igules en ese k, donde k es intervlo L gráic se trtrá pues de un rect horizontl Es decir, l unción será de l orm un número rel ijo, pr todo del intervlo menciondo A veces, busndo del lenguje, diremos que un unción es creciente en vez de estrictmente creciente y se denotrá simbólicmente con dos lechs hci rrib: Del mismo modo diremos que un unción es decreciente en vez de estrictmente decreciente y se denotrá simbólicmente con dos lechs hci bjo: En los puntos donde l unción pse de ser decreciente creciente diremos que hy un mínimo reltivo, y en los puntos donde l unción pse de ser creciente decreciente diremos que hy un máimo reltivo Otr vez, l ide intuitiv de máimo y mínimo es clr, pero hemos de ormlizrl desde el punto de vist mtemático: un unción lcnz en un punto un mínimo reltivo si su imgen es menor o igul que l de todos los puntos de su lrededor, y lcnz un máimo reltivo si su imgen es myor o igul que l de todos los puntos que están su lrededor mínimo reltivo máimo reltivo Derivds Págin 9

10 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto En el siguiente resultdo se pone de mniiesto l relción entre ls derivds y l monotoní y los etremos reltivos Supongmos que Si Si Si ' 0 ' 0 En l práctic es un unción deinid en un intervlo Entonces: en todo punto en todo punto del intervlo, entonces es estrictmente creciente en ese intervlo del intervlo, entonces es estrictmente decreciente en ese intervlo ' 0 lcnz un máimo o un mínimo reltivo en un punto del intervlo, entonces Pr estudir l monotoní y los etremos reltivos de un unción, se procede de l siguiente mner: ) Se ecluyen del estudio los siguientes puntos: Los puntos que no pertenecen l dominio de l unción (puntos de discontinuidd de son de ', pues si un unción no es continu en un punto tmpoco es derivble en el mismo) Los puntos en los que no esté deinid l derivd (el resto de puntos de discontinuidd de Los puntos críticos o singulres de '( ) 0, es decir, quellos que hcen l derivd 0 :, que tmbién lo ' ) tles que b) Se divide l rect rel en distintos intervlos, seprdos por los puntos nteriores Es posible demostrr que en cd uno de estos intervlos el signo de no cmbi Por tnto, según el resultdo nterior, es siempre estrictmente creciente, o estrictmente decreciente, en cd uno de ellos ' c) Teniendo en cuent lo nterior, construimos un tbl donde ls columns serán dichos intervlos y los puntos que los seprn Añdimos un il pr los signos de y otr pr l monotoní de d) En los puntos que seprn los intervlos, si no son puntos de discontinuidd de ', observmos l monotoní de l izquierd y l derech Si hy cmbio de estrictmente decreciente estrictmente creciente, o de estrictmente creciente estrictmente decreciente, tendremos respectivmente un mínimo o un máimo reltivo, en dicho punto Ejemplo Como ejemplo estudiremos l monotoní y los etremos reltivos de l unción El dominio de es ( ) 0 y que 0 nul el denomindor Entonces 0 es un punto de discontinuidd de De hecho, en 0 hy un síntot verticl: Ahor derivmos l unción: ' Observción de importnci ( ) lim 0 lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Es vitl pr l eistenci humn ( ) simpliicr decudmente l derivd Pr ello se recomiend etrer ctor común y epresr, siempre que se pued, tnto el numerdor como el denomindor, como producto de ctores Así ' 0, que es l que posibilit etrer los puntos críticos será siempre mucho más ácil tnto resolver l ecución o singulres, como estudir el signo de l derivd, pr conocer el crecimiento o decrecimiento de l unción Está clro que 0 tmbién es un punto de discontinuidd de ' y que en este punto no está deinid l derivd Vemos hor los puntos que nuln l derivd y sí obtendremos los puntos críticos o singulres Derivds Págin 0

11 Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics 0 0 ' 0 ( ) ( ) 0 0 Mtemátics I - º Bchillerto Así pues, los puntos obtenidos pr dividir l rect rel son (que no pertenecí l dominio ni de ni de, es decir, puntos de discontinuidd de l unción y de su derivd), y estos dos últimos, los puntos críticos o singulres:, Derivds Págin 0 Construimos pues un tbl tl y como se h eplicdo en el procedimiento nterior: ', 0 no es ni máimo ni mínimo, 0 0 no eiste Los signos de l derivd se hn obtenido dndo un vlor culquier, punto: 0, 0, no eiste máimo, escogemos un número que pertenezc dicho intervlo, por ejemplo ( ) ( ) 4 4 ' ' ' dentro del intervlo Así, pr el intervlo, y evlumos l derivd en dicho Es conveniente destcr que lo importnte no es el resultdo en sí (/ en este cso), sino su signo (positivo en este cso, obsérvese que hemos colocdo un en l tbl) Por tnto, como l derivd es positiv, l unción es estrictmente creciente (, De l mism orm se procede con el resto de intervlos ) en el intervlo En el punto no hy ni máimo ni mínimo porque l unción es creciente tnto l izquierd como l derech del mismo Estos son los csos donde l unción es probble que cmbie de curvtur (se llmn puntos de inleión) En el punto hy un máimo reltivo porque l unción ps de ser decreciente ser creciente Si en l unción originl, hllmos el vlor numérico pr tendremos l coordend del máimo reltivo: ( ) 7 6,75 4 Así pues, ls coordends del máimo reltivo son (, 6,75 ) Con estos dtos y lgunos que y conoces (cálculo de síntots y puntos de corte con los ejes) se puede relizr un muy buen representción gráic de l unción Recuerd que y hbímos obtenido que 0 (el eje Y ) es un síntot verticl (por eso, en l tbl se escribe no eiste en l column correspondiente l vlor 0 ) y ( ) si En este cso, demás, l unción no tiene síntots horizontles pues lim lim, si pero est inormción, sin embrgo, nos proporcion l tendenci de l unción hci menos ininito y hci más ininito Vemos si hy lgun síntot oblicu de l orm y m n : ( ) ( ) m lim lim lim ( ) n lim m lim lim lim Por tnto, l síntot oblicu es y

12 Unidd 0 Derivds Los puntos de corte con los ejes son los siguientes: Eje X Igulmos l imgen 0 lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics : el punto de corte con el eje X es el ( ) Mtemátics I - º Bchillerto Por tnto,, 0 Eje Y Tenemos que hllr l imgen pr el dominio de l unción er 0 0 Pero ( 0) ( ) 0 y esto es imposible (recuerd que 0 0 Así pues, no hy puntos de corte con el eje Y Con todo lo nterior, l representción gráic de l unción qued de l siguiente mner: mínimo: síntot oblicu: Derivds Págin