Trigonometría I Razones trigonométricas

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1 I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º CURSO de Educación Secundaria Obligatoria Trigonometría I Razones trigonométricas Por Javier Carroquino Cañas Catedrático de matemáticas del I.E.S. Siete Colinas Ceuta 00

2 Trigonometría Razones trigonométricas Javier Carroquino Cañas

3 Matemáticas º de Educación Secundaria Obligatoria Trigonometría razones trigonométricas Por Javier Carroquino Cañas Catedrático de matemáticas I.E.S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Ceuta 00

4 Javier Carroquino Cañas I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas) Trigonometría I Razones trigonométricas Depósito Legal : CE& ISBN : Número de Registro : Ceuta 00

5 Prólogo El término trigonometría proviene de las palabras griegas trígonon (triángulo) y métron (medida) y podemos considerar que es la parte de la geometría que trata de establecer y estudiar las relaciones métricas entre los lados y ángulos de los triángulos. Esta disciplina surgió con la necesidad de resolver problemas relacionados con los elementos de un triángulo (lados y ángulos) tanto planos como esféricos. Tanto Aristarco de Samos como Hiparco, astronomos griegos anteriores a Cristo, establecieron una relación entre los lados y los ángulos de un triángulo, lo que llamamos razones trigonométricas, que constituyen la base de la trigonometría. La trigonometría, tanto plana como esférica, es de especial importancia y útil en topografía, cartografía, navegación marítima y aérea, astronomía, construcción, mecánica, diseños gráficos, etc. Es un ejemplo claro de la aplicación de la ciencia matemática a la resolución de problemas reales. Confiamos en que estas páginas sirvan para la formación de futuros técnicos en diversos campos.

6 Matemáticas º de E.S.O. I Trigonometría I. Razones trigonométricas Índice Página.Introducción....Ángulo....Formas de expresar un ángulo....tamaño de un ángulo... Ejemplo... Ejemplo... 5.Ángulo orientado. Sentido y signo de un ángulo... Ejemplo... 6.Ángulos opuestos... 7.Casos particulares de ángulos... 8.Medida de un ángulo... 9.Unidades de medida de un ángulo El radián... 5 Ejemplo... 7.Medida en radianes de un ángulo completo... 7.Grados sexagesimales... 8 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo... 0 Ejemplo... Ejemplo....Herramienta para medir ángulos. Transportador de ángulos...paso de radianes a grados y de grados a radianes... Ejemplo... Ejemplo 5... Ejemplo 6... Ejemplo 7... Ejemplo Operaciones con ángulos... Ejemplo 9... Ejemplo 0... Ejemplo... 5 Ejemplo Razones trigonométricas o circulares de un ángulo... 5 Ejemplo... 8 Ejemplo... Ejemplo La circunferencia goniométrica o círculo trigonométrico... Ejemplo Ejemplo Ejemplo 8... Ejemplo Observaciones sobre las razones trigonométricas de un ángulo. 7 9.Razones trigonométricas del ángulo 0º Razones trigonométricas del ángulo 90º... 0

7 Matemáticas º de E.S.O. II Trigonometría I. Razones trigonométricas.razones trigonométricas del ángulo 80º... 0.Razones trigonométricas del ángulo 70º... 0.Razones trigonométricas del ángulo 60º....Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo... Ejemplo 0... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Razones trigonométricas de algunos ángulos mas usuales Ángulos suplementarios Ejemplo Ejemplo Relación entre las razones de dos ángulos suplementarios Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ángulos que se diferencian en B radianes (80º) Ejemplo Ejemplo Ejemplo Relación entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos... 6 Ejemplo Ejemplo Reducción al primer cuadrante... 6 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ángulos complementarios Ejemplo Ejemplo Ejemplo Relación entre las razones de dos ángulos complementarios.. 67 Ejemplo :Razones trigonométricas del ángulo suma de otros dos ángulos. 68 Ejemplo Razones trigonométricas del ángulo diferencia de otros dos. 69 Ejemplo Razones trigonométricas del ángulo doble de otro Ejemplo Ejemplo Razones trigonométricas del ángulo mitad de otro... 7 Ejemplo Fórmulas de transformación de sumas y rectas en productos.. 7 Ejemplo Arco (o ángulo) correspondiente a una razón trigonométrica. 7 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

8 Matemáticas º de E.S.O. III Trigonometría I. Razones trigonométricas 9.Ecuaciones trigonométricas. Resolución Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Sistemas de ecuaciones trigonométricas Ejemplo Uso de la calculadora en trigonometría Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

9 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Trigonometría Razones trigonométricas.introducción.- Para iniciar con éxito el estudio de este tema es conveniente que el alumno repase y recuerde todo lo relativo a ángulos en el plano, igualdades de ángulos, sus unidades de medida, tipos, operaciones con ángulos, tanto analítica como gráficamente, así como las cuestiones más elementales sobre triángulos. Conviene, además, adquirir o recuperar una destreza elemental en el uso de escuadra, cartabón y compás. No obstante, iniciaremos este tema con un breve repaso sobre ángulos. Por último, el uso de una calculadora científica es cuestión obligada para el normal desarrollo del aprendizaje de esta unidad..ángulo.- Sea P un plano. Recordemos que un plano es una figura espacial infinita, abstracta y no tangible (no se ve ni se toca). En general asociamos la idea de plano (o parte un plano) a una superficie lisa, como por ejemplo un folio, la pizarra, el suelo de un salón, etc. Para nosotros, los folios donde están escritos estos apuntes representan partes de planos. Sean r y s dos semirrectas (una semirrecta es un trozo de recta que tiene un origen pero no tiene fin) que comparten como origen el mismo punto O. El plano quedará dividido en dos regiones infinitas, cada una de esas regiones corresponde a un ángulo, es decir, dos semirrectas con el mismo origen determinan dos ángulos. La figura ilustra el concepto mencionado. Obsérvese que el plano (en este caso el folio) ha quedado dividido en dos regiones infinitas. Una de ellas la hemos sombreado en parte (la mas cerrada por las semirrectas). Cada una de esas regiones corresponde a un ángulo determinado por las semirrectas r y s. Nótese que una de las regiones es menor que la otra, es decir, uno de los ángulos es mas cerrado que el otro. Pongamos nombre a cada uno de los elementos que interviene en un ángulo (figura ): O ÿ Es un punto del plano que se llama vértice del ángulo. r,s ÿ Son semirrectas de origen O y se llaman lados del ángulo..formas de expresar un ángulo.- Hay diversas maneras de expresar un ángulo. Veremos las más habituales. ± Con letras griegas minúsculas ", $, (,... Utilizando el nombre del vértice O,A, $ $ B, $ C,... $ con un ^ en la parte superior.

10 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Utilizando un punto de cada lado y el vértice (este situado en el centro) AOB Como un punto (vértice) y dos semirrectas (lados) determinan dos ángulos, para indicar a cual de ellos nos referimos es habitual señalarlo con un arco de circunferencia entre los lados. Gráficamente: En la figura tenemos d ibujados c u a t r o ángulos a los que podríamos llamar : α, β, B, $ POQ.Tamaño de un ángulo.- La mayor o menor apertura de los lados de un ángulo no indica su tamaño. Esto hace que los ángulos se puedan comparar según dicho tamaño. Veamos un ejemplo que ilustre este concepto. Ejemplo.- Observando los siguientes ángulos puede apreciarse a simple vista que: δ< β< α< γ Es decir, de los cuatro ángulos dibujados * es el menos de ellos y ( es el mayor. Ejemplo.- Observando los siguientes ángulos puede apreciarse a simple vista que son aproximadamente iguales, es decir: α β Sin embargo, una observación mas detallada nos permitiría determinar que β < α 5.Ángulo orientado. Sentido y signo de un ángulo.- En algunos problemas es conveniente dar a los ángulos una orientación o sentido de las dos posibles que puede tener y asignaremos a cada uno de ellos un signo, positivo o negativo. Aclaremos esto: U Supongamos un ángulo " de vértice O y lados r y s. Podemos considerar el ángulo "

11 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas tomado en el sentido de el lado r hacia el lado s o de el lado s hacia el lado r Es decir: En la figura 5 hemos orientado el ángulo " (dibujado una flecha en el arco) que nos indica el sentido (de r a s en el primer caso y de s a r en el segundo). En el ángulo de la izquierda puede apreciarse que el sentido es el del movimiento contrario a las agujas del reloj (este será el sentido positivo). En el ángulo de la derecha el sentido es el mismo que el movimiento de las agujas de un reloj (este será el sentido negativo). Por tanto, en el primer caso el ángulo " es un ángulo positivo y en el segundo caso es un ángulo negativo Un ángulo se dice orientado cuando se considera su signo, es decir, si es positivo o negativo. En algunos problemas sólo tiene importancia el tamaño del ángulo, no su signo. Ejemplo.- En los siguientes ángulos se expresa su orientación de tal modo que indica su signo: En la figura 6 tenemos cuatro ángulos. ", *, y ( son positivos porque su orientación es en el sentido del movimiento contrario a las agujas de un reloj. El ángulo $ es negativo porque su orientación es en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. 6.Ángulos opuestos.- Si " es un ángulo orientado (será positivo o negativo), al ángulo de igual tamaño pero con orientación contraria, se llama ángulo opuesto a " y se expresa por &". Si " es positivo, &" es negativo y viceversa. Gráficamente: En la figura 7 observamos que : " es positivo &" es su opuesto y es negativo. $ es un ángulo negativo. &$ es el opuesto de $ y es positivo. NOTA: &" se lee menos alfa

12 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas 7.Casos particulares de ángulos.- Destacamos algunos ángulos por su especial aspecto. Ángulo llano.- Los dos lados del ángulo (las dos semirrectas) forman una recta. Gráficamente: Ángulo completo.- Los dos lados del ángulo (las dos semirrectas) forman una única semirrecta. Gráficamente: El ángulo que hemos representado en la figura 9 es el que va del lado s al lado r. Nótese que le hemos dado una orientación positiva. En realidad, r y s coinciden. Ángulo nulo.- Los dos lados del ángulo (las dos semirrectas) forman una única semirrecta, pero la apertura es nula. Gráficamente: El ángulo que hemos representado en la figura 0 es el que va del lado r al s. Nótese que en este caso la apertura entre los lados es nula. 8.Medida de un ángulo.- Lo mismo que las longitudes, las superficies, el tiempo etc. son magnitudes que se pueden medir (en metros, metros cuadrados, segundos, etc.), los ángulos también son magnitudes que pueden medirse. La mayor o menor apertura de los lados de un ángulo nos dará su mayor o menor medida, al margen de que por su orientación podamos asignarle un signo positivo o negativo. En la figura hemos representados dos ángulos, " y $. Es evidente que sus tamaños son distintos, lo que hace que sus medidas sean también distintas. Quede claro que el tamaño de un ángulo viene dado por la mayor o menor apertura de sus lados, no por el tamaño del dibujo. Recordemos que si no indicamos su orientación es porque esta no tiene interés para el problema que estemos tratando.

13 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas 9.Unidades de medida de un ángulo.- Las distancias podemos medirlas utilizando diversas unidades o sistemas de medidas de longitud. Por ejemplo, una distancia puede medirse en metros (y sus múltiplos y submúltiplos) o en millas o en pies, etc. No obstante si conocemos una distancia en una de estas unidades, es posible pasarla a otra, esto es, si conocemos una distancia en millas podemos conocerla en kilómetros. Algo parecido ocurre con los ángulos. Existen diversas unidades para medir ángulos, siendo las más usuales las siguientes: L El radián L El grado sexagesimal L El grado centesimal En estos apuntes utilizaremos como medida de ángulos el radián y el grado sexagesimal. 0.El radián.- Recordemos que un metro (unidad de medida para las longitudes) es la longitud que tiene una barra de una aleación de platino e iridio que existe en el museo de Artes y Oficios de París (en realidad es la distancia entre dos trazos hechos sobre esa barra). Veamos que es un radián (unidad para medir ángulos): Un radián es el ángulo central de un círculo que corresponde a un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de dicha circunferencia. Expliquemos este concepto: Sea O un punto del plano y r un número real positivo. Tracemos una circunferencia de centro O y radio de longitud r. Sea A un punto cualquiera de la circunferencia y B otro punto de ella tal que la longitud del arco AB sea igual a la longitud del radio, es decir, longitud AB r Consideremos el ángulo de vértice O y lados que pasen por los puntos A y B, es decir, el ángulo AOB. Este tipo de ángulo se denomina central de una circunferencia porque el vértice está en el centro. Pues bien! La medida de este ángulo se dice que es un radián (recuerda que la longitud del arco es igual a la medida del radio). Gráficamente: La figura nos muestra la idea de radián. Tenemos una circunferencia de centro O y radio r. La longitud de la circunferencia es Br Tomamos un arco de extremos A y B cuya longitud es igual a la del radio r. Si formamos el ángulo AÔB con vértice en O, la medida de este ángulo es un radián.

14 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas Si tomásemos un arco de circunferencia cuya longitud fuese el doble del radio, el ángulo central correspondiente tendría una medida de dos radianes. Si tomamos un arco de circunferencia cuya longitud fuese '5 veces el radio, el ángulo central correspondiente medirá '5 radianes, etc. Nos hacemos la siguiente pregunta: El tamaño del radio r influye en el tamaño del ángulo central? Dicho de otro modo: Según sea el tamaño del radio, el tamaño de un radián será distinto? Contestemos a estas preguntas. Sea cual sea el tamaño del radio r, el ángulo central correspondiente al tamaño del arco igual a la longitud del radio, es siempre el mismo. Expliquemos esto gráficamente: La figura nos muestra dos circunferencias con el mismo centro O (circunferencias concéntricas). Circunferencia : El radio es r, es decir OA r. El arco de extremos A y B tiene la longitud del radio r, es decir: AB r El ángulo AOB radian & Circunferencia : El radio es r', es decir OA r. El arco de extremos A' y B' tiene la longitud del radio r', es decir: A B r El ángulo A OB radian & Puede apreciarse que se verifica la igualdad de los ángulos AOB AOB A OB radian & y A OB, es decir: por lo que observamos que sea cual sea la circunferencia, si tomamos un arco de ella cuya longitud sea igual a la del radio, el ángulo central correspondiente es el mismo, independientemente del tamaño de ese radio. Si tomamos un arco de circunferencia cuya longitud fuese dos veces la del radio, el ángulo central correspondiente tendrá una medida de radianes, si la longitud del arco es de una vez y media la del radio, la medida del ángulo asociado será '5 radianes y así sucesivamente. Un ángulo medirá 0'5 radianes si el arco de circunferencia asociado a dicho ángulo tiene una longitud igual a la mitad del radio. Veamos un ejemplo gráfico:

15 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo.- Comentemos la figura : figura a : En este caso la medida del arco de extremos A y B es el doble que la del radio, es decir: longitud AB r Entonces: AOB ) radianes figura b : En este caso la medida del arco de extremos A y B es dos veces y media la del radio, es decir: longitud AB 5r por lo que AOB ) 5 radianes.medida en radianes de un ángulo completo.- Nos hacemos la siguiente pregunta: Cuántos radianes mide un ángulo completo? Un ángulo completo se corresponde con un arco igual a la circunferencia completa, es decir, con una vuelta completa a la circunferencia. Por tanto: En la figura 5 tenemos una circunferencia de radio r en la que hemos trazado el arco AB (en este caso A B). La medida de dicho arco coincide con la longitud de la circunferencia, es decir: longitud AB longitud circunferencia πr Como cada medida del radio se corresponde con un radián, si el arco mide B veces el radio r, entonces la medida del ángulo será B radianes. medida en radianes radianes radianes de un angulo & completo π 6 8 Nota: Recordemos que B ' Con el mismo razonamiento podemos determinar la medida en radianes de un ángulo llano. El arco de circunferencia que corresponde a un ángulo llano es exactamente la mitad de dicha circunferencia, por lo que su longitud será la mitad de B r, esto es B r. medida en radianes de un ángulo llano B radianes

16 Matemáticas º de E.S.O. Página 8 Trigonometría I. Razones trigonométricas.los grados sexagesimales.- Otra unidad básica para la medida de ángulos es el grado sexagesimal. Definimos que un ángulo completo, es decir, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la circunferencia, mide 60 grados sexagesimales. El símbolo empleado para expresar los grados sexagesimales es º puesto a modo de potencia sobre el número que indica su medida el tamaño del ángulo. Por tanto: " es un ángulo completo α medido en radianes es α π radianes grados sexagesimales es α 60º Nótese que el ángulo es el mismo pero expresado en dos unidades distintas. Podemos expresar lo siguiente: B radianes equivalen a 60º En base a lo anterior, podemos dibujar ángulos cuyas medidas sean 80º, 90º y 70º De la figura 7 deducimos que: α β es la mitad de un angulo & completo α π radianes 80º es la mitad de un angulo & llano β radianes 90º γ es de un angulo & completo γ π radianes radianes 70º π π Ángulo recto: Un ángulo cuya medida sea 90º se llama ángulo recto. Nótese que los lados de un ángulo recto son semirrectas perpendiculares. En la figura 7 vemos que el ángulo $ es un ángulo recto. El ángulo " es el doble de un recto (" ) y el ángulo ( mide el triple de un recto ( ( ). Submúltiplos del grado sexagesimal: Lo mismo que un metro se divide en 0 partes y cada una de ellas es un decímetro y si un decímetro lo dividimos en 0 partes obtenemos un centímetro, etc, el grado sexagesimal también puede dividirse en partes iguales y cada una de esas partes es un submúltiplo. Explicamos esto:

17 Matemáticas º de E.S.O. Página 9 Trigonometría I. Razones trigonométricas Minuto: Si un grado sexagesimal lo dividimos en sesenta partes iguales, cada una de esas partes es un minuto. Por tanto, un grado tiene sesenta minutos. Al minuto lo representaremos con el símbolo ' colocado a modo de potencia en el numero que indica la medida del ángulo. Por tanto: º 60 ' un grado es igual a sesenta minutos Ejemplo 5.- En este ejemplo veremos como se puede dar la medida de un ángulo: ángulo una forma de leerlo otra forma de leerlo α 8, 5º 8º 0 8 grados y medio 8 grados 0 minutos β 0, 5º 0º 5 γ 5, 75º 5º 5 0,5 grados 0 grados 5 minutos 5,75 grados 5 grados 5 minutos NOTA: Recuerda que, por ejemplo, '5 metros son metros decímetros y 5 centímetros. Segundo: Si un minuto lo dividimos en sesenta partes iguales, cada una de esas partes es un segundo. Por tanto, un minuto tiene sesenta segundos. Al segundo lo representamos con el símbolo '' colocado a modo de potencia en el número que indica la medida del ángulo. Por tanto: ' 60 '' un minuto es igual a sesenta segundos Ejemplo 6.- ángulo se lee α º 0 8 β º 0 5 γ 0º 5 grados 0 minutos 8 segundos grados 0 minutos 5 segundos 0 grados 5 minutos segundos Ejemplo 7.- Dado el ángulo α 9, 0º, queremos expresarlo en grados, minutos y segundos. α 9, 0º 9º + 0 {, 0º 9º son º 60 x 0, 0 60 debemos ver cuantos minutos son 0, 0º 0, 0º x

18 Matemáticas º de E.S.O. Página 0 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 8.- Dado el ángulo β 5, 8º, queremos expresarlo en grados minutos y segundos. Veamos. β 5, 8º 5º + 0{, 8º 5º 9, 5º {, 5º 9 son º 60 0, 8º x x 0, , son 60 0, x x 0, 60 Ejemplo 9.- Dado el ángulo γ 7, 58º queremos expresarlo en grados, minutos y segundos. β 7, 58º 7º + 0, 58º 5º 7, 8 5º 7 + 0, 8 5º 7 8, 8 5º 7 9 son º 60 0, 58º x x 0, , 8 son 60 0, 8 x x 0, , 8 Ejemplo 0.- Dado el ángulo α 98º 5 5, queremos expresarlo en grados. L Primero expresamos los segundos en minutos: son 60 5 ) ) x 0 6 α 98º 5, x L Ahora pasamos los minutos a grados: son 60 ) º 5,6 ) ) ) x α 98, 876º 60 5, 6 x Ejemplo.- La medida de un ángulo es α 958, queremos expresarlo en grados, minutos y segundos. α 958 Veremos cuantos grados enteros hay en estos minutos y cuantos minutos sobran Entonces: @9 + 8 Por tanto: α 958 9º 8 0 ángulo en grados, minutos y segundos.

19 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo.- La medida de un ángulo es α 9696, queremos expresarlo en grados, minutos y segundos. α 9696 Veremos cuantos minutos enteros hay en estos segundos y cuantos segundos sobran y posteriormente cuantos grados en esos minutos y cuantos sobran Por tanto: 9696 '' 66' 6'' 06 0 Podemos poner: α º 6 ángulo en grados, minutos y segundos. Ejemplo.- Cuántos segundos mide el ángulo α 8º 56 59? 8º 8 A 60' 680' 680 A 60'' 00800'' 56' 58 A 60'' 80'' 59'' 59'' Sumando : " 09''.Herramienta para medir ángulos. Transportador de ángulos.- El transportador de ángulos (también llamado goniómetro) es una herramienta con forma de semicírculo o círculo, graduado en su borde de forma similar a una regla, que permite medir o trazar ángulos en unidades sexagesimales. Generalmente las graduaciones son de uno o medio grado sexagesimal. La figura 8 ilustra esta herramienta indispensable en el estudio de este tema. Figura 8 Forma de uso: Figura 9 En la cruz situada en la base se hace coincidir el cruce de las marcas con el vértice del ángulo y uno de los lados con la graduación 0º. El otro lado, a su paso por la graduación nos indica la medida del ángulo. La figura 9 ilustra este proceso. Parece evidente que cuanto mayor sea la herramienta mas precisión se consigue en la medida del ángulo.

20 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas.paso de radianes a grados y de grados a radianes.- Planteamos las siguientes cuestiones: Dado un ángulo en radianes, cómo expresarlo en grados? Dado un ángulo en grados, cómo expresarlo en radianes? Para ello tendremos en cuenta la siguiente relación entre radianes y grados sexagesimales. π radianes son 60º o mejor π radianes son 80º Utilizando alguna de las dos relaciones anteriores y con una regla de tres simple obtenemos el paso de grados a radianes y viceversa. Ejemplo.- La medida de un ángulo en radianes es Llamamos " al ángulo:α π π radianes. 80º Como B 80º, entonces: α 5º. Expresa dicho ángulo en grados. Ejemplo 5.- Queremos expresar el ángulo β, radianes en grados sexagesimales. son π radianes 80º, 80 x 7, º π 5965, " x Por tanto: α 7, º { 7º 0 5, 5 pasando a min utos y segundos Ejemplo 6.- Hallemos la medida de un radián en grados, minuto y segundos. son π radianes 80º x 57, º π 5965 " x Por tanto: α 57, º 57º 7, 8 57º 7 5

21 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 7.- Queremos expresar en radianes los ángulos " 0º, $ 60º y ( 5º â 0º son 80º π radianes 0π π π x x radianes α π 6 rad. ã 80º 60º son π radianes 60π 6π π x 80 8 x radianes β π rad. ä son 80º 5º π radianes 7π π x 6 x radianes α π 6 rad. Ejemplo 8.- Queremos expresar en radianes el ángulo " º 0' 5'' U Primero expresamos el ángulo " en grados : son 60 5 x 0, 9 α º 0, x son 60 º 0,9 ) ) x 0, 686 α, 686º, 6867º 60 0, 9 x U Ahora expresamos el ángulo en radianes: son 80º π radianes,6867 π x 0, π 80, 6867º x Por tanto: α º 0 5 0, π rad. radianes 5.Operaciones con ángulos.- Los ángulos son magnitudes que pueden medirse. Ya hemos visto que estas medidas son un valore numéricos y estos valores son factibles de sumarse, restarse etc. Veamos algunas de estas operaciones. Suma de ángulos.- La figura 0 ilustra como se suman dos ángulos de un modo gráfico, aunque puede realizarse de una forma más efectiva utilizando el compás. En el anexo de actividades se propone alguna suma gráfica de ángulos.

22 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Figura 0.a Tenemos dos ángulos " y $, de vérti ces O y A respectivamente. Figura 0.b Hemos trasladado el ángulo $ al vértice O, haciendo coincidir el lado u con el lado s. Figura 0.c El nuevo ángulo de vértice O y lados r y v tiene una medida igual a " + $ Ejemplo 9.- Dados los ángulos α º 9 5 y β 7º 5, hallar la medida de " + $ Llamemos ( " + $ α º 9 5 β γ 7º 5 7º º 7 6 8º 6 ( " + $ 8º ' 6'' Resta de ángulos.- La figura ilustra como se restan dos ángulos de un modo gráfico, aunque puede realizarse de una forma más efectiva utilizando el compás. En el anexo de actividades se propone alguna resta gráfica de ángulos. Figura.a Tenemos dos ángulos " y $, de vértices O y A respectivamente. Figura.b Hemos trasladado el ángulo $ al vértice O, haciendo coincidir el lado u con el lado r. Figura.c El nuevo ángulo de vértice O y lados v y s tiene una medida igual a " & $ Ejemplo 0.- Dados los ángulos α 0º 9 8 y β 78º 9 5, hallar la medida de "& $

23 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Llamemos ( "& $ α 0º 9 8 β 78º 9 55 α β es el minuendo es el sustraendo Expresamos " de otro modo para hacer que los valores del minuendo sean superiores a los del sustraendo. α 0º 9 8 0º º β 78º º º 9 55 Restamos α β º 9 ( " & $ º 9' '' Producto de un número por un ángulo.- Si " es la medida de un ángulo y k es un número real, la expresión ka", o mejor k", indica la medida de un ángulo cuyo valor es el resultado de multiplicar los valores numéricos k y ". Ejemplo.- Consideremos un ángulo " 6º ' ''. La expresión " equivale al ángulo " + ", es decir: α α + α 6º º º º 7 8 Ejemplo.- Dado el ángulo $ 7º 5' 5'', queremos hallar el ángulo, $, β, 7º, 5, 8 86, º 6, 6 9, 6 (*) º 60 x, β 86º 87, 6 9, 6 0, º x 60 x 6, β 86º 87 5, 6 0, 6 x (*), β 87º 7 5, 6 6.Razones trigonométricas o circulares de un ángulo.- Sea " un ángulo cualquiera. Vamos a definir lo que llamaremos razones trigonométricas del ángulo " Dichas razones trigonométricas (o circulares) son seis y se denominan: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante

24 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas La siguiente tabla nos muestra como se lee y como se escribe abreviadamente cada una de ellas: Se lee seno de " coseno de " tangente de " cotangente de " secante de " cosecante de " Se escribe sen " cos " tg " ctg " sec " cosec " NOTA: Es posible que en otros textos o en ocasiones la terminología cambie y en lugar de tg encuentres tang, o cotang en vez de ctg, etc. Una razón trigonométrica de un ángulo es un número que puede ser positivo, negativo o cero y su valor dependerá de la medida del ángulo. Antes de entrar en las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo, diremos que un ángulo puede ser del cuadrante I, del cuadrante II, del cuadrante III o del cuadrante IV. Expliquemos esto: A la derecha, figura, tenemos representado un sistema de ejes rectangulares con origen en el punto O. Observa que dicho sistema divide al plano en cuatro zonas o regiones iguales e infinitas llamadas cuadrantes. Los cuadrantes los enumeramos utilizando la numeración romana, de la siguiente forma: Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV En la figura tenemos determinados los cuatro cuadrantes del siguiente modo: A( x, y) punto del plano x abcisa y ordenada Si A esta & en el cuadrante I, entonces Si A esta & en el cuadrante II, entonces Si A esta & en el cuadrante III, entonces Si A esta & en el cuadrante IV, entonces x > 0 y > 0 x < 0 y > 0 x < 0 y < 0 x > 0 y < 0

25 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas U Ángulos del cuadrante I: Tomemos un punto cualquiera A(x,y) del cuadrante I. En este caso será x > 0 y > 0 Tracemos una semirrecta r de origen O y que pase por el punto A(x,y). Consideremos el ángulo " que forma el eje de abcisas con la semirrecta r tomado en sentido positivo. Pues bien! El ángulo " es un ángulo del cuadrante I. La figura ilustra el proceso. U Ángulos del cuadrante II: Tomemos un punto cualquiera A(x,y) del cuadrante II. En este caso será x < 0 y > 0 Tracemos una semirrecta r de origen O y que pase por el punto A(x,y). Consideremos el ángulo " que forma el eje de abcisas con la semirrecta r tomado en sentido positivo. Pues bien! El ángulo " es un ángulo del cuadrante II. La figura 5 ilustra el proceso. U Ángulos del cuadrante III: Tomemos un punto cualquiera A(x,y) del cuadrante III. En este caso será x < 0 y < 0 Tracemos una semirrecta r de origen O y que pase por el punto A(x,y). Consideremos el ángulo " que forma el eje de abcisas con la semirrecta r tomado en sentido positivo. Pues bien! El ángulo " es un ángulo del cuadrante III. La figura 6 ilustra el proceso

26 Matemáticas º de E.S.O. Página 8 Trigonometría I. Razones trigonométricas U Ángulos del cuadrante IV: Tomemos un punto cualquiera A(x,y) del cuadrante IV. En este caso será x > 0 y < 0 Tracemos una semirrecta r de origen O y que pase por el punto A(x,y). Consideremos el ángulo " que forma el eje de abcisas con la semirrecta r tomado en sentido positivo. Pues bien! El ángulo " es un ángulo del cuadrante IV. La figura 7 ilustra el proceso Nótese lo siguiente: Si α es del cuadrante I, entonces 0º < α < 90º Si α es del cuadrante II, entonces 90º < α < 80º Si α es del cuadrante III, entonces 80º < α < 70º Si α es del cuadrante IV, entonces 70º < α < 60º Ejemplo.- Vamos a representar el ángulo " 98º En la figura 8 tenemos representado en un sistema de ejes cartesianos el ángulo " 98º, situado en el cuadrante III. Observa que el vértice es el punto O y los lados son el semieje positivo de abcisas (eje X) y la semirrecta r. Nótese que 80º < 98º < 70º O O O O O Ahora vamos a definir las razones trigonométricas de un ángulo. Consideremos un sistema de ejes cartesiano rectangular. Sea " un ángulo cualquiera. Vamos a suponer que el ángulo " es del cuadrante I, pero todo que lo expresemos en este caso es válido si " es de otro cuadrante. El ángulo " tendrá de vértice al punto O y de lados el semieje positivo de abcisas (OX) y la semirrecta s de origen O. Sea A(x,y) un punto cualquiera de la semirrecta s (lado del ángulo). Si el ángulo es del cuadrante I, el punto A(x,y) estará en el cuadrante I, es decir, x>0 e y >0 Llamamos r a la distancia que hay del punto O al punto A, es decir: distancia OA OA r NOTA: r se denomina radio y además r > 0

27 Matemáticas º de E.S.O. Página 9 Trigonometría I. Razones trigonométricas La figura 9 ilustra los puntos anteriores: x es la abcisa de A A( x, y) punto y es la ordenada de A radio r d( O, A) distancia de O a A r >0 por ser una distancia. α angulo & de vertice & O y lados OX y s Recordemos que A(x,y) es un punto cualquiera situado en la semirrecta s. Nótese que en este caso x > 0 e y > 0 por ser " un ángulo del cuadrante I. Definimos: seno de α coseno de α tangente de α ordenada de A y + radio r + abcisa de A x + radio r + ordenada de A abcisa de A y x senα + cosα + tgα + abcisa de A ordenada de A cotangente de α cotgα + radio abcisa de A secante de α secα + cosecante de α cosec α + r x + + radio ordenada de A Signos: Puede verse que al ser x > 0, y > 0, r > 0, las seis razones trigonométricas de " son positivas. Ello se debe a que A(x,y) es un punto del cuadrante I. Supongamos el caso de que el ángulo " es del cuadrante II y, por tanto, el punto A(x,y) está situado en el cuadrante II, por lo que x < 0 e y > 0. Pues bien! En este caso: + + x y r y En la figura 0 tenemos: x < 0 A( x, y) punto 90º < α < 80º y > 0 radio r d( O, A) positivo ( distancia) A( x, y) un punto cualquiera del lado s Insistimos en que A(x,y) es un punto cualquiera situado en la semirrecta s. Nótese que en este caso x < 0 e y > 0 por ser " un ángulo del cuadrante II.

28 Matemáticas º de E.S.O. Página 0 Trigonometría I. Razones trigonométricas seno de α coseno de α tangente de α senα + Signos: Nótese como en este caso (" ángulo del cuadrante II) tenemos: senα > 0 ; cos α < 0 ; tgα < 0 cotgα < 0 ; sec α < 0 ; cosec α > 0 seno de α coseno de α tangente de α tgα cotangente de α cotgα secante de α secα cosecante de α ordenada de A y radio r + abcisa de A x radio r + ordenada de A abcisa de A y x senα cosα tgα + abcisa de A ordenada de A cotangente de α cotgα + radio abcisa de A secante de α secα cosecante de α ordenada de A y + radio r + abcisa de A x radio r + ordenada de A abcisa de A y x cosα abcisa de A ordenada de A radio abcisa de A cosec α + r x + radio ordenada de A Supongamos el caso de que el ángulo " es del cuadrante III y, por tanto, el punto A(x,y) está situado en el cuadrante III, por lo que x < 0 e y < 0. Pues bien! En este caso: cosec α + x y r y r x En la figura tenemos: x < 0 A( x, y) punto 80º < α < 70º y < 0 radio r d( O, A) positivo ( distancia) A( x, y) un punto cualquiera del lado s Insistimos en que A(x,y) es un punto cualquiera situado en la semirrecta s. Nótese que en este caso x < 0 e y < 0 por ser " un ángulo del cuadrante III. + radio ordenada de A x y r y +

29 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Signos: Nótese como en este caso (" ángulo del cuadrante III) tenemos: senα < 0 ; cos α < 0 ; tgα > 0 cotgα > 0 ; sec a < 0 ; cosec α < 0 Supongamos el caso de que el ángulo " es del cuadrante IV y, por tanto, el punto A(x,y) está situado en el cuadrante IV, por lo que x > 0 e y < 0. Pues bien! En este caso: seno de α coseno de α tangente de α ordenada de A y radio r + abcisa de A x + radio r + ordenada de A abcisa de A y x senα cosα + tgα abcisa de A ordenada de A cotangente de α cotgα radio abcisa de A secante de α secα + cosecante de α En la figura tenemos: x > 0 A( x, y) punto 70º < α < 60º y < 0 radio r d( O, A) positivo ( distancia) A( x, y) un punto cualquiera del lado s Insistimos en que A(x,y) es un punto cualquiera situado en la semirrecta s. Nótese que en este caso x > 0 e y < 0 por ser " un ángulo del cuadrante IV. cosec α r x + + radio ordenada de A + x y r y + + Ejemplo.- Considera el ángulo 8º 5' 9''. Indica el signo de cada una de sus razones trigonométricas. El ángulo dado pertenece al cuadrante III, por lo que: sen 8º 5 9 < 0 ; cos 8º 5 9 < 0 tg 8º 5 9 > 0 ; cotg 8º 5 9 > 0 sec 8º 5 9 < 0 ; cosec 8º 5 9 < 0

30 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 5.- Dado el punto del plano A(&, 5), queremos hallar las razones trigonométricas del ángulo de vértice el origen O y lados el semieje positivo de abcisas y la semirrecta de origen O que pasa por el punto A. La figura representa el problema gráficamente. Necesitamos hallar el valor de r. Nótese que se trata de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos cateto miden y 5. Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras: r + 5 r + Entonces: 5 5 senα cosα secα cosecα Por definición: ordenada de A 5 senα radio r abcisa de A cosα radio r ordenada de A 5 ) tgα 6 abcisa de A ) cotgα 0 6 abcisa de A ordenada de A radio abcisa de A secα r radio ordenada de A cosecα 5 r 5 Observación importante: Todo parece indicar que las razones trigonométricas de un ángulo " dependen única y exclusivamente de sus coordenadas x e y, así como del radio r (distancia del punto al origen). Sin embargo, ocurre que si elegimos dos puntos distintos A(x,y) y B(x',y') situados en el mismo lado del ángulo, resulta que el ángulo " es el mismo para ambos puntos, es decir: En la figura observamos que: El ángulo " es el mismo para los puntos A y B. OA r ; OB r Tenemos que x x' ; y y' ; r r' Las razones trigonométricas de " parecen distintas según tomemos el punto A o el punto B, es decir:

31 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Razones deα si consideramos A( x, y) y x senα r ; cosα r y x tgα x ; cotgα y r secα x ; cosecα y x senα r ; cosα r y x Razones deα si consideramos B( x, y ) tgα x ; cotgα y r r secα x ; cosecα y A la vista de lo anterior podemos pensar que hay dos valores para el seno de " ya que y y senα y senα, ocurriendo algo parecido para las demás razones del ángulo ". r r Sin embargo esto no es cierto ya que ocurre lo siguiente: y y x x y y x x r r r r ; ; ; ; ; r r r r x x y y x x y y Esto es debido a la relación existente entre triángulos rectángulos semejantes, es decir: r y OHA y OKB triangulos & rectangulos & semejantes Entonces: y r y r x r x r y x y x ; ; ; ; ; x y x y r x r x r x r x Por tanto, las razones trigonométricas de un ángulo dependen única y exclusivamente del ángulo, independientemente del punto (es decir, del radio) que consideremos en el lado. 7.La circunferencia goniométrica o círculo trigonométrico.- Acabamos de ver que las razones trigonométricas de un ángulo no depende del radio r elegido, sino que depende única y exclusivamente del ángulo en sí. Por esa razón vamos a considerar en un sistema de ejes una circunferencia de centro el origen de coordenadas (punto O) y radio la unidad de longitud. El punto que consideraremos para hallar las razones trigonométricas lo tomaremos sobre esa circunferencia y en el lado del ángulo, es decir: Hemos tomado un ángulo " del primer cuadrante, pero todo lo expuesto a continuación es válido para un ángulo de cualquier otro cuadrante.

32 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Vamos a ver que las razones trigonométricas del ángulo " coinciden con las longitudes de unos segmentos : Hallemos el seno de " : ordenada de P y y senα y PQ radio r Notese & que en este caso es y> 0 El seno de " coincide con la longitud del segmento PQ (ordenada de P). Como dicha ordenada es positiva, tenemos que sen " > Puede apreciarse que la longitud de PQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el seno de un ángulo " del cuadrante I es 0 < sen " <. Hallemos el coseno de " : abcisa de P x x cosα x OQ radio r Notese & que en este caso es x> 0 El coseno de " coincide con la longitud del segmento OQ (abcisa de P). Como dicha abcisa es positiva, tenemos que cos " > 0 Puede apreciarse que la longitud de OQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el coseno de un ángulo " del cuadrante I es 0 < cos " <. Hallemos la tangente de " : En este caso, en vez de el punto P, elegimos otro punto (punto R) situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. ordenada de R y tgα y RS abcisa de R Notese & que en este caso es y> 0 La tangente de " coincide con la longitud del segmento RS (ordenada de R). Como dicha ordenada es positiva, tenemos que tg" Puede apreciarse que la longitud de RS depende del valor de ". Dicha longitud puede variar entre 0 (si " es un ángulo de 0º) y + (si " vale 90º). Si " es un ángulo del cuadrante I muy próximo a 0º, su tangente será un valor muy próximo a 0 y si " es un ángulo de I próximo a 90º, su tangete será un número muy grande positivo. Podemos decir que la tangente de un ángulo " del cuadrante I es 0 < tg " < +

33 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Hallemos la cotangente de " : En este caso elegimos el punto T (ver figura 8) también situado en el lado del ángulo " abcisa de M x cotgα x MT ordenada de M Notese & que en este caso es x> 0 La cotangente de " coincide con la longitud del segmento MT (abcisa de T). Como dicha abcisa es positiva, tenemos que cotg" > 0 Hallemos la secante de " : En este caso consideraremos el punto R (ver figura 7) situado en el lado del ángulo " radio de R OR OR secα OR abcisa de R OS Notese & que en este caso es OR> 0 La secante de " coincide con la longitud del segmento OR (radio de R). Como dicha longitud es positiva, tenemos que sec" > 0 Apréciese que la secante es el cociente entre la longitud de OR (positivo) y (positivo), por lo que dicha secante será positiva (cuando " es del cuadrante I). Además puede apreciarse que OR> r, es decir, la secante de un ángulo del cuadrante I es un número positivo mayor que. También es fácil apreciar que la secante puede variar entre y +, es decir: < secα< + cuando 0º < α < 90º Hallemos la cosecante de " : En este caso consideraremos el punto T (ver figura 8) situado en el lado del ángulo " radio det OT OT cosecα OT ordenada det OM Notese & que en este caso es OT> 0 La cosecante de " coincide con la longitud del segmento OT (radio de T). Como dicha longitud es positiva, tenemos que cosec" > Apréciese que la cosecante es el cociente entre la longitud de OT (positivo) y (positivo), por lo que dicha cosecante será positiva (cuando " es del cuadrante I). Además puede apreciarse que OT> r, es decir, la cosecante de un ángulo del cuadrante I es un

34 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas número positivo mayor que. También es fácil apreciar que la cosecante puede variar entre y +, es decir: < cosecα< + cuando 0º < α < 90º Circunferencia goniométrica y círculo trigonométrico: A la circunferencia y círculo de radio la unidad, dibujados para calcular geométricamente los valores de las razones trigonométricas de un ángulo ", se les denominan respectivamente circunferencia goniométrica y círculo trigonométrico Resumiendo: Para hallar mediante procedimiento geométrico las razones trigonométricas de un ángulo " del primer cuadrante (0º < " < 90º), dibujamos la circunferencia goniométrica, el ángulo " y trazamos los siguientes segmentos, asignando a cada uno de ellos la razón trigonométrica de " que le corresponde. Ejemplo 6.- Vamos a calcular a partir del círculo trigonométrico las razones El valor de cada razón trigonométrica se corresponde con el tamaño del segmento que le c o r r e s p o n d e, t o m a n d o c o mo referencia el valor del radio r. Según esto puede apreciarse que el seno y coseno tomarán valores entre 0 y, mientras del ángulo " º. Para ello realizamos los siguientes pasos: T Trazamos un sistema de ejes cartesianos rectangulares de origen un punto O (origen). T Tomamos como unidad un segmento de longitud la que queramos y consideramos que esa longitud es igual a (por ejemplo: unidad 5 cm). T Graduamos los ejes con dicha unidad y también es conveniente graduar una unidad con décimas : 0, 0', 0', 0', 0', 0'5, 0'6, 0'7, 0'8, 0'9,. Si fuese posible graduaríamos también con centésimas: 0'0, 0'0, 0'0,..., 0'98, 0'99, T Dibujamos una circunferencia de radio r unidad. Es la circunferencia goniométrica. T Tomando como vértice el punto O, dibujamos el ángulo " º de modo que uno de los lados coincida con el semieje positivo de abcisas (eje X). T Trazamos los segmentos correspondientes a cada razón trigonométrica de " º T Comparamos el tamaño de cada uno de esos segmentos con la unidad graduada y dicha comparación nos dará el valor (que será una longitud) de la razón trigonométrica. La figura 0 desarrolla todo el proceso expuesto. NOTA: Conviene aclarar que las razones trigonométricas de un ángulo no tienen unidad (no son cms ni cualquier otra unidad), son simplemente números.

35 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas Los valores de las razones trigonométricas del ángulo " se corresponden con las longitudes de los segmentos correspondientes con su signo según el cuadrante donde se encuentre dicho ángulo, es decir, para " º tenemos: sen " longitud del segmento PQ (+) cos " longitud del segmento OQ (+) tg " longitud del segmento RS (+) cotg " longitud del segmento MT (+) sec " longitud del segmento OR (+) cosec " longitud del segmento OS (+) Si tomásemos las medidas con exactitud obtendríamos los siguientes valores: sen º longitud del segmento PQ 0' cos º longitud del segmento OQ 0' tg º longitud del segmento RS 0' cotg º longitud del segmento MT ' sec º longitud del segmento OR ' cosec º longitud del segmento OS ' donde los puntos suspensivos significan que hay más decimales. Ahora vamos a considerar que " es un ángulo situado en el segundo cuadrante, es decir: 90º < " < 80º En este caso los puntos P, Q, R y T varían de posición, por lo que van a influir en los signos de las razones trigonométricas.

36 Matemáticas º de E.S.O. Página 8 Trigonometría I. Razones trigonométricas En este caso los puntos P, T' y R' han quedado en el s e g u n d o cuadrante. El punto M ha quedado en el semieje positivo de la Y, mientras que Q y S'están en el semieje negativo de la X. Vamos a ver que las razones trigonométricas del ángulo " también coinciden con las longitudes de unos segmentos, aunque en este caso el signo puede ser negativo. Hallemos el seno de " : ordenada de P y y senα y PQ ( + ) radio r Notese & que en este caso es y> 0 El seno de " coincide con la longitud del segmento PQ (ordenada de P). Como dicha ordenada es positiva, tenemos que sen " > Puede apreciarse que la longitud de PQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el seno de un ángulo " del cuadrante II es 0 < sen " <. Hallemos el coseno de " : abcisa de P x x cos α x OQ ( ) radio r Notese & que en este caso es x < 0 El coseno de " coincide con la longitud del segmento OQ (abcisa de P). Como dicha abcisa es negativa, tenemos que cos " < 0 Puede apreciarse que la longitud de OQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el coseno de un ángulo " del cuadrante II es & < cos " < 0. Hallemos la tangente de " : En este caso, en vez de el punto P, elegimos otro punto (punto R') situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. ordenada de R tgα abcisa de R R S OS R S Notese & que en este caso la ordenada de R es R S > 0 R S ( ) La tangente de " coincide con la longitud del segmento R'S' (ordenada de R'). Como está dividida por &, tenemos que tg " < 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento R'S' (con su signo) puede ser un número infinitamente grande positivo o infinitamente próximo a cero pero positivo, por lo que podemos decir que la tangente de un ángulo " del cuadrante II es & < tg " < 0.

37 Matemáticas º de E.S.O. Página 9 Trigonometría I. Razones trigonométricas Hallemos la cotangente de " : En este caso, elegimos el punto T' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. abcisa det cotgα MT ordenada det OM Notese & que en este caso la abcisa de T es MT < 0 MT MT ( ) La cotangente de " coincide con la longitud del segmento MT' (abcisa de M'). Como esa abcisa es negativa, tenemos que cotg " < 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento MT' (con su signo) puede ser un número infinitamente grande negativo o infinitamente próximo a cero pero negativo, por lo que podemos decir que la cotangente de un ángulo " del cuadrante II es & < cotg " < 0. Hallemos la secante de " : En este caso, elegimos el punto R' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. radio de R secα OR abcisa de R OS Notese & que en este caso OR OR ( ) la abcisa de R es OS -< 0 La secante de " coincide con la longitud del segmento OR' (radio de R'). Como está dividida por &, tenemos que sec " < 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento OR' es mayor que el radio r, por lo que podemos asegurar que la secante de un ángulo " del cuadrante II es & < sec " < &. Hallemos la cosecante de " : En este caso, elegimos el punto T' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. Se verifica que < cosec " < + radio det cosecα OT ordenada det OM Notese & que en este caso la ordenada de T es OM > 0 OT OT ( + ) La cosecante de " coincide con la longitud del segmento OT' (radio de T'). Como está dividida por, tenemos que cosec " > 0 También podemos hacer coincidir la tangente y la secante con otros segmentos distintos de R S y OR. Hemos prolongado el lado del ángulo hacia el cuarto cuadrante y trazado los segmentos RS y OR. Observa que se verifica que: longitud de R'S' longitud de RS longitud de OR' longitud de OR Por tanto: tgα RS RS ( ) sec α OR OR ( )

38 Matemáticas º de E.S.O. Página 0 Trigonometría I. Razones trigonométricas Nótese que la tangente sale del punto S, exactamente del mismo punto que cuando el ángulo " estaba en el cuadrante I (ver figura 9). Observa el valor de la secante de " es el tamaño del segmento OR con signo negativo. Ejemplo 7.- Vamos a calcular a partir del círculo trigonométrico las razones del ángulo " º. Para ello realizamos los siguientes pasos: T Trazamos un sistema de ejes cartesianos rectangulares de origen un punto O (origen). T Tomamos como unidad un segmento de longitud la que queramos y consideramos que esa longitud es igual a (por ejemplo: unidad 5 cm). T Graduamos los ejes con dicha unidad y también es conveniente graduar una unidad con décimas : 0, 0', 0', 0', 0', 0'5, 0'6, 0'7, 0'8, 0'9,. Si fuese posible graduaríamos también con centésimas: 0'0, 0'0, 0'0,..., 0'98, 0'99, T Dibujamos una circunferencia de radio r unidad. Es la circunferencia goniométrica. T Tomando como vértice el punto O, dibujamos el ángulo " º de modo que uno de los lados coincida con el semieje positivo de abcisas (eje X). T Trazamos los segmentos correspondientes a cada razón trigonométrica de " º T Comparamos el tamaño de cada uno de esos segmentos con la unidad graduada y dicha comparación nos dará el valor (que será una longitud) de la razón trigonométrica. La figura desarrolla todo el proceso expuesto. NOTA: Conviene recordar que las razones trigonométricas de un ángulo no tienen unidad (no son cms ni cualquier otra unidad), son simplemente números. En este caso en que " es un ángulo de cuadrante II, los signos de las razones trigonométricas no coinciden con los del cuadrante I, es decir: sen º longitud de PQ cos º & longitud de OQ tg º & longitud de RS cotg º &longitud de MT sec º &longitud de OR cosec º longitud de OT Si tomásemos las medidas con exactitud tendríamos los siguientes valores: sen º 0' cos º &0' tg º &' cotg º &0' sec º &' cosec º '

39 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ahora vamos a considerar que " es un ángulo situado en el tercer cuadrante, es decir: 80º < " < 70º En este caso los puntos P, Q, R y T varían de posición, por lo que van a influir en los signos de las razones trigonométricas. Podemos ver que los puntos P, T' y R' han quedado en el tercer cuadrante. El punto M' ha quedado en el semieje negativo de la Y, mientras que Q y S'están en el semieje negativo de la X. Vamos a ver que las razones trigonométricas del ángulo " también coinciden con las longitudes de unos segmentos. Como antes, los signos pueden ser positivos o negativos. Hallemos el seno de " : ordenada de P y y senα y PQ ( ) radio r Notese & que en este caso es y< 0 El seno de " coincide con la longitud del segmento PQ (abcisa de P). Como dicha ordenada es negativa, tenemos que sen " < Puede apreciarse que la longitud de PQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el seno de un ángulo " del cuadrante III es & < sen " < 0. Hallemos el coseno de " : abcisa de P x x cos α x OQ ( ) radio r Notese & que en este caso es x < 0 El coseno de " coincide con la longitud del segmento OQ (abcisa de P). Como dicha abcisa es negativa, tenemos que cos " < 0 Puede apreciarse que la longitud de OQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el coseno de un ángulo " del cuadrante III es & < cos " < 0. Hallemos la tangente de " : En este caso, en vez de el punto P, elegimos otro punto (punto R') situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. ordenada de R tgα abcisa de R R S OS R S Notese & que en este caso la ordenada de R es R S < 0 R S ( + ) La tangente de " coincide con la longitud del segmento R'S' (ordenada de R'). Como está dividida por &, tenemos que tg " > 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento R'S' (con su signo) puede ser un número infinitamente grande negativo o infinitamente próximo a cero pero negativo, por lo que podemos decir que la tangente de un ángulo " del cuadrante III es 0 < tg " <.

40 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Hallemos la cotangente de " : En este caso, elegimos el punto T' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. abcisa det cotgα M T ordenada det OM Notese & que en este caso la abcisa de T es M T < 0 M T M T ( + ) La cotangente de " coincide con la longitud del segmento M'T' (abcisa de M'). Como esa abcisa es negativa, tenemos que cotg " Puede apreciarse que la longitud del segmento M'T' (con su signo) puede ser un número infinitamente grande negativo o infinitamente próximo a cero pero negativo, por lo que podemos decir que la cotangente de un ángulo " del cuadrante III es 0 < cotg " <. Hallemos la secante de " : En este caso, elegimos el punto R' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. radio de R sec α ( ) OR OR OR abcisa de R OS Notese & que en este caso la abcisa de R es OS -< 0 La secante de " coincide con la longitud del segmento OR' (radio de R'). Como está dividida por &, tenemos que sec " < 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento OR' es mayor que el radio r, por lo que podemos asegurar que la secante de un ángulo " del cuadrante III es & < sec " < &. Hallemos la cosecante de " : En este caso, elegimos el punto T' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. radio de T cosecα OT ordenada det OM Notese & que en este caso la ordenada de T es O M -< 0 OT OT ( ) La cosecante de " coincide con la longitud del segmento OT' (radio de T'). Como está dividida por &, tenemos que cosec " < 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento OT' es mayor que el radio r, por lo que podemos asegurar que la cosecante de un ángulo " del cuadrante III es & < cosec " < &. También podemos hacer coincidir la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante con otros segmentos distintos de R S, M T, OR y OT. Para ello prolongamos el lado del ángulo y trazamos la tangente desde el punto S y la cotangente desde el punto M. De este modo obtenemos los nuevos puntos R y T. La figura 5 ilustra este proceso.

41 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas En este caso buscaremos siempre la tangente partiendo del punto S y la cotangente partiendo desde el pinto M. Ejemplo 8.- Vamos a calcular a partir del círculo trigonométrico las razones del ángulo " 5º. Para ello realizamos los siguientes pasos: T Trazamos un sistema de ejes cartesianos rectangulares de origen un punto O (origen). T Tomamos como unidad un segmento de longitud la que queramos y consideramos que esa longitud es igual a (por ejemplo: unidad cm, etc.). T Graduamos los ejes con dicha unidad y también es conveniente graduar una unidad con décimas : 0, 0', 0', 0', 0', 0'5, 0'6, 0'7, 0'8, 0'9,. Si fuese posible graduaríamos también con centésimas: 0'0, 0'0, 0'0,..., 0'98, 0'99, T Dibujamos una circunferencia de radio r unidad. Es la circunferencia goniométrica. T Tomando como vértice el punto O, dibujamos el ángulo " 5º de modo que uno de los lados coincida con el semieje positivo de abcisas (eje X). T Trazamos los segmentos correspondientes a cada razón trigonométrica de " 5º T Comparamos el tamaño de cada uno de esos segmentos con la unidad graduada y dicha comparación nos dará el valor (que será una longitud) de la razón trigonométrica. La figura 6 desarrolla todo el proceso expuesto. Si comparásemos las longitudes de los segmentos con la u n i d a d y e s t a comparación fuese precisa, obtendríamos: sen 5º &0' cos 5º &0'686 tg 5º '5069 ctg 5º 0' sec 5º &'66058 cosec 5º &'0779 Recordemos nuevamente que estos valores son simplemente números, sin unidades de longitud.

42 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ahora vamos a considerar que " es un ángulo situado en el cuarto cuadrante, es decir: 70º < " < 60º En este caso los puntos P, Q, R y T varían de posición, por lo que van a influir en los signos de las razones trigonométricas. Podemos ver que los puntos P, T' y R' han quedado en el tercer cuadrante. Podemos ver que los puntos P, T' y R han quedado en el tercer cuadrante. El punto M' ha quedado en el semieje negativo de la Y, mientras que Q y S están en el semieje positivo de la X. Vamos a ver que las razones trigonométricas del ángulo " también coinciden con las longitudes de unos segmentos. Como antes, los signos pueden ser positivos o negativos. Hallemos el seno de " : ordenada de P y y senα y PQ ( ) radio r Notese & que en este caso es y< 0 El seno de " coincide con la longitud del segmento PQ (abcisa de P). Como dicha ordenada es negativa, tenemos que sen " < Puede apreciarse que la longitud de PQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el seno de un ángulo " del cuadrante IV es & < sen " < 0. Hallemos el coseno de " : abcisa de P x x cos α x OQ ( + ) radio r Notese & que en este caso es x > 0 El coseno de " coincide con la longitud del segmento OQ (abcisa de P). Como dicha abcisa es positiva, tenemos que cos " > 0 Puede apreciarse que la longitud de OQ es menor que la del radio r, por lo que podemos decir que el coseno de un ángulo " del cuadrante IV es 0 < cos " <. Hallemos la tangente de " : En este caso, en vez de el punto P, elegimos otro punto (punto R) situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. ordenada de R RS RS tgα RS ( ) abcisa de R OS Notese & que en este caso la ordenada de R es RS < 0 La tangente de " coincide con la longitud del segmento RS (ordenada de R). Como está dividida por, tenemos que tg " < 0

43 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Puede apreciarse que la longitud del segmento RS (con su signo) puede ser un número infinitamente grande negativo o infinitamente próximo a cero pero negativo, por lo que podemos decir que la tangente de un ángulo " del cuadrante IV es & < tg " < 0. Hallemos la cotangente de " : En este caso, elegimos el punto T' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. abcisa det cotgα M T ordenada det OM Notese & que en este caso la abcisa de T es M T > 0 M T M T ( ) La cotangente de " coincide con la longitud del segmento M'T' (abcisa de M'). Como esa abcisa es positiva, tenemos que cotg " > Puede apreciarse que la longitud del segmento M'T' (con su signo) puede ser un número infinitamente grande negativo o infinitamente próximo a cero pero negativo, por lo que podemos decir que la cotangente de un ángulo " del cuadrante IV es & < cotg " < 0. Hallemos la secante de " : En este caso, elegimos el punto R situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. radio de R OR OR sec α OR ( + ) abcisa de R OS Notese & que en este caso la abcisa de R es OS > 0 radio det cosecα OT OT OT ( ) ordenada det OM Notese & que en este caso la ordenada de T es O M -< 0 La secante de " coincide con la longitud del segmento OR (radio de R). Como está dividida por, tenemos que sec " > 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento OR es mayor que el radio r, por lo que podemos asegurar que la secante de un ángulo " del cuadrante IV es < sec " < +. Hallemos la cosecante de " : En este caso, elegimos el punto T' situado en el lado del ángulo. Recuerda que el punto elegido (si está en el lado) no influye en el resultado. La cosecante de " coincide con la longitud del segmento OT' (radio de T'). Como está dividida por &, tenemos que cosec " < 0 Puede apreciarse que la longitud del segmento OT' es mayor que el radio r, por lo que podemos asegurar que la cosecante de un ángulo " del cuadrante IV es & < cosec " < &. También podemos hacer coincidir la cotangente y la cosecante con otros segmentos distintos de M T y OT. Para ello prolongamos el lado del ángulo y trazamos la cotangente desde el punto M. De este modo obtenemos el nuevo punto T.

44 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas La figura 8 ilustra este proceso. Para buscar la cotangente y la cosecante del ángulo partimos del punto M en lugar de M' Ejemplo 9.- Vamos a calcular a partir del círculo trigonométrico las razones del ángulo " 5º. Para ello realizamos los siguientes pasos: T Trazamos un sistema de ejes cartesianos rectangulares de origen un punto O (origen). T Tomamos como unidad un segmento de longitud la que queramos y consideramos que esa longitud es igual a (por ejemplo: unidad cm, etc.). T Graduamos los ejes con dicha unidad y también es conveniente graduar una unidad con décimas : 0, 0', 0', 0', 0', 0'5, 0'6, 0'7, 0'8, 0'9,. Si fuese posible graduaríamos también con centésimas: 0'0, 0'0, 0'0,..., 0'98, 0'99, T Dibujamos una circunferencia de radio r unidad. Es la circunferencia goniométrica. T Tomando como vértice el punto O, dibujamos el ángulo " 5º de modo que uno de los lados coincida con el semieje positivo de abcisas (eje X). T Trazamos los segmentos correspondientes a cada razón trigonométrica de " 5º T Comparamos el tamaño de cada uno de esos segmentos con la unidad graduada y dicha comparación nos dará el valor (que será una longitud) de la razón trigonométrica. La figura 9 desarrolla todo el proceso expuesto. Si calculásemos con exactitud las medidas de los segmentos con s u s s i g n o s, t e n d r í a m o s l o s siguientes valores: sen 5º &0'686 cos 5º 0' tg 5º &0' cotg 5º &'5069 sec 5º '0779 cosec 5º &'6606

45 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas 8.Observaciones sobre las razones trigonométricas de un ángulo.- A la vista de lo expuesto y desarrollado en el apartado anterior, convine hacer las siguientes observaciones: Î Las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) de un ángulo " son números reales cuyo valor podemso hacerlos coincidir con la longitud de un segmento. Esto es posible utilizando como referencia una circunferencia de radio unidad. Dichos números pueden ser positivos o negativos, dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ángulo. Alguna de las razones de " pueden valer cero (veremos este caso más adelante). Ï En todos los casos anteriores hemos visto que senα PQ y que PQ r, es decir, si consideramos el signo del seno de un ángulo, podemos asegurar que: & # sen " # El seno de cualquier ángulo es un número comprendido entre & y Ð En todos los casos anteriores hemos visto que cosα OQ y que OQ r, es decir, si consideramos el signo del coseno de un ángulo, podemos asegurar que: & # cos " # El coseno de cualquier ángulo es un número comprendido entre & y Ñ La tangente de " en el círculo trigonométrico viene determinada por un segmento RS en el que el punto S es la intersección de la circunferencia goniométrica con el semieje positivo de abcisas (eje X). La longitud de RS puede variar entre 0 y +, por lo que si consideramos el signo, podemos asegurar que: & # tg " # Observa que si tomamos un ángulo " muy próximo a 90º pero un poco menor (por ejemplo " 89º 59' 59'') podrás notar que tg " número muy grande positivo. Esto se debe a que el segmento RS es muy grande. En el caso de que tomemos un ángulo " muy próximo a 90º pero un poco mayor (por ejemplo " 90º 0' '') podrás notar que tg " número muy grande negativo. Esto se debe a que el segmento RS es muy grande, pero en este caso el signo de la tangente es negativo. Debes entender que si " es un ángulo muy próximo a 0º o a 60º, la tangente es un número muy próximo a 0 (positivo o negativo). Ò La cotangente de " en el círculo trigonométrico viene determinada por un segmento MT en el que el punto M es la intersección de la circunferencia goniométrica con el semieje positivo de ordenadas (eje Y). La longitud de MT puede variar entre 0 y +, por lo que si consideramos el signo, podemos asegurar que:

46 Matemáticas º de E.S.O. Página 8 Trigonometría I. Razones trigonométricas & # cotg " # Observa que si tomamos un ángulo " muy próximo a 0º pero un poco mayor (por ejemplo " 0º 0' 59'') podrás notar que cotg " número muy grande positivo. Esto se debe a que el segmento MT es muy grande. En el caso de que tomemos un ángulo " muy próximo a 80º pero un poco menor (por ejemplo " 79º 59' 59'') podrás notar que cotg " número muy grande negativo. Esto se debe a que el segmento MT es muy grande, pero en este caso el signo de la cotangente es negativo. Del mismo modo podrás observar que si " es un ángulo muy próximo a 90º (mayor o menor), la longitud del segmento MT es muy pequeña, lo que hace que la cotangente sea un número próximo a 0 (positivo o negativo). Ó Hemos visto que la secante viene determinada por el segmento OR, es decir, en todos los casos sale del origen de coordenadas (punto O). Nótese que como el punto R está fuera del círculo, la longitud de OR es mayor que el radio r, es decir, OR r. Esto significa que la secante de un ángulo siempre es mayor o igual que o menor o igual que &. sec " #& o sec " $ depende del cuadrante donde esté " Ô Hemos visto que la cosecante viene determinada por el segmento OT, es decir, en todos los casos sale del origen de coordenadas (punto O). Nótese que como el punto T está fuera del círculo, la longitud de OT es mayor que el radio r, es decir, OT r. Esto significa que la cosecante de un ángulo siempre es mayor o igual que o menor o igual que &. cosec " #& o cosec " $ depende del cuadrante donde esté " Resumiendo: La figura 50 ilustra d e s d e d o n d e d e b e m o s tomar los segmentos que miden las razones trigonométricas de un ángulo "

47 Matemáticas º de E.S.O. Página 9 Trigonometría I. Razones trigonométricas Concretemos la explicación dada en la figura 50: 9.Razones trigonométricas del ángulo 0º.- Veamos el caso particular del ángulo " 0º 0 radianes. De un modo gráfico podemos obtener los valores de las razones trigonométricas del ángulo 0º (0 radianes). Representemos en el círculo trigonométrico el ángulo " 0º 0 radianes y actuemos del mismo modo que para cualquier otro ángulo: En la figura 55 puede apreciarse que los puntos P, Q, R y S coinciden y sus coordenadas son x e y 0. Nótese que el punto T no existe (se pierde en el infinito), lo cual hace que la cotangente MT y la cosecante OT no existan. Por tanto, el ángulo 0º no tiene ni cotangente ni cosecante.

48 Matemáticas º de E.S.O. Página 0 Trigonometría I. Razones trigonométricas 0.Razones trigonométricas del ángulo 90º.- Veamos el caso particular del ángulo " 90º B/ radianes. De un modo gráfico podemos obtener los valores de las razones trigonométricas del ángulo 90º (B/ radianes). Representemos en el círculo trigonométrico el ángulo " 90º B/ radianes y actuemos del mismo modo que para cualquier otro ángulo: En la figura 56 puede apreciarse que los puntos P, M y T coinciden y sus coordenadas son x 0 e y. Nótese que el punto R no existe (se pierde en el infinito), lo cual hace que la tangente RS y la secante OR no existan. Por tanto, el ángulo 90º no tiene ni tangente ni secante..razones trigonométricas del ángulo 80º.- Veamos el caso particular del ángulo " 80º B radianes. De un modo gráfico podemos obtener los valores de las razones trigonométricas del ángulo 80º (B radianes). Representemos en el círculo trigonométrico el ángulo " 80º B radianes y actuemos del mismo modo que para cualquier otro ángulo: En la figura 57 se aprecia que los puntos P y Q coinciden y sus coordenadas son x! e y 0. También coinciden S y R. Nótese que el punto T no existe (se pierde en el infinito), lo cual hace que la cotangente MT y la cosecante OT no existan. Por tanto, el ángulo 80º no tiene ni cotangente ni cosecante..razones trigonométricas del ángulo 70º.- π Veamos el caso particular del ángulo " 70º radianes. De un modo gráfico podemos obtener los valores de las razones trigonométricas del π ángulo 70º ( radianes). Representemos en el círculo trigonométrico el ángulo " 70º radianes y actuemos del mismo modo que para cualquier otro ángulo: π

49 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas En la figura 58 se aprecia que los puntos O y Q coinciden y sus coordenadas son x 0 e y 0. También coinciden M y T. Nótese que el punto R no existe (se pierde en el infinito), lo cual hace que la tangente RS y la secante OR no existan. Por tanto, el ángulo 70º no tiene ni tangente ni secante..razones trigonométricas del ángulo 60º.- Veamos el caso particular del ángulo " 60º B radianes. De un modo gráfico podemos obtener los valores de las razones trigonométricas del ángulo 60º (B radianes). Representemos en el círculo trigonométrico el ángulo " 60º B radianes y actuemos del mismo modo que para cualquier otro ángulo: En la figura 59 se aprecia que los puntos P y Q coinciden y sus coordenadas son x e y 0. También coinciden R y S. Nótese que el punto T no existe (se pierde en el infinito), lo cual hace que la cotangente MT y la cosecante OT no existan. Por tanto, el ángulo 60º no tiene ni cotangente ni cosecante. NOTA: Puede apreciarse que las razones trigonométricas del ángulo 60º coinciden con las del ángulo 0º..Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo.- Sea " un ángulo y sean sen ", cos ", tg ", cotg ", sec " y cosec " sus razones trigonométricas. Vamos a ver que dichas razones trigonométricas están relacionadas entre si. En efecto: Vamos a considerar que " es un ángulo del primer cuadrante, pero el razonamiento es válido para un ángulo de cualquier cuadrante. En la figura 60 hemos representado un ángulo " del cuadrante I y hemos trazado sus razones trigonométricas para buscar las relaciones existente entre ellas.

50 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Observa el triángulo rectángulo OQP En la figura 6 tenemos el triángulo rectángulo OQP con ángulo recto en el vértice Q, catetos PQ y OQ e hipotenusa r.aplicando el teorema de Pitágoras tenemos : PQ + OQ r Teniendo en cuenta que PQ senα, OQ cosα y r, podemos poner que : ( senα) ( cosα) + Para no tener que poner lo paréntesis admitimos como correcto escribir la expresión anterior de la forma siguiente: sen α + cos α Quede claro que esta última expresión significa lo mismo que la anterior. Hemos cambiado la forma para evitar los paréntesis. La expresión sen α + cos α la verifican todos los ángulos " de cualquier cuadrante y se denomina Fórmula Fundamental de la Trigonometría. Su enunciado es como sigue: Para cualquier ángulo " se verifica que su seno al cuadrado mas su coseno al cuadrado es igual a " Ejemplo 0.- T Para el ángulo " 8º se verifica que sen 8º + cos 8º T Para el ángulo " 9º se verifica que sen 9º + cos 9º T Para el ángulo " 05º se verifica que sen 05º + cos 05º T Para el ángulo " 0º se verifica que sen 0º + cos 0º T Para el ángulo " 90º se verifica que sen º cos º También podemos expresar el ángulo en radianes: X Para el ángulo rad se verifica que π π π 5 α 5 sen 5 + cos X Para el ángulo α 5π rad se verifica que sen 5 π 5π + cos

51 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo.- Se sabe que el seno de 5º vale. Halla el valor del coseno de 5º. Sabemos que sen5º y queremos hallar cos 5º Por la Fórmula Fundamental de la Trigonometría sabemos que: sen 5º + cos 5º Por tanto: + cos 5º ( ) cos 5º Despejando: cos 5º Por tanto: { + + Como 5º es del cuadrante I el seno es positivo cos 5º Ejemplo.- Se sabe que " es un ángulo del cuadrante II y que senα 5. Halla cosα Por ser " un ángulo del cuadrante II sabemos que cos " número negativo. Por la Fórmula Fundamental de la Trigonometría tenemos que: sen α + cos α Por tanto: sen α + cos α ( ) 5 5 cos ; cos 5 ; cos 5 ; cos + α α α α Como elα es del cuadrante II : cosα Por tanto: cosα 5 Observa nuevamente la figura 60. De esa figura extraemos la figura 6: Los triángulos OQP y OSR son rectángulos y semejantes. Entonces podemos poner lo siguiente: PQ RS RS RS OQ OS

52 Matemáticas º de E.S.O. Página Trigonometría I. Razones trigonométricas Ahora bien, observa que: senα PQ ; cosα OQ y tgα RS Entonces podemos poner que: senα tgα cosα Esto se verifica para todo ángulo ", independientemente del cuadrante al que pertenezca. Por tanto: La tangente de un ángulo cualquiera es igual al seno de ese ángulo partido por el coseno Ejemplo.- Se sabe que cos0º. Hallar la tangente de 0º. sabemos que cos0º y buscamos tg 0º sen 0º sen 0º tg 0º Necesitamos hallar sen 0º cos 0º Por la fórmula fundamental de la trigonometría: sen sen ( ) ( ) sen 0º sen sen 0º + cos 0º 0º + 0º 0º sen0º + el signo + es por ser 0º del cuadrante I Por tanto: sen0º La tangente será: tg 0º Conclusión: tg 0º Ejemplo.- De un ángulo del cuadrante III se sabe que el seno es de ese ángulo.. Halla el coseno y la tangente

53 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Por tanto: cosα Observa el triángulo rectángulo OQP : ( ) + cos α 9 PQ + cos α cos α + OQ r Es decir: sen " + cos " 9 8 cos α cosα ± 9 Comoα es de III, es 8 8 cosα Hallemos la tangente: senα tgα cosα tgα Observa nuevamente la figura 60. De esa figura extraemos la figura 6: Los triángulos OQP y OMT son rectángulos y semejantes. Entonces podemos poner lo siguiente: OQ MT MT MT PQ OM Ahora bien, observa que: Entonces podemos poner que: senα PQ ; cosα OQ y cotgα MT cosα cotgα senα Esto se verifica para todo ángulo ", independientemente del cuadrante al que pertenezca. Por tanto: La cotangente de un ángulo cualquiera es igual al coseno de ese ángulo partido por el seno Nótese además que:

54 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas cosα cotgα senα senα tgα cosα Tambien & tgα cotgα, es decir, tgα cotgα Quede claro que la tangente y cotangente de un ángulo " son inversas, es decir: tg " A cotg " Nota: Obsérvese que para que ocurra que tg " A cotg ", la tangente y la cotangente de un ángulo ", deben tener el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas). Ejemplo 5.- De un ángulo del cuadrante I se sabe que el seno es cotangente de ese ángulo. U Al ángulo le llamamos ". Sabemos que senα 5 9 U U U Buscamos cos ", tg " y cotg " Por la fórmula fundamental de la trigonometría: sen α+ cos α 5 5 ( ) ( ) cos α ; cos α 9 ; cos α 8 ; cos α cosα ± cotgα tg a cos α ; tgα ; cotgα Halla el coseno, la tangente y Comoα es del cuadrante I, debe ser cosα + 56 Por tanto: cosα 9 Hallemos la tangente: 5 senα tgα cosα 9 9 Hallemos la cotangente: cosα 9 9 O también: cotgα 5 senα Por tanto: Ejemplo 6.- Se sabe que la tangente de un ángulo del cuadrante II es &'5. Halla la cotangente de ese ángulo.

55 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas 5 U " es el ángulo. Sabemos que 90º < " < 80º y que tgα 5 00 Buscamos cotg " U Sabemos que cotgα tgα Por tanto: cotgα Observa nuevamente la figura 60. De esa figura extraemos la figura 65: Observa que la secante de un ángulo es igual a la inversa del coseno, es decir: secα cosα Esto es válido para cualquier cuadrante. Ejemplo 7.- De un ángulo del cuadrante I se sabe que el coseno es. Cuanto vale la secante? 7 U " es el ángulo. Sabemos que 0º < " < 90º y que cosα 0 6 Buscamos sec " U Sabemos que secα Por tanto: cosα secα Ejemplo 8.- La secante de un ángulo del cuadrante III es &'5. Halla el valor del coseno U " es el ángulo. Sabemos que 80º < " < 70º y que secα

56 Matemáticas º de E.S.O. Página 8 Trigonometría I. Razones trigonométricas U Buscamos cos " 7 Sabemos que secα cosα 0 Por tanto: 7 0 ; 0 7 cosα ; cosα cosα cos α Observa nuevamente la figura 60. De esa figura extraemos la figura 66: Observa que la cosecante de un ángulo es igual a la inversa del seno, es decir: cosecα senα Esto es válido para cualquier cuadrante. Ejemplo 9.- El seno de un ángulo del cuadrante IV es &0'05. Halla el valor de la cosecante U " es el ángulo. Sabemos que 70º < " < 60º y que senα 0 05 U Buscamos cosec " 0 Sabemos que cosecα α sen 0 0 Por tanto: 0 cosec α

57 Matemáticas º de E.S.O. Página 9 Trigonometría I. Razones trigonométricas Resumiendo: Para cualquier ángulo " de cualquier cuadrante se verifica: sen α + cos α senα tgα cosα cosα cotgα senα secα cosα cosecα senα Ejemplo 0.- De un ángulo " se sabe que está en el cuadrante I y que. Halla el resto de sus razones trigonométricas. û Debemos hallar cos ", tg ", cotg ", sec " y cosec ". Hallemos cos ": sen α + cos α ( ) cos α ; + cos α ; cos α ; cos α Entonces: cos α ± 5 { + 5 como α es del cuadrante I, tomamos el valor positivo 5 senα Por tanto: cosα 5 Hallemos tg ": senα tgα cosα Por tanto: tgα Hallemos cotg ": cosα 5 cotgα senα Por tanto: cotgα Hallemos sec ": 5 secα cosα 5. Por tanto: secα 5

58 Matemáticas º de E.S.O. Página 50 Trigonometría I. Razones trigonométricas Hallemos cosec ": 5 cosecα senα 5. Por tanto: cosecα 5 Ejemplo.- De un ángulo " se sabe que está en el cuadrante II y que cosα 9. Halla el resto de sus razones trigonométricas. û Debemos hallar sen ", tg ", cotg ", sec " y cosec ". Hallemos sen ": sen α + cos α ( ) 6 sen α + ; sen α + ; sen α ; sen α Entonces: sen α ± 8 { + 8 como α es del cuadrante II, tomamos el valor positivo Por tanto: senα 65 9 Hallemos tg ": 65 senα tgα α 9 cos Hallemos cotg ": 9 cosα cotgα 9 9 senα Por tanto: tgα Por tanto: cotgα Hallemos sec ": 9 secα cosα 9. Por tanto: secα 9 Hallemos cosec ": 9 cosecα senα Por tanto: cosecα

59 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas 5.Razones trigonométricas de algunos ángulos más usuales.- Algunos ángulos son mas usuales que otros en la tecnología, el diseño, el arte, etc. Esos ángulos, son 0º, 0º, 5º, 60º, 90º, 80º, 70º y 60º. En algunos de ellos ya hemos visto sus razones trigonométricas anteriormente. Veremos ahora las de lo ángulos 0º, 5º y 60º que aparecen con cierta frecuencia en las materias mencionadas anteriormente. Razones trigonométricas de " 0º π radianes : 6 Razones de " 0º π sen 0º sen 0 5 π cos0º cos π tg 0º tg π cotg 0º cotg π sec 0º sec 6 π cosec 0º cosec π Partimos de que sen 0º sen 6 Entonces: sen 0º + cos 0º cos0º ± { por ser 0º del cuadrante I tomamos el valor positivo sen 0º tg 0º cos0º + cos 0º ; + cos º ; cos º ; cos 0º cos0º cotg 0º sen 0º sec 0º cos0º cosec 0º sen 0º 0 0 En la figura 67 puedes comprobar como la longitud del segmento OT (cosecante de 0º) es el doble del radio y como la medida de PQ (seno de 0º) es la mitad.

60 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Razones trigonométricas de " 5º π radianes : Razones de " 5º π sen 5º sen π cos 5º cos tg 5º tg π cotg 5º cotg π sec5º sec π cosec 5º cosec π Partimos de que sen 5º sen Entonces: sen 5º + cos 5º cos5º ± { por ser 5º del cuadrante I tomamos el valor positivo sen 5º tg 5º cos5º + cos 5º ; + cos º ; cos º ; cos 5º cos 5º cotg 5º sen 5º sec 5º cos5º cosec 5º sen5º 5 5 Razones trigonométricas de " 60º π radianes : π En este caso partimos de que sen 60º sen En la figura 69 tenemos trazadas las razones trigonométricas de ese ángulo en el círculo trigonométrico. Es fácil apreciar gráficamente que sen 60º cos 0º y que cos 60º sen 0º

61 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Hallemos cos 60º, tg 60º, cotg 60, sec 60º y cosec 60º : sen 60º + cos 60º cos 60 cos 60 cos 60 cos 60 + º ; + º ; º ; º cos 60º ± { sen 60º tg 60º cos 60º por ser 60º del cuadrante I tomamos el valor positivo cos60º cotg 60º sen 60º sec 60º cos 60º cosec 60º sen 60º Razones de " 60º sen 60º ; cos60º ; tg 60º sec 60º ; cosec 60º ; cotg 60º

62 Matemáticas º de E.S.O. Página 5 Trigonometría I. Razones trigonométricas Resumen: La siguiente figura y el siguiente cuadro resumen las razones trigonométricas de los ángulos 0º, 5º y 60º, de las cuales conviene memorizar el seno y el coseno. sen cos 0º 5º 60º Una regla nemotécnica para memorizar los valores que corresponden a seno y coseno de 0º, 5º y 60º se explica a continuación. Conviene que la entiendas para que no la olvides nunca. M En la figura 70 puedes observar que sen 0º < sen5º < sen 60º Es decir, de los tres senos el menor es el de 0º, el del medio es 5º y el mayor es 60º < < M Debes tener claro que. Estos tres números corresponden a los senos de esos ángulos, por lo que deberán ser: sen0º < sen 5º < sen 60º M Del mismo modo observa en la figura 70 que cos60º < cos 5º < cos0º Es decir, de los tres cosenos el menor es el de 60º, el del medio es 5º y el mayor 0º

63 Matemáticas º de E.S.O. Página 55 Trigonometría I. Razones trigonométricas < < M Debes tener claro que. Estos tres números corresponden a los cosenos de esos ángulos, por lo que deberán ser: cos60º < cos5º < cos0º 6.Ángulos suplemetarios.- Dos ángulos " y $ son suplementarios si su suma es 80º (B radianes). Es decir: " y $ son ángulos suplementarios ] " + $ 80º En este caso se dice que " es el suplementario de $ y que $ es el suplementario de ". Ejemplo.- Hallar el ángulo suplementario de " º ' 55'' T $ es el ángulo suplementario de " Debe cumplirse que " + $ 80º Por tanto $ 80º & " 80º & º ' 55'' 8º 7' 5'' es el suplementario de " Ejemplo.- Hallar el ángulo suplementario de α 5 rad T $ es el ángulo suplementario de α 5 rad Debe cumplirse que α+ β π rad β π α π Por tanto es el suplementario de " π π 5π π π π 7.Relación entre las razones de dos ángulos suplemetarios.- Ahora veamos como se relacionan las razones de un ángulo " y su suplementario $ B&" Supongamos un ángulo " (por comodidad lo tomaremos en el primer cuadrante) y su complementario $ 80º& " (o lo que es lo mismo $ B& " ). Queremos ver como se relacionan las razones trigonométricas de ambos ángulos, es decir, como se relacionan: sen " cos " tg " cotg " sec " cosec " y sen (B&") cos (B&") tg (B&") cotg (B&") sec (B&")

64 Matemáticas º de E.S.O. Página 56 Trigonometría I. Razones trigonométricas Representemos gráficamente ambos ángulos (" y $) y tracemos sus razones trigonométricas. De un modo visual podremos obtener como se relacionan las de un ángulo y las de otro. Una vez entendido como se ven dos ángulos " y $ suplementarios en el círculo trigonométricos, vamos a ver como son sus razones trigonométricas y como se comparan. L a s r e l a c i o n e s expresadas en la Figura 7 nos permite conocer las razones trigonométricas de un ángulo si conocemos las razones de su suplementario. Nótese que hay que tener en cuenta el signo. Ejemplo.- Supongamos que queremos hallar las razones trigonométricas del ángulo 50º basándonos en las razones trigonométricas de los ángulos que conocemos. O Llamamos $ 50º. Buscamos sus razones trigonométricas. O Llamamos " 0º. Observa que " + $ 80º, es decir, " y $ son suplementarios. O Por tanto, 50º 80º & 0º Entonces: Utilizando las razones trigonométricas de 0º, calcularemos las de 50º:

65 Matemáticas º de E.S.O. Página 57 Trigonometría I. Razones trigonométricas sen50º sen0º cos50º cos0º sen50º tg50º cos50º cos50º cotg50º sen50º sec50º cos50º cosec50º sen50º Ejemplo 5.- Hallemos las razones trigonométricas del ángulo 5º No es necesario hacer el dibujo exacto del círculo trigonométrico con el ángulo 5º, aunque se puede esbozar un dibujo aproximado que nos sirva de ayuda, es decir: Llamaremos: " 5º y $ 80º& 5º 5º Observando la Figura 7, es fácil apreciar lo siguiente: sen5º sen ( 80º 5º ) sen 5º cos5º cos( 80º 5º ) cos5º sen5º tg5º cos5º cos5º cotg5º sen5º sec5º cos5º cosec5º sen5º

66 Matemáticas º de E.S.O. Página 58 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 6.- Sabemos que " es un ángulo del cuadrante I y tal que su seno vale 0'. Halla el seno, coseno y tangente del ángulo $ B&". L Es evidente que " y $ son ángulos suplementarios ya que " + $ " + B&" B L Sabemos que senα L Buscamos sen (B&"), cos (B&") y tg (B&") Sin necesidad de esbozar un dibujo (aunque hacerlo puede servirnos de ayuda): senβ sen ( π α) senα 50 0 cos β cos( π α) cosα Hallemos el coseno de ". Recordemos que por ser del cuadrante I es positivo: sen α+ cos α ( ) α ; α ; α ; α + cos cos cos cos α α α cos ; cos + ; cos Entonces: senβ cos β cosβ ( recordemos que β es del cuadrante II) Hallemos la tangente de $ : senβ tgβ β cos En definitiva: 059 tgβ Ángulos que se diferencian en B radianes (80º).- Sea " un ángulo cualquiera (no importa el cuadrante) Sea el ángulo $ B + ". ( $ 80º + ") Es evidente que ambos ángulos se diferencian en B radianes ya que $ & " B rad. Nos hacemos la siguiente pregunta: Cómo se relacionan las razones trigonométricas de $ y de "? Si conocemos las razones de ", podemos conocer las de $ B + "? L Por comodidad, vamos a suponer que " es un ángulo del cuadrante I (aunque lo que hacemos es válido para cualquier cuadrante). L Representemos en el círculo trigonométrico los ángulos " y $ B + ". L Tracemos las razones trigonométricas de ambos ángulos y comparemos para ver la relación existente entre ellas:

67 Matemáticas º de E.S.O. Página 59 Trigonometría I. Razones trigonométricas Lo expresado en la figura 75 nos permitirá comparar las razones trigonométricas de un ángulo $ B + ". del cuadrante III con las de un ángulo " del cuadrante I. Ejemplo 7.- Hallemos las razones trigonométricas del ángulo $ 0º O Podemos poner que $ 0º 80º + 0º si lo expresamos en grados sexagesimales. O Opcionalmente podemos ayudarnos de una figura en el círculo trigonométrico: O Apoyándonos en los valores conocidos de las razones del ángulo 0º, obtenemos las del ángulo 0º:

68 Matemáticas º de E.S.O. Página 60 Trigonometría I. Razones trigonométricas sen0º sen0º cos0º cos0º sen 0º tg 0º cos0º sen0º sec0º cos0º cosec 0º cotg 0º tg 0º Ejemplo 8.- Hallemos las razones trigonométricas del ángulo $ 5º U Podemos poner que $ 5º 80º + 5º si lo expresamos en grados sexagesimales. U En este caso no nos ayudaremos de un dibujo. Mentalmente observamos que 5º está en el cuadrante II. sen 5º sen ( 80º + 5º ) sen 5º cos 5º cos ( 80º + 5º ) cos5º tg 5º cotg 5º sec 5º cosec 5º sen 5º cos 5º cos5º sen 5º cos5º sen 5º Ejemplo 9.- Hallemos las razones trigonométricas del ángulo β rad X Observa que en este caso nos dan el ángulo en radianes. π π + π π π π rad β + π+ π X Podemos poner que siendo un ángulo de I. 60º π X Considerando que, podemos poner: π

69 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas sen sen ( π+ ) sen sen 60º tg π π π π π π π cos cos( + ) cos cos60º π cotg sec cosec π π sen π cos π cos π sen π π cos π sen π 9.Relación entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos.- Recuerda que si " es un ángulo, su opuesto se escribe &" y se interpreta como un ángulo de igual tamaño pero tomado en sentido contrario a ", es decir, si " está tomado en el sentido del movimiento contrario a las agujas de un reloj (sentido positivo), entonces &" está tomado en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. Observa que la suma de un ángulo y su opuesto es el ángulo 0º, es decir: " + (&") " &" 0º En las figuras 77.a y 77.b se aprecia como serian un ángulo " y su opuesto &": Figura 77.a: En este caso el ángulo " es del cuadrante I y su opuesto &" está en el cuadrante IV. Nótese que el sentido del ángulo determina su signo. Figura 77.b: En este caso el ángulo " es del cuadrante II y su opuesto &" está en el cuadrante III Nótese que el sentido del ángulo determina su signo.

70 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas T Ahora veremos como se relacionan las razones trigonométricas de " y &". Consideremos que " es un ángulo del cuadrante I (los resultados son válidos para el caso que sea de otro cuadrante): A la vista de la expresado en la figura 78 podemos poner: sen( α) senα ; cos ( α) cosα tg ( α) tgα ; cotg ( α) cotgα sec( α) secα ; cosec ( α) cosecα De este modo, si conocemos las razones trigonométricas de un ángulo ", podemos conocer las de su opuesto &". Ejemplo 50.- Hallemos las razones trigonométricas del ángulo &60º sen( 60º ) sen60º ; cos ( 60º ) cos60º sen60º tg ( 60º ) tg 60º cos60º cos60º cotg ( 60º ) cotg 60º sen 60º sec( 60º ) sec 60º cos60º cosec ( 60º ) cosec 60º sen 60º

71 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 5.- Hallemos las razones trigonométricas del ángulo &5º Observa que 5º es un ángulo del cuadrante II y &5º es un ángulo de III sen( 5º ) sen5º sen 5º ; cos( 5º ) cos5º cos5º tg ( 5º ) cotg ( 5º ) sen( 5º ) cos( 5º ) cos( 5º ) sen( 5º ) sec( 5º ) cos( 5º ) cosec ( 5º ) sen ( 5º ) 0.Reducción al primer cuadrante.- Veremos en este apartado como las razones trigonométricas de un ángulo del II, III o IV cuadrante están relacionadas con las razones de un ángulo del cuadrante I., es decir: e Supongamos que $ es un ángulo de uno de los cuadrantes II, III o IV. e Existe un ángulo " del cuadrante I tal que las razones del ángulo $ podemos hallarlas a través de las razones de ". ± Sea " un ángulo del cuadrante I. El ángulo $ B&" será un ángulo del cuadrante II. Si conocemos las razones trigonométricas del ángulo " podemos conocer las de $ B&" Nos ayudaremos de un gráfico: En la figura 7 de la página 56 tienes e x p l i c a d o l a relación entre las r a z o n e s trigonométricas del ángulos $ B&" (del cuadrante II) y Ejemplo 5.- Supongamos que " un ángulo del cuadrante I y que sen " 0'8. Queremos hallar el seno y coseno del ángulo $ B&". 8 sen ( π α) senα Hallemos el coseno 9 50 ya tenemos el valor del seno.

72 Matemáticas º de E.S.O. Página 6 Trigonometría I. Razones trigonométricas sen ( π α) + cos ( π α) cos ( π α) sen ( π α) ( 50) cos( π α) Nótese que hemos tomado cos (B&") negativo por ser B&" un ángulo del cuadrante II. ± Sea " un ángulo del cuadrante I. El ángulo $ B+ " será un ángulo del cuadrante III. Observa que " y $ B+ " se diferencian en B radianes. Si conocemos las razones trigonométricas del ángulo " podemos conocer las de $ B+" Nos ayudaremos de un gráfico: La figura 80 nos muestra como se relacionan l a s razones de los ángulos " (de I) y $ B+ " (de III). Observa que esta figura coincide con la figura75 de la página 59. Ejemplo 5.- Supongamos que " un ángulo del cuadrante I y que cos " 0'75 Queremos hallar el seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo $ B+". 75 sen ( π + α) senα Hallemos el coseno sen cos ( π + α) + cos ( π + α) ( π + α) sen ( π + α) ( ) cos( π + α) Hallemos la tangente y cotangente: sen( π + α) tg ( π + α) cos( π + α) ya tenemos el valor del seno cotg ( π + α) tg ( π + α)

73 Matemáticas º de E.S.O. Página 65 Trigonometría I. Razones trigonométricas ± Sea " un ángulo del cuadrante I. El ángulo $ B& " será un ángulo del cuadrante IV. Si conocemos las razones trigonométricas de " podemos conocer las de $ B& " Nos ayudaremos de un gráfico: Observa que: sen (B&") &sen " cos (B&") cos " tg (B&") &tg " cotg (B&")&cotg " sec (B&") sec " cosec(b&")&cosec " Nótese que las razones trigonométricas del ángulo B& " coinciden con las de &". Ejemplo 5.- Supongamos que " un ángulo del cuadrante I y que sen " 0'80 Queremos hallar el seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo $ B& ". 8 senβ sen ( π α) senα cos β± ± cos β cos( π α) ( ) 6 cos β sen β debemos elegir un signo 5 5 Hemos tomado el signo positivo para el valor de cos $ porque $ es un ángulo situado en el cuadrante IV, siendo los cosenos positivos. Con el seno y coseno hallamos la tangente y con esta la cotangente: senβ tgβ tg π α 5 ( ) cosβ cotgβ cotg ( π α) tgβ 5 Recordemos que la cotangente de un ángulo es la inversa de su tangente Ejemplo 55.- Hallar el seno y coseno de los ángulos 50º, 0º y 5º. Nótese que 50º es un ángulo del cuadrante II, 0º es del cuadrante III y 5º corresponde al IV. Para hallar el seno y coseno comparamos dichos ángulos con otros del primer cuadrante. En el primer caso con el ángulo 0º, en el segundo con 60º y en el tercero con 5º. Como las razones de estos ángulos son de sobra conocidos no habrá problema para hallar lo pedido.

74 Matemáticas º de E.S.O. Página 66 Trigonometría I. Razones trigonométricas sen50º sen ( 80º 0º ) sen 0º cos50º cos( 80º 0º ) cos 0º sen 0º sen ( 80º + 60º ) sen 60º cos0º cos( 80º + 60º ) cos 60º sen 5º sen( 60º 5º ) sen5º cos5º cos ( 60º 5) cos5º.ángulos complementarios.- Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto (90º). Es decir: α y β complementarios α+ β 90º α y β complementarios α+ β π rad Se dice que " es el complementario de $ y que $ es el complementario de " Ejemplo 56.- Los ángulos 0º y 60º son complementarios porque 0º + 60º 90º π π + 5 Los ángulos 5 0 son complementarios porque Los ángulos "º 5' y $7º 6' son complementarios porque "+$90º. El complementario de 5º es 5º. π π π π π π y 0 Ejemplo 57.- Sea " 8º 5' 0'' y queremos hallar su complementario. " + $ 90º ² Buscamos el valor de $ Despejamos $: $ 90º&" Restamos: 90º 89º α 8º º α 6º 0 β 6º 0 complementario deα

75 Matemáticas º de E.S.O. Página 67 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 58.- Dado el ángulo α π, queremos hallar su complementario. 9 rad π π π 9π π 5π El complementario de " será β α 9 8 rad 8.Relación entre las razones de dos ángulos complementarios.- En este apartado veremos como se relacionan las razones trigonométricas de un ángulo " y su complementario $90º&". Nos ayudaremos de una representación en el círculo trigonométrico. veamos: º Sean " y $90º&" dos ángulos complementarios. Consideramos que ambos son positivos y que están en el cuadrante I. º Observado detenidamente la figura 8 y viendo las medidas de los segmentos que representan a las razones trigonométricas de " y su complementario $, podemos poner: PQ OQ por lo que senα cos( 90º α) OQ P Q por lo que cosα sen ( 90º α) RS MT por lo que tgα cotg ( 90º α) MT R S por lo que cotgα tg ( 90º α) OR OT por lo que secα cosec ( 90º α) OT OR por lo que cosecα sec ( 90º α) Esto nos permite conocer las razones trigonométricas de un ángulo si conocemos las de su complementario.

76 Matemáticas º de E.S.O. Página 68 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 59.- Los ángulos " 0º y $ 60º son suplementarios y observa que se verifica lo siguiente: sen 0º cos60º ; cos0º sen 60º tg 0º cotg 60º ; cotg 0º tg 60º sec 0º cosec 60º ; cosec 0º sec60º.razones trigonométricas del ángulo suma de otros dos ángulos.- Sean " y $ dos ángulos cualesquiera. En la página y sucesivas hemos explicado el concepto de la suma " + $ y el cálculo de su medida. En este apartado nos preguntamos lo siguiente: Si conocemos las razones trigonométricas de " y $, podemos conocer las de " + $? La respuesta a esta pregunta es que si. Nos limitaremos a poner las fórmulas que permiten hallar las razones de " + $ a partir de las razones de " y $ sin demostrarlas (las demostraciones se salen de los objetivos de estos apuntes). O Sean " y $ dos ángulos de cualquier cuadrante. O La suma " + $ será otro ángulo que podrá estar en cualquier cuadrante. Pues bien! Se verifica lo siguiente: sen ( α+ β) senα cosβ + senβ cosα cos( α+ β) cosα cosβ senα senβ sen ( α+ β) tgα+ tgβ tg ( α+ β) cos( α+ β) tgα tgβ tgα tgβ cotg ( α+ β) tg ( α+ β) tgα+ tgβ sec( α+ β) cos ( α+ β) cosα cosβ senα senβ cosec ( α+ β) sen ( α+ β) senα cosβ + senβ cosα Ejemplo 60.- Supongamos que queremos hallar las razones trigonométricas del ángulo 75º. Podemos considerar que 75º 0º + 5º Entonces: sen75º sen ( 0º + 5º ) sen 0º cos5º + sen 5º cos 0º cos75º cos( 0º + 5º ) cos 0º cos5º sen 0º sen 5º + 6 6

77 Matemáticas º de E.S.O. Página 69 Trigonometría I. Razones trigonométricas tg 0º + tg 5º + tg75º tg ( 0º + 5º ) tg 0º tg 5º cotg75º cotg ( 0º + 5º ) tg ( 0º + 5º ) + sec75º sec( 0º + 5º ) 6 cos( 0º + 5º ) 6 + ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 6 cosec75º cosec ( 0º + 5º ) + 6 sen( 0º + 5º ) ( + ) ( 6 + ) ( 6 + ) ( 6 ) ( 6 + ) ( 6) ( 6) ( + 6) ( 6) ( ) Razones trigonométricas del ángulo diferencia de otros dos.- Sean " y $ dos ángulos cualesquiera. En la página y sucesivas hemos explicado el concepto de la resta "&$ y el cálculo de su medida. En este apartado nos preguntamos lo siguiente: Si conocemos las razones trigonométricas de " y $, podemos conocer las de "&$? La respuesta a esta pregunta es que si. Nos limitaremos a poner las fórmulas que permiten hallar las razones de "&$ a partir de las razones de " y $ sin demostrarlas (las demostraciones se salen de los objetivos de estos apuntes). O Sean " y $ dos ángulos de cualquier cuadrante. O La resta "&$ será otro ángulo que podrá estar en cualquier cuadrante. Pues bien! Se verifica lo siguiente: sen ( α β) senα cosβ senβ cosα cos( α β) cosα cosβ + senα senβ sen ( α β) tgα tgβ tg ( α β) cos ( α β) + tgα tgβ tgα tgβ cotg ( α β) + tg ( α β) tgα tgβ sec( α β) cos( α β) cosα cosβ + senα senβ cosec ( α β) sen( α β) senα cosβ senβ cosα Ejemplo 6.- Supongamos que queremos hallar las razones trigonométricas del ángulo 5º. Podemos considerar que 5º 5º & 0º Entonces: sen5º sen ( 5º 0º ) sen 5º cos 0º sen 0º cos5º cos5º cos( 5º 0º ) cos5º cos 0º + sen 5º sen 0º sen5º tg5º tg ( 5º 0º ) 6+ cos5º 6 6+ se puede racionalizar 6 6+

78 Matemáticas º de E.S.O. Página 70 Trigonometría I. Razones trigonométricas 6+ cotg5º 6 tg5º 6 6+ sec5º 6+ cos5º 6+ cosec5º 6 sen5º 6 se puede racionalizar ( 6 ) ( 6+ ) ( 6 ) ( 6+ ) ( 6 ) ( 6+ ) ( ) ( 6 ) 6 6 ( ) ( 6+ ) Razones trigonométricas del ángulo doble de otro.- Sea " un ángulo cualquiera. El doble de " es ", es decir, " "+". Si conocemos las razones del ángulo ", podemos conocer las de su doble ". En efecto: Se trata de un caso particular de la suma "+$, es decir, "+". sen α sen ( α+ α) senα cosα + senα cosα senα cosα cos α cos( α+ α) cosα cosα senα senα cos α sen α tgα+ tgα tgα tg α tg ( α+ α) tgα tgα tg α tgα tgα tg α α α+ α cotg cotg ( ) tgα+ tgα tgα sec α sec ( α+ α) cosα cos α sen α cosec α cosec ( α+ α) sen α senα cosα Ejemplo 6.- Observa que 60º A0º 0º + 0º Pues bien! sen 60 sen 0 sen 0 0 º ( º ) º cos º 60º ( 0º ) 0º sen 0º cos cos cos tg 0º tg 60º tg ( 0º ) tg 0º Ejemplo 6.- Observa que 90º A5º 5º + 5º Pues bien! sen 90º sen( 5º ) sen5º cos5º 90º ( 5º ) 5º sen 5º cos cos cos 0

79 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas 6.Razones trigonométricas del ángulo mitad de otro.- Sea " un ángulo cualquiera. La mitad de " es "/. Si conocemos las razones del ángulo ", podemos conocer las de su mitad "/. Nos limitaremos a dar las fórmulas, sin hacer la demostración: sen α ± cos α Dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ángulo "/, tomaremos el signo + o & α cos ± + cosα Dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ángulo "/, tomaremos el signo + o & Para hallar la tangente utilizamos el seno y coseno: α cos a cos a α sen cos a tg α ± ± cos a cos a ± + + cos ± + cos a tg α ± cos α + cosα El signo + o & dependerá del cuadrante de "/ o de los signos del seno y del coseno. Será fácil comprobar que la cotangente es: α cotg ± + cosα cosα Ejemplo 6.- Supongamos que queremos hallar el seno y coseno del ángulo º 0' Llamamos " 5º y, por tanto, α 5º º 0 Aplicamos las fórmulas vistas antes y consideramos que º 0' está en el cuadrante I 5º cos 5º sen º 0 sen + + 5º + cos 5º cos º 0 cos + + sen º 0 tg º 0 º 0 cos

80 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas 7.Fórmulas de transformación de sumas y restas en productos.- Veremos a continuación unas fórmulas que son interesantes porque permiten la resolución de algunos problemas trigonométricos. No haremos las demostraciones aunque estas no presentan grandes dificultades. U Sean " y $ dos ángulos. U Consideremos el ángulo suma de ambos, " + $ y el ángulo diferencia, "& $. Pues bien!. Se verifican las siguientes igualdades (las demostraciones pueden verse en el anexo final) α + β α β senα + senβ sen cos El seno de un ángulo mas el seno de otro ángulo es igual al doble del seno del ángulo mitad de su suma por el coseno del ángulo mitad de su diferencia α+ β α β senα senβ cos sen El seno de un ángulo menos el seno de otro ángulo es igual al doble del coseno del ángulo mitad de su suma por el seno del ángulo mitad de su diferencia α+ β α β cosα + cosβ cos cos El coseno de un ángulo mas el coseno de otro ángulo es igual al doble del coseno del ángulo mitad de su suma por el coseno del ángulo mitad de su diferencia α+ β α β cosα cosβ sen sen El coseno de un ángulo menos el coseno de otro ángulo es igual al opuesto del doble del seno del ángulo mitad de su suma por el seno del ángulo mitad de su diferencia Ejemplo 65.- Anteriormente (ejemplos 60 y 6) hallamos el seno y coseno de los ángulos 75º y 5º. Ahora los vamos a hallar utilizando estas fórmulas. Tenemos: sen 75º + sen5º sen 75º sen5º 75º + 5º 75º 5º sen 75º + sen5º sen cos sen 5º cos0º 75º 5º 75º + 5º sen 75º sen5º sen cos sen 0º cos5º 6 Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Las incógnitas son x sen 75º e y sen 5º 6 Resolvamos el sistema: 6 x + y Por el metodo & de reduccion & : x y 6 x Por tanto: x e y x sen 75º sen5º 6+ 6

81 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas 8.Arco (o ángulo) correspondiente a una razón trigonométrica.- La expresión sen x y se interpreta como el seno del ángulo x es y. También podemos decir que x es el ángulo cuyo seno es y. Esta última expresión se formaliza del siguiente modo: x arc sen y Se lee de la forma: x es el arco seno de y o x es igual al arco seno de y Su significado es que x es un ángulo cuyo seno vale y Debe entenderse que las expresiones sen x y y x arc sen y son equivalentes, es decir, vienen a decir lo mismo: seno de x es igual a y equivale a decir que x es un ángulo cuyo seno es y NOTA: Los términos ángulo y arco son equivalentes. Sabemos que en el círculo trigonométrico, a un ángulo de vértice el origen O (centro de la circunferencia, le corresponde un arco de circunferencia y sólo uno. Cuando nos referimos a ese arco, al ángulo se le suele denominar arco (en vez de ángulo). En general, cuando nos referimos al arco, la medida se suele dar en radianes y cuando nos referimos al ángulo se suele dar en grados sexagesimales. x arc tg y x arccos OQ x arctg RS Nótese que al ángulo central " le corresponde el arco de circunferencia PS El segmento PQ es el seno de ". En general se identifica el ángulo con el arco Si llamamos x al arco PS, podemos poner: Del mismo modo se pueden definir los siguientes conceptos: x es el arco de circunferencia (o el ángulo) cuyo coseno es y cos x y x arc cos y En la figura 8, " es el ángulo (o x el arco) cuyo coseno es el segmento OQ x es el arco de circunferencia (o el ángulo) cuya tangente es y tg x y En la figura 8, " es el ángulo (o x el arco) cuya tangente es el segmento RS x arc cotg y x arc sec y x es el arco de circunferencia (ángulo) cuya cotangente es y cotg x y En la figura 8, " es el ángulo (o x el arco) de cotangente es el segmento MT x arc cotg MT x es el arco de circunferencia (o el ángulo) cuya secante es y sec x y En la figura 8, " es el ángulo (o x el arco) cuya secante es el segmento OR x arc sec OR

82 Matemáticas º de E.S.O. Página 7 Trigonometría I. Razones trigonométricas x arc cosec y x es el arco de circunferencia (ángulo) cuya cosecante es y cosec x y En la figura 8, " es el ángulo (x el arco) cuya cosecante es el segmento OT x arccosec OT Observación_: Observación_: Si fijamos un valor para y, puede ocurrir (en general ocurre así) que exista mas de un x que verifique la igualdad. También puede ocurrir que demos un valor a y y no exista un x que verifique dicha igualdad. Veremos un ejemplo para aclarar esto. Las expresiones x arc sen y, x arc cos y, x arc tg y, etc. se denominan razones trigonométricas inversas. Ejemplo 66.- Consideremos la igualdad trigonométrica sen π π 6. Esto significa que 6 arc sen, π 6 es decir, es el arco cuyo seno vale (recuerda que B/6 0º). También ocurre que sen 5π 5 6, por lo que podemos también poner que π 6 arc sen. Es decir: rad 6 arc sen π rad Si consideramos que cada vez que damos una vuelta completa de 60º al lado del ángulo en el círculo trigonométrico, volvemos al mismo sitio, tenemos que: sen 0º sen ( 0º + 60º ) sen90º una vuelta sen ( 0º + 70º ) sen 750º dos vueltas sen ( 0º + 080º ) sen0º tres vueltas KKKKKKKKKKKKKKKKKKK sen ( 0º + k 60º ) k vueltas 5π 6 k 0,,,,, 5,... etc. Del mismo modo: sen50º sen ( 50º + 60º ) sen50º una vuelta sen ( 50º + 70º ) sen870º dos vueltas sen ( 50º + 080º ) sen0º tres vueltas KKKKKKKKKKKKKKKKKKK sen ( 50º + k 60º ) k vueltas k 0,,,,, 5,... etc. De lo anterior deducimos que en la igualdad x arc sen, existen infinitos valores para x, pero entre 0º y 60º sólo existen dos, uno es 0º y el otro valor es 50º.

83 Matemáticas º de E.S.O. Página 75 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 67.- Queremos encontrar todos los valores de x que verifican la igualdad x U π 7π Sabemos que cos 5º cos y que cos5º cos. Por tanto: arc cos arc cos x x π 7π rad rad dos soluciones entre 0 y π U Si consideramos todas las soluciones posibles tendremos: π x + k π para k 0,,,,, 5,... k, 7π x + k π para k 0,,,,, 5,... k Por ejemplo, para k0 tenesmos las soluciones 5, 7 soluciones x + 6π y x + 6π tenemos dos soluciones. π π π x π, y x 0 0 7π y para k tenemos las. Para cada valor de k0,,,,,... Ejemplo 68.- Queremos encontrar los valores de x comprendidos en el intervalo [0,B] que verifican la igualdad x arc cos W Sabemos que cos π 7π 6 cos50º y cos 6 cos 0º. Entonces: 5π x rad arccos 50º 6 7π x 0º 6 rad dos soluciones entre 0 y π Ejemplo 69.- Queremos encontrar los valores de x comprendidos en el intervalo [0,B] que verifican la igualdad x arc sen g Sabemos que x arc sen ' ] sen x ' g Sabemos que el seno de un ángulo es un número comprendido entre & y, es decir, se debe verificar que &# sen x # por lo que no es posible que sen x ' Por tanto, no existe ningún valor para x que verifique la igualdad x arc sen ' Ejemplo 70.- Queremos encontrar los valores de x comprendidos en el intervalo [0,B] que verifican la igualdad x arc tg 0 Es fácil apreciar que esos valores son x 0 rad. x B rad y x B rad.

84 Matemáticas º de E.S.O. Página 76 Trigonometría I. Razones trigonométricas 9.Ecuaciones trigonométricas. Resolución.- Una ecuación trigonométrica es una relación algebraica (sumas, restas, productos, cocientes, etc.) entre número conocidos y desconocidos separados mediante una igualdad (). En esta relación debe intervenir, al menos, una de las razones trigonométricas explicadas en este tema: seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante. A los números desconocidos se les llama incógnitas. º Una ecuación trigonométrica puede tener una o mas incógnitas. º Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el valor o valores de las incógnitas. Dichos valores debe hacer que la igualdad sea cierta. º A una ecuación trigonométrica le puede ocurrir que tenga solución o que no tenga solución. Una ecuación de este tipo puede tener infinitas soluciones. Ejemplo 7.- Las igualdades: a) b) sen x+ 0 tg x c) cos x+ sen d) cos x+ x Las cuatro igualdades anteriores son ecuaciones trigonométricas con una incógnita (x). Una solución de a) es x 70º. Una solución de b) es x 5º. Una solución de c) es x 60º. La ecuación d) no tiene solución ya que se debe ser & # cos x # lo cual hace imposible que la igualdad sea verdad Comprobemos la solución de la ecuación c): Para x 60º tenemos que: 60º cos 60º + sen ; cos 60º + sen90º + ; x 60º hace que la igualdad sea verdad. Lo que hemos hecho es una comprobación, no una r e s o l u c i ó n. H e m o s comprobado que x60º es una solución. Ejemplo 7.- La igualdad cos x+ es una ecuación trigonométrica con una incógnita. En este caso vamos a ver que existen infinitas soluciones. L x 60º es una solución porque cos60º+ + L x 00º es una solución porque cos00º+ + L x 60º + 60º 0º es una solución porque cos0º+ + L x 60º + 00º 660º es una solución porque cos660º+ + Podemos decir que los ángulos de las formas : π x + k π con k 0,,,,,... es solucion & 5π x + k π con k 0,,,,,... es solucion & Debes entender que: π 60º rad y 00º rad 5π Ha debido quedar claro que hay ecuaciones trigonométricas sin solución y con infinitas soluciones.

85 Matemáticas º de E.S.O. Página 77 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 7.- La igualdad sen x + cos y tg x+ es una ecuación trigonométrica con dos incógnitas. Una solución estaría formada por un valor de x y otro de y que hagan verdadera a la igualdad. En este caso x 5º e y 0º es una solución ya que: sen 5º + cos0º tg 5º + es verdad? + + es verdad? + + Vemos que es verdad Vamos a resolver algunas ecuaciones trigonométricas con una incógnita. Ejemplo 7.- Resolvamos la ecuación trigonométrica sen x+ 0 El A de la multiplicación no es necesario ponerlo (es optativo en este caso). sen x+ 0 sen x Buscamos el valor o valores de x ( ) º + k º k,,,,,... sen x x arc sen x 00º + k 60º k 0,,,,,... NOTA: La expresión ( ) Infinitas soluciones x arc sen puede ponerse de la forma x arc sen Quede claro que es incorrecto ponerlo del modo x arc sen Ejemplo 75.- cos π ( x ) Encontrar las soluciones a la ecuación trigonométrica + 0 π o bien x + π π cos ( x + ) x+ arc cos π o bien x + Si x+, entonces x π π π π π π π Si x+, entonces x π π π π π π 7π π 5π ( 60º ) ( 00º ) π ( ) cos x + 0 que estén en el intervalo [0,B] radianes. Buscamos las soluciones x que verifiquen 0#x#B radianes (es decir 0º#x#60º) Hemos encontrado dos soluciones dentro del intervalo [0,B] que son: NOTA: Debes tener cuidado y no mezclar radianes con grados. Puedes trabajar en grados o en radianes, pero no en las dos unidades al mismo tiempo.

86 Matemáticas º de E.S.O. Página 78 Trigonometría I. Razones trigonométricas Ejemplo 76.- Halla los valores de x entre 0º y 60º que verifiquen la igualdad cosx sen x cosx sen x cos x sen x sen x Recuerda que cosx cos x sen x sen x sen x sen x Recuerda que sen x + cos x y cos x sen x sen x sen x 0 sen x+ sen x Hemos pasado todo a la derecha sen x+ sen x 0 Se trata de una ecuacion & de º grado de incognita & sen x Despejamos: sen x ± ( ) ± + ± ± 8 9 sen x sen x x 0 º Si sen x x 50º Si sen x x 70º Por tanto, la ecuación tiene tres soluciones entre 0º y 60º: π 5π π x 0º 6 rad ; x 50º 6 rad y x 70º rad Comprobemos la primera de ellas: Para x 0º tenemos que cos 60º sen 0º se verifica la igualdad. Ejemplo 77.- Resolver al ecuación trigonométrica cosx+ sen x cosx+ sen x cos x sen x+ sen x recuerda que cosx cos x sen x sen x sen x+ sen x recuerda que cos x sen x sen x+ sen x 0 sen x sen x 0 hemos multiplicado por en ambos lados sen x ( sen x ) 0 hemos sacado factor comun & sen x ( sen x ) 0 o bien sen x 0 o bien sen x 0 x0 0 rad x π rad Si sen x 0 entonces x π rad LLLLLL xk 0+ k π rad k 0,,,,...

87 Matemáticas º de E.S.O. Página 79 Trigonometría I. Razones trigonométricas Si sen x 0 entonces sen x sen x, π x0 0º 6 rad, 5π x 50º 6 rad, π x 90º 6 rad, 7π x 50º 6 rad LLLLLLLL Nótese que existen infinitas soluciones para la ecuación. Comprobemos una de ellas: Para x 50º es cos00º + sen 50º Es verdad? + Verdad Ejemplo 78.- Encuentra las soluciones entre 0 y B rad. de la ecuación trigonométrica cos x tg x cos x tg x sen x cos x ; cos x cos x sen x ; cos x sen x cos x ( ) sen x sen x recuerda que sen x+ cos x sen x sen x 0 sen x sen x+ 0 vamos a multiplicar todo por sen x+ sen x 0 es una ecuacion & de º grado de incognita & y sen x 9 5 sen x ± + ± Si sen x x x 0º π 6 50º 5π 6 rad rad y sen x y sen x imposible Por tanto, hay dos soluciones dentro del intervalo [0,B] radianes. 0.Sistemas de ecuaciones trigonométricas.- Con las ecuaciones trigonométricas también pueden formarse sistemas de, por ejemplo, dos ecuaciones con dos incógnitas. En esta publicación no incluimos la resolución de sistemas. Ejemplo 79.- sen x+ cos y 0 5 Las igualdades cosec x+ sec y forman un sistema de ecuaciones trigonométricas con incógnitas.

88 Matemáticas º de E.S.O. Página 80 Trigonometría I. Razones trigonométricas.uso de la calculadora en trigonometría.las calculadores actuales con funciones científicas (popularmente conocidas como calculadoras científicas) permiten hallar los valores numéricos de las razones trigonométricas de cualquier ángulo expresado en grados sexagesimales o en radianes. Para ello hay que ponerla previamente en el modo grados sexagesimales (generalmente viene com D o Deg) o radianes (en general rad). También es posible hallar el valor del ángulo (en grados o radianes) si le damos una de sus razones trigonométricas (por ejemplo si le damos lo que vale el seno). Tambien es este caso hay que indicar previamente si queremos el valor del ángulo en grados minutos y segundos o en radianes Debes aprender a manejar una calculadora con soltura. El manejo es muy parecido en casi todas ellas, aunque existen pequeñas diferencias. En el teclado verás que aparecen las funciones correspondientes al seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Las demás (secante, cosecante y cotangente) no aparecen porque estas se hallan si se conocen las anteriores. También veras expresiones de la forma sin&, cos& y tan& que permiten calcular el ángulo si conoces su seno, coseno o tangente. Una tecla con los símbolos º NO permiten introducir grados, minutos y segundos. En la parte superior de esta tecla el símbolo ² permite conocer el ángulo si conocemos una de sus razones trigonométricas. Veremos algunos ejemplo sobre estos cálculos, los cuales debes realizar con tu calculadora habitual. Ejemplo 80.Ponemos la calculadora en el modo grados sexagesimales (D o Deg) y realizamos los siguientes cálculos. sen º 5' 58'' 0' Con este último número en pantalla, si activamos la función de la calculadora x& (o /x), obtenemos cosec º 5' 58'' ' (recuerda que cosec " /sen ") cos 08º 6' 9'' &0' Con este último número en pantalla, si activamos la función de la calculadora x& (o /x), obtenemos sec 08º 6' 9'' &' (recuerda que sec " /cos ") tg 6º ' '' &0' Con este último número en pantalla, si activamos la función de la calculadora x& (o /x), obtenemos cotg 6º ' '' ' (recuerda que cotg " /tg ") Ejemplo 8.Para trabajar en radianes ponemos la calculadora en el modo rad. y realizamos los siguientes cálculos: