DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

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1 Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico para u grupo de úmeros. Obviamete, el valor más represetativo para u grupo de úmeros ormalmete o es el valor más pequeño i el más grade, sio es el úmero cuyo valor está e algú puto itermedio del grupo. Así u promedio es frecuetemete referido co ua media de tedecia cetral. El promedio se emplea co frecuecia como mecaismo para resumir u cojuto de catidades o úmeros, sobre todo si es grade, a fi de descubrir los datos estadísticos. Como ejemplos cabe citar las edades promedio de los estudiates de ua uiversidad, el salario semaal promedio de los trabajadores maufactureros, el igreso familiar promedio de ua ació, etc. Los promedios so tambié frecuetemete usados para comparar u grupo de datos co otro. Por ejemplo, el promedio de años de educació de los empleados de ua compañía, comparados co el promedio de otra compañía; el promedio de uidades producidas e ua plata, comparado co el promedio producido e otra, y el promedio de kilómetros recorridos por u grupo de vededores, comparado co el promedio de kilómetros recorridos por otro grupo. Los promedio más comues coocidos e estadística so 1).- La media aritmética, 2).- la mediaa, 3).- la moda, 4).- la media geométrica y 5).- la media armóica. Cada promedio tiee sus características particulares. La determiació de cuál de los diferetes tipos de promedios deberá ser usado bajo diferetes circustacias depede grademete de las características de los promedios. E geeral, los tres primeros promedios so usados más frecuetemete los dos últimos so usados solamete e casos muy especiales. Hay más detalles ivolucrados e el cálculo de promedios para datos agrupados que para datos o agrupados, auque los métodos so básicamete los mismos para los dos tipos de datos. Los úmeros icluidos e los datos o agrupados, so valores simples y o está clasificados e grupos. La agrupació de datos, tambié llamada Distribució de frecuecia, so datos orgaizados y está clasificados cuatitativamete. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Geeralmete hablado, cuado u grupo de datos recopilados cosiste de solamete uos pocos ítems, puede o haber ua ecesidad para orgaizarlos. Los datos recopilados, los cuales o ha sido orgaizados uméricamete, so frecuetemete llamados datos brutos o crudos. Si embargo, cuado u grupo grade de ítems es recopilado, los valores de los mismos deberá ser puestos e orde para facilitar el aálisis estadístico. Los valores puede ser arreglados, primero de acuerdo al orde de magitud ascedete descedete. Los datos ordeados de esta maera costituye u arreglo. Así los valores 4, 6, 2, 9, 8, 4, 8 y 8 so datos brutos, los cuales puede ser ordeados como u arreglo 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 9. Hay valores repetidos e el arreglo. Cuado los valores repetidos so idicados, el arreglo es etoces llamado u arreglo de frecuecia y el úmero idica las veces que u valor está repetido se llama la frecuecia. El arreglo de frecuecias puede ser costruido mediate el uso de marcas.

2 ILUSTRACION DE UN ARREGLO DE FRECUENCIAS Valor Marca Frecuecia 2 / 1 4 // 2 6 / 1 8 /// 3 9 / 1 Total 8 Valores Más aú, cuado los valores so agrupados e varias clases co base cuatitativa y el úmero de los valores detro de cada clase es idicado, puede obteerse ua presetació tabular más compacta de los datos. La tabla que muestra datos agrupados cuatitativamete se llama ua Distribució de frecuecias. El arreglo de ua distribució de frecuecia tiee u gra efecto e el cálculo de los distitos promedios, lo mismo que e otras fases del aálisis estadístico. Si embargo, o hay reglas precisas que pueda ser usadas para costruir ua tabla perfecta de distribució de frecuecias, úicamete hay que teer cuidado e costruir tales tablas a partir de los datos brutos ILUSTRACION DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Itervalo de clases Frecuecia Total Valores 8 Número de clases Límites de clase y puto medio o cetro de clase Los límites de clase superior e iferior establecidos e ua distribució de frecuecia, idica las cotas o froteras de cada clase de la distribució. Si embargo, e muchos casos, los límites de clase establecidos o so los límites de clase verdaderos. Hay blacos etre las clases. E tales casos, el Puto medio de cada blaco es cosiderado como el límite verdadero o real etre las dos clases que forma el blaco. El puto medio o cetro de cada clase es empelado usualmete para represetar cada valor origial, agrupado e la clase para propósitos de aálisis matemáticos adicioal. El cetro de cada clase puede calcularse de cualquiera de los límites de clase, ya sea los establecidos o los reales Cetro de clase Límite declasesiferior establecido 2 Límite declasessuperior Establecido

3 Ejemplo: Ecotrar los límites verdaderos y el valor del puto medio para cada ua de las clases 1-3, 4-6, 7-9. Límites de clase y variables. Ua variable es u cojuto de valores y es usualmete represetada por u símbolo, tal como la variable cosiste de 1, 2, 5, 7, 8, y así sucesivamete. Si u símbolo que represeta u úmero tiee valor fijo, el símbolo se le llama costate, tal como a si a = 4. Hay dos tipos de variables: variables cotiuas y variables discretas. Ua variable cotiua puede teóricamete, tomar cualquier valor etre dos valores dados. Por ejemplo, hay u úmero ilimitado de valores etre los úmeros 70 y 71, tales como 70.01, 70.06, Los datos que `pede ser descritos por ua variable cotiua so llamados datos cotiuos, tales como la medida de la estatura de ua persoa, la cual puede ser de1.50 mts, 1.52 mts o 1.59 mts. Si la variable o puede tomar cualquier valor etre dos valores dados, se llama ua variable discreta. Los datos represetados por ua variable discreta so llamados datos discretos, tales como el úmero de estudiates e ua clase, el cual puede tomar cualquiera de los valores 0, 1, 2, 3, 4...., pero o puede ser 1.2, 2.6, 3.1, etc. E geeral, los valores que represeta medidas so datos cotiuos, mietras que coteos o euciados so datos discretos. Tamaño de los itervalos de clase E Geeral hay tres tipos de itervalos de clase de acuerdo a cuerdo co los tamaños de las clases e ua distribució de frecuecia: 1. - Clases de igual tamaño, 2.- Clases de desigual tamaño, 3.- clases abiertas. El tamaño del itervalo de clase es la diferecia etre los límites de clase verdadera superior e iferior, y es tambié referido como la amplitud de clase o el tamaño de los itervalos de clase e ua distribució de frecuecia, depede del úmero de clases, los tipos de iformació deseada y el grado de variació de los valores origiales. Clases de igual tamaño. Este tipo de desigació de clases es usualmete preferido y ha sido usado e las ilustracioes. Cuado todas las clases so del mismo tamaño, los cálculos cocerietes a la distribució de frecuecia so grademete simplificados. Por ejemplo, el úmero de clases e ua distribució de frecuecia puede ser calculado dividiedo el recorrido de los datos brutos (la diferecia etre el valor mayor y el meor) por el tamaño del itervalo de clase. Clases de desigual tamaño. Los itervalos de clases desiguales o so deseables e la mayoría de los casos, pero so alguas veces usados para servir propósitos particulares, tales como cubrir valores que varía e u amplio recorrido. Cuado los itervalos de clases desiguales debe ser usados, los itervalos de clases deberá ser icremetados de ua maera ordeada si es posible. Clases abiertas Ua clase abierta tiee uo de sus dos límites de clases o establecido uméricamete, tal como la primera clase "meos de 500" y la última clase "25,000 y más, este tipo de clases deberá de ser evitado lo más posible, puesto que o podemos decir exactamete cual es el puto medio u otro valor represetativo de la clase para los propósitos de cálculo.

4 La media aritmética, o simplemete la media, es el tipo más comúmete usado etre los cico tipos de promedios. Los métodos para calcular la media para datos o agrupados y para datos agrupados. Datos o agrupados Método básico La media para datos o agrupados es el cociete de la suma de los valores divididos por el úmero de valores e el cojuto de datos dados. Media Suma de valores Número de valores o simbólicamete, = Represeta el cojuto de valores, o la variable. = Represeta el úmero de valores e el cojuto. = Es la letra griega sigma y represeta "la suma de" o "la sumatoria de". = Represeta la media de la variable, llamada " barra". La barra, es la parte superior de la letra o letras, usualmete represetada "la media aritmética de" Ejemplo: Los promedios de las calificacioes de 10 alumos de cierta clase de ua escuela so: 8, 9, 5, 8, 10, 7, 6, 7, 9, 6., además se desea coocer la media de las calificacioes: Estudiate Promedio de calificacioes Variable x A 8 B 9 C 5 D 8 E 10 F 7 G 6 H 7 I 9 J 6 Total 75

5 Utilizado la fórmula: x est udiates 75 La media es: x Recomedació: Hacer más ejercicios Ecotrar los promedios de las estaturas de los 15 empleado de ua fabrica y so: 1.4, 1.3, 1.7, 1.6, 1.4, 1.30, 1.25, 1,60, 1.55, 1.65, 1.60, 1.70, 1.72, 1.69, 1.60mts. Ecotrar el promedio de Los Kilómetros recorridos de 8 taxis durate u día ormal de trabajo y so 75, 89, 95, 146, 120, 110, 140, 155. Método abreviado. La suma algebraica de las desviacioes es igual a cero. E otras palabras, la media calculada está e el puto de equilibrio; es decir e el puto, tal que la suma de las desviacioes positivas es igual a la suma de las desviacioes egativas. El método abreviado os permitirá ahorrar ua cosiderable catidad de tiempo cuado u grupo de datos está ivolucrado e el cálculo de la media. Específicamete e ua distribució de frecuecia. Ilustració de que la suma algebraica de las desviacioes co respecto a la verdadera media aritmética es cero. Valor Desviació co respecto A la media = = Total cero x x Etoces: E geeral: A A ( x A) A = La media supuesta o el valor seleccioado arbitrariamete v = La desviació de cada valor respecto a la media supuesta - A v

6 E el ejemplo de las calificacioes de los estudiates, cada uo de los 10 estudiates está icluido ua sola vez e el cálculo de la media. El úmero de calificacioes obteida por cada estudiate durate u período, o es cosiderado. Cuado cada valor es cosiderado igualmete importate, la media es llamada media o poderada. Cuado a cada uo de los valores e u cojuto de datos le es asigada ua poderació de acuerdo co la importacia relativa e el grupo, la media calculada es llamada media poderada. La poderada es obteida como sigue: Primero, multiplicar cada valor por la poderació asigada al valor correspodiete; Segudo, sumar estos productos y; Tercero, dividir la suma de los productos por la suma de las poderacioes. Sea w = La poderació asigada a cada valor de la variable ; etoces; ( w ) w Ejemplo: Los kilómetros recorridos durate cada viaje y el úmero de viajes hechos por 5 estudiates al veir de su hogar hasta la uiversidad e ua semaa, está dados e la 2ª y 3ª columa de la siguiete tabla CALCULOS PARA EL EJEMPLO wx Estudiate Kilómetros recorridos Número de viajes Total de kilómetros recorridos A B C D E Total Nótese que el divisor e la divisió es 20 la suma de las poderacioes, 5 el úmero de estudiates. ( w ) w Kilómetros

7 E el cálculo de la media aritmética para datos agrupados, el cetro o puto medio de la clase es usado para represetar el valor de cada elemeto icluido e la clase. La media calculada de ua distribució de frecuecia puede diferir de la media calculada de los datos origiales, puesto que cada uo de los valores reales o es e geeral el mismo valor que el del cetro de clase. Si embargo, la diferecia es usualmete despreciable. El método de cálculo de la media para datos agrupados es ecesario e muchos casos. El trabajo de calcular la media de ua distribució de frecuecia es mucho más simple que para datos o agrupados de u gra úmero de valores. Además, los datos origiales, puede o estar dados e la tabla de la distribució de frecuecia es obteida de ua fuete publicada. Método básico: La media para datos agrupados es básicamete obteida como sigue: Primero, multiplicar cada cetro de la clase por la frecuecia de la clase; Segudo, sumar estos productos; Tercero, dividir la suma de los productos por la suma de las frecuecias. Dode: ( f) = el cetro de las clases idividuales f = La frecuecia de las clases idividuales = la suma de las frecuecias, o = f Ejemplo: Los kilómetros recorridos por 20 estudiates al veir a la la uiversidad desde sus hogares so los siguietes: Total Kilómetros CALCULOS PARA EL EJEMPLO METODO BASICO Kilómetros Itervalo de clase Km. Promedio Puto medio. Número de estudiates Frecuecia de clases. f Total Km. Recorridos. f 0 y meos de y meos de y meos de y meos de hasta Total

8 ( f) Km. Este método es fácil de aplicar cuado las clases so del mismo tamaño. Cuado las clases o so del mismo tamaño, el procedimieto e el método básico es más simple. El método usado e el procedimieto del método abreviado para calcular la media de datos o agrupados puede tambié ser aplicado al método abreviado para datos agrupados: La suma algebraica de las desviacioes de los valores idividuales co respecto a su media exacta es cero, pero co respecto a ua media supuesta o es cero. Las desviacioes co respecto a la media supuesta puede ser expresadas e uidades origiales de los datos o itervalos de clases e ua distribució de frecuecia. Cuado las desviacioes so expresadas e uidades origiales, el procedimieto del método abreviado para calcular la media de datos agrupados es: 1.- Seleccioar ua media supuesta A. La respuesta o es afectada por el valor seleccioado como la media supuesta. Cualquier puto, icluyedo cero, puede ser usado como la media supuesta. Si embargo, a fi de simplificar los cálculos, el puto medio de ua de las clases localizadas cetralmete e los datos dados debería ser seleccioado como media supuesta. 2.- Ecotrar las desviacioes de cada marca de clase co respecto a la media supuesta e uidades origiales de los datos, tal como pesos, kilómetros, metros, moedas, etc. v = la desviació e uidades origiales = el cetro o marca de clase v = - A 3.- Multiplicar cada desviació v por la frecuecia e la clase f para obteer la desviació total de la clase, o fv. 4.- Sumar estos productos para obteer la desviació total de todos los elemetos icluidos e los datos, o fv. La suma de los productos es usualmete diferete de cero. Si es cero, la media supuesta debe ser tambié la media exacta. 5.- Dividir la suma de los productos (fv). Por la suma de las frecuecias, ( f o ), para obteer el factor de correcció. v o ( fv) ( fv) f 6.- Agregar el factor de correcció a la media supuesta para obteer la media exacta de los datos agrupados. A ( fv)

9 Ejemplo: Por cosiderarlo así podremos el mismo ejercicio aterior utilizado ua media supuesta de A = 5: CALCULOS METODO ABREVIADO DESVIACIÓN EN UNIDADES ORIGINALES Kilómetros Km. Promedio Número de estudiates Itervalo de clase f Desviació v A Total fv 0 y meos de y meos de y meos de y meos de hasta A ( fv) Km. El método abreviado, ilustrado ateriormete, puede ser simplificado aú más si las desviacioes de los valores idividuales co respecto a la media supuesta so expresadas e itervalo de clase e vez de uidades origiales. Cuado todas las clases e ua distribució de frecuecia so del mismo tamaño, las desviacioes (v) co respecto a la media supuesta debe teer el factor comú < el tamaño del itervalo de clase > Así, las desviacioes co respecto a la media supuesta puede ser factorizadas de acuerdo co el tamaño de clase o amplitud. d = La desviació de la marca de clases co respecto a la media supuesta e uidades de itervalo de clase. Así d es tambié el úmero de clases ateriores o posteriores a la clase correspodiete a la media supuesta ( la clase e la cual cae la media supuesta), tal como -1, -2, -3,... ( es decir uo, dos, tres,... clases ateriores a la clase correspodiete a la media supuesta) y 1 (o + 1), 2, 3,... ( es decir uo, dos, tres... clases posteriores a la clase de la media supuesta, respectivamete). i = la amplitud o tamaño de clase v d i y v d( i). d CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA MEDIANTE EL METODO ABREVIADO DESVIACIONES EN UNIDADES DE INTERVALO DE CLASE (d) Kilómetros Itervalo de clase Km. Promedio Puto medio Número de estudiates Frecuecia Desviació respecto a d = v/f Total desviacioes E uidades de itervalo fd 0 y meos de y meos de y meos de y meos de hasta Total 20 1 ( fd) A i 1 = 5 ( 2) = = 5.1 Km 20

10 Pricipales características de la media: De la exposició aterior podemos ahora presetar las pricipales características de la media como sigue: 1.- El cálculo de la media aritmética está basado e todos los valores de u cojuto de datos. El valor de cada elemeto e los datos afecta por lo tato, el valor de la media. Cuado alguos valores extremos so icluidos e los datos, la media puede llegar a ser meos represetativa del cojuto de valores. Por ejemplo, la media de los valores 1, 2, 4, y 93 es 25 la media o esta cerca de iguo de los cuatro valores. La media de los valores 24, 25, 25 y 26 es tambié 25. Es obvio que la media 25 es meos represetativa del primer grupo de valores que la del último grupo de valores. 2.- Básicamete la media es calculada como sigue: Media Suma de valores Número de valores Así, si dos cualesquiera de los tres térmios e la expresió (media, suma de valores y úmero de valores) so coocidos, el tercero puede ser determiado. Por ejemplo, si la media es 5 y el úmero de valores es 8, la suma de los valores puede ser determiada, o 5x8= La media tiee dos propiedades matemáticas importates, las cuales proporcioa aálisis matemático adicioal y las cuales ha hecho su uso más popular que cualquier otro tipo de promedios. a.- La suma algebraica de las desviacioes de los valores idividuales co respecto a la media, es cero. Esta propiedad ha sido idicada e la expresió coceriete al método abreviado de cálculo de la media. E geeral, sea x = -, o la desviació de cada valor. x ( ) 0 b.- La suma del cuadrado de las desviacioes co respecto a la media es míima; o simbólicamete. 2 2 x ( ) es meor que (- cualquier valor ) 2 Datos o agrupados Datos agrupados ( f )

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