Semana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II)

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1 Semaa 0 [/24] 2 de mayo de 2007

2 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [2/24] Límites y Orde. Teorema Sea u ) y w ) sucesioes covergetes a u y w, respectivamete. Si 0 tal que para 0 se cumple que etoces u w. u w Demostració Usado el álgebra de límites podemos supoer que u = 0 y etoces que u = 0. Si w < 0 etoces a partir de algú 0 los térmios de la sucesió w ) debe ser todos egativos, lo que es cotrario a la hipótesis del teorema. Observació El teorema dice que ua sucesió covergete cuyos térmios so positivos, lo hace a u límite l 0. Recordado que lim = 0, otamos que o es posible cambiar la coclusió aterior por l > 0. El teorema permite probar que si u ), v ) y w ) so sucesioes covergetes a u, v y w, respectivamete y, u v w, etoces u v w. E particular, si u = w etoces v = u = w. El próximo teorema garatiza esta misma coclusió, si asumir que la sucesió v ) sea covergete.

3 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [3/24] Teorema Sadwich de sucesioes) Teorema Sea u ), v ) y w ) sucesioes reales. Si u ) y w ) coverge al real l y además 0 N tal que 0, u v w, etoces la sucesió v ) tambié coverge y lim v = l. Demostració. Al ser las sucesioes u ) y w ) covergetes a l teemos que: ε > 0) 0 N) 0) u l ε y ε > 0) 0 N) 0) w l ε. Para ε > 0 y m«ax { 0, 0 } se cumple simultáeamete las desigualdades y ε u l w l ε. Por otra parte, para m«ax { 0, 0, 0 } se cumple que u v w. De este modo para todo ε > 0 existe ˆ 0 = m«ax { 0,, 0 } que para todo ˆ 0 satisface Esto prueba la covergecia de v ) a l. ε u l v l w l ε.

4 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [4/24] Desigualdad de Beroulli I) Desigualdad de Beroulli I) La siguiete propiedad coocida como desigualdad de Beroulli, os será muy útil e el uso del Teorema del Sadwich. N) h > ) + h) + h. Demostració. La propiedad se demuestra mediate el siguiete argumeto de iducció. Claramete la desigualdad es válida para = 0. Si aceptamos que es cierta para algú etoces tedremos que para h > se cumple que: + h) + h. Como + h > 0 podemos deducir que + h) + h) + h) + h) Sabemos que + h) + = + h) + h) y que + h) + h) = + + ) h + h 2. Etoces, como h 2 0, cocluimos que: h > ), + h) + + h) + h) = + + ) h + h ) h

5 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [5/24] Sadwich y Beroulli I) q ) La sucesió q ), para q R. lim q =, si q =. 2 lim q = 0, si q <. 3 lim q o existe si q, ], ). Caso q 0, ]. El primer caso, q =, es directo. Para el caso q 0, ) aplicamos la desigualdad + h) + h, co h tal que = q, es decir = + h, y +h q os queda ) ) + q q. Como q 0, ), la desigualdad aterior implica las desigualdades: ) q 0. + q El lado izquierdo de la última desigualdad es ua sucesió covergete a cero. Su lado derecho es la sucesió costate que coverge a cero. Aplicado el Teorema del Sadwich cocluimos que q ) 0.

6 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [6/24] Sadwich y Beroulli I) q ). Caso q, ) Reducimos este caso al aterior observado que si q, ) etoces q [0, ). Como ya vimos que e esta situació se cumple que q ) 0, cocluimos que q ) 0. Caso q, ), ) ) Para q, ), ) la sucesió q es ula, pues, ). q Usado lo que sabemos para los recíprocos de sucesioes ulas cocluimos que la sucesió q ) diverge. Caso q = Este caso es directo ya que sabemos que la sucesió ) o coverge. Ejemplos Los siguietes casos so parte de los resultados ateriores: lim ) 2 = 0, lim 3 5) = 0, lim 2 o existe y lim 3) tampoco existe.

7 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [7/24] Sadwich y Beroulli I) q ) ) ) La sucesió q ), para q ) q, co q <. Usado el resultado aterior podemos estudiar la sucesió q ) ) cuado q ) es ua sucesió covergete a u real q, ). E efecto, existe 0 N, tal que 0 se cumple que 0 q q +. 2 Por lo tato, elevado a la potecia se obtiee que ) q + 0 q. 2 De aquí, tomado límite, aplicado sadwich de sucesioes y cosiderado que q + 2 0, ), se cocluye que lim q = 0. La sucesió q ), para q ) q, co q >. Notemos que si q >, la sucesió q ) ) o es acotada, ya que su recíproco coverge a cero. Por lo tato, es ua sucesió divergete. Ejemplos Los siguietes casos so parte de los resultados ateriores: lim + ) 2 = 0, lim 2+ ) ) = 0, lim 2 2 o existe y lim ) 3+2 tampoco existe.

8 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [8/24] Sadwich y Beroulli I) a ). La sucesió a), para a 0, ) Probaremos que a ) separado el aálisis e los casos a > y a 0, ); el caso a = es evidete. Caso a >. Al aplicar la desigualdad de Beroulli co h = a se obtiee. + a ) a ) + Usado la mootoía de la fució x se obtiee + a ) a. Como a > se logra el acotamieto + a ) a, dode las sucesioes de los extremos coverge a. Usado el Teorema del Sadwich, cocluimos que a ). = a.

9 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [9/24] Sadwich y Beroulli I) a ). Caso a 0, ). Como a = y > podemos aplicar el caso aterior y obteer que a sucesioes, cocluimos que lim a =. a a ). Aplicado el álgebra de límites de Ejemplos Como ates, teemos los siguietes casos: lim = y lim =. E el siguiete aálisis se extederá lo hecho para a ) al caso de a ) co a ) a > 0. E particular probaremos que: lim + =, lim =, lim ) + ) = y lim =

10 Sadwich y Beroulli I). Semaa 0 [0/24] Sadwich y Beroulli I) a ). La sucesió a ), para a ) a > 0. Usado el resultado aterior podemos estudiar la sucesió a cuado a ) es ua sucesió covergete a u real a > 0. E efecto, existe 0 N, tal que 0 se cumple que a 2 a 3a 2. Por lo tato, tomado raíz -esima se obtiee que a 2 3a a 2. De aquí, tomado límite y aplicado sadwich de sucesioes, se cocluye que lim a =. Observació Notemos que e ) este ejemplo, es importate que a > 0. Qué ocurre cuado a = 0?. U ejemplo de esto es la sucesió. Tedremos que pospoer el aálisis de la covergecia de esta sucesió, hasta discutir la variate de la desigualdad de Beroulli que veremos a cotiuació.

11 Sadwich y Beroulli II) Semaa 0 [/24] Desigualdad de Beroulli II) Desigualdad de Beroulli II) Para lograr estudiar los próximos ejemplos ecesitaremos la siguiete variate de la desigualdad de Beroulli. N h > 0, + h) + h + ) h 2 2 o equivaletemete N h > 0, + h) + h + ) h. 2 2 Su demostració es muy similar a la realizada para la desigualdad de Beroulli y queda como ejercicio.

12 Sadwich y Beroulli II) Semaa 0 [2/24] Sadwich y Beroulli II) ). La sucesió ). Haciedo uso de la desigualdad de Beroulli II), para h = 2 y > 0 se obtiee + 2 ) ) ) De este modo, + 2 Como ambos extremos coverge a, cocluimos que ). Observació Notemos que lo aterior implica que la sucesió ), lo que respode uestra iterrogate pediete.

13 Sadwich y Beroulli II) Semaa 0 [3/24] Sadwich y Beroulli II) q ). La sucesió q ), para q, ). Veamos que q ) 0, para q, ). Co esto tedremos que q ) 0, para q, ). Como 0) = 0 podemos supoer que q 0. Usado la seguda forma de la desigualdad de Beroulli II) para h = q obteemos + h) + h + ) 2 h 2 Al multiplicar esta expresió por y reemplazar el valor de h e el lado izquierdo, se obtiee que 0 q + h + ) h. 2 2 Siedo h ua costate, ambos extremos coverge a cero. Cocluimos que q ) es ua sucesió ula. Ejemplos Como ates, teemos los siguietes casos: lim = 0 y lim = 0. E el siguiete aálisis se 2,00000) extederá lo hecho ates al caso de potecias de. Todas estas sucesioes resultará ser ulas. E particular probaremos que: 00 lim, 00000) = 0.

14 Sadwich y Beroulli II) Semaa 0 [4/24] Sadwich y Beroulli II) k q ). La sucesió k q ), para k N y q, ). Este caso será aalizado haciedo uso del álgebra de límites de sucesioes ulas. Notemos que se cumple la siguiete igualdad. k q = ) ) k k q. Como q = k q [0, ), segú lo ates aalizado se satisface que q ) ) 0. La coclusió se obtiee al recordar la siguiete propiedad del las sucesioes ulas, q ) ) 0 q ) ) ) k 0.

15 Sadwich y Beroulli III) Semaa 0 [5/24] Desigualdad de Beroulli III) Desigualdad de Beroulli III) Usado la desigualdad de Beroulli podemos deducir la validez de otra desigualdad que será útil e la aplicació del teorema del sadwich al estudio de la sucesió + h ) ), cuado h ) 0. La desigualdad es N) u, u, ), + u) u Demostració. Al aplicar la desigualdad de Beroulli co h =, que para + u > 0 cumple que h >, se obtiee: +u ) ) + h) = + + u + u. La expresió +u ) = u +u u cuado + u > 0. Co esto ) u. + u Fialmete, como u > 0, es posible tomar los recíprocos y obteer la coclusió. + u) u.

16 Sadwich y Beroulli III) Semaa 0 [6/24] + h ), para h ) y h ) ulas. Proposició Se tiee que cuado h ) y h ) so sucesioes ulas. lim + h ) =, Demostració Como h ) 0, existe 0 N tal que h, ), para 0. Al aplicar la desigualdad de Beroulli I) co h = h > se obtiee + h + h ). Como h ) 0, existe 0 tal que h, ), para 0. Al aplicar la desigualdad de Beroulli III) co u = h se obtiee + h ) h. De este modo, para m«ax { 0, 0 } se obtiee el acotamieto siguiete. + h + h ) h Etoces, como h ) 0, las sucesioes e los extremos coverge a. Aplicado el Teorema del Sadwich se cocluye que lim + h ) =.

17 Sadwich y Beroulli III) Semaa 0 [7/24] Sadwich y Beroulli III) a ) ) Ejemplos Co lo recié hecho es posible calcular los siguietes límites: lim ) ) + =, lim 2 +) = y más, 2 geeralmete, para todo x e y, lim ) xy =. + x) + y) Observació Hasta ahora hemos determiado la covergecia de sucesioes de la forma + h ) e dos casos: h ) h, co h 0, 2, y h ) 0 y h ) 0. ) Como ejercicio se le pedirá aalizar el caso de ua sucesió + h ) que satisface h ) 0 y h 0 e dos situacioes especiales: cuado todos los térmios de h ) so positivos y cuado todos so egativos. Co la ayuda del teorema de la secció siguiete se probará la covergecia de la sucesió + x ), para x R. Ésta correspode a elegir h = x y co esto h ) x. El caso x = 0 ya fue cosiderado. Al fial de esta semaa veremos el caso x =. El estudio de los sucesioes restates de esta familia y otras más complejas, se realizará e el capítulo de la fució expoecial e la semaa.

18 Sucesioes moótoas Semaa 0 [8/24] Sucesioes moótoas Defiició Sea s ) ua sucesió real. Etoces: Diremos que s ) es ua sucesió creciete a partir de 0 si 0 se tiee s + s. Diremos que s ) es ua sucesió decreciete a partir de 0 si 0 se tiee s + s. Observació Usualmete omitiremos la expresió a partir de 0 diciedo simplemete que la sucesió es creciete o que es decreciete. Esto colleva u abuso de leguaje pues o es lo mismo decir que ua sucesió es creciete que decir que ua fució es creciete. Si las desigualdades se satisface e forma estricta, es decir > o <, etoces hablaremos de sucesioes estrictamete crecietes o estrictamete decrecietes, segú sea el caso. Si ua sucesió es creciete, decreciete, estrictamete creciete o estrictamete decreciete, etoces la llamaremos sucesió moótoa. Ejemplo La sucesió es estrictamete decreciete. E efecto, t + = t = ) ) ) ) 2 + ) 2 + 2) = t < t. Además esta sucesió es acotada iferiormete por 0 y superiormete por t = 2.

19 Sucesioes moótoas Semaa 0 [9/24] Ejemplo de sucesioes moótoas Ejemplo Cosideremos la sucesió s ) defiida por la recurrecia s = 2 y s + = 2 + s. s ) es acotada. Veamos que es acotada superiormete por 2, probado que N, s 2. Para = es cierto ya que s = 2. Supoiedo que s 2 teemos que 2 + s 4 lo que permite cocluir que s + = 2 + s 4 = 2.

20 Sucesioes moótoas Semaa 0 [20/24] Ejemplos de sucesioes moótoas. s ) es creciete. Veamos ahora que es creciete, probado que De la defiició de s + se tiee que Etoces, N, s + s. s 2 + s 2 = 2 + s s 2. s 2 + s 2 = 2 s ) + s ). El lado derecho de la última igualdad es mayor o igual a cero, ya que 0 s 2. Cocluimos que s 2 + s2 0. Esto último demuestra que s + s.

21 Sucesioes moótoas Semaa 0 [2/24] Teorema de las Sucesioes moótoas Teorema Si s ) es ua sucesió estrictamete) creciete a partir de 0 y acotada superiormete etoces es covergete y lim s = sup {s : 0 }. Si s ) es ua sucesió estrictamete) decreciete a partir de 0 y acotada iferiormete etoces es covergete y lim s = «ıf {s : 0 }. Demostració. Sólo demostraremos la primera afirmació. La seguda será parte de los ejercicios. Supogamos que s ) es creciete a partir de 0. El acotamieto de la sucesió s ) os dice que el siguiete cojuto A es o vacío y acotado superiormete. A = {s : N, 0 }. E virtud del Axioma del Supremo existe s, supremo de A, que cumple N, 0 s s. Dado ε > 0 el real s ε o es cota superior del cojuto A. Etoces, existe m 0 0 co s ε < s m0. El crecimieto de s ) implica que para todo m 0, se cumple que s m0 s. Así, para todo m 0, s ε s s s + ε. Esto demuestra que s ) coverge a s.

22 Sucesioes moótoas Semaa 0 [22/24] Aplicació del Teorema de las Sucesioes Moótoas Ejemplo Como ya vimos la sucesió t = ), ) es estrictamete decreciete y acotada iferiormete por 0. E virtud del Teorema de las Sucesioes Moótoas la sucesió coverge. Ejemplo Para la sucesió s ) defiida ateriormete sabemos que es creciete y acotada superiormete. E virtud del Teorema de las Sucesioes Moótoas se cocluye que s ) es covergete. Veremos que e este caso, la recurrecia s + = 2 + s, permite calcular l = lim s. Recordado u ejercicio de la semaa pasada, sabemos que si s ) l etoces s + ) l y 2 + s ) 2 + l. De este modo, se tiee la siguiete ecuació para l. l = 2 + l. Esta ecuació tiee como úica solució a l = 2. Se cocluye que s ) 2.

23 Sucesioes moótoas Semaa 0 [23/24] El úmero e Ejemplo Como último ejemplo estudiaremos la sucesió s ) dada a cotiuació, que perteece a la familia de sucesioes de la forma + h ) ), co h ) 0. s = + ) s ) es creciete Como + = + y + + = +2 +, al reemplazar s + y s e s + s La expresió +2) + s + s = ) ) + = ) + + es igual a +) + aplicar la desigualdad de Beroulli, para h = +) 2 s + s = + ) 2 + 2) + ) + ) se obtiee. ) + + ). ), que a su vez es igual a +) 2 y obteer ) + + ) ) + ) = +. Etoces, podemos

24 Sucesioes moótoas Semaa 0 [24/24] El úmero e s ) es acotada superiormete Como ya vimos que la sucesió es creciete, sabemos que s s 2. Usado la desigualdad de Beroulli III) para u =, 2 ) obteemos lo siguiete. De aquí, podemos cocluir que + ) 2 s s 2 = 2 = 2. + ) Coclusió El Teorema de las Sucesioes Moótoas permite cocluir que lim + ) existe. Se defie e = lim + ). Recordado que s ) es creciete y rehaciedo la demostració de su acotamieto, se obtiee: ) k k + k N, k 2, 2 e k ) k k 4. k e

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