Tema 21. Exponencial de una matriz Formas canónicas de Jordan.

Transcripción

1 Tema 21 Exponencial de una matriz En este tema vamos a definir y calcular la exponencial de una matriz cuadrada mediante una expresión formalmente análoga al desarrollo en serie de potencias de la exponencial real Para calcular esta exponencial vamos a utilizar la forma canónica de Jordan de la matriz, lo que también nos permite desarrollar un procedimiento para el cálculo de la potencia de una matriz 211 Formas canónicas de Jordan Si A es diagonalizable existe P no singular tal que P 1 AP D, con D diagonal De esta forma, A PDP 1 y se tiene que A m PD m P 1 Cuando estamos interesados en calcular las potencias de una matriz y ésta no es diagonalizable buscamos una expresión de la matriz que nos permita operar de forma sencilla Esta expresión va a ser la forma canónica de Jordan y para obtener la base en la cual se expresa necesitamos ampliar el concepto de autovector Definición 211 Sean A M n n (R) una matriz cuadrada y λ i un autovalor de multiplicidad m i H k (λ i ) {u R n /(A λ i I) k u } con k N es un subespacio vectorial de R n cuyos elementos reciben el nombre de autovectores generalizados de orden k Estos subespacios forman una cadena creciente en la que H (λ i ) es el vector cero y H 1 (λ i ) el subespacio de autovectores asociado a λ i Siempre existe un orden a partir del cual la cadena no crece más, de forma que la dimensión del mayor subespacio de la cadena coincide con la multiplicidad del autovalor 535

2 Bloque VI ÁLGEBRA AMPLIADA Proposición 212 Sean A M n n (R) una matriz cuadrada y λ i un autovalor de multiplicidad m i H (λ i ) {θ} y H 1 (λ i ) H(λ i ) H k (λ i ) H k+1 (λ i ) k N Existe k i N tal que k k i dim(h k (λ i )) m i La forma canónica de Jordan de una matriz se estructura en cajas, que son submatrices cuadradas de un orden menor, de forma que obtenemos una matriz diagonal por cajas (no es realmente diagonal) Definición 213 Sea A M n n (R) una matriz cuadrada y λ un autovalor Una caja de Jordan de orden k asociada a λ es una matriz de orden k formada por el autovalor en la diagonal principal, unos en la diagonal inmediatamente superior y ceros en el resto λ 1 λ 1 λ 1 ( ) λ 1 J λ J J λ λ 1 J λ λ λ Una forma canónica de Jordan de orden n es una matriz J M n n (R) diagonal por cajas en la que las cajas, J i, son cajas de Jordan Es decir, J J 1 θ θ θ J 2 θ θ θ J k Cuando la matriz es diagonalizable su forma de Jordan es la correspondiente matriz diagonal en la que todas las cajas son de orden 1 De modo que las formas de Jordan son generalizaciones de las matrices diagonales, con la ventaja de que toda matriz tiene una forma canónica semejante Teorema 214 Sea A M n n (R) una matriz cuadrada Existe una matriz no singular P M n n (R) tal que P 1 AP J donde J es una forma de Jordan con tantas cajas como autovectores independientes tiene A Proyecto MATECO 21 Página 536

3 TEMA 21 EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ Teorema 215 (Estructura por cajas de la forma canónica de Jordan) Sea A una matriz cuadrada El número de cajas asociadas a un autovalor es la dimensión de su subespacio de autovectores La suma de los ordenes de las cajas asociadas al autovalor es la multiplicidad del autovalor El número de cajas asociadas al autovalor que hay de cada orden recibe el nombre de partición de multiplicidad del autovalor y se obtiene a través de la cadena H (λ i ) H 1 (λ i ) H 2 (λ i ) H ki 1(λ i ) H ki (λ i ) donde k i N es el primer k tal que dim(h k (λ i )) m i Teorema 216 (Partición de multiplicidad de un autovalor en la forma canónica de Jordan) Sea A una matriz cuadrada El número de cajas de orden mayor o igual que i asociadas al autovalor λ i es d i dim(h i (λ)) dim(h i 1 (λ)) i 1,, k i El número de cajas de orden i asociadas al autovalor λ i es c ki d ki c i d i d i+1 i k i 1,, 1 Teorema 217 (Autovectores generalizados de la forma canónica de Jordan) Sea A una matriz cuadrada A cada caja de orden k asociada a un autovalor λ i le corresponde un conjunto linealmente independientes de k autovectores generalizados pertenecientes a H k (λ i ) cumpliendo: (A λ i I) u 1 θ u 1 H 1 (λ i ) \ H (λ i ) (A λ i I) u 2 u 1 u 2 H 2 (λ i ) \ H 1 (λ i ) (A λ i I) u k u k 1 u k H k (λ i ) \ H k 1 (λ i ) Ejercicio 218 Obtener, junto con la matriz de paso, la forma canónica de A Página 537 Proyecto MATECO 21

4 Bloque VI ÁLGEBRA AMPLIADA Solución La ecuación característica de A es: A λi λ 3 + 6λ 2 12λ + 8 El único autovalor se obtiene resolviendo la ecuación característica: λ 2 m 3 La estructura de las cajas asociadas al autovalor es: Como dim(h(2)) 3 rg(a 2I) 1 entonces hay una caja asociada a λ 2 Como m 3 entonces la suma de los ordenes de las cajas asociadas a λ 2 es tres Por tanto la forma de Jordan estará formada por una única caja de orden tres (en casos más complicados es necesario recurrir a la partición de multiplicidad para determinar tanto el número como el tipo de cajas) Para la única caja de orden 3 obtenemos el correspondiente conjunto de autovectores generalizados En primer lugar construimos la cadena de subespacios El subespacio de autovectores asociado a λ 2, H(2), es: (A 2I) X θ Como dim(h 1 (2)) 1 m(2) continuamos con la cadena El subespacio de autovectores de orden dos asociado a λ 2, H 2 (2), es: 2 (A 2I) 2 X θ 2 Como dim(h 2 (2)) 2 m(2) continuamos con la cadena El subespacio de autovectores de orden tres asociado a λ 2, H 3 (2), es: (A 2I) 3 X θ Como dim(h 3 (2)) 3 hemos terminado con la cadena Se obtiene una base de H 3 (2) y se elige un vector u 3 que no esté en H 2 (2) Proyecto MATECO 21 Página 538

5 TEMA 21 EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ si tomamos como base de H 3 (2) la base canónica, el único vector que no está en H 2 (2) es u 3 (1,, ) Aunque en este caso sólo tenemos una caja, en general se comienza por las cajas de mayor orden y también se exige que el vector sea linealmente independiente con otros vectores del subespacio obtenidos para cajas previas Se obtienen el resto de vectores correspondientes a la caja: u 2 (A 2 I) u 3 u 1 (A 2 I) u El conjunto de autovectores generalizados independientes correspondiente a la caja es B {( 2, 2, ), (1, 1, ), (,, 1)} Como sólo tenemos una caja el conjunto de autovectores generalizados linealmente independientes correspondiente a la caja es una base de R 3 y las coordenadas de los vectores son las columnas de la matriz de paso El conjunto de vectores {v 1, v 2, v 3 } está formado por un autovector, v 1, por un autovector generalizado de orden dos, v 2, y por un autovector generalizado de orden tres, v 3 La forma de Jordan correspondiente a la única caja es J P 1 A P P Potencia de una matriz cuadrada 2 J P 1 A P Si A es diagonalizable existe P no singular tal que P 1 AP D, con D diagonal De esta forma, A PDP 1 y se tiene que A m PD m P 1 Si A no es diagonalizable existe P no singular tal que P 1 AP J, con J su forma canónica de Jordan De esta forma, A PJP 1 y se tiene que A k PJ k P 1 Página 539 Proyecto MATECO 21 2

6 Bloque VI ÁLGEBRA AMPLIADA Para calcular J k se descompone J como J D + J, con D la diagonal principal de J y J igual que J pero con ceros en diagonal principal (J J D), y se aplica el binomio de Newton Nota J m (D + J ) m ( ) m D m + ( ) ( ) m m D m 1 J D m 2 J Existe una potencia de J a partir de la cual las potencias sucesivas son cero (este tipo de matrices reciben el nombre de matrices nilpotentes) Nota Si la forma canónica está descompuesta en cajas J 1 J 2 (J 1 D 1 ) m (J 2 D 2 ) m J (J D) m J r (J r D r ) m Ejercicio 219 Calcular A k con A Solución En primer lugar obtenemos su forma de Jordan: La ecuación característica de A es: A λi λ 3 + 5λ 2 8λ + 4 con λ La estructura de las cajas asociadas a los autovalores es λ 1 1 m 1 λ 2 2 m 2 Como λ 1 1 tiene multiplicidad m 1 tiene asociada una caja de dimensión 1 Como dim H(2) 3 rg(a 2I) 1 hay una caja asociada a λ 2 y como tiene multiplicidad m 2 la única caja tiene orden 2 La forma de Jordan es 1 J Obtenemos el correspondiente conjunto de autovectores generalizados Proyecto MATECO 21 Página 54

7 TEMA 21 EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ Para el autovalor λ 1 1, el subespacio de autovectores asociado, H(1), es: (A I) X θ en el que, resolviendo el sistema correspondiente, podemos tomar como autovector v 1 (2, 1, 2) Para el autovalor λ 2 2, necesitamos construir la cadena de subespacios el subespacio de autovectores asociado a λ 2, H(2), es: (A 2I) X θ El subespacio de autovectores de orden dos asociado a λ 2, H 2 (2), es: (A 2I) 2 X θ Como dim H 2 (2) 3 rg(a 2I) 2 2 m(2) hemos terminado con la cadena y obtenemos una base de H 2 (2) (ejercicio) De la base de H 2 (2) tomamos un vector que no pertenezca a H 1 (2), por ejemplo v 3 (1, 2, ), y el otro vector de la caja es v 2 (A 2I)v 3 ( 12, 3, 9) (estos vectores no se pueden simplificar ya que están relacionados entre si) El conjunto de autovectores generalizados correspondiente a la forma de Jordan está formado por un autovector asociado a λ 1 1, v 1, por un autovector asociado a λ 2 2, v 2, y por un autovector generalizado de orden dos asociado a λ 2 2, v 3 : B {(1, 2, ), (2, 1, 2), ( 12, 3, 9)} La forma de Jordan correspondiente es J P 1 A P Página 541 Proyecto MATECO 21

8 Bloque VI ÁLGEBRA AMPLIADA Se calcula J k P Descomponemos J como J D + J, con D que J pero con ceros en diagonal principal 1 J P 1 A P ( ) 1 2 la diagonal principal de J y J 2 ( ) 1 igual Se aplica el binomio de Newton teniendo en cuenta que J 2 y sus potencias sucesivas son cero, Jk (D + J ) k ( ) k D k + ( k 1) D k 1 J 1 : J k 2 k 2 k + k 2 k 1 2 k k k2 k 1 2 k Como A PJP 1 se tiene 2 k (2k + 5) 4 2 k+1 (2k + 1) k+1 (2k + 3) A k PJ k P 1 2 k 1 (k + 4) 2 2 k (k + 2) k (k + 3) 2 k 1 (3k + 8) 4 2 k (3k + 2) k (3k + 5) 213 Exponencial de una matriz cuadrada La exponencial de una matriz cuadrada, A M n (R) se define mediante la misma serie que la exponencial real Definición 211 Si A M n (R) Se define la exponencial de la matriz A como e A 1 k! Ak I + A + 1 2! A ! A3 + k Nota La sucesión de sumas parciales de esta serie es una sucesión de Cauchy con la norma matricial y, por tanto, la serie es convergente Nota (Propiedades de la exponencial) a) Si A y B conmutan respecto a la multiplicación e A e B e B e A e A+B (en general no se cumple la igualdad) Proyecto MATECO 21 Página 542

9 TEMA 21 EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ b) Si f (t) e ta entonces f (t) Ae ta e ta A c) e A es la matriz inversa de e A (por tanto la matriz e A es siempre regular) d) Si A PJP 1 entonces e A Pe J P 1 (la propiedad es válida tanto si J es la forma canónica de Jordan como si es otra matriz) Nota (Cálculo de e A ) Para su cálculo basta con calcular e J Si A es diagonalizable existe P no singular tal que P 1 AP D, con D diagonal, y al ser A PJP 1 tenemos e A Pe D P 1 En este caso λ 1 e λ 1 D λ 2 λ n e D e λ 2 e λ n Si A no es diagonalizable entonces existe P no singular tal que P 1 AP J, con J su forma canónica de Jordan, y al ser A PJP 1 tenemos que e A procedimiento para calcular e J Pe J P 1 Por tanto, sólo nólo necesitamos un Análogamenta a la sección anterior descomponemos J como J D + J y, al ser e J e D+J e D e J, sólo faltaría calcular e J teniendo en cuenta que J es nilpotente y que, por tanto, existe r natural tal r que J r Θ y su desarrollo en serie es finito ej 1 k! Jk Nota Si J 1, J 2,, J k son las k cajas que constituyen la forma canónica de Jordan k J 1 J 2 e J 1 J e J e J 2 J r e J r Nota La exponencial de una caja de Jordan es λ 1 e λ λ 1 J λ e J e λ e λ (n 3)! λ e λ eλ 1! e λ e λ 2! (n 1)! e λ eλ 1! e λ (n 2)! Página 543 Proyecto MATECO 21

10 Bloque VI ÁLGEBRA AMPLIADA Ejercicio 2111 Obtener la exponencial de la siguiente matriz 3 1 A Solución Calculamos la forma canónica de la matriz La ecuación característica de A es: A λi (3 λ) 3 cuyo único autovalores es λ 3 con m(3) 3 La estructura de las cajas asociadas al autovalor es: Como dim(h(3)) 3 rg(a 2I) 2 entonces hay dos cajas asociadas a λ 3 Como m(3) 3 entonces la suma de los ordenes de las cajas asociadas a λ 3 es tres Por tanto la forma de Jordan estará formada por dos cajas, una de orden 2 y otra de orden 1 3 J Obtenemos los autovectores generalizados asociados a λ 3 En primer lugar, necesitamos construir la cadena de subespacios El subespacio de autovectores asociado a λ 3, H(3), es: 1 (A 3I) X θ 2 como dim H(3) 3 rg(a 3I) 2 m(3) continuamos con la cadena El subespacio de autovectores de orden dos asociado a λ 3, H 2 (3), es: (A 3I) 2 X θ Como dim H 2 (3) 3 rg(a 3I) 2 3 m(3) hemos terminado con la cadena Proyecto MATECO 21 Página 544

11 TEMA 21 EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ Al ser H 2 (3) R 3 tomamos como base de H 2 (3) la base canónica de R 3 y elegimos un vector que esté en H 2 (3) y no esté en H(3): el tercer vector es este vector de H 2 (3) v 3 (, 1, ) el segundo vector es el vector de H(3) v 2 (A 3 I) v 3 ( 1,, 2) el primer vector es un vector de H(3) que tiene que ser independiente con v 2 v 1 (1,, ) El conjunto de autovectores y autovectores generalizados correspondiente a la caja está formado por dos autovectores, v 1 y v 2, y por un autovector generalizado de orden dos, v 3 B {(1,, ), ( 1,, 2), (, 1, )} La forma de Jordan correspondiente es J P 1 A P con 1 1 P 1 J P 1 A P Calculamos la exponencial de J ( ) ) J 1 3 e J 1 (e 3 e J 2 3 e 3 e3 ej 2 1! e 3 e 3 e 3 J e 3 e 3 e 3 e 3 La exponencial de A es e 3 e 3 e A Pe J P 1 e 3 2e 3 e 3 Página 545 Proyecto MATECO 21

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