Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije Ortego F. de Retana

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije Ortego F. de Retana"

José María Carrasco San Segundo
hace 5 años
Vistas:

1 Aierrota BHI FUNTZIOAK 1. orria FUNTZIOAK 1. AZTERKETA. OINARRIZKO FUNTZIOAK, LIMITEAK ETA LIMITEEN ERABILERAK Definizio eremua eta ibilbidea Oinarrizko funtzioak Problemak Limiteak: Puntu batean Infinituan Jarraitutasuna Adar infinituak: Puntu batean: asintota bertikalak Infinituan: asintota horizontalak, zeiharrak, adar parabolikoak. AZTERKETA. DERIBATUAK, DERIBATUEN ERABILERAK, FUNTZIOEN GRAFIKOAK Oinarrizko funtzioen funtzio deribatuak Deribatuen erabilerak: Funtzio baten zuzen tangentea puntu batean Funtzio baten gorakortasuna eta beherakortasuna puntu batean Funtzio polinomikoen ikasketa eta adierazpen grafikoa Definizio eremua eta jarraitutasuna Adarrak infinituan Tangente horizontaleko puntuak Gorakortasuna, beherakortasuna, maimoak eta minimoak Grafikoa Funtzio arrazionalen ikasketa eta adierazpen grafikoa Definizio eremua eta asintota bertikalak Adarrak infinituan: asintota horizontala, zeiharra edo adar parabolikoa Gorakortasuna, beherakortasuna, maimoak eta minimoak Grafikoa Problemak

2 Aierrota BHI FUNTZIOAK. orria ZUZEN TANGENTEA 1. Aurkitu y + 4 kurbaren zuzen tangentearen ekuazioa abzisa puntuan. Irudikatu kurba eta ukitzailea irudi berean. y + 4 y Puntua: ; y P(, 0) Malda: m f () m m - Tangentearen ekuazioa: y y 0 + m ( 0 ) y 0 + (-) ( ) y Aurkitu y kurbaren zuzen ukitzailearen ekuazioa -1 abzisa puntuan. Irudikatu kurba eta zuzen ukitzailea irudi berean. a. Funtzioa: y Deribatua: y - + Puntua: -1 y P(-1, ) Malda: m f (-1) + 4 Ukitzailearen ekuazioa: y f(a) + m (-a) y + 4 ( + 1) y b. Parabolaren erpina: y y 6 P(1, 6)

3 Aierrota BHI FUNTZIOAK. orria FUNTZIO POLINOMIKOAK 1. y funtzioa izanda, a. Aztertu: o Definizio eremua eta jarraitutasuna o Adar infinituak o Tangente horizontaleko puntuak eta adar infinituen laguntzaz, erabaki maimoak ala minimoak diren. o Gorakortasun eta beherakortasun tarteak b. Egizu funtzioaren grafikoa. Definizio eremua eta jarraitutasuna DR, jarraitua da R osoan Adar infinituak: + ( ) + ( ) Tangente horizontaleko puntuak: f' ( ) ± 6 6 ± y y Puntuak: (, 0) minimoa (4,4) maimoa Gorakortasun eta beherakortasun tarteak: (, ) beherakorra, (, 4) gorakorra eta ( 4, + ) beherakorra (, 0) ( 4, 4)

4 Aierrota BHI FUNTZIOAK 4. orria. y + 1 funtzioa izanda, a. Aztertu: o Definizio eremua eta jarraitasuna o Adar infinituak o Tangente horizontaleko puntuak eta adar infinituen laguntzaz, erabaki maimoak ala minimoak diren. o Gorakortasun eta beherakortasun tarteak b. Egizu funtzioaren grafikoa. Definizio eremua eta jarraitasuna DR, jarraitua da R osoan Adar infinituak + ( + 1) + ( + 1) Tangente horizontaleko puntuak, 5 maimoak eta minimoak: f' ( ) f' ( ) ( + 6) y -ren zeinua: + Puntuak: beherakorra 0 gorakorra beherakorra min ma Pmin(0, -1) minimoa Pma(, ) maimoa Gorakortasun eta beherakortasun tarteak: (, 0) beherakorra, (0, ) gorakorra eta (, + ) beherakorra

5 Aierrota BHI FUNTZIOAK 5. orria FUNTZIO ARRAZIONALAK 1. Honako funtzio hau emanda: f() + 1 Aurkitu bere adar infinituak eta irudikatu grafiko batean kurbak haiekiko duen posizioa. Definizio eremua eta asintota bertikalak: ± 1 ± 1-1 puntuan: D R { 1, 1} + ( + 1) ( + 1)( 1) 1 ( 1) 1 puntuan ez dago asintota bertikalik 1 puntuan: + 1 zuzena asintota bertikala da f(0,9) f(1,1) 1,71 0,19,1 0, Asintota horizontala, zeiharra eta adar infinituak: y 1 asintota horizontala da 1 y1 y1

6 Aierrota BHI FUNTZIOAK 6. orria Aztertu y funtzioaren adar infinituak, bilatu asintotak eta ezarri kurba asintota horien inguruan. Definizio eremua: D R {0} Asintota bertikala: ; + 0 zuzena asintota bertikala da, eta adar biak gorantz daude. Adarrak infinituan: ; ez dago asintota horizontala y - + zuzena asintota zeiharra da. 4 +, 0 > ; 4, > 0 kurba alde bietan zuzenaren gainean dago.

7 Aierrota BHI FUNTZIOAK 7. orria. Aztertu y funtzioaren gorakortasun tarteak eta maimo eta minimoak. Tangente horizontaleko puntuak, maimoak eta minimoak: ( ) f' ( ) ( ) ( ) ( ) f' ( ) ( ) 0 y -ren zeinua: ( 6) gorakorra 0 beherakorra 1 beherakorra gorakorra ma Ez def min Puntuak: Pmin(0, 0) maimoa 4 Pma(, ) minimoa Gorakortasun eta beherakortasun tarteak: (, 0) gorakorra, (0, 1) (1,) beherakorra eta (, + ) gorakorra

8 Aierrota BHI FUNTZIOAK 8. orria 4 4. Adierazi grafikoki y funtzioa, definizio eremua, jarraitasuna, adar infinituak eta + 4 maimo eta minimoak aztertuz. Definizio eremua, jarraitasuna eta asintota bertikalak: DR Jarraitua da R osoan. Ez du asintota bertikalik. Adarrak infinituan: 4 0 y0 zuzena asintota horizontala da kurba : f( 10) 0,8 104 kurba azpitik dago zuzena : f( 10) kurba : f(10) 0, kurba gainetik dago zuzena : f(10) 0 Tangente horizontaleko puntuak, maimoak eta minimoak: 4 ( + 4) f' ( ) ( + 4) ( + 4) ( + 4) f' ( ( ) 0 + 4) ez da anulatzen 4 0 y -ren zeinua: beherakorra - gorakorra beherakorra min ma (, ) beherakorra, puntuan min imoa dago, (,) gorakorra, puntuan ma imoa eta (, + ) beherakorra. Puntuak: A(-, -1) minimoa B(, 1) maimoa

9 Aierrota BHI FUNTZIOAK 9. orria PROBLEMAK 1. Enpresa bat duela 10 urte sortu zen, eta haren K kapitalak sorreratik izandako bilakaera t denboraren funtzioan adierazten du funtzio honek: t K(t) + t + 10, 0 t 10 4 K kapitala milioi eurotan adierazita dago; eta t, denbora, urtetan. a. Adierazi grafikoki kapitalaren bilakaera. b. Noiz lortu zen kapitalaren balio maimoa eta zenbatekoa izan zen? Zein denboralditan hazi zen kapitala, eta zeinetan tikitu? K(t) t + t D[0,10] t t K '(t) t K '(t) t 6 t0 K(0)10 minimoa t6 K(6)19 maimoa t10 K(10)15 6. urtean lortu zen kapital handiena, 19 milioi eurokoa izan zen. Lehenengo 6 urteetan hazi zen kapitala eta hurrengo 4retan tikitu zen. c. Zein da enpresaren gaur egungo kapitala? Kapital berdina izan den beste unerik egon da? Gaur egungo kapitala 15 milioi eurokoa da. Duela 8 urte kapital berdina izan zuen enpresak, hau da bere bigarren urtean.

10 Aierrota BHI FUNTZIOAK 10. orria. 60 f() funtzioak enpresa batek martan hasi zenetik lortu dituen irabaziak + 9 adierazten ditu (f() milaka eurotan, urtetan) a. Adierazi grafikoa. 60 f() + 9 D(0, +h) eta jarraitua da y0 zuzena asintota horizontala da. f' 60 ( 60 ( ) ( + 9) ) ( + 9) 60 ( ) f' ( ) urte lehenago ez du zentzurik, enpresa ez zegoen martan jarrita denean, lortzen da irabazi maimoa: f() gorakorra beherakorra ma b. Zenbatgarren urtean lortuko du enpresak irabazi maimoa? Zenbatekoa da irabazi hori?. urtean lortuko du enpresak irabazi maimoa. 10 mila eurokoa izango da irabazi hori. c. Galduko du enpresak dirua uneren batean? Ez, ez du inoiz dirua galduko; baina. urtea pasatu bezain pronto, irabaziak joango dira murrizten. Ez bada esku-hartzen, irabaziak desagertuko dira etorkizunean.

Documentos relacionados

IV. BLOKEA: ANALISIA orrialdea. 1 Aurkitu honako funtzio hauen definizio-eremua: a) y = log (1 x) b) y = cos x

IV. BLOKEA: ANALISIA orrialdea. 1 Aurkitu honako funtzio hauen definizio-eremua: a) y = log (1 x) b) y = cos x IV IV. BLOKEA: ANALISIA 6. orrialdea Aurkitu honako funtzio hauen definizio-eremua: a) y = log ( ) b) y = cos a) y = log ( ); > 0 8 < ; Dom = ( @, ) b) y = ; cos = 0 cos π = + πk, k é Z π = + πk, k é Z