1. NÚMERO REAL 2. ÁLGEBRA 3. TRIGONOMETRÍA 4. GEOMETRÍA ANALÍTICA 5. CIRCUNFERENCIA 6. CÓNICAS 7. FUNCIONES ELEMENTALES 8. LÍMITES DE FUNCIONES 9.

Transcripción

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2 . NÚMERO REAL. ÁLGEBRA. TRIGONOMETRÍA. GEOMETRÍA ANALÍTICA 5. CIRCUNFERENCIA 6. CÓNICAS 7. FUNCIONES ELEMENTALES 8. LÍMITES DE FUNCIONES 9. CONTINUIDAD. DERIVADA. 0. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

3 NÚMEROS REALES. º Bachillerato. Escribe en forma de potencia de eponente, opera y simplifica: a) f) 6 b) 5 5 g) 5 a a c) h) 5 a a 7 d) : a a i) a a e) 5 5 j) :. Calcula y simplifica al máimo las siguientes epresiones: a) b) 80 5 c) d) e) 7 f) g) 8 h) i) j) k) 8 l) 7 +. Epresa en forma de intervalo los números que verifican: a) b) 5 c) + d) + e) 5 f) g) > 9 h) i) + >. Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos: a) < < 7 b) (, ) c) 0 6 d) [, ] e) < < 5 f) E 5 () g) h) < < i) [, ] j) E ( ) 5. Sabiendo que lg a = 5 y lg a y = calcular b 6. Calcular a 5 y a / sabiendo que a /5 = /. lg y = a 7. Sabiendo que lg a =, calcular: a) lg ; b) lg n ; c) lg a ; d) lg ; e) lg (a ) 8. Sabiendo que = ( + ) e y ( + ) a a y =, demostrar que y = y 9. Sabiendo que log 5 N = h, determina el logaritmo en base 5 de N/5. 0. Halla el valor de en las siguientes epresiones: a) log 6 = ; b) log 5 = ; c) log =.. Se sabe que log = 0, y log = 0,8. Calcula: a) log6; b) log75; c) log 0, 00 ; d) log 6. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: a) 5 = 5 b) = 0 c) ( + ) 8 + = 0 d) / + 6 = 0 e) 0 = f) + + ( ) + + ( ) = 98 g) = 960 h) + = i) e 5e + e = 0. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log log = log(/) b) log log log y = log c) log = + log(/0) d) 5log + log = log log 9 a a. Resuelve los sistemas: log + logy = a) y = 0 b) log log y = + y = log (y 8) = log (y + 9) = c) d) logy( + ) = / logy(9 ) = /

4 NÚMEROS REALES. º Bachillerato 5. Desarrolla las potencias siguientes: a) ( ) b) ( + 5) 5 c) ( + y) 5 d) ( ) 5 e) i) 5 + f) ( ) 6 j) + 8 g) k) 5 + h) 5 l) + 6. Escribe directamente el cuarto término del desarrollo de ( + y) 9 y el quinto del desarrollo de ( y) Escribe el término 6º del desarrollo de la potencia siguiente, y averigua su grado: ( ) Escribe y simplifica el tercer término del desarrollo de Escribe y simplifica el término central del desarrollo de Cuál es el grado del término central del desarrollo de ( 5 )?. Averigua qué valor deber darse a para que el tercer término del desarrollo de sea igual a El tercer término del desarrollo de potencia del binomio. n + es de segundo grado. Calcula n y desarrolla la. El segundo término del desarrollo de restantes. n. Averigua si hay algún término del desarrollo de escríbelo. es de grado. Escribe los términos que sea de grado. Si lo hay, 5. Averigua el lugar que ocupa el término de grado en el desarrollo de la potencia ( ) 8

5 NÚMEROS REALES. Soluciones. º Bachillerato. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j). a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l). a) [, 6] b) [, 7] c) [ 5, ] d) (, 5 ] [, + ) e) (, ] [ 7, + ) f) (, 0 ] [, + ) g) (, 8 7 ) ( 8, + ) h) (, ] [ 5, + ) i) (, 0) (, + ). a) < 5 b) 7 < 5 c) d) + < e) < f) 5 < g) 5 9 < h) + 5 < 7 i) 8 j) + < 5. b = log a + log a y log a y = 5 + = 0 6. a 5 = a 75/5 = (a /5 ) 75 = (/) 75 a / = (a /5 ) 5/ = (/) 5/

6 NÚMEROS REALES. Soluciones. º Bachillerato 7. a) b) n c) d) e) + 8. (*) 9. h 0. a) = b) = 5 c) = 8. a), b),88 c),5 d) 0,. a) = ½; = /5 b) = c) = ; = d) = log 5 8; = log 5 6 e) = f) = 5 g) = 9 h) = 0: = i) = 0; = ln. a) = b) y = c) = 00 d) =. a) = 0( + ); y = 0( ) b) = 0: y = c) = /6; y = 89/6 d) = 5; y = 6 5. a) b) c) y y y + 80 y + y 5 d) e) /7 + 0 /9 f) g) h) i) j) k) y 0 y / =. n = ; n = 7; Seto término

7 ÁLGEBRA º Bachillerato. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) 5 + = 0 e) + = 0 f) 6 = 0 g) + 5 = 0 h) 6 = 0 i) = 0 j) = 0. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: 7 a) + = 7 b) + = d) = e) + = ( ) g) = h) = 9 c) ( ) = f) + = i) = +. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: a) + + = 0 b) + + = 6 c) + = 8 d) + 5 = e) = 9 + f) + + = g) + = 056 h) 5 + = 7 i) + + = + +. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss: y + z = 6 + y z = + y z = y z = a) + y z = 5 b) 5y z = 0 c) y + z = 0 d) 6y z = + 6y + z = + y + z = 6 + y + z = 0 9y z = + y z + t = 0 y + 5z = + y z = y + z = 0 e) y + z = f) + y + z = g) z = 0 h) + y + z + t = + y + z = 9 y + z = 0 + y z + t = y = 0 + 5y + z t = 6 5. Resuelve los siguientes sistemas no lineales: + = a) y = 8 b) y y = = y d) + y y = y = e) 0y = 8 y = 6 c) f) + y + y 6y + = 0 6 8y + = 0 y = 6 y = 6. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) < b) ( 5) c) d) ( + ) 5 + ( ) e) 7 5 f) ( 6) ( + ) < g) h) i) < 0

8 ÁLGEBRA º Bachillerato 5 j) < 9 + m) > + k) n) l) 5 ñ) < + 7. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: < ( ) > a) b) c) 7 + > + < 5 ( ) + 5 d) e) > 5 + y > 0 f) < < + y > 0 y y + g) y h) y + 6 i) y > y > 0 y 0 y 0 8. Se repartieron 70 entre tres obreros en partes proporcionales a sus jornales (sueldo que cobra cada uno al día). Al primero, cuyo jornal era de 00, le correspondió una parte igual al jornal del tercero. El jornal del segundo era de 0. Calcula lo que recibió cada obrero. 9. Hallar tres números naturales consecutivos, cuyo producto es igual a 5 veces el segundo. 0. Dos ciclistas parten al mismo tiempo y del mismo punto para un pueblo situado a 90 km. El primero, que recorre por hora un kilómetro más que el segundo, tarda una hora menos que éste en hacer el recorrido. Con qué velocidad marchó cada uno de los ciclistas?. Cuando dos bombas de agua actúan a la vez, tardan en agotar un pozo 5 horas. Si actuara sólo la menor, tardaría en agotarlo 6 horas más que si actuara sólo la mayor. Cuánto tardaría ésta en solitario?. El dividendo de una división es 08; el cociente y el resto son iguales, y el divisor es el doble del cociente. Cuánto vale el divisor?. Construye una ecuación de segundo grado, sabiendo que el cociente de sus dos soluciones es 5 y la diferencia entre las mismas es.. Se han repartido 0 entre tres obreros, en partes proporcionales a las horas que cada uno trabajó. Al segundo le correspondieron 0 ; el número de horas que trabajó el tercero es igual al número de euros que correspondió al primero, y el número de euros que correspondió al tercero es igual al número de horas que trabajó el segundo. Qué número de horas trabajó cada operario y cuánto correspondió a cada uno en el reparto? 5. Un comerciante vendió 85 kg entre café y azúcar, obteniendo por cada género 90. Sabiendo que el kg de café vale 5,0 más que el de azúcar. Cuántos kg vendió el comerciante de cada género? 6. Calcula un número positivo cuyo doble, aumentado en su cuadrado sea igual a su cubo. 7. Calcula el valor de a para que las dos raíces de la ecuación 5 (a + 6) + a = 0 se diferencien en dos unidades. 8. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos puntos A y B, distantes 0 km: uno, de A, con dirección a B, y otro, de B, con dirección a A. El primero recorrió 8 km más por hora que el segundo, y el número de horas que tardaron en encontrarse está representado por la mitad del número de kilómetros que el segundo recorrió en una hora. Cuál es la distancia recorrida por cada ciclista en el momento de encontrarse? 9. Un contratista compró 000 m de piedra y los vendió por 50. Cuánto pagó el por la piedra si ganó en relación a lo que pagó un tanto por ciento igual a 5 veces el número de euros que a él le costó el metro cúbico de piedra?

9 ÁLGEBRA º Bachillerato 0. Dadas las ecuaciones (7a ) (5a ) + = 0 y 8b (b + ) + = 0, averigua qué valores deben tener a y b para que las dos ecuaciones tengan las mismas soluciones.. Un moderno barco tiene un sistema de propulsión mediante velas rígidas y direccionables de un nuevo material, con lo que puede aprovechar el empuje del viento. Dispone también de un motor convencional de gasoil. Se carga el barco con 60 toneladas de gasoil que debe repartirse por igual entre cada uno de los días de navegación. Las condiciones meteorológicas permitieron que se empezara navegando días a vela, lo cual hizo aumentar en toneladas la cantidad de gasoil disponible diariamente. Durante cuánto tiempo pudo navegar el barco sin repostar si no volvieron a hacer uso de las velas?. Se han mezclado dos substancias: de la primera entran 8 hectolitros; el precio de la segunda es de 5 el hectolitro, y el precio de la sustancia mezclada es de,5 el hectolitro. Calcula el precio de la primera sustancia y la cantidad de la segunda sustancia que entra en la mezcla.. Un capital colocado a interés simple, al % durante cierto tiempo ha producido 00, y otro capital, que ecede al anterior en 000, impuesto al % durante dos años más ha producido unos intereses de 600. Calcula el valor del primer capital.. Un comerciante compra mercancías por las cuales paga al contado una cierta suma y un % de ella por gastos de transporte. Las vende por 90, y gana un tanto por ciento sobre el precio de compra, sin incluir el del transporte, igual a / del coste total. Cuánto le costaron las mercancías? 5. Se mezcla cierta cantidad de una sustancia de precio 7 /kg con 8 kg de otra que cuesta a /kg y con 6 kg de una tercera sustancia que cuesta a 6 /kg. Qué cantidad de kg de la primera sustancia hay que mezclar para que el precio resultante de la mezcla sea igual al número de kg de esa sustancia? 6. Hallar una fracción cuyo denominador eceda en dos unidades al numerador sabiendo que dicha fracción ecede en /0 a la que se obtiene disminuyendo en una unidad cada uno de los términos de la fracción buscada. 7. Dada la ecuación + + m = 0, averigua el valor de m para que sea igual a la diferencia de las soluciones. 8. La media proporcional (geométrica) y la media aritmética de dos números que se diferencian en están en una relación de /5. Halla esos números. 9. Hallar un número de tres cifras, sabiendo: que la cifra de las unidades es igual al producto de las otras dos, que la cifra de las decenas es media proporcional entre las otras dos y que la inversa de la cifra de las centenas es igual a la inversa de la cifra de las decenas más el doble de la inversa de la cifra de las unidades. 0. Una persona hace en coche un viaje de km por un sendero forestal y observa que ha recorrido por hora km más que cuando lo hizo a caballo. Regresa a pie, andando km por hora menos que a caballo, y tarda, entre ida y vuelta, 9 horas y 6 minutos. A qué velocidad iba cuando hizo el recorrido a caballo?

10 ÁLGEBRA. Soluciones. º Bachillerato. a) = ½; = /; = 5/6 b) = ½; = / c) = /5 (doble); = (triple) d) = ±; = ± e) = f) = g) = 0 h) = ± i) = ½; = ; = j) = /; = ±. a) = /; = b) = 5/7; = c) = ; = d) = /; = e) = ; = f) = ± 6 g) = ; = h) = 5; = i) = /. a) = ± b) = 5 c) = d) = 9 e) = 5 f) = g) = 6 h) = i) = 5/7; =. a) = ; y = ; z = b) = 6/6; y = /; z = -09/6 c) = ½ ; y = ½ ; z = 0 d) Incompatible e) = ; y = ; z = f) = z; y = z + g) = λ/; y = 9λ/; z = λ h) = ; y = ; z = 0; t = 5. a) (, y ) = (, ); (, y ) = (, ) b) (, y ) = (/, ½); (, y ) = ( ½, /) c) (, y ) = (, ); (, y ) = (, ) d) (, y ) = (, ); (, y ) = ( 9/, 5/) e) (, y ) = (, ); (, y ) = (, ); (, y ) = (, ); (, y ) = (, ) f) (, y ) = (, 0); (, y ) = (6, 0); (, y ) = (/, 55/) 6. a) (, + ) b) (, 59/7] c) [ 8/, + ) d) (, 0] e) [5/, ] f) (, 6] g) [, ] [, + ) h) (, ] [, ] [, + ) i) (, 5] (, ) j) (, /5) (, + ) k) (, ) (6, + ) l) (, 0) [½, ] m) (, -) (0, ) n) (, 0) [, 5] ñ) 7. a) ( /5, + ) b) c) [, ) d) [, 7/) e) ( /, ) (5/, + ) f) g) h) i) 8. 80, 6 y resp. 9.,, 5; 5,, ;, 0, 0. 0 km/h y 9km/h resp.. h (la mayor) = 0. 5 h, 0 ; 60h, 0 ; 0 h, kg de azúcar y 60 kg de café a = ; a = km y 8 km resp a = ; b =. días. Nº hl = 0 precio o (transporte incluido) 5. 5kg 6. /5 7. ± ( ) 8. y km/h

11 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Eiste un ángulo "" tal que sen = ½ y cos = ¼? Puede Ser el seno de un ángulo /8?. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α: a) senα=/ y α al primer cuadrante b) senα = / y α al tercer cuadrante.. Dibuja un ángulo cuyo seno sea el doble que su coseno.. Calcula en cada caso el valor de las demás razones trigonométricas considerando que está en el primer cuadrante: a) sen = b) cos = 0,8 c) tg =. 5. Calcula el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante del ángulo de 0º. 6. Dibuja ángulos que cumplan las siguientes condiciones y estima el valor de sus razones trigonométricas. a) senα = ½ ; tgα > 0 b) tgβ = ; cos β < Calcula sen, tg, sec, cosec, y cotg, si cos = 0,6 y tg < Para qué ángulos es senα = cosα? 9. Escribe en grados seagesimales, centesimales y en radianes, el ángulo que forman las agujas del reloj cuando son: a) las 6:00; b) las :00; c) las 0:00. π π 5π π 0. Epresa en grados seagesimales: a) rad; b) rad; rad y rad.. Completa la tabla: π π 5π π Radianes π Grados Halla las razones trigonométricas de α: a) cosα = /5 y α º cuadrante b) cosα = / y α º cuadrante; c) tgα = /5 y α º cuadrante d) secα = / y α er cuadrante.. Puede ser cierto: a) senα = /5 y cosα = /5; b) sen = / y tg = /9.. Si un ángulo está situado en el tercer cuadrante. Qué signo tienen: la cotangente, la cosecante y la secante de ese ángulo? 5. Si un ángulo está situado en el segundo o tercer cuadrante, se puede asegurar que su tangente es negativa? 6. Si tgα = y α [80, 70], calcula el valor de las restantes razones trigonométricas. 7. Usando calculadora resuelve: sen = 0,608; cosy = 0,68; tgz =,775; cotgα =,5. 8. Si el seno de α es 0,8 y el ángulo α no pertenece al primer cuadrante. Halla las demás razones trigonométricas. 9. Si la tangente de α es / y el ángulo α pertenece al tercer cuadrante. Halla las demás razones trigonométricas 0. Si secα = y α no pertenece al tercer cuadrante calcular el resto de las razones trigonométricas.. Si tgα = / y no pertenece al primer cuadrante halla las demás razones trigonométricas.. Dibuja un ángulo agudo tal que su seno sea /5.. Calcula en función de las razones trigonométricas de ángulos conocidos las razones de: 0º, 5º, 50º, 80º, 0º, 5º, 0º, 70º, 00º, 5º, 0º.. Calcular las razones trigonométricas de 5º en función de ángulos de razones conocidas. 5. Estudia que ángulos pueden tener las siguientes relaciones entre sus razones trigonométricas considerando que α pertenece al primer cuadrante: a) senα = senβ b) cosα = cosβ c) senα = cosβ d) tgα = tgβ. 6. Sin calculadora calcula las razones trigonométricas de los ángulos: a) 765º; b) 0º. 7. Sabiendo que sen 7º = 0,6. Calcula las razones de 5º.

12 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato 8. Sabiendo que cos 7º = 0,8. Calcula las razones de º. 9. Sabiendo que el sen 0º = 0,. Calcula el seno del ángulo 0º. 0. Calcula las razones trigonométricas de 50 utilizando las razones del ángulo de 0º.. Las razones trigonométricas del ángulo de 0º son: sen0º = 0,; cos0º = 0,9; tg0º = 0,6. Calcula las razones trigonométricas de 70º.. Las razones trigonométricas del ángulo de 5º son: sen5º = 0,8; cos5º = 0,6; tg5º = /. Calcula las razones trigonométricas de º.. Si senº = 0, y sen 7º = 0,6, calcula: a) sen9º; cos9º; tg9º b) sen5º; cos5º; tg5º.. Calcula las razones trigonométricas de 5º si tg5º = 0,7. 5. Calcular las razones trigonométricas de: 50º, 5º, 80º, 660º, 770º, 0º. 6. Si α es un ángulo del º cuadrante, tal que senα = /5. Representar α, π α, π + α, α y calcular el seno de cada uno de ellos. 7. Halla el ángulo complementario de 5º9'8''. Qué relación eiste entre el seno de un ángulo y su complementario? 8. Halla el ángulo suplementario de 5º8'6''. Qué relación eiste entre el seno de un ángulo y el de su suplementario? 9. Sabiendo que senα = /5 y que α está en el primer cuadrante. Halla las razones trigonométricas de α y α/. 0. Calcula las razones trigonométricas de 00º, 570º y 0π/ rad.. Hallar las razones trigonométricas de 75º y 000º.. Relaciona entre sí, las razones trigonométricas de los ángulos 65º y 05º.. Sabiendo que tgα =/, halla tg(α + 5º) y tg(5 α).. Sabiendo que cos6º = 0,8090. Halla las razones trigonométricas de los ángulos 9º y 6º. 5. Sabiendo que sen0º = 0,, calcula las razones trigonométricas de 0º. 6. Sabiendo que cosα = 0,, calcula las razones trigonométricas de π α. 7. Sabiendo que tgα =, α pertenece al primer cuadrante, calcula senα. 8. Sabiendo que tgα = y que α < π, halla el seno y coseno de α. 9. Sabiendo que α es un ángulo situado en el segundo cuadrante y que tgα = ¼, halla las razones trigonométricas de α. 50. Sabiendo que tg(α/) =, Halla senα y cosα. 5. Sabiendo que tg(α + β) = y que tgα =. Halla tgβ y tg(α β). 5. Transforma en producto: a) sen60º sen0º, b) cos60º cos0º. 5. Calcula reduciendo al primer cuadrante las razones trigonométricas siguientes: a) sen50; b) cos5; c) tg00; d) sec5; e) cosec0; f) cotg0; g) sen750; h) cos(8π/). 5. Si sen 0º = 0,, calcula las razones trigonométricas de: a) 70º, b) 0º; c) 0º; d) 60º; e) 0º; f) 50º; g) 0º. 55. Sin tablas ni calculadora, determina: a) sen05º, b) cos5º, c) tg75º. 56. Halla las razones trigonométricas de 80º. α 57. Si α = 60º. Calcula: a) tg ; b) cos α cos α α; c) cos α; d) cos ; e) ; f) senα; g) senα. 58. Si sen 7º = 0,6. Calcula: a) sen5º; b) tg8,5º; c) sen7º; d) cos7º; e) tg7º.

13 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS. 59. Resuelve los triángulos rectángulos, en los que A = 90º: a) b =, c = b) a = 5; B = 7º c) c = 5, b = La base de un triángulo isósceles mide 60 cm y los lados iguales 50 cm. Calcula sus ángulos. 6. Sabiendo que en un triángulo A=90º, a= cm y b= cm. Hallar el otro lado y los otros ángulos. 6. Resuelve el triángulo, (A = 90º), sabiendo que: B = 0º y b = cm. Cuál es su área? 6. Resuelve el triángulo isósceles ABC, en el que el ángulo desigual es A, conociendo: a) c = 0 m y a = m b) A = 0º y c = m c) B = 5º y a = 0 m. 6. La base de un triángulo isósceles mide 0 m y el ángulo opuesto 7º. Calcula los lados y la superficie. 65. Indica si son posibles los triángulos de medidas: a) a = 0; b = 0; c = 60 cm b) b = 50; c = m; B = 60º c) a = 5; b = ; c = m d) b = 60; c = 90 cm; C = 0º. 66. Calcula la superficie de un triángulo sabiendo que los lados a y b miden respectivamente 0 y 0 cm. y que el ángulo C es de 0º. 67. Resuelve los triángulos: a) a = 6; B = 5º; A = 75º; b) A = 90º; B = 0º, a = Resuelve los triángulos: a) a = 0 m; B = 5º; C = 65º b) c = 6 m, A = 05º, B = 5º c) b = 0 m; c = 0 m, A = 60º. 69. En un triángulo el ángulo A mide 75º, el ángulo B 5º y el lado a 0 m. a) Calcula el resto de los elementos del triángulo y su área. b) Haz lo mismo para el triángulo de elementos: A = 00º, B = 0º, b = 0 m. 70. Sin calculadora, resuelve los siguientes triángulos: a) a = 0 cm, B = 5º y C = 75º b) b = m A = 5º, B = 0º 7. Dado el triángulo de vértices A, B, C, sabiendo que A = 60º, B = 5º y que b = 0 m, resuélvelo y calcula su área. 7. Resuelve el triángulo ABC, en el cual A = 0º, b = m, c = m. Calcula su área. 7. Resuelve, sin emplear calculadora, los triángulos en los que se conocen estos datos: a) a = 0 m, B = 5º y C = 75º b) b = cm, A = 5º y B = 0º c) A = 90º, B = 60º y a = 0 m. 7. El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 7 cm. si dos de los ángulos del triángulo son de 60º y 5º. Resuelve el triángulo y calcula su área. 75. Calcula los ángulos de un rombo de diagonal y lado m. 76. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 6 m. 77. Calcula la longitud de los lados de un paralelogramo cuyas diagonales son de 0 y 6 cm. y las diagonales forman entre sí un ángulo de 7º. 78. En una pirámide cuadrangular, el lado de la base mide 00 m. Y el ángulo α que forma una cara con la base es de 60º. Calcular: a) la altura de la pirámide; b) la altura de una cara; c) el ángulo que forma la arista con la base; d) el ángulo que forma la cara con la cúspide. 79. Calcula el área del decágono regular de 0 cm de lado. 80. En una circunferencia de 6 cm de radio trazamos una cuerda de 9 cm. Qué ángulo central abarca dicha cuerda? 8. Una circunferencia tiene de radio 6 cm. Cuál será la longitud de circunferencia correspondiente a un ángulo de 0º? 8. Calcular los ángulos de un rombo sabiendo que su lado mide 5 m y una diagonal 8 m. 8. Calcula el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio m. 8. En una circunferencia de radio 8 m se toma una cuerda de m. Cuál es el ángulo que abarca? 85. Calcula los ángulos de un rombo del que se conocen las diagonales: 6 m y m. Cuál es su área? 86. Halla los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un octógono regular de lado 6 m. 87. Calcula los ángulos de un trapecio isósceles en el que las bases miden 60 m y 0 m y de altura 0 m.

14 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato 88. Calcula el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 50 cm de diámetro. 89. En una circunferencia de 0 cm de radio se traza una cuerda de 6 cm. Averigua el ángulo central que abarca dicha cuerda. 90. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a cada uno de los triángulos siguientes, en los que se conocen: a) b = c = m y B = 0º; b) b = 6 m, A = 90º y C = 7º. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. 9. Resuelve: a) sen = ½ ; b) cos = / ; c) tg =; d) sen = /. 9. Resuelve: a) sen( π ) = sen( + π ) b) cos = cos( + π ) c) cos = cos d) sen = cos. 9. Resuelve: a) log(sen) log(cos) = 0 b) cos sen cos = 0 c) sen + cos = ¼ d) tg + = tg e) sen + cos = cos. 9. Resuelve: a) cos = sen b) sen = cos c) sen( 5º) = cos( + 5º). 95. Resuelve: a) tgα = senα b) sen + cos sen = 0 c) sen sen + ¼ = 0 d) cos cos = 96. Resuelve, sabiendo que e y pertenecen al primer cuadrante: a) cos(60 + ) = sen b) sen = tg c) cos cos + = 0 sen + seny = tg + tgy = d) + y = 90º e) cos( + y) = 97. Resuelve las ecuaciones trigonométricas: a) cos + sen = b) sen + cos = c) sen( + 0º) cos( 0º) = d) sen = tg e) 6 tg = /cos f) log(tg) + log(cos) = log(½) 98. Resuelve: a) senα = sen β; b) cosα = cosβ; c) tgα = tgβ; d) senα = cosβ; e) tgα = cotgβ 99. Resuelve las ecuaciones: π π a) sen = sen( + ) b) sen = sen( + ) c) cos() = cos( + 90º) d) sen=cos(+ π ) e) sen = cos f) tg = tg( + π) g) sen( + 6 π ) = cos( π ) h) = arcsen0 i) sen( 0º) = cos(+5º) j) = arctg k) = arcos( ½) l) sencos = ½ m) cos5sen = cos5 n) cos = sen ñ) sen = cos o) cos sencos = 0 p) cos = + sen q) tg + = tg r) sen + cos = s) 6cos + cos = t) sen + cos = 0 u) sencos = ½ v) costg = ) + cos = 0 y) cos = sen( + 80º) 00. Resuelve los siguientes sistemas: sen + seny = a) b) cos tg = cos( y) = sen( + y) = d) sen + cos y = cos + sen y = e) sen + seny = + y = 0º w) sen = sen c) f) sen seny = cos cos y = sen seny = cos cos y y = 0º

15 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato g) sen + seny = + y = 0º h) cos( + y) = 0 cos( y) = 0 sen + seny = i) sen seny = 0 0. Despeja en las siguientes igualdades: a) = arctg ; b) = arcos 0. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen ( 0º) = ½ b) cos ( 0º) = ½ c) sen ( 0º) = d) cos ( 5º) = e) tg ( 5º) = f) cos() cos + = 0 g) sencos = 6sen h) cos = tg i) sen cos = ½ + tg j) cosec.cos= k) tgsec = l) cos = cos m) tg = sen n) tg = /cos ñ) sec()=/ o) tg = p) cos + cos = 0 q) cos + sen = cos tg tg r) sen+sen = 0 s) sen( π ) = ½ t) sen = cos u) tg() = v) tg = w) sen sen + = 0 PROBLEMAS 0. Calcula la altura de una torre, si situándonos a 0 m de su pie vemos la parte más alta bajo un ángulo de 5º. 0. El ángulo de elevación de una torreta eléctrica es de 5º a una distancia de 0 m de la torreta. Si el observador se encuentra a m sobre el suelo. Calcula la altura de la torreta. 05. En un solar de forma triangular dos de sus lados miden 6 y 0 m respectivamente y el ángulo comprendido se midió con un teodolito y resultó ser de 0º. Cuál es su superficie? 06. Desde mi casa veo la fuente que está en el centro de la plaza mayor y también veo el ayuntamiento. He preparado un teodolito para calcular el ángulo formado por dichas visuales y ha dado 6º'. La distancia desde mi casa a la fuente es de 0 m y la distancia de la fuente al ayuntamiento es de 0 m. Qué distancia hay desde mi casa al ayuntamiento? 07. Los padres de Pedro tienen una parcela en el campo de forma triangular. Cuyos lados miden 0, y 0 m. Pedro quiere calcular los ángulos. Cuáles son esos ángulos? 08. Dos amigos van a subir una montaña de la que desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido el ángulo de elevación y obtuvieron que era de 0º. Han avanzado 00 m hacia la montaña y han vuelto a medir y ahora es de 5º. Calcula la altura de la montaña. 09. Dos amigos observan desde su casa un globo que está situado en la vertical de la línea que une sus casas. La distancia entre sus casas es de km. Los ángulos de elevación medidos por los amigos son de 5 y 60º. Halla la altura del globo y la distancia de ellos al globo. 0. Tres pueblos están unidos por carreteras: AB = 0 km, BC = km y el ángulo formado por AB y BC es de 0º. Cuánto distan A y C.. Van a construir un túnel del punto A al punto B. Se toma como referencia una antena de telefonía (C) visible desde ambos puntos. Se mide entonces la distancia AC = 50 m. Sabiendo que el ángulo en A es de 5º y el ángulo B es de 5º calcula cuál será la longitud del túnel.. Dos amigos andan a km/h. Llegan a un punto del que parten dos caminos que forman entre sí un ángulo de 60º y cada una toma un camino. A qué distancia se encontrarán al cabo de una hora?. Un avión vuela entre A y B que distan 7 km. Las visuales desde el avión de A y B forman un ángulo de 5 y 7º con la horizontal. a) A qué altura está el avión?; b) Si una persona se encuentra en la vertical bajo el avión, a qué distancia se encuentra de cada ciudad?

16 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato. Estando situado a 00 m de un árbol, veo su copa bajo un ángulo de 0º. Mi amigo ve el mismo árbol bajo un ángulo de 60º. A qué distancia está mi amigo del árbol? 5. Para medir la altura de una montaña hallamos el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo 5º. Nos alejamos 75 m y ahora el nuevo ángulo es de 7º. Cuanto mide la altura de la montaña? 6. Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 60º, bajo qué ángulo la veríamos si la distancia fuese el doble? Y si fuese el triple? 7. Andrés mide 80 cm y su sombra 5 cm. Qué ángulo forman en ese instante los rayos de sol con la horizontal? 8. Calcular la anchura de un río si nos colocamos enfrente de un árbol de la otra orilla y luego al desplazarnos 00 m paralelamente al río observamos el mismo árbol bajo un ángulo de 0º. 9. Calcula la altura de una casa sabiendo que cuando la altura del sol es de 56º proyecta una sombra de 0 m. 0. Un avión que está volando a 500 m de altura distingue un castillo con un ángulo de depresión de 5º A qué distancia del castillo se halla?.. Desde dos puntos A y B separados entre si 60 m, se dirigen dos visuales a un árbol situado en la recta AB en un punto entre A y B. El observador de A lo ve bajo un ángulo de 50º y el de B bajo un ángulo de 0º. Calcular: a) la altura del árbol y la distancia de A al pie de la vertical en la que se encuentra el árbol.. Un teleférico recorre 00 m con un ángulo de elevación constante de 5º. Cuántos metros ha avanzado en la horizontal, y cuántos metros ha ganado de altura?. El viento tronza un árbol, la punta se apoya en el suelo, en un punto situado a 0 m del pie, formando un ángulo de 0º con el plano horizontal. Cuál era la altura del árbol?. Una persona mide,80 m y proyecta una sombra de,90 m. Halla las razones trigonométricas del ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal. 5. Dos móviles parten de un punto al mismo tiempo, siguiendo dos trayectorias rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 5º y con velocidades de 0 y 0 m/s respectivamente. Al cabo de cinco minutos qué distancia los separa? 6. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B de una orilla se observa un punto P de la orilla opuesta, las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 5º y 60º respectivamente. Calcula la anchura del río sabiendo que la distancia entre A y B es de,6 m. 7. Un repetidor de televisión, situado sobre una montaña, se ve desde un punto del suelo P bajo un ángulo de 67º; Si nos acercamos a la montaña 0 m lo vemos bajo un ángulo de 70º y desde ese mismo punto vemos la montaña bajo un ángulo de 66º. Calcular la altura del repetidor. 8. Desde una altura de 000 m un piloto observa la luz de un aeropuerto bajo un ángulo de depresión de 0º. Determina la distancia horizontal entre el avión y el aeropuerto. 9. Un avión vuela durante dos horas a 00 km/h en dirección NO. Calcula la distancia que recorre hacia el Norte y hacia el Oeste. 0. Calcula la altura de una torre sabiendo que a cierta distancia de su pie vemos el punto más alto bajo un ángulo de 60º, y si nos alejamos 0 m de dicho punto vemos el punto más alto bajo un ángulo de 0º. A qué distancia nos encontramos inicialmente del pie de la torre?. Un avión vuela horizontalmente a una determinada altura "h". Cuando se encuentra sobre la vertical de un punto A, ve la torre del aeropuerto bajo un ángulo de depresión de 0º. Al aproimarse 000 m ve la misma luz bajo un ángulo de 60º. Halla: a) La altura a la que vuela el avión; b) La distancia del punto A a la torre del aeropuerto.. Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una torre, formando la visual un ángulo de 0º con la horizontal. Si nos acercamos 50 m a la torre, ese ángulo se hace de 60º. Calcula la altura de la torre.

17 TRIGONOMETRÍA º Bachillerato DEMOSTRACIÓN DE IGUALDADES. Demuestra que son ciertas las epresiones: a) (senα + cosα) = + sen(α) b) sec α = + tg α c) cos α = cot g α d) + cot g α cos = + tg e) tg(5º + a) tg(5º a) = tga f) sen = ½ ( cos) g) cos = ½ ( + cos) h) ( + cos) tg = sen() i) tg = sen j) + tg + tg = cos tg k) cos sen cos ec = l) cos sec + tg = cotg m) cos( + y) cos( y) = cos + seny n) sen cos = sen cos seny ñ) sen(90º + α) cos( α) + sen(80º + α) cos(90º + α) = o) cos( α) cos(80º α) + cos(90º α) sen( α) = p) sen(π α) sen( π α) + sen( α) cos(π + α) = senα

18 SOLUCIONES. NO, SI. 5. a) cosα =, tgα = 5 b) cosα =, tgα = 9. cosα = ; senα = senα = ; cosα = ½; tgα =. senα =, cosα =.. a) cos = ½; tg = b) sen = 0,6; tg = /; c) sen = ; cos = º 0º; sen0 = ½, cos0 = /, tg0 = /, cotg0 =, sec0 =, cosec0 =. 6. a) 0º; cosα = /, tgα = ; b) 5º; senα = = cosα 7. sen = 0,8; tg = /, sec = 5/; cosec = 5/; cotg = /. 8. 5º y 5º 9. a) 80º, 00º, π rad; b) 90º, 00º, π/ rad; c) 60º, 00/º, π/ rad 0. a) 5º; b) 5º; c) 5º; d) 0º.. π/6, π/, 5π/, 7π/6, π/, 60º, 80º, 5º, 5º, 90º. a) senα = /5; tgα = /; b) senα =, tgα = ; 5 c) senα =, cosα = ; 9 9 d) senα = 5, cosα = /. a) no; b) no. cotg(+), cosec(-), sec(-) 5. En el º (-); en el º(+). 6. senα = ; cosα = = 7º; y = 50º; z = 70º; α = 5º. 8. cos α = 0,6; tgα = /.. sen0º = sen60º, cos0º = cos60º; sen5º = sen5º, cos5º = cos5º; sen50º = sen0º, cos50º = cos0º; sen80º = sen0º, cos80º = cos0º; sen0º = sen0º, cos0º = cos0º; sen5º = sen5º, cos5º = cos5º; sen0º = sen60º, cos0º = cos60º; sen70º = sen90º, cos70º = cos90º; sen00º = sen60º, cos00º = cos60º; sen5º = sen5º, cos5º = cos5º; sen0º = sen0º, cos0º = cos0º. sen(5º 0º), cos(5º 0º), tg(5º 0º) 5. a) β =80º α; b) β = 80º α ó β = 80º + α; c) β = 90º + α ó 70º α; d) β = 80º + α 6. a) 765º 5º, sen765º = cos765º = ; b) 0º 0º, sen(-0º)=, cos(-0º) = ½ 7. sen5º = 0,8; cos5º = 0,6; tg5º = / 8. senº=0,6; cosº= 0,8; tgº= / 9. 0,6 0. sen50º=½, cos50º= ; tg50º=. sen70º=0,9; cos70º=0,; tg70º=,75. senº=0,6; cosº= 0,8; tgº= ¾. a) sen9º=0,7; cos9º=0,656; tg9º=,5; b) sen5º=0,; cos5º=0,9; tg5º=0,7. sen5º= 0'57; cos5º= 0,8; tg5º=0,7 5. sen50º=½, cos50º= ; sen( 5º)=, cos(-5º)= ;

19 sen80º=, cos80º= ½; sen(-660º)=, cos(-660º)= ½; sen(-770º)= ½, cos(-770º)= ; sen0º = 0, cos0º = 6. sen(π-α)=/5; sen(π+α)=-/5; sen(-α)=/5 7. 6º0'''; sen α + sen (90 α) = 8. º''', senα = sen(80 α) 9. sen(α) = /5, cos(α) = 7/5; sen(α/) =, cos(α/)= sen(-00º) =, cos(-00º) = ½; sen(570º) = ½, cos(570º) = ; sen(0π/) =, cos(0π/) = ½ sen75º = ; cos75º = sen000 =, cos000º = ½. sen65º = cos05º; cos65º = sen05º. tg(α + 5º) = ; tg(5º α)= /. sen9º = 0,56, cos9º = 0,988; sen6º = 0,05, cos6º = 0, sen0º = 0,6, cos0º = 0,766 ; 6. sen( π α) = 0,9; cos( π α) = 0, sen(α) = 5 8. senα = ½, cosα = 9. sen(α) = 8/7; cos(α) = 5/7 50. senα = /5; cosα = /5 5. No eiste tgβ; tg(α β) = / 5. a) sen5 cos5; b) sen5 sen5 5. a) /; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) /; h) /. 5. a) sen70º = 0,9, cos70º = 0,, tg70º =,76; b) sen0º = 0,7, cos0º = 0,98, tg0º = 0,8; c) sen0º = 0,6, cos0º = 0,77, tg0º = 0,8; 55. a) d) sen60º = 0,, cos60º = 0,9, tg60º = 0,6; e) sen0º = 0,, cos0º = 0,9, tg0º = 0,6; f) sen50º = 0,9, cos50º = 0,, tg50º =,76; g) sen0º = 0,9, cos0º = 0,, tg0º =, ; b) 6 + ; c) sen80º= ; cos80º= ½; tg80º= 57. a) ; b) ¼; c) ½; d) ; e) ¼; f) ; g) 58. a) 0,8; b) /, c) 0,96; d) 0,6; e) / a) B = 5º, C = 5º, b = ; b) C = 5º, b =, c = ; c) a = 7, C = 6,9º, B = 8,º 60. 5º, 5º, 7º. 6. c = 5, B = 67,º, C =,6º 6. C=60º; b= cm; a=8cm; S=8 cm. 6. a) C = B = 5º; A = 7º; b = c = 0; b) B = C = 0º; b = c =, a = ; c) B = C = 5º, A = 90º, b = c = 5 6. = 50/; S = 00/ m. 65. a) No; b) No; c) No; d) Sí cm. 67. a) b =,; c = 5,; C = 60º; b) C = 60º, b =, c = 68. a) A = 70º, b = 5, c = 9,; b) C = 0º, a = 9, b = 5,5; c) a = 6, B = 7º, C = 6º 69. a) C = 70º, b = 7,8, c = 9,; Area = 50,9 m b) C = 50º, a = 9,, c = 0,6; Area = 0,75 m 70. a) A=60º, b = 0 6 ; c = b) c =, C=5º, a = ( 6 ) 7. C=75º; a=,5m; c=7,m; S=6, m 7. B=6,9º; C=0,º; a=,05; S= m a) A=60º, b=0, c= ( 6 + ) b) C=5º, a=6 ( 6 ), c= ; c) C=0º, a=0, c=0 7. a=6 6 cm; b = cm; c = 6( + )cm A=60º, B=5º, C=75º; S = 9( + )cm º y 0º m.

20 77. 6 y 7, cm. 78. a) 00 ; b) 00; c) 50,77º; d) 0º 79. 9,88 u ,º. 8., cm. 8. 7º, 06º 8. S =, m. 8. α = 8,95º. 85. α=7º'''; β=06º5'7''; S=96 m. 86. R = 7,8 m; r = 7, m. 87. A = B = 6,º; C = D = 6,6º , cm 89.,9º 90. a) ; b) 0 9. a) = 05º + k 80º; 65º + k 80º; b) = 0º + k 60º; 0º + k 60º; c) = 5º + k 80º; d) = 0º + k 0º; 0º + k 0º. 9. a) = 60º + k 0º, = 0º + k 60º; b) = π/ + kπ, = π/6 + kπ/; c) = k 0º; d) = 0º + k 0º. 9. a) = 5º + k 60º; b) 90º+k 60º, 0º+k 60º, 50º+k 60º; c) = 60º + k 80º, = 0º + k 80º; d) = 5º + k 80º, 6,º + k 80º; e) = k 80º. 9. a) 5º + k 90º; b) 5º + k 80º; c) 0º + k 0º, 0º + k 60º 95. a) 60º + k 60º, 00º + k 60º, k 60º; b) 5º + k 60º, 5º + k 60º; c) 0º + k 60º, 50º + k 60º; d) 90º+k 80º, 60º+k 60º, 00º+k 60º 96. a) = 5º; b) = 0º, = 5º; c) = 60º; d) = 0º, y = 90º; = 90º, y = 0º; e) = 5º, y = 0º; = 0º, y=5º 97. a) = 60º + k 60º; b) = 80º + k 60º; c) = 60º + k 80º, = 0º + k 80º; d) = k 80º; e) = 0º + k 60º, =50º + k 60º f) = 0º + k 60º; 98. a) α = β, α = 80º β; b) α = β, α = β; c) α = β, α = 80º + β; d) α = 90º β, α = β 90º; e) α = 90º β 99. a) π/ + kπ; b) -π/ + kπ; c) π/6 + kπ/, π/ + kπ; d) π/0 + kπ/5; e) π/6 + kπ/; f) kπ g) π/ + kπ; 7π/6 + kπ/ h) kπ i) 5π/8 + kπ; π/8 j) π/ + kπ k) π/ + kπ; π/ + kπ l) π/ + kπ m) π/0 + kπ/5: π/8 + kπ; π/8 + kπ n) = π/ + kπ/; ñ) π/ + kπ o) = π/ + kπ; π/6 + kπ; 5π/6 + kπ p) = kπ, = π/ +kπ q) = π/ + kπ;,5 + kπ; r) = cualquiera s) = π/ + kπ; = π/ + kπ t),8 + kπ u) = π/ + kπ v) = π/ + kπ; = π/ + kπ w) = kπ; = π/ + kπ: = π/ + kπ ) No tiene solución y) =π/+kπ; =7π/6+kπ; =π/6+kπ 00. a) = 0º, y = 0º; = 50º, y = 50º b) = 60º, y = 0º; = 0º, y = 0º; c) = 0º, y = 0º; = 50º, y = 50º; d) = 60º, y = 60º; = 0º, y =0º; = 0º, y = 0º; = 00º, y = 00º, = 60º, y = 0º...; e) = 90º, y = 0º; = 0º, y = 90º; f) = 60º, y = 0º g) = 0º, y = 0º h) = 90º, y = 0º; = 70º, y = 0º. i) = 0º + k60º = y; = 50º + k60º = y 0. a) = π; = 5π; b) = /π; = /(7π) 0. a) = 60º + k60º; = 80º + k60º; b) = 5º + k80º; = 65º + k80º; c) = 0º + k0º; = 50º + k0º; d) = 5º + k0º; = 5º + k0º; e) = k80º. f) = π/ + kπ; = kπ. g) =k80º; =0º+k80º; =50º+k80º; h) = 0º + k60º; = 50º + k60º; i) = 0º + k80º; = 50º + k80º; j) = 5º + k80º; k) = 60º + k60º; = 00º + k60º; l) = 60º + k80º; = 0º + k80º m) =k80º, =60º+k60º, =00º + k60º; n) = 5º + k80º, = 5º + k80º; ñ) = 0º + k0º; = 00º + k0º. o) = 0º + k80º; p) = 60º + k60º; = 0º + k60º; q) = 0º + k60º; = 50º + k60º. r) = k60º; = 90º + k80º s) = π/ + kπ, = 7π/ + kπ; t) = π/6 + kπ; u) = π/6 + kπ; v) = π/ + kπ; = π/ + kπ w) = π/ + kπ; = π/ + kπ 0. 0 m

21 0. m m m;,67 m 07.,8º, 7,6º y 9,0º m m de altura, 690 m de uno y 98 m del otro km.. 50 m.. km.. a) km; b) km de A; km de B.. 00/ m m. 6. 0,9º, 0º. 7. 5º. 8. 6, m m m.. h = 9,5 m; d =,8 m y 0,5 m.. d = 8 m; h = 8,5 m.. 0 m.. sen,5º = 0,688; cos,5º = 0,76; tg,5º = 8/ m 6. 8 m 7. 90,5 m m. 9. = y = 00 km. 0. h = 0 m; =0 m. a) h = 500 m; b) = 500 m.. h = 5 m.

22 GEOMETRÍA ANALÍTICA º Bachillerato. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(, ) y un vector director es u(, ). Determina su ecuación en todas las formas que conozcas.. La ecuación implícita de una recta es y + = 0. Escribe la ecuación de esta recta en forma continua, eplícita, vectorial y paramétrica razonando las respuestas.. Determina el área del paralelogramo ABCD, sabiendo que la ecuación de la recta que contiene al lado AB es y = 0, la ecuación del lado AD es + y = 0 y las coordenadas del punto C son (, 5). Razona la respuesta.. Dados los puntos A(, ) y B(, 0), halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB. Halla, también, el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas. 5. La recta y = es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (, 0). 6. Los puntos B(, ) y C (, ) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta + y = 5, siendo AB y AC los lados iguales. Calcula las coordenadas de A y las ecuaciones y las longitudes de las tres alturas del triángulo. 7. Por el punto A(, 6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer cuadrante y del segundo cuadrante. Halla las ecuaciones de dichas rectas y las coordenadas de los vértices del triángulo formado por esas dos rectas y la recta de ecuación y = Halla las ecuaciones de todas las rectas que pasen por el punto P(, ) y formen un ángulo de 5º con la recta y + 7 = Determina el valor de a para que las rectas a + (a )y (a + ) = 0 y a (a + )y (5a + ) = 0 sean: a) paralelas; b) perpendiculares 0. Determina el valor de m para que las rectas m + y = y y = m + sean paralelas. Después halla su distancia.. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forma la recta 5 + y 60 = 0 con el eje de ordenadas.. Dados los puntos A (, ) y B(0, 0), halla el punto de la bisectriz del º y º cuadrantes que equidista de ambos puntos.. Dados los puntos A(, ), B(, 5) y C(, m), calcula el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6.. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(, ) distan unidades del punto B(, ). 5. Un rayo de luz r pasa por el punto de coordenadas (, ) e incide sobre el eje de abscisas formando con éste un ángulo de 5º. Suponiendo que sobre el eje de abscisas se encuentra un espejo, halla la ecuación del rayo r y del rayo reflejado en el espejo. 6. Determina las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC, sabiendo que A = (, 7), B = (5, 9) y C = (, 7). Halla también la ecuación de la circunferencia circunscrita y comprueba que dicha circunferencia pasa por los puntos A, B y C. 7. Dados los puntos A(0, ) y B(,), halla las coordenadas de todos los puntos P situados sobre la recta + y = tales que las rectas PA y PB sean perpendiculares. 8. Los puntos A(, ) y C(7, ) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cual tiene un lado paralelo a la recta 6 y + = 0. Halla las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo y las ecuaciones de sus lados. 9. Halla las coordenadas del simétrico del punto P(0, 6) respecto de la recta y =. 0. Los puntos A(, ) y C(, 6) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD. Sabiendo que B está en la recta de ecuación + y = 0, halla las coordenadas de los vértices B y D.. Averigua si el triángulo de vértices A(, ), B(, 7), C(9, ) es isósceles.. En los tres triángulos siguientes averigua si son acutángulos, rectángulos u obtusángulos por dos procedimientos distintos: mediante las longitudes de los lados y mediante los productos escalares de los vectores que forman los lados: a) A(, 0), B(, 5), C(, ); b) A(, 0), B(6, ), C ( +, ); c) A(, ), B(, ), C(0, 6)

23 GEOMETRÍA ANALÍTICA º Bachillerato. De un rombo ABCD se conocen A(, ), B(, 6), C(, y). Halla la longitud de sus diagonales y la medida de los ángulos del rombo.. Calcula la distancia de los puntos A(, 5), B(, ) y C(/, 5/) a la recta de ecuaciones = + t paramétricas: y = + t 5. Halla los puntos de la recta 7 y 8 = 0 que distan 5 unidades de la recta y = Un cuadrado tiene un vértice en el punto (0, 7) y una de sus diagonales sobre la recta de ecuación y 6 = 0. Halla el área. 7. Un cuadrado tiene un vértice en el origen y un lado sobre la recta y + 0 = 0. Halla el área del cuadrado y la longitud de la diagonal. 8. Un vértice de un triángulo equilátero es el punto (0, 0); una de sus medianas está sobre la recta y = + 5. Halla el área del triángulo y las coordenadas de los otros dos vértices. 9. Halla la ecuación de una recta que forma un ángulo de 0º con el semieje de abscisas positivo y que dista unidades del origen. 0. Halla las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta + y + = 0 que distan unidad de ella.. Halla las coordenadas de un punto P situado sobre la recta + y 5 = 0 que equidiste de las rectas y = 0, y = 6.. Las rectas de ecuaciones + y 5 = 0 y p + 7y + = 0 forman un ángulo cuyo seno vale /5. Halla p.. Averigua cuáles de las siguientes parejas de rectas pueden contener dos medianas de un triángulo equilátero: a) (+ ) + y = 0; y = 0 b) + y = 0; y + = 0. Dos medianas de un triángulo equilátero se hallan sobre las rectas y = m e y = 5. Calcula m y la ecuación de la otra mediana. 5. Se considera un trapecio rectángulo ABCD cuyo lado oblicuo es CD. Se conocen los vértices A = (, ), B = (, 7) y la ecuación de la recta CD es + y = 0. Calcula los vértices C y D y el área del trapecio. 6. Determina las longitudes de los lados y los ángulos del triángulo cuyos lados se encuentran sobre las rectas + y =, 5 + y = 0 y el eje de ordenadas. 7. Un heágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre la recta de ecuación + y = 0. Halla su área. 8. Un heágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus vértices es (6, 0). Halla las coordenadas de los demás vértices y las ecuaciones de sus lados. 9. Halla el área y los ángulos del cuadrilátero de vértices A(0, ), B(, 8), C(8, 6), D(8, ). 0. Las rectas m + y = 0 y y = son medianas de un triángulo equilátero de lado. Halla las coordenadas de sus vértices.

24 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Soluciones y. Continua: = Implícita: + y 5 = 0 Eplícita: y = + 5 = t Paramétricas: y = + t y. Continua: = Eplícita: y = + Vectorial: (, y) = (, ) + t(, ) = + t Paramétricas: y = + t. Área = u. y = ; 5º 5. (89/5, 7/5) 6. h A : y = 0; [6/ ] h B : + 7y 7 = 0; [5/ 65 ] h C : 8 + y = 0; [5/ 65 ] 7. y = + ; y = + 8; A(, 6); B(7, ); C( 6, ) 8. y = a) a = 0 b) a = ½ 0. m = /; d = 07/ y 60 = 0; 8 y + 60 = 0. (0, 0). m = ; m = 9/5. 5 y 7 = 0; = 5. + y = 0; y = 0 6. (5/, 5/); + y + y 5 = 0 7. (0, 0); ( 7/7, 8/7) 8. r CD : 6 y 8 = 0; r AB : 6 y 0 = 0 r AD : + 6y + 9 = 0; r BC : + 6y = 0 B(5/7, 66/7); D(9/7, 9/7) 9. P (6/5, 7/5) 0. B (0, 0); D (5, 5) B ( 7, ); D 7 ( 7, 7 ). Es escaleno. a) Obtusángulo en C b) Rectángulo en A c) Obtusángulo en B. d = 6,6 º Bachillerato d = + 6 5,60 α = 5º β = 5º. d(a, r) =,; d(b, r) = 0; d(c, r) =, 5. (69/5, 7/5); (9/5, 567/5) 6. Área = 800/ u 7. Área = 0 u ; d = 0 8. Área = 0 u ; B(, ); C ( +, + ); C (, ) 9. y = ± 0. + y + 7 = 0; + y = 0. ( 7/6, 7/6); (58/, 07/). p = 0; p =. a) [b) son perpendiculares]. m = (5 8)/ C(, ); D(, ); Área = u L = ; L = 9 ; L = 0 α 6º; β 67º; γ 97º 7. 6 u 8. A(6, 0) B(, ) C(, ) D( 6, 0) E(, ) F(, ) + y 8 = 0; y = y + 8 = 0; + y + 8 = 0 y = ; y 8 = 0 9.,5 u 0., ;, ; 5, 6 6 6, ;, ;,

25 CIRCUNFERENCIA º Bachillerato. Hallar la ecuación de una circunferencia de radio r = y centro el punto P(, ).. Una circunferencia tiene su centro en el punto M(, ). Determinar su ecuación sabiendo que pasa por O(0, 0).. Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto B(, ), y tiene su centro en el punto N(0, ).. Averiguar cuales de las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias: a) + y + 6y = 0 b) + y + 5y + = 0 c) + y + 6 0y + = 0 d) + y y = 0 e) + y + 6y + = 0 f) + y + y y + = 0 5. Indica el centro y el radio de las circunferencias: C : + y 8 + y + = 0 C : + y + y = 0 C : + y 8 y 8 = 0 6. Qué condición debe cumplir la ecuación de una circunferencia para que su centro esté situado sobre la recta y =? 7. Halla la ecuación de la circunferencia tangente a y = + en el punto A(, 5) y que pasa por el punto B(, ). 8. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (, ) y es tangente a la recta +y+ = Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta + y = 0 y pasa por los puntos A(, ) y B(, ). 0. Halla la ecuación de una circunferencia de radio 5, que pasa por P(, 5) y tal que su centro está en y + = 0.. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está situado en la recta y =, es tangente al eje OY, y es tangente también a la recta y =. Halla la potencia del origen de coordenadas respecto de esa circunferencia.. Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de vértices A(0, 0), B(, 0) y C(0, ).. Halla, sobre + y 8 y 0 = 0, el punto más próimo y el más lejano a P(6, 8).. Escribe la inecuación del círculo de centro C(, ) y radio. 5. Prueba que la recta y = / intercepta a la circunferencia ( ) + (y + ) = en los etremos de un diámetro. 6. Halla la ecuación de las rectas tangentes a + y 8 6y = 0 en A(, -). Determina también la ecuación de la otra recta tangente paralela a la anterior y el punto de contacto. 7. Prueba que las ecuaciones de las circunferencias que pasan por A(0, ) y B(0, ) son de la forma + y a = 0, donde para cada valor de a se obtiene una de ellas. 8. Halla la longitud de la cuerda común a + y + y 8 = 0 y + y 0y = Halla las ecuaciones de las dos tangentes que pueden trazarse a ( ) + y = desde el punto A(0, ). 0. Calcula la distancia mínima de la recta + y = 0 a la circunferencia dada por + y =.. Halla la ecuación de la recta tangente a + y + 5 y + = 0 que pase por P(, ).. Halla el eje radical de las circunferencias de centros C (0, ) y C (, ) y radios r = y r =.. Sea P un punto del plano que dista m del centro de la circunferencia de radio 6 m. Por P trazamos una secante que determina con la circunferencia una cuerda de longitud m. Calcular la longitud de la secante.. Sea P un punto del plano que dista 5 m del centro de una circunferencia de radio 9 m. Por P trazamos una secante a la circunferencia que corta a ésta en los puntos A y B. Calcula AB, sabiendo que PB mide 6 m. 5. Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a (, 0) es doble que a (, 0). 6. Si C + y 8y 0 = 0 y C + y 6 = 0 son dos circunferencias, encontrar las coordenadas de un punto que, teniendo igual potencia respecto de las dos, equidiste de los ejes de coordenadas. 7. Halla el centro radical de las circunferencias C + y + y = 0; C + y = 0; C + y + 6y 6 = 0.

26 CIRCUNFERENCIA º Bachillerato 8. Halla el eje radical de las circunferencias de centro C (, ) y radio, y C (, ) y radio. Calcular también el área del cuadrilátero C P C P, donde P y P son los puntos de intersección del eje radical con las dos circunferencias. 9. Un foco puntual situado en P(, 0) proyecta luz en todas direcciones. Los rayos son interceptados por una circunferencia opaca centrada en C(, ) y tangente al eje de abscisas. Comprueba si un objeto situado en el punto Q(, ) estará o no iluminado. 0. Dos emisoras diferentes, la primera con una potencia doble que la otra, están separadas por una distancia de Km. Es sabido que la intensidad con que recibe un receptor las señales emitidas es proporcional a la potencia e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia emisora-receptor. Determina los puntos del plano en los que la calidad de recepción de las dos emisoras es la misma. Nota: (Sitúa las emisoras sobre el eje OX y la primera de ellas en el origen de coordenadas).. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(0, 0) y Q(, 0) y es tangente a + y 0 6y + 8 = 0.. Los etremos de un segmento son M(6, ) y N(, 8). Halla, sobre la recta r: y = 0, un punto P desde el que se vea el segmento MN bajo un ángulo de 90º.. Comprueba que las circunferencias C : + y y + = 0 y C : + y = 0 son ortogonales.. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento determinado por los puntos A(, ) y B(, ) bajo un ángulo de 60º. Cómo se llama este lugar? 5. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a la recta y = coincide con la suma de sus coordenadas. 6. Dos altavoces que emiten una misma melodía, están situados en A(, ) y B(, ). Debido a la velocidad de propagación del sonido (0 m/s en el aire), las notas se reciben con mayor o menor desfase dependiendo de la posición del oyente. Halla el conjunto de puntos donde la sincronía es perfecta. 7. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A(, ) y B(, 5). Cómo se llama este lugar? 8. Un segmento de 0 cm de longitud forma con los semiejes positivos un triángulo de cm de área. Halla las ecuaciones de las circunferencias cuyo diámetro sea dicho segmento. 9. Halla la longitud del segmento de tangente común interior a dos circunferencias de radios cm y 5 cm, respectivamente, sabiendo que la distancia entre los centros es de 0 cm. 0. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5, con centro en la bisectriz del tercer cuadrante y que pasa por el punto P(0, ).