EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA

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1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Halle el punto P simétrico del punto P ( 3, 4, 0) respecto del plano Л que contiene a la recta s : x = y 2 = z 1 y al punto A(3,1,6). Indique claramento los pasos realizados al resolver el ejercicio. EJERCICIO 2 Considere la recta r de ecuaciones : Determine todos los puntos de dicha recta cuya distancia al origen de coordenadas sea. EJERCICIO 3 Considere los vectores u = (1, 1, m), v = ( 0, m, 1) y w = ( 1, 2m, 0) a) Determine para qué valor de m los vectores u, v y w son linealmente dependientes. b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior exprese w como combinación lineal de u y v. EJERCICIO 4 a) Halle la ecuación de la proyección ortogonal r de la recta: r: sobre el plano Л : x 3y + 2z +12 = 0 b) Determine el ángulo que forman r y Л OPCIÓN B EJERCICIO 1 a) Calcule la ecuación de la recta s perpendiculara r : por el punto A( 1, 0, 1) EJERCICIO 2 Dados los vectores u( 2, 1, 0) y v( 1,0, 1), halle un vector unitario w que sea coplanario con u y v y ortogonal a v. EJERCICIO 3 a) Calcule la distancia del origen al plano que contiene a los puntos A( 1,0,3), B( 2,1. 1) y C( 3, 2 0). b) Calcula el volumen del tetredro determinado por los puntos A, B, C y el origen. EJERCICIO 4 De un plano se sabe que contiene a los puntos A ( 0, 0, 0) y B( 0, 0, 2) y además que contiene a un punto C que está en la recta r : x = 1, y = 1, z = y que equidista de A y de B. Encuentre la ecuación de dicho plano. EJERCICIO 5 Se considera la esfera de ecuación a) Determine su centro y su radio b) Halle la ecuación del plano tangente en el punto A( 1, 1, 1)

2 SOLUCIÓN OPCIÓN A EJERCICIO 1 Comenzamos por calcular la ecuación del plano que contiene al vector director de la recta s que es u ( 1, 1, 1) y que contiene al punto de la recta B ( 0, 2, 1) y al punto A ( 3, 1, 6 ) luego contiene al vector BA (3, 1, 5 ). Haciendo z = 0, obtenemos el punto A ( 3, 0, 0 ). Para calcular el vector director u hacemos el producto vectorial de los vectores normales a los planos que definen la ecuación de r : Calculamos ahora la ecuación de la recta perpendicular al plano por el punto P(3,4,0) teniendo en cuenta que su vector director es el vector normal al plano v(3, 1, 2). En paramétricas la ecuación sería : x = 3+ 3α ; y = 4 α ; z = 0 2α. Calculamos ahora la intersección de recta y plano teniendo en cuenta que este punto M es de la forma (3 +3α 4 α, 0 2α) por estar en la recta. Como está en el plano, verifica su ecuación : 3(3+3α) (4 α) 2( 2α)+4= 0. Resolvemos la ecuación y sale 14α + 9 = 0, α = 9/14 Con este valor de α calculamos M : M = ( 25/14, 65/14, 18/14) Las cuaciones paramétricas de r son : x = 3 + 2α, y = 2α, z = α. Un punto genérico d la recta es pues P ( 3 + 2α, 2α, α). Queremos ahora d ( O, P ) =. Tenemos dos soluciones P ( 1/3, 10/3, 5/3) y P ( 11/3, 2/3, 1/3) EJERCICIO 3 a) Para que los vectores sean linealmente dependientes, el rango de la matriz formada por las coordenadas de los vectores ha de tener rango < 3 luego su determinante ha de ser 0. Por último, el punto M es el punto medio de P y P, el punto simétrico luego P = 2M P = ( 2/14, 74/14, 36/14) EJERCICIO 2 Pasamos a paramétricas la ecuación de r : B ) Para m = 1, u= (1,1,1), v = ( 0, 1, 1), w = ( 1, 2, 0) ( 1, 2, 0) = a( 1, 1, 1) + b( 0, 1, 1) = ( a, a + b, a b) ; resolvemos y a = 1, b = 1

3 EJERCICIO 4 a) SOLUCIÓN CORTA : La recta puede venir dada como intersección de dos planos. Uno de ellos es Л: x 3y + 2z +12= 0 y el otro es un plano Л que contiene a la recta, y por tanto al punto ( 1, 1, 2) y al vector u ( 2, 1, 2) y al vector normal al plano Л, n ( 1, 3, 2). Su ecuación será: Calculamos ahora la proyección de A sobre el plano : Ecuaciones paramétricas de la perpendicular al plano por A : X = 1 + α ; y = 0 3α ; z = 0 + 2α ; la proyección de A sobre el plano es de la forma ( 1 + α, 3α, 2α ) y verifica la ecuación del plano luego : La ecuación de la recta proyección es 8x 2y z + 8=0 SOLUCIÓN LARGA X 3y +2z +12 = 0 Necesitamos dos puntos para definir la recta proyección : uno de ellos se puede obtener hallando la intersección de recta y plano. El otro, tomando cualquier punto de la recta y obteniendo su proyección sobre el plano. La ecuación de la recta puede ponerse como X 2y = 1 ; 2y z = 0 ; haciendo y = 0, obtenemos el punto A( 1, 0, 0) 1 + α 3( 3α) + 2( 2α) +12 = 0 ; α = 11/14 y el punto es : ( 3/14, 33/14, 22/14 ).El vector director del plano es U ( 341/42, 253/42, 242/42 ) o v ( 341, 253, 242) La ecuación es / / / b) El vector director de la recta es u( 2, 1, 2) y el vector normal al plano es n ( 1, 3, 2) El coseno del ángulo que forman los dos vectores es : Hallamos primero el punto B intersección de recta y plano resolviendo el sistema: El ángulo sería de 90 o 74 o = 16 o

4 SOLUCIÓN OPCIÓN B EJERCICIO 1 Escribimos la ecuación de r como intersección de dos planos : EJERCICIO 3 a) Calculamos la ecuación del plano determinado por el punto A ( 1,0,3) y los vectores AB ( 3, 1, 4) y AC ( 2, 2, 3) X = 0 ; 2y z 5 = 0 Un punto de la recta es ( 0, 0, 5). Calculamos su vector director : La distancia de O ( 0, 0, 0) al plano sería : D = =, b) El volumen del tetraedro es V = = 19/6 Un punto genérico de la recta sería R ( 0, α, 5 + 2α). Calculamos el parámetro para que AR ( 1, α, 6 + 2α) sea perpendicular al vector director de la recta que es u ( 0, 1, 2). AR. u = 0 ; 5α 12 = 0 y α = 12/5 de donde el vector director de la recta pedida es AR ( 1, 12/5, 6/5 ) o uno proporcional : ( 5, 12, 6). La ecuación pedida es : EJERCICIO 4 A ( 0, 0, 0 ) B ( 0, 0, 2) C (1, 1, α) d( A, C) = d ( B, C) luego = Resolvemos : 2 + = α ; α = 1 y C ( 1, 1, 1) AC = ( 1, 1, 1) AB = ( 0, 0, 2) La ecuación del plano es EJERCICIO 2 w = a( 2, 1, 0) + b( 1, 0, 1) = ( 2a b, a, b) v. w = 0 = 2a + b + b de donde a = b y w = ( a, a, a) W es unitario luego /

5 EJERCICIO 5 Desarrollamos la ecuación de la esfera e identificamos coeficientes : El plano queda determinado por el punto A (1,1, 1) y por el vector normal AC (1/2, 9/2, 5) + 5z + D = 0 ; sustituimos el punto A (1, 1, 1) y D = 0

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