Definiciones Aberración es el defecto de imagen en comparación con la aproximación paraxial monocromática Aberraciones

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1 Aberraciones 1

2 Definiciones Aberración es el defecto de imagen en comparación con la aproximación paraxial monocromática Aberraciones Cromáticas Monocromáticas De Seidel (tercer orden) De orden 5 índice de senθ = θ - θ 3 /3! refracción n(λ) Aberración esférica Coma Astigmatismo Curvatura de campo Distorsión 2

3 Clasificación de aberraciones de Seidel La diferencia de coordenadas transversales ( x, y) de la imagen paraxial (x p, y p ) y las coordenadas donde el rayo real corte el plano paraxial imagen (x, y) [el punto objeto se encuentra sobre plano y-z] x = σ ρ senθ + σ hρ sen2θ + σ h ρsenθ + σ h ρsenθ Aberración esférica Coma Astigmatismo Curvatura del campo Distorsión y = σ ρ cos θ + σ hρ (2 + cos 2 θ) + 3σ h ρ cosθ + σ h ρ cosθ + σ h σ σ σ σ σ ρ es la distancia del punto de intersección del rayo con la PE al eje óptico; θ es la coordenada angular polar de este punto en el plano de PE; h es la distancia del punto objeto al eje óptico; 3

4 Aberración esférica (AE) La AE corresponde a la dependencia de la distancia focal con la abertura para los rayos no paraxiales La AE se refiere principalmente a los rayos que proceden de puntos objeto del eje, pero afecta a todos los puntos objeto La AE longitudinal (AEL) donde f p es la focal imagen paraxial y f h es la focal imagen para el rayo marginal que incide a una altura h La AE transversal (AET) donde σ es el ángulo que forma a la salida del sistema el rayo marginal con el eje óptico AEL>0: lente convergente AEL<0: lente divergente AEL = f f ' p ' h AET = AEL tan σ ' 4

5 AE en una lente con objeto en el infinito Plano de mínima confusión: la intersección entre los rayos marginales y cáustica 5

6 Correcciones de la AE La AE reduce el contraste y degrada detalles de imagen Corrección de AE: PE pequeño La combinación de dos o mas lentes con focales de signos opuestos Elección adecuado de los radios de curvatura de la lente delgada y del sentido en el que la lente es atravesada (AEL es mayor para la lente plano-convexa que para convexa-plana) Factor de forma de Coddington R 1 y R 2 - radios de curvatura de la lente delgada Factor de posición de Coddington s, s la posición del objeto y de la imagen S R + = R R R Para una lente delgada de índice n sumergida en aire la 2 AE se minimiza cuando 2( n 1) S = n + 2 P s + s ' P = s ' s

7 Correcciones de AE AE para la combinación de 2 lentes delgadas es mínima si la separación de entre de ellas = la diferencia de los focales 7

8 Coma Se manifiesta en las imágenes de los puntos objeto extraxiales cuando el sistema posee una gran apertura (aumento lateral depende de la altura del rayo en la lente) P es la imagen paraxial de O Los rayos que inciden en la lente a una distancia R (R ) del eje óptico convergen en un circulo R e (R ) en el plano imagen. 1 (1 ) son puntos tangenciales; 2 (2 ) puntos sagitales 8

9 Coma II El coma tangencial CT (sagital CS) es la distancia entre los puntos P y 1 (2) (R e coincide con el radio del círculo comático extremal) Si la diferencia de ordenadas de imágenes obtenidos con el rayo marginal tangencial y paraxial y e -y p >0 el coma es positiva, si y e -y p <0 el coma es negativa El coma depende de la forma de la lente Para una lente delgada CT=0 si cumple S = 2 2n n 1 n + 1 P Las condiciones de minimización de AE y coma para lentes delgadas son muy próximas La coma puede eliminarse usando un diafragma en la posición apropiada 9

10 Astigmatismo Para un punto objeto situado a una distancia apreciable de eje óptico, el cono de rayos incidente sobre la lente será asimétrico 10

11 Astigmatismo II El plano tangencial (meridional) que contiene el rayo principal y la eje óptico El plano sagital contiene el rayo principal y perpendicular al plano tangencial Los rayos tangenciales convergen en puntos diferentes que los rayos sagitales La imagen de un punto es una elipse cuyo tamaño aumenta con la separación del punto objeto del eje. En el plano tangencial imagen la elipse se convierte en un segmento T perpendicular al plano tangencial En el plano sagital imagen la elipse se convierte en un segmento S perpendicular al plano sagital Entre ambos planos existe un plano donde la elipse transforma en un circulo el circulo de minima confusión 11

12 Astigmatismo: formación de imagen en plano imagen tangencial y sagital 12

13 Astigmatismo III Las imágenes tangencial (T) y sagital (S) de un plano objeto se encuentran situadas en superficies no planas Cuando la superficie de la imagen tangencial se encuentra más próxima al sistema óptico el astigmatismo es positivo (en caso contrario es negativo) Superficies que reúnen las imágenes astigmáticas T y S (astigmatismo positivo) 13

14 Curvatura del campo Aparece cuando la imagen de un objeto situado en un plano normal al eje óptico se forma en una superficie curva Un segmento esférico S 0 objeto tendrá una imagen a través de la lente como segmento esférico S 0 Al aplanar S 0 se obtienen al plano S 1. Su imagen es una superficie parabólica de Petzval S p 14

15 Curvatura del campo: demostración La imagen formada en una pantalla plana cerca del plano imagen paraxial estará enfocada tan sólo en su centro (a); al acercar la pantalla a la lente, se enfocarán los extremos (b) a b 15

16 Curvatura del campo: corrección Para una lente convergente S p se curva adentro (cóncava) Para una lente divergente S p se curva afuera (convexa) Corrección de la curvatura del campo: combinación de las lentes convergentes y divergentes La geometría de la superficie de Petzval no depende de la posición relativa objeto-lente ni de la posición de diafragmas. Su forma depende de los índices de refracción y focales de las lentes Para dos lentes delgadas la corrección de curvatura implica nf ' + nf ' = donde n 1,2 y f 1,2 son índices de refracción y las distancias focales imagen de las lentes que forman el sistema 16

17 Distorsión La aberración que rompe la relación de semejanza entre objeto e imagen (El aumento transversal es una función de la distancia objeto - eje ) A diferencia de coma, una imagen del punto es un punto Distorsión positiva (de corsé) : el aumento transversal m aumenta con la distancia del punto objeto al eje Distorsión negativa (de barril) : m disminuye con la distancia del punto objeto al eje Un sistema ortoscópico es aquél que no presenta distorsión 17

18 Distorsión 18

19 Distorsión En las lentes gruesas convergentes (divergentes) la distorsión es positiva (negativa) Un sistema de lentes delgadas tendrá distorsión cero si su centro óptico (sistema es simétrica) coincide con el centro de DA Variación de la distorsión con la posición del DA 19

20 Aberración cromática: n(λ) El índice de refracción n ( condiciones de refracción focales de lentes) depende de la longitud de onda λ La formula de Cauchy, donde A, B, C son constantes del medio n A B C 2 4 ( λ) = + λ + λ +... Número de Abbe para una cierta región espectral. λ a (azul) λ r (rojo) son los extremos del intervalo; λ x - la longitud central ) υ = n( λ ) 1 x n( λ ) n( λ ) a r Ejemplo Líneas de emisión del hidrógeno: λ a = λ F =486,1nm o λ r = λ C =656,3nm; Líneas de sodio λ x = λ D λ D =589,3nm (o del helio λ x = λ d =587,5nm) Vidrio λ C λ C λ F Valores típicos del índice de refracción crown flint ligero 1,5204 1,572 1,523 1,576 1,5293 1,586 flint denso 1,6665 1,6705 1,

21 Aberración cromática: lente delgada f (λ) La focal imagen de una lente delgada depende de λ = ( n( λ) 1) f R R 1 2 La relación entre las distancias focales para λ F, λ C, λ D υ = ff fc fd 21

22 Aberración cromática de posición y de aumento Aberración cromática de posición (o longitudinal, axial) ACP: La distancia entre las posiciones de las imágenes obtenidas para los colores C (rojo) y F (azul) ACP = s s = s C F Aberración cromática de aumento (o transversal, lateral) ACA: La diferencia de tamaño de las imágenes obtenidas para los colores distancia entre las posiciones de las imágenes obtenidas para los colores C (rojo) y F (azul) ACA = y y C F 22

23 Aberración cromática: correcciones Para corregir la aberración cromática utilizan un sistema de varios lentes con ACP positivas y negativas. ACP = s s = s Un sistema acromático: ACP=0 para dos longitudes de onda Un sistema apocromático: ACP=0 para tres longitudes de onda C F 23

24 Remarques AE es la única aberración monocromática que sufren los puntos axiales Si cumple la condición Seno de Abbe y no hay AE sistema es libre de coma Si colocamos un orificio muy pequeño centrado en el eje del sistema todas las aberraciones desaparecen excepto la distorsión. Porque solo un rayo de cada punto del plano objeto pasará por el orificio La aberración cromática se presenta en óptica paraxial 24

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