Resolución de triángulos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Resolución de triángulos"

Transcripción

1 8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del rco correspondiente : ) 90 b) 80 c) 70 d) 360 L = π nº 360 ) π 90 = π m b) π 80 = π m c) π 70 = 3π m d) π 360 = π m Ps los ángulos siguientes rdines: ) 30 b) 0 c) 70 d) 35 π rd π ) 30 = rd 80 6 π rd π b) 0 = rd 80 3 π rd 3π c) 70 = rd 80 π rd 7π d) 35 = rd 80 4 Ps los ángulos siguientes grdos: ) 0,5 rd b) rd c),5 rd d),5 rd 80 ) 0,5 rd = π rd 80 b) rd = π rd 80 c),5 rd = π rd 80 d),5 rd = 43 4 π rd 3 4 Determin cos sbiendo que el ángulo está en el cudrnte y que sen = 0, 0, cos sen + cos = 0, + cos = ò cos = 0,9798 A P L I C A L A T E O R Í A Clcul tg, sbiendo que el ángulo está en el 3 er cudrnte y que cos = 0,7 46 SOLUCIONARIO

2 30 0,7 O cos 30 sec 30 tg sen + tg = sec + tg = ( ) 0,7 tg =,0408 O 30 cotg 30 tg 30 5 Determin ls rzones trigonométrics del ángulo si está en el 4 cudrnte y sen = 0,4 7 Dibuj en l circunferenci unidd los ángulos siguientes: ) 485 b) 370 c) 00 cos 0,4 tg ) 485 = sen + cos = ( 0,4) + cos = ò cos = 0,965 sen tg = = 0,4364 cos sec =,09 cosec =,5 cotg =,95 b) 370 = Dibuj en l circunferenci unidd el ángulo de 30 y dibuj el segmento que represent cd un de ls rzones trigonométrics. c) 00 = O cosec sen TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 47

3 . Reducción de rzones, identiddes y ecuciones Dibuj en l circunferenci unidd todos los ángulos que cumplen que: ) sen = / b) cos = / ) b) P I E N S A Y C A L C U L A / / 8 Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln: ) sen = 3/4 b) cos = /4 c) sec =,5 d) tg = d) tg = A P L I C A L A T E O R Í A ) 3/4 b) /4 c) sec =,5 ò cos = 0,4,5 9 Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) cos 0 b) sen 300 ) ,4 cos 0 = cos 60 = 48 SOLUCIONARIO

4 b) b) 30 = sen 300 = sen 60 = Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) tg 0 b) sen 35 3 cos 30 = cos 50 = cos 30 = c) 385 = ) tg 385 = tg 5 = tg 45 = d) 80 = b) 3 tg 0 = tg 30 = cos 80 = cos 300 = cos 60 = / sen 35 = sen 45 = Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) sen 830 b) cos 30 c) tg 385 d) cos 80 ) 830 = Demuestr que: ) sec tg = b) (cosec + tg ) cos = sen + cotg sen sen cos ) = = = cos cos cos cos sen cos b) ( ) + cos = + sen = sen cos sen = cotg + sen sen 830 = sen 30 = / 30 Resuelve ls siguientes ecuciones trigonométrics: 3 sen = sen = / TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 49

5 6 3 sen cos = 0 50 = k, k é = k, k é 4 cos = sec 30 / 3 sen ( sen ) = 0 3 sen + sen = 0 sen + 3 sen = 0 3 ± ± 5 / sen = = = 4 4 L solución sen = no tiene sentido, porque sen Ì sen = / cos = cos cos = cos = ± ) cos = 50 = k, k é = k, k é 30 / 0 7 sen = = 360 k, k é b) cos = = 90 = = k, k é = k, k é 5 cos = 3 3 cos = 330 = k, k é = k, k é 30 8 sen cos = 0 sen = 0 { cos = 0 ) sen = SOLUCIONARIO

6 = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é 3 = k,k é = k, k é 4 = k,k é } b) cos = Resolución de triángulos rectángulos P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l rzón trigonométric que relcion directmente el vlor de los dtos conocidos en el triángulo del mrgen y el ángulo correspondiente. Utilizndo l clculdor, ll dico ángulo. = 5 cm B? b = 4 cm 4 sen B = 5 B = A P L I C A L A T E O R Í A En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = 5 m y un cteto b = 4 m. Clcul los demás elementos. = 5 m Áre? B? c? C? b = 4 m Dtos = 5 m b = 4 m Incógnits c B Fórmuls = b + c ò c = b Resolución c = 5 4 = 3 m sen B b = sen B 4 = ò B = C C = 90 B C = 36 5 Áre Áre = b c Áre = 3 4 = 6 m TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 5

7 0 En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = 4,5 m y el ángulo B = Clcul los demás elementos. Dtos Incógnits Fórmuls Resolución C? = 4,5 m Áre? B = 35 4' 7'' c? = 4,5 m B = 36 5 b? C b c Áre C = 90 B b sen B = ò b = sen B c cos B = ò c = cos B Áre = b c C = b = 4,5 sen =,6 m c = 4,5 cos = 3,67 m Áre =,6 3,67 = 4,79 m En un triángulo rectángulo se conocen el cteto b =,8 m y el ángulo opuesto B = Clcul los demás elementos. Dtos Incógnits Fórmuls Resolución C?? Áre? B = 47 35' 0'' c? b =,8 m =,8 m B = C c Áre C = 90 B sen B b b = ò = sen B c tg C = ò c = b tg C b Áre = b c C = ,8 = = b = 3,79 m sen c =,8 tg =,56 m Áre =,8,56 = 3,58 m En un triángulo rectángulo se conocen los dos ctetos b = 4,5 cm y c = 3,5 cm. Clcul los demás elementos.? Áre? C? b = 4,5 cm Dtos b = 4,5 cm c = 3,5 cm Incógnits B Fórmuls = b + c ò = b + c Resolución c = 4,5 + 3,5 = 5,70 cm tg B b = tg B 4,5 = ò B = c 3,5 C C = 90 B C = B? c = 3,5 cm Áre Áre = b c Áre = 4,5 3,5 = 7,88 cm 5 SOLUCIONARIO

8 4. Aplicciones l cálculo de distncis, áres y volúmenes Clcul mentlmente el ángulo relleno de rojo del siguiente pentágono regulr. P I E N S A Y C A L C U L A = 360 : 5 = 7 3 Un nten de telefoní móvil está en un llnur dentro de un cerc en l que está proibido entrr. Pr llr su ltur, medimos desde un punto eterior el ángulo de elevción y se obtienen 65. Nos lejmos 50 m y el nuevo ángulo de elevción es de 43. Clcul l ltur de l nten de telefoní móvil. tg 65º = } tg 43º = 50 + A P L I C A L A T E O R Í A = 38,47 m = 8,50 m L nten de telefoní móvil mide 8,5 m de lto. 4 Clcul el áre de un eptágono regulr en el que el ldo mide 3,6 cm m 360 : 4 = ,6 cm D 5 4' 5'' 5 4' 5'',8 cm,8 cm A m B C,8 tg = = 3,74 cm P Áre = 7 3,6 3,74 Áre = = 47, cm TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 53

9 5 Clcul el áre de un prism regulr pentgonl en el que l rist de l bse mide 6 m, y l ltur, 5 m jmos en l mism dirección 00 m y el nuevo ángulo de elevción es de 38. Hll l ltur de l ctedrl. 6 m 5 m 68 00m 38 6 m D 3 tg 36 = 36 3 m = 4,3 m 5 6 4,3 A B = = 6,95 m A L = = 450 m A T = 6, = 573,90 m 6 Pr medir l ltur de un ctedrl, medimos el ángulo de elevción de l prte más lt desde un punto determindo y obtenemos 68 ; nos le A B tg 68º = } tg 38º = m = 46,3 m = 4,7 m L ctedrl mide 4,7 m de lto. 38 C 54 SOLUCIONARIO

10 Ejercicios y problems. Circunferenci goniométric 7 Ps los ángulos siguientes rdines: ) 45 b) 50 c) 0 d) 330 π rd π ) 45 = rd 80 4 π rd 5π b) 50 = rd 80 6 π rd 7π c) 0 = rd 80 6 π rd π d) 330 = rd Ps los ángulos siguientes grdos ) rd b) π/9 rd c) 5π/3 rd d),7 rd 80 ) rd = π rd π 80 b) rd = 0 9 π rd 5π 80 c) rd = 300º 3 π rd 80 d),7 rd = π rd 9 Determin tods ls rzones trigonométrics del ángulo si cos = 0,8 y el ángulo está en el 3 er cudrnte. sec =,5 cosec =,6667 cotg =, Si l tg = 0,5 y está en el 4º cudrnte, determin el resto de ls rzones trigonométrics. tg = 0,5 + tg = sec + ( 0,5) = sec òsec =,80 cos = 0,8944 sen tg = ò sen = 0,447 cos cosec =,36 cotg = Si el ángulo está en el º cudrnte y tenemos cosec =,5, determin ls rzones trigonométrics del ángulo cosec =,5 ò sen = 0,4,5 0,5 cos = 0,8 0,8 sen + cos = sen + ( 0,8) = ò sen = 0,6 sen tg = = 0,75 cos sen + cos = 0,4 + cos = ò cos = 0,965 sec =,09 sen tg = = 0,4364 cos cotg =,95 3 Dibuj en l circunferenci unidd el ángulo de 45 y dibuj el segmento que represent cd un de ls rzones trigonométrics. TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 55

11 Ejercicios y problems cosec sen tg 40 cotg 40 sec cos 45 cotg tg 45. Reducción de rzones, identiddes y ecuciones 34 Dibuj en l circunferenci unidd los ángulos que cumpln que: ) sen = 0,7 b) cos = 0,4 ) 0,7 33 Dibuj en l circunferenci unidd el ángulo de 40 y dibuj el segmento que represent cd un de ls rzones trigonométrics. b) 0,4 40 sen Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln que: cos 40 cosec sec 40 ) cosec =,5 b) tg =,5 ) cosec =,5,5 56 SOLUCIONARIO

12 b) tg =,5 d), sen 40 = sen 60 = 37 Demuestr l siguiente identidd: cos 3 + cos sen = cos 36 Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) sen 330 b) cos 0 c) tg 0 d) sen 40 ) b) 330 sen 330 = sen 30 = 30 cos 3 + cos sen = = cos 3 + cos ( cos ) = = cos 3 + cos cos 3 = cos 38 Demuestr l siguiente identidd: tg cosec (cos sen ) = tg tg cosec (cos sen ) = = tg (cos sen ) = sen cos = tg tg = tg sen 0 30 Resuelve ls siguientes ecuciones: 39 sen = c) 3 cos 0 = cos 30 = sen = ± ) sen = tg 0 = tg 60 = = k, k é = k, k é TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 57

13 Ejercicios y problems b) sen = = k, k é = k, k é 35 5 b) sen = / 0 / 330 / 3 = k, k é 4 = k, k é 40 tg = 3 Se consider l ríz positiv. 4 3 = k, k é 4 = k, k é sen + = 3 cosec sen + = sen sen + sen 3 = 0 ± + 4 ± 5 sen = = = 4 4 3/ sen = 3/ no tiene sentido, porque sen Ì sen = = k, k é = k, k é = k, k é = k, k é sen = cosec = k, k é 4 sen = sen 4 sen = sen = ± / ) sen = / 43 sen = cos + sen = sen + / / sen + sen = 0 ± + 8 ± 3 sen = = = sen = no tiene sentido, porque sen Ì sen = 58 SOLUCIONARIO

14 ) sen = = k, k é = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é b) cos = 44 sen cos = sen sen cos sen = 0 { sen = 0 sen (cos ) = 0 ò cos = 3 = 360 k, k é 0 3. Resolución de triángulos rectángulos 45 En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = m y un cteto c = 7,5 m. Clcul los demás elementos. = m Áre? C? b? Dtos = m c = 7,5 m Incógnits b B Fórmuls Resolución = b + c ò b = c b = 7,5 = 9,37 m cos B c = cos B 7,5 = ò B = C C = 90 B C = B? c = 7,5 m Áre Áre = b c Áre = 9,37 7,5 = 35,4 m 46 En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = 7, cm y el ángulo B = Clcul los demás elementos. Dtos Incógnits Fórmuls Resolución C? = 7, cm Áre? b? B = 4 35' 3'' c? = 7, cm B = C b c Áre C = 90 B b sen B = ò b = sen B c cos B = ò c = cos B Áre = b c C = b = 7, sen = 4,87 cm c = 7, cos = 5,30 cm Áre = 4,87 5,30 =,9 cm TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 59

15 Ejercicios y problems 47 En un triángulo rectángulo se conocen el cteto c = 6,4 m y el ángulo contiguo B = Clcul los demás elementos.? C? Áre? b? Dtos c = 6,4 m B = Incógnits C b C = 90 B Fórmuls cos B c c = ò = cos B b tg B = ò b = c tg B c C = Resolución 6,4 = =,56 m cos b = 6,4 tg = 9,63 m B = 56º 3' 44'' c = 6,4 m Áre Áre = b c Áre = 9,63 6,4 = 30,8 m 48 En un triángulo rectángulo se conocen los dos ctetos b = 9,5 cm y c = 7,6 cm. Clcul los demás elementos.? Áre? C? b = 9,5 cm Dtos b = 9,5 cm c = 7,6 cm Incógnits B Fórmuls Resolución = b + c ò = b + c c = 9,5 + 7,6 =,7 cm tg B b = tg B 9,5 = ò B = c 7,6 C C = 90 B C = B? c = 7,6 m Áre Áre = b c Áre = 9,5 7,6 = 36,0 cm 4. Aplicciones l cálculo de distncis, áres y volúmenes D 49 Un torre de lt tensión está colocd dentro del mr sobre un soporte. Desde l orill de l ply se mide el ángulo de elevción de l prte más lt y se obtiene 67. Alejándose en l mism dirección 50 m, el nuevo ángulo de elevción es de 5. Clcul l ltur de l torre m 67 5 A 50 m B tg 67º = } tg 5º = 50 + =,34 m = 9,07 m L torre de lt tensión mide 9,07 m de lto. C 60 SOLUCIONARIO

16 50 Clcul l potem de un octógono regulr en el que el ldo mide 7, cm 360 : 6 = 30 7, cm 5 Se quiere medir l ncur de un río. Pr ello se observ un árbol que está en l otr orill. Se mide el ángulo de elevción desde est orill l prte más lt del árbol y se obtienen 53.Alejándose 30 m del río se vuelve medir el ángulo de elevción y se obtienen 35. Clcul l ncur del río. 30' 30' 3,6 tg 30 = 3,6 cm 3,6 cm = 8,89 cm m 5 Clcul el volumen de un pirámide regulr cudrngulr en l que l rist de l bse mide 6 cm y el ángulo que form l bse con ls crs lterles es de 65 D H 6 cm H tg 65 = 3 H = 6,43 cm A B = 6 = 36 cm V = 36 6,43 = 77,6 cm cm A 90 tg 53º = } tg 35º = = 33,5 m = 44,47 m El río mide de nco 33,5 m B m C TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 6

17 Ejercicios y problems Pr mplir 53 Ps los ángulos siguientes rdines: ) 0 b) 35 c) 40 d) 300 cosec =,67 cotg =,33 π rd π ) 0 = rd 80 3 π rd 3π b) 35 = rd 80 4 π rd 4π c) 40 = rd 80 3 π rd 5π d) 300 = rd Clcul tods ls rzones trigonométrics de sbiendo que cotg = 3/ y está en el 3 er cudrnte. 54 Ps los ángulos siguientes grdos: ) 3,5 rd b) 3 rd c),6 rd d) 0,4 rd 80 ) 3,5 rd = π rd 80 b) 3 rd = π rd 80 c),6 rd = π rd 80 d) 0,4 rd = 55 6 π rd 55 Clcul tods ls rzones trigonométrics de sbiendo que sen = 0,6 y está en el cudrnte. 0,6 + cotg = cosec + ( 3/) = cosec 3 cosec = 3 sen = = 3 3 tg = /3 cos cotg = òcos = cotg sen sen cos = ( ) = sec = = Clcul tods ls rzones trigonométrics de sbiendo que tg = /5 y está en el cudrnte. sen + cos = 0,6 + cos = ò cos = 0,8 sen tg = = 0,75 cos sec =,5 /5 + tg = sec + ( /5) = sec 6 SOLUCIONARIO

18 9 sec = 5 b), cos = = 9 9 sen tg = òsen = cos tg cos sen = ( ) = cosec = = 9 58 Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln que: ) sen = 0,6 b) cos = 0,4 ) b) 60 Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) sec 3 70 b) cos c) tg 040 d) sen 850 ) 3 70 = ,6 0,4 3 sec 3 70 = sec 30 = 3 b) = Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln que: ) tg =,5 b) sec =,5 ) 0 60 cos = cos 0 = cos 60 = / c) 040 = , tg 040 = tg 40 = tg 60 = 3 TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 63

19 Ejercicios y problems d) 850 = Dibuj en l circunferenci un ángulo tl que sec = 3/. Clcul cos( + π) ,5 sen 850 = sen 330 = / 6 Clcul ls rzones trigonométrics siguientes sbiendo que sen 5 = 0,588: ) sen 65 b) sen 95 c) sen 345 d) cos 05 e) cos 55 f) cos 85 ) sen 65 = sen (80 5 ) = sen 5 = 0,588 b) sen 95 = sen ( ) = sen 5 = = 0,588 c) sen 345 = sen (360 5 ) = sen 5 = = 0,588 d) cos 05 = cos (80 75 ) = cos 75 = = sen 5 = 0,588 e) cos 55 = cos( ) = cos 75 = = sen 5 = 0,588 f) cos 85 = cos( ) = cos 75 = = sen 5 = 0,588 cos ( + π) = cos = /3 64 Demuestr l siguiente identidd: tg (cos + cosec sen ) = sen + cos sen (cos + cosec sen ) cos sen sen + cos cos cos sen + sec cos sen + sec sec + cos sen + cos 65 Demuestr l siguiente identidd: tg sen ( + tg ) = sen 6 Sbiendo que sen = 0,4 y es un ángulo del er cudrnte, clcul: ) sen (80 ) b) sen (360 ) c) sen (90 + ) ) sen (80 ) = sen = 0,4 b) sen (360 ) = sen = 0,4 c) sen (90 + ) = cos Se clcul cos sen + cos = 0,4 + cos = cos = 0,965 tg = sen sec sen sen = : = cos cos sen cos = : = cos cos sen cos = = cos sen = sen 66 Demuestr l siguiente identidd: + sen cos = cos sen 64 SOLUCIONARIO

20 ( + sen )( sen ) = cos sen = cos cos = cos Demuestr l siguiente identidd: = sec Resuelve ls siguientes ecuciones: 68 tg cos sen sen tg cos = = cos sen cos sen cos sen = = cos (cos sen ) = = sec cos sen ( + 45 ) = 3 = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é 70 3 tg = cos 3 sen = cos 3 sen = ( sen ) sen + 3 sen = 0 3 ± ± 5 / sen = = = 4 4 L solución sen = no es válid. sen = / 3 sen ( + 45 ) = / / Se tom l ríz positiv = k, k é = k, k é 7 cos sen = sen + 45 = k, k é = k, k é + 45 = k, k é = k, k é 69 cos = + sen sen sen = sen sen + sen = 0 ± + 8 ± 3 / sen = = = 4 4 ) sen = / cos = + sen sen = + sen sen = 0 sen = 0 / / TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 65

21 Ejercicios y problems = k, k é = k, k é b) sen = ± + 8 ± 3 / sen = = = 4 4 ) cos = / = k, k é 7 sen cos = / sen + sen = / sen = / sen = ± / ) sen = / = k, k é = k, k é b) cos = 80 3 = k, k é / / 74 sen cos = cos = k, k é = k, k é b) sen = / sen cos cos = 0 cos (sen ) = 0 ò cos = 0 sen? 0 pr todo vlor de Si cos = / 330 / 3 = k, k é 4 = k, k é = k, k é = k, k é = k, k é } 73 cos + cos = sen cos + cos = cos cos + cos = 0 75 tg = sen cos sen = sen cos sen sen cos = 0 66 SOLUCIONARIO

22 sen ( cos ) = 0 ò ) sen = 0 { sen = 0 cos = 0 ò ò cos = ± / = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é b) cos = = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é b) cos = = 360 k, k é Es l mism que un nterior. 3 = k, k é 4 = k, k é c) cos = sen cos = 0 sen = cos sen = cos tg = 5 = k, k é 6 = k, k é tg sen = 0 sen sen cos = 0 sen ( cos ) = 0 ò ) sen = 0 { sen = 0 cos = 0 ò ò cos = 78 En un triángulo rectángulo un cteto mide el doble que el otro. Clcul l mplitud de sus ángulos gudos. TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 67

23 Ejercicios y problems b 5 m b 5 m tg = = ò= b = = m 4 m 4 cos = ò= b = = En un triángulo rectángulo un cteto mide 5 m, y el áre, 0 m. Hll los demás elementos del triángulo rectángulo. C?? b = 5 m B? Áre = 0 m Áre = bc 5c = 0 5c = 0 c = 4 m = = 4 = 6,40 m 5 tg B = ò B = C = = c? Con clculdor 8 Clcul el ángulo correspondiente en cd cso: ) sen = 0,4 estndo en el er cudrnte. b) cos = 0,65 estndo en el º cudrnte. c) tg =,4 estndo en el 3 er cudrnte. d) cos = 0,8 estndo en el 4º cudrnte. ) b) c) d) Clcul el ángulo correspondiente en cd cso: ) cos = 0, estndo en el er cudrnte. b) tg =,6 estndo en el º cudrnte. c) sen = 0,7 estndo en el 3 er cudrnte. d) tg = 0,5 estndo en el 4º cudrnte. 80 En un triángulo isósceles, cd uno de los ldos igules mide 5 m, y el desigul, 8 m. Hll l mplitud de sus ángulos. ) b) 9 c) d) SOLUCIONARIO

24 83 Clcul el ángulo correspondiente en cd cso: ) tg = estndo en el er cudrnte. b) sen = 0,9 estndo en el º cudrnte. c) cos = 0,4 estndo en el 3 er cudrnte. d) sen = 0,3 estndo en el 4º cudrnte. ) b) c) d) Problems Clcul l longitud del rco correspondiente un ángulo centrl de 80 en un circunferenci de 0 cm de rdio. 0π 80 = 7,93 cm En un circunferenci de 8 cm de rdio, el rco correspondiente un ángulo centrl mide 3 cm. Clcul en rdines lo que mide dico ángulo. 3 = 4 rd 8 Ls digonles de un rombo miden cm y 6 cm. Clcul los ángulos del rombo. B 8 cm Los ángulos del rombo son: A = B = Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: sen 3 = 3 = 3 sen 3 =,55 cm Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: C C A = 3 cm B = 3 B 6 cm A A = 3,5 cm B = 6 30' B 8 4 tg A = = 6 3 A = B = = 36 5 cos 6 30 = 3,5 = 3,5 cos 6 30 =,8 cm 89 Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 69

25 Ejercicios y problems C C b =,8 cm b =,8 cm = 4,5 cm A B = 35 5' B A B,8 sen 35 5 =,8 sen = 4,5,8 = = 4,85 cm sen 35 5 = Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: b =,5 cm C 93 El etremo de un escler está poydo sobre l pred de un edificio, y su bse se encuentr 4 m de l pred. Si el ángulo que form l escler con l pred es de 65, qué ltur del suelo lleg l escler? A c = 4 cm B,5 tg = 4 = m tg 65 = 4 = 4 tg 65 = 8,58 m 9 Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: b = 3 cm C 94 Un torre de 50 m de ltur proyect un sombr de 0 m ciert or del dí. Clcul el ángulo con el que se verá el etremo superior de l torre desde el etremo de l sombr. A c = 5 cm B 5 tg = 3 = Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: 0 m 50 m 50 tg = 0 tg =,5 = SOLUCIONARIO

26 95 A un distnci de 35 m del pie de un cimene se ve el etremo de l mism con un ángulo de 5. Clcul l ltur de l cimene m,5 cm,7 cm tg 5 = 35 = 35 tg 5 = 6,3 m,7 tg =,5 = Un comet está sujet l suelo con un cuerd de 80 m de lrgo y ést form con el suelo un ángulo de 65. Si l cuerd está rect, qué ltur del suelo está l comet? 98 En el centro de un lgo sle verticlmente un corro de gu, y se quiere medir su ltur. Pr ello, se mide el ángulo de elevción desde l orill l prte más lt del corro de gu y se obtienen 68 ; lejándose 75 m del lgo se vuelve medir el ángulo de elevción y se obtienen 37. Clcul l ltur del corro de gu. 80 m m m D sen 65 = = 80 sen 65 = 7,50 m 97 Un person que mide,7 cm proyect un sombr de,5 cm. Cuál es el ángulo de elevción del Sol en ese momento? A } tg 68º = tg 37º = B 75 m C TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

27 75 m Ejercicios y problems = tg 68º = ( + 75) tg 37º } =,48 = 0,75( + 75) } = 3,5 m = 80,64 m 99 Un cint trnsportdor de scos de cemento mide 350 m y se quiere que eleve el cemento 75 m de ltur. Qué ángulo de elevción debe llevr l cint? = 7 = 45 = 6,7 m 0 Clcul l potem y el áre de un eptágono regulr cuyo ldo mide 9, cm 360 : 4 = , cm 5 4' 5'' 350 m 4,6 cm 4,6 tg = = 9,55 cm 7 9, 9,55 Áre = = 307,5 cm 75 sen = 350 = m 350 m Ddo un triángulo isósceles en el que los ldos igules miden 7 m, y el desigul, 4 m, clcul l ltur reltiv l ldo desigul. 0 Dos persons están en un ply y ven un globo desde los puntos A y B, respectivmente, de form que ls dos persons y el globo están en un plno perpendiculr l suelo. L distnci entre ls dos persons es de 4 km. El ángulo de elevción del globo desde el punto A es de 57, y desde el punto B, de 46. Clcul l ltur l que se encuentr el globo. 4 m 7 m m 7 m 7 SOLUCIONARIO

28 D 3 tg + = 4 tg tg + 3 = 4 tg tg 4 tg + 3 = 0 4 ± 6 4 ± 3 tg = = = ) tg = 3 A } tg 57º = tg 46º = + 4 = tg 57º = ( + 4) tg 46º } =,54 =,04( + 4) } = 8,3 km =,8 km B 4 km C 3 Pr profundizr 03 Demuestr l siguiente iguldd: + sen cos + = sec cos + sen + sen cos + = cos + sen ( + sen ) + cos = = cos ( + sen ) + sen + sen + cos = = cos ( + sen ) + sen = = cos ( + sen ) ( + sen ) = = cos ( + sen ) = = sec cos 04 Resuelve l ecución trigonométric: tg + 3 cotg = 4 = k, k é = k, k é b) tg = 3 = k, k é = k, k é 4 = k, k é } 05 Resuelve l ecución trigonométric: tg sec = sen = cos cos 5 45 TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 73

29 Ejercicios y problems sen = cos sen = cos sen = ( sen ) sen + sen = 0 ± + 8 ± 3 sen = = = / sen = no tiene sentido porque sen Ì sen = tg 55º = } tg 40º = = tg 55º = ( + 300) tg 40º } =,43 = 0,84( + 300) } = 47, m = 60,78 m 35 = k, k é = k, k é 5 07 Un fro está colocdo sobre un montículo.al ldo del montículo y un pequeñ llnur y desde ell se mide el ángulo de elevción del punto más lto del fro y se obtiene 47.Nos lejmos en l mism dirección 0 m, se vuelve medir el ángulo de elevción y se obtiene 3. Clcul l ltur del fro más el montículo. 06 En un llnur, desde un punto culquier se mide el ángulo B de elevción de un montñ y se obtiene 40.Acercándose l montñ un distnci de 300 m, se vuelve medir el ángulo C de elevción y se obtiene 55. Clcul l ltur de l montñ. D m D A C = 55 B = m B 300 m C A } tg 47º = tg 3º = + 0 = tg 47º = ( + 0) tg 3º } =,07 = 0,6( + 0) } = 7,56 m = 9,49 m 47 3 B 0 m C 74 SOLUCIONARIO

30 Aplic tus competencis Cálculo de lturs 08 Un escler de bomberos que mide 0 m de longitud se poy sobre un fcd. El ángulo que form el suelo con l escler es de 75. Qué ltur lcnz l escler sobre l fcd? Cálculo de áres 09 Un finc tiene form de triángulo rectángulo. Uno de los ctetos mide 50 m, y el ángulo opuesto, 5. Clcul el áre de l finc. 5 0 m m 5 c 0 m 50 m sen 75 = 0 = 0 sen 75 = 9,3 m 75 tg 5 = 50 c c = 95,3 m Áre = 50 95,3 Áre = 4 45 m TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 75

31 Comprueb lo que sbes Define qué es un identidd trigonométric y pon un ejemplo. Un identidd trigonométric es un iguldd que se verific pr culquier vlor de l vrible. Ejemplo: sen + cos = Un ángulo mide,3 rd. Cuántos grdos son?,3 rd 80 = π rd b) = c) = Resuelve l siguiente ecución trigonométric: sen + = cos + 3 sen sen 3 sen + = 0 sen =, sen = / ) sen = 90 3 Sbiendo que sen = 3/5 y que el ángulo está en el º cudrnte, ll el vlor del cos = k, k é b) sen = / 3/5 cos / / sen + cos = 3 ( ) + cos = 5 cos = 9 5 cos = 6 5 cos = = k, k é 3 = k, k é Resuelve el siguiente triángulo rectángulo: b =,5 cm 4 Clcul el ángulo en los siguientes csos: ) sen = 0,5678 y el ángulo está en el º cudrnte. b) cos = 0,43 y el ángulo está en el 3 er cudrnte. c) tg =,345 y el ángulo está en el 4º cudrnte. ) =45 4 tg =,5 ò= ,5 b = = =,5 + 3,5 ò = 4,30 cm 7 c = 3,5 cm Clcul el áre de un eptágono regulr en el que el ldo mide,5 cm 76 SOLUCIONARIO

32 En l llnur, desde un punto culquier, se mide el ángulo B de elevción de un montñ y se obtiene 35. Acercándose l montñ un distnci de 00 m, se vuelve medir el ángulo C de elevción y se obtiene 57. Cuánto mide de lto l montñ? ,75,5 cm D 360 : 4 = tg = 0,75 =,56 cm Áre = 7,5,57 = 8,4 cm 8 0,75 cm,5 cm 5 4' 5'' tg 57 = tg 35 = B 00 m C A } + 00 = tg 57 = ( + 00) tg 35 } =,54 = ( + 00) 0,7 } = 66,67 m = 56,67 m L montñ mide 56,67 m de lto. TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 77

33 Linu/Windows GeoGebr Pso pso 0 Estudi el signo de l rzón trigonométric seno en cd cudrnte. Dibuj un triángulo rectángulo en el que se conocen l ipotenus = 8 cm y el ángulo B = 65. Clcul todos sus elementos. Resuelto en el libro del lumndo. Resuelto en el libro del lumndo. Internet. Abre: y elige Mtemátics, curso y tem. Prctic 3 Estudi el signo de l rzón trigonométric coseno en cd cudrnte. 4 Dibuj un triángulo rectángulo en el que se conocen l ipotenus = 0 cm y c = 8 cm. Clcul todos sus elementos. Resuelto en el libro del lumndo. Resuelto en el libro del lumndo. 78 SOLUCIONARIO

34 Windows Cbri Demuestr ls siguientes identiddes; primero dibuj el er miembro, y luego, el º 5 (sen + cos ) = + sen cos Resuelve ls siguientes ecuciones: 7 3sen cos = 0 6 tg + cotg = sec cosec 8 sen cos = 0 TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 79

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161 7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60

Más detalles

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c) Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3. Trigonometría I

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3. Trigonometría I Evlución NMBRE PELLIDS CURS GRUP FECH CLIFICCIÓN 4 L solución de l ecución sen 0,5 es: ) 0 y 50 b) 50 y 0 c) 0 y 0 Si sen 0 0,4, entonces cos 0 será: ) 0,4 b) 0,94 c) 0,4 Un estc de longitud, clvd verticlmente

Más detalles

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina: Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Los polígonos y la circunferencia

Los polígonos y la circunferencia l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 =

Más detalles

11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO SLUINRI 95 11. Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

1.6 Perímetros y áreas

1.6 Perímetros y áreas 3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente

Más detalles

SOLUCIONARIO Poliedros

SOLUCIONARIO Poliedros SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos

Más detalles

P I E N S A Y C A L C U L A

P I E N S A Y C A L C U L A Áres y volúmenes. Uniddes de volumen P I E N S Y C C U L Clcul mentlmente el volumen de ls siguientes figurs teniendo en cuent que cd cubo es un unidd. ) b) c) d) e) ) 7 u b) 4 u c) 8 u d) 6 u e) 8 u Crné

Más detalles

7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales

7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se

Más detalles

POLIEDROS - PRISMAS POLIEDRO. I. POLIEDRO: es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales llamados caras.

POLIEDROS - PRISMAS POLIEDRO. I. POLIEDRO: es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales llamados caras. POIROS - PRISMS POIRO I. POIRO: es el sólido limitdo por cutro o más regiones poligonles llmdos crs. RIST TR TUR RIST SI PRISM VRTI S R 1. PRISM: l prism es un poliedro cuys crs lterles son tres o más

Más detalles

( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9

( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 1 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 < x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 x < x > -1 c) x < 4 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 > x + 4 c) 5x + 10 < 1x - 4 x > x < -

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 06 EJERCICIOS Tipos de poliedros 1 Di, justificdmente, qué tipo de poliedro es cd uno de los siguientes: A B C D E Hy entre ellos lgún poliedro regulr? A Prism pentgonl recto. Su bse es un

Más detalles

Trigonometría I. 1. Ángulos. página Razones trigonométricas de un ángulo agudo. página 70

Trigonometría I. 1. Ángulos. página Razones trigonométricas de un ángulo agudo. página 70 Trigonometrí I E S Q U E M D E L U N I D D.. Ángulo en el plno págin 67. Ángulos págin 67.. riterio de orientción de ángulos págin 67.. Sistems de medid de ángulos págin 67.4. Reducción de ángulos l primer

Más detalles

Algunos Ejercicios de Trigonometría

Algunos Ejercicios de Trigonometría Algunos Ejercicios de Trigonometrí. Cuál es el vlor de sec00?. A qué es equivlente l expresión α sec( 90 α ) tn α tn( 90 α ) sec α cosα. Si en un triángulo rectángulo cos α = Cuál o cules proposiciones

Más detalles

P I E N S A Y C A L C U L A

P I E N S A Y C A L C U L A Áres y volúmenes. Uniddes de volumen P I E N S Y C C U L Clcul mentlmente el volumen de ls siguientes figurs teniendo en cuent que cd cubo es un unidd. ) b) c) d) e) ) 7 u b) 4 u c) 8 u d) 6 u e) 8 u Crné

Más detalles

Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2

Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 EJERIIOS. lculr en : Sen( - 0º) = os( + 0º) ) b) c) 4 d) 6 e). Si : Tg (8 º) Tg ( + º) = Hllr: K = Sen tg 6 7 7 ) b) c) - d) - e) ) 0, b) c), d) e) 8. Si : Tg =, Sen lculr : K Tg ) c) e) ( ) b) d) ( ).

Más detalles

de Thales y Pitágoras

de Thales y Pitágoras 8 Teorems de Thles y Pitágors 8.1. Cuents y problem del dí 1. Reliz l siguiente operción: 874,53 + 3 607,8 + 875,084 2. Reliz l siguiente operción, obtén dos decimles en el cociente y hz l prueb de l división:

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL Mtemátics pendientes de 1º (º prcil) 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES º PARCIAL Fech tope pr entregrlos: 17 de bril de 015 Exmen el 3 de bril de 015

Más detalles

FICHA DE TRABAJO. Bimestre IVº 4ºgrado - sección A B C D Ciclo IVº Fecha: - 11-10 Área : Matemática POLIEDROS REGULARES E IRREGULARES

FICHA DE TRABAJO. Bimestre IVº 4ºgrado - sección A B C D Ciclo IVº Fecha: - 11-10 Área : Matemática POLIEDROS REGULARES E IRREGULARES I TRJ Nombre Nº orden imestre IVº 4ºgrdo - sección iclo IVº ech: - 11-10 Áre : temátic Tem LIRS RULRS IRRULRS LIRS RULRS s quel poliedro en el cul sus crs son regiones poligonles congruentes entre sí,

Más detalles

153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental

153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental L myorí de los omres ncen como originles y terminn como copis 15 ESO Orientl ÍNDICE: MILLA NÁUTICA PISTA DE ATLETISMO 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. LONGITUDES

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 70 EJERCICIOS Áres y perímetros de figurs sencills Hll el áre y el perímetro de ls figurs coloreds de los siguientes ejercicios: 1 ) b) 3 m 3 m 1,8 m 4 m 6 m ) S3 m3 m9 m b) S 6m 1,8 m 5,4

Más detalles

Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)

Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d) 1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr

Más detalles

Solución: Solución: 5. Calcula los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos

Solución: Solución: 5. Calcula los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos 3 Razones trigonométricas. Razones trigonométricas o circulares Piensa y calcula En una circunferencia de radio R = m, calcula mentalmente y de forma eacta la longitud de: a) la circunferencia. b) la semicircunferencia.

Más detalles

SOLUCIONARIO 1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS (I) 4. Calcula el área de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 22 m y 16 m

SOLUCIONARIO 1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS (I) 4. Calcula el área de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 22 m y 16 m 11 elige Mtemátics, curso y tem. 13. Perímetros y áres 4. Clcul el áre de un triángulo rectángulo en el que los ctetos miden m y 16 m 1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS (I) PIENSA Y CALCULA Hll mentlmente

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics.

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Unidad 2 Lección 2.2. El Círculo Unitario y las Funciones Trigonométricas. 5/13/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 14

Unidad 2 Lección 2.2. El Círculo Unitario y las Funciones Trigonométricas. 5/13/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 14 Unidd Lección. El Círculo Unitrio y ls Funciones Trigonométrics 5/3/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de Actividdes. Referenci: Cpítulo 5 - Sección 5. Circulo Unitrio; Sección 5. Funciones trigonométrics

Más detalles

8. Calcule el área de la superficie lateral y total de los sólidos construidos en los numerales 1, 2, 3, 4, 6 y 7.

8. Calcule el área de la superficie lateral y total de los sólidos construidos en los numerales 1, 2, 3, 4, 6 y 7. 8 CAPÍTULO OCHO Ejercicios propuestos 8. Cuerpos geométricos 1. Construy un tetredro regulr con rist de 10cm de longitud. 2. Construy un hexedro regulr con rist de 12cm de longitud.. Construy un octedro

Más detalles

Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área.

Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área. POLÍGONOS. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. Los elementos de un polígono son los ldos, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, ls digonles, el perímetro y el áre. LADO REGIÓN EXTERIOR A

Más detalles

12 Áreas. y volúmenes. 1. Área de figuras planas

12 Áreas. y volúmenes. 1. Área de figuras planas Áres y volúmenes. Áre de figurs plns Hll mentlmente ls áres de un cudrdo de 7 m de ldo y de un rectángulo de 9 m de lrgo y 5 m de lto. Áre del cudrdo: 49 m Áre del rectángulo: 45 m P I E N S A Y C C U

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág Págin 56 PRACTICA Escribe los seis primeros términos de ls siguientes sucesiones: ) Cd término se obtiene sumndo l nterior El primero es 8 b) El primer término es 6 Los demás se obtienen multiplicndo

Más detalles

12 Áreas. y volúmenes. 1. Área de figuras planas

12 Áreas. y volúmenes. 1. Área de figuras planas Áres y volúmenes. Áre de figurs plns Hll mentlmente ls áres de un cudrdo de 7 m de ldo y de un rectángulo de 9 m de lrgo y 5 m de lto. Áre del cudrdo: 49 m Áre del rectángulo: 45 m P I E N S A Y C C U

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Guía -5 Matemática NM-4: Volumen de Poliedros

Guía -5 Matemática NM-4: Volumen de Poliedros Centro Educcionl Sn Crlos de Argón. Coordinción Acdémic Enseñnz Medi. Sector: Mtemátic. Prof.: Ximen Gllegos H. 1 Guí -5 Mtemátic NM-4: Volumen de Poliedros Nombre: Curso: Fech: Unidd: Geometrí. Contenido:

Más detalles

UNIDAD N 4: TRIGONOMETRÍA

UNIDAD N 4: TRIGONOMETRÍA Matemática Unidad 4 - UNIDD N 4: TRIGONOMETRÍ ÍNDICE GENERL DE L UNIDD Trigonometría....... 3 Sistema de medición angular... 3 Sistema seagesimal...... 3 Sistema Radial....... 3 Tabla de conversión entre

Más detalles

Problemas de trigonometría

Problemas de trigonometría Prolems de trigonometrí Reliones trigonométris de un ángulo. Clulr ls rzones trigonométris de un ángulo α, que pertenee l primer udrnte, y siendo que 8 sin α. 7 sin α + os α 8 7 + os α os α 64 5 5 osα

Más detalles

1. Perímetro y área de los polígonos (I) Halla mentalmente el perímetro y el área de un rectángulo que mide 60 m de largo y 40 m de alto.

1. Perímetro y área de los polígonos (I) Halla mentalmente el perímetro y el área de un rectángulo que mide 60 m de largo y 40 m de alto. 13 Perímetros y áres 1. Perímetro y áre de los polígonos (I) Hll mentlmente el perímetro y el áre de un rectángulo que mide 60 m de lrgo y 40 m de lto. Perímetro: (60 + 40) = 00 m Áre = 60 40 = 400 m P

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2 Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

10 cm. Hallamos la altura de la base: 6 2 = x 2 + 5 2 8 36 = x 2 + 25 8 x 2 = 36 25 = 11 8. 8 x = 11 3,3 cm 10 3,3 2. Área base =

10 cm. Hallamos la altura de la base: 6 2 = x 2 + 5 2 8 36 = x 2 + 25 8 x 2 = 36 25 = 11 8. 8 x = 11 3,3 cm 10 3,3 2. Área base = PÁGINA 09 Pá. 1 Prctic Desrrollos y áres 1 Dibuj el desrrollo plno y clcul el áre totl de los siuientes cuerpos eométricos: ) b) 1 cm 1 4 cm ) 19 6 6 6 10 6 Hllmos l ltur de l bse: 6 = + 5 8 36 = + 5 8

Más detalles

PSU Matemática NM-4 Guía 22: Congruencia de Triángulos

PSU Matemática NM-4 Guía 22: Congruencia de Triángulos Centro Educcionl Sn Crlos de Argón. Dpto. Mtemátic. Nivel: NM 4 Prof. Ximen Gllegos H. PSU Mtemátic NM-4 Guí : Congruenci de Triángulos Nombre: Curso: Fech: - Contenido: Congruenci. Aprendizje Esperdo:

Más detalles

1. Perímetro y área de los polígonos (I) Halla mentalmente el perímetro y el área de un rectángulo que mide 60 m de largo y 40 m de alto.

1. Perímetro y área de los polígonos (I) Halla mentalmente el perímetro y el área de un rectángulo que mide 60 m de largo y 40 m de alto. 13 Perímetros y áres 1. Perímetro y áre de los polígonos (I) Hll mentlmente el perímetro y el áre de un rectángulo que mide 60 m de lrgo y 40 m de lto. Perímetro: (60 + 40) = 00 m Áre = 60 40 = 400 m P

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

Resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º.

1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º. MATEMÁTICAS NM TRIGONOMETRÍA 1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º. a) Calcule AB. b) Halle el área del triángulo. 2. (D) La siguiente figura muestra una

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

11 Perímetros y áreas de figuras planas

11 Perímetros y áreas de figuras planas 86464 _ 0371-0384.qxd 1//07 09:4 Págin 371 Perímetros y áres de figurs plns INTRODUCCIÓN En est unidd repsmos ls uniddes de longitud y superficie. Se introducen tmbién lguns uniddes de medid del sistem

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

Trigonometría: ángulos / triángulos. matemática / arquitectura

Trigonometría: ángulos / triángulos. matemática / arquitectura Trigonometrí: ángulos / triángulos mtemátic / rquitectur Grn pirámide de Guiz. Egipto. 2750.C. (h=146,62m / l=230,35m) Pirámide del Museo Louvre. Pris. 1989. rq. Ieoh Ming Pei. (h=20m / l=35m) Grn pirámide

Más detalles

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus

Más detalles

2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivamente. Determina el ángulo que forman sus bisectrices.

2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivamente. Determina el ángulo que forman sus bisectrices. GEOMETRÍ 1.- Determin ls medids de los ángulos desconocidos. ) b) " 31º " 20º 47º 2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivmente. Determin el ángulo que formn sus bisectrices. 3.- uánto

Más detalles

EJERCICIOS DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS (TEMA 1)

EJERCICIOS DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS (TEMA 1) Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema EJERCICIOS DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS (TEMA ).- Dados los ángulos = º y = 7º, calcula: a) + b) c) d).- Dados los ángulos = º 7 y = 7º, calcula:

Más detalles

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr

Más detalles

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA -Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos: a) α I cuadrante; tg α=/4 b) α IV cuadrante; cos α=4/5 c) α I cuadrante; sen α=/5 d) α II cuadrante; cos α=-/ e) α III

Más detalles

Trigonometría 14/10/13

Trigonometría 14/10/13 63 Trigonometrí LECTURA INICIAL L primer civilizción en medir el pso del tiempo, utilizndo el ángulo solr y l longitud de l sombr que proyect un vr clvd en el suelo, fue l civilizción chin. 14/10/13 Aplicciones

Más detalles

Haga clic para cambiar el estilo de título

Haga clic para cambiar el estilo de título Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles

Más detalles

60 α α. 3 lados 2 lados 3 lados. α 1. (0 < α n. Rectángulo:

60 α α. 3 lados 2 lados 3 lados.  α 1. (0 < α n. Rectángulo: Personl Trinig for PSU nro.1. Prof. hef. Triángulos I: Propieddes ásics efinición dos los puntos,, ; se define triángulo como l reunión. P = punto interior Q = punto eterior ê 2 Q c P ê 1 φ b ê 3 Notción

Más detalles

UNIDAD: GEOMETRÍA TRIÁNGULO RECTÁNGULO

UNIDAD: GEOMETRÍA TRIÁNGULO RECTÁNGULO u r s o : Mtemátic 3º Medio Mteril Nº MT-16 UNI: GOMTÍ TIÁNGULO TÁNGULO TOM ITÁGOS n todo triángulo rectángulo, l sum de ls áres de los cudrdos construidos sobre sus ctetos, es igul l áre del cudrdo construido

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

C? a = 5 m. Área? B? c = 4 m. b 2 = a 2 c 2. b = 3 m c = 4 m. c cos B = a. 4 cos B = B = 36 52' 12'' 5 C C = 90 B. 1 Área = b c 2. a = 5,41 cm. Área?

C? a = 5 m. Área? B? c = 4 m. b 2 = a 2 c 2. b = 3 m c = 4 m. c cos B = a. 4 cos B = B = 36 52' 12'' 5 C C = 90 B. 1 Área = b c 2. a = 5,41 cm. Área? 4 Resoluión de triángulos. Resoluión de triángulos retángulos Piens y lul lul mentlmente l inógnit que se pide en los siguientes triángulos retángulos: ) = 6 m, = 8 m; ll l ipotenus ) = 35 ; ll el otro

Más detalles

Módulo 6. Trigonometría

Módulo 6. Trigonometría Seminrio Universitrio Mtemátic Módulo 6 Trigonometrí L mtemátic compr los más diversos fenómenos y descubre ls nlogís secrets que los unen Joseph Fourier ÁNGULO ORIENTADO Pr comenzr trbjr con trigonometrí

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

Guía - 4 de Matemática: Trigonometría

Guía - 4 de Matemática: Trigonometría 1 entro Eduionl Sn rlos de rgón. oordinión démi Enseñnz Medi. Setor: Mtemáti. Nivel: NM Prof.: Ximen Gllegos H. Guí - de Mtemáti: Trigonometrí Nomre(s): urso: Feh. ontenido: Trigonometrí. prendizje Esperdo:

Más detalles

a Y = X donde a 1 siendo Lg el logaritmo y

a Y = X donde a 1 siendo Lg el logaritmo y Mteri: Mtemátics de 4to ño Tem: Función logrítmic Mrco Teórico L función exponencil de l form f ( ) tiene un función invers, que llmmos función logrítmic y se escribe de l form: Un función > 0 g( ) Lg

Más detalles

TEMA 3. TRIGONOMETRÍA

TEMA 3. TRIGONOMETRÍA TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Definiciones: 0 30 45 60 90 180 270 360 Seno 0 1 0-1 0 Coseno 1 0-1 0 1 Tangente 0 1 0 0 Teorema del seno: Teorema del coseno: Fórmulas elementales: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. Suma

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO TUTORIAL DE PREPARAIÓN MATEMATIA 009 RELAIONES MÉTRIAS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO I.- MARO TEORIO DEPTO. DE MATEMATIA Ls relciones métrics en un triángulo rectángulo son 5 relciones plicles sólo este tipo

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8 POTENCIAS. Hll sin clculdor +.. Simplific utilizndo ls propieddes de ls potencis: b c ) 0 b c. Epres los siguientes rdicles medinte potencis de eponente frccionrio y simplific: ). Resuelve sin utilizr

Más detalles

1. Trigonometría 4º ESO-B. Cuaderno de ejercicios. Matemáticas JRM. Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1

1. Trigonometría 4º ESO-B. Cuaderno de ejercicios. Matemáticas JRM. Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1 1. Trigonometría 4º ESO-B Cuaderno de ejercicios Matemáticas JRM Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1 RESUMEN DE OBJETIVOS 1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. OBJETIVO

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES.

APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES. DP. - AS - 5119 007 Mtemátics ISSN: 1988-79X 00 APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON VARIABLES. Descompón el número 9 en dos sumndos e, tles que l sum + 6 se mínim. DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

Más detalles

UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA.

UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA. UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina las demás razones trigonométricas a través de un dato. Aplica las definiciones de razones trigonométricas en la solución de ejercicios

Más detalles

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51 Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y

Más detalles

Señaléticas Diseño gráfico de señales

Señaléticas Diseño gráfico de señales Señlétics Diseño gráfico de señles El cálculo de perímetros y áres de figurs plns es de grn utilidd en l vid práctic, pues l geometrí se encuentr presente en tods prtes. En un min subterráne, ls señles

Más detalles