SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES NO INEAES

2 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 7 INTRODUCCIÓN os métodos teratvos para resolver ua ecuacó o leal se puede eteder para ecotrar la solucó de u sstema de ecuacoes o leales U sstema de ecuacoes o leales de m ecuacoes co cógtas tee la orma: m M 7 dode: : R R tee dervadas parcales cotuas hasta de orde e ua regó que cotega a la raíz P p p t caso dode m Solo se trata el p El sstema 7 se puede epresar así: dode t F t m F t vector ulo Para resolver el sstema 7 usado métodos teratvos se procede así: Se elge ua apromacó cal: t Medate u esquema teratvo se calcula las apromacoes así: la ucó de teracó G N : apromacó e el paso dode G : es Se elge ua toleraca s TO s N el proceso se cotúa hasta que se cumpla alguo de los sguetes crteros de paro : a < TO

3 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas b < TO dode es la orma de u vector v Cotrolar el úmero mámo de teracoes Usaremos la orma eucldaa o orma l la orma l las cuales se dee así: DEFINICIÓN 7 Sea t las ormas l l se dee así: l 7 l ma 7 EERCICIOS RESUETOS 7 Demuestre que: para todo R se cumple que: Solucó Sea t la compoete de tal que luego: De la desgualdad ateror se obtee: lo cual mplca es decr: 74

4 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas de dode: es decr: 75 De se obtee : Sí t calcule Solucó 5 { } ma se cumple que: 4 es decr 6 5 DEFINICIÓN 7 Sea t m F dode t las dervadas parcales de co respecto a etoces la matrz acobaa de F está dada por: M O M M

5 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 4 DEFINICIÓN 7 a sucesó de vectores { } coverge a e respecto a la orma sí sólo s dado ε > este N ε N tal que < ε para todo N ε R Teorema 7 a sucesó de vectores coverge a e orma sí sólo sí m para cada R respecto a la Ver demostracó e: Aálss Numérco Rchard Burde Douglas Fares pág 4 6ta edcó 7 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA UN SISTEMA DE ORDEN Sea g 76 dode g tee prmera segudas dervadas parcales cotuas e ua regó R D que cotee a la raíz t g medate sere de Talor alrededor de e : P p p Se desarrolla después se evalúa [ ] 77 g g g g g g g [ ] 7

6 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 5 Sí a etoces e está sucetemete cercao a la raíz t P p p g tede a cero tede a cero por lo que los térmos de orde maor que e 77 7 tede a cero por ello se descarta obteédose: g g g esto es se aproma las ucoes medate u polomo de grado Sea h etoces: g h h g g 79 Este sstema es u sstema leal se puede epresar así : g g h g a matrz asocada al sstema es la matrz acobaa sí el det etoces el sstema tee solucó úca se calcula así: h g 7 Co 7 se calcula los valores de h luego: h 7 t es la ueva apromacó a la solucó

7 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 6 7 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA UN SISTEMA DE ORDEN N Cosdere el sstema M dode : R R tee dervadas parcales cotuas hasta el orde e u domo que cotee a la raíz P p p t p D R Para deducr el método se procede de maera aáloga que e el caso : se desarrolla las medate el Teorema de Talor alrededor de t : para cada z z z z 7 S sucetemete cercao a la raíz P a etoces: tede a cero de tal maera que los térmos de orde maor que puede desprecarse uego 7 se trasorma e: 7 El sstema 7 es u sstema leal se puede epresar así: dode: F F t t luego: : matrz acobaa F 74

8 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 7 Sí el se calcula así: det etoces el sstema 74 tee solucó úca F 75 a epresó 75 es el método de Newto-Raphso para u sstema de ecuacoes o leales se requere de ua apromacó cal E cada teracó de este método se realza los sguetes pasos: Hallar F Calcular NOTA: E 74 hacer trasorma e : Y F Y que represeta u sstema leal e luego el sstema se 76 Y se resuelve utlzado cualquera de los métodos para resolver sstemas de ecuacoes leales Ua vez ecotrada Y Y etoces la apromacó se calcula así ; de esta maera se evta calcular la versa de E cada teracó se realza los sguetes pasos: Hallar F Resolver el sstema 76 Hallar Y E el paso se ecesta evaluar F : Como F tee compoetes es ua matrz de orde etoces se eectúa evaluacoes ucoales E el paso se requere: E el paso se ecesta sumas operacoes artmétcas

9 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas EERCICIOS RESUETOS 7 Usado el método de Newto-Raphso ecuetre la solucó del sstema dado Itere hasta que 5 < 5; 5 T 5 Solucó El sstema dado se puede escrbr así: * F g 5 g a matrz acobaa es cuo determate es: det sí uego su versa es: a solucó del sstema se busca usado el método de Newto: F Para : F < No se cumple

10 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 9 Para : 5 4 F < o es certo Para : F < No se cumple 957 Para : F < 5549 la cual tampoco es certa Para 4 : < SI a solucó apromada es : a solucó aalítca eacta es :

11 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas El sstema tee cuatro solucoes ± ± Resolver el sstema usado el método de Newto para sstemas Itere hasta que 5 < Tome como apromacó cal el vector ulo Solucó Sea F t El método de Newto geera las apromacoes así: F Para : F dode det Chequear No 5 < Para : F det

12 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 64 F F luego: Chequear: < No Se dea al lector la cotuacó Otra orma de aplcar el método de Newto para sstemas F F F se llama Y Y F Se resuelve este sstema leal para Y Para el eemplo ateror: Para : De dode: uego: Y F es decr Y cua solucó es Y

13 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas Para : De dode: luego: Y 7694 Y Se dea al lector para que cotúe el proceso EERCICIOS PROPUESTOS 7 Resuelva los sguetes sstemas o leales usado el método de Newto- Raphso co TO < 5 la apromacó cal dada: se cos t 5 5 z z e e z t t

14 Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas t Sol t 9 e 4 l 5 5 AUTOEVAUACIÓN 7 Usado el método de Newto co el vector T hallar la solucó del sstema : Y 4 e Y - S la apromacó cal es el vector T El método de Newto coverge? Usado el método de Newto co el vector T : - Y Y Y 6 Calcule