INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE"

Transcripción

1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos f y f. En un elipse, si se sumn ls distncis d + d se obtiene un vlor constnte sin importr l ubicción del punto p. Por es rzón es fácil trzr un elipse: se clvn un pr de lfileres en el sitio de los focos, se mrr un cordel que pse por esos dos lfileres y que quede un tnto flojo. Luego con un lápiz, como lo muestr l figur 6., se tens el cordel y se v desplzndo dicho lápiz sobre el ppel. Se obtiene un elipse porque l longitud del cordel mrrdo es siempre l mism, no import en dónde se encuentre el lápiz. Si dich longitud se le rest l distnci tmbién constnte que hy entre mbos focos, se obtiene un segmento de cordel de longitud constnte, que es l sum de ls longitudes de cd foco l lápiz. Concuerd justmente con l definición de elipse. L simbologí que se utiliz pr representr ls prtes fundmentles de l elipse es l siguiente: * L letr represent l distnci que hy desde el centro hst el extremo de l elipse por su prte más lrgd. Ver l figur 6.3. p d d f f figur 6. mover el lápiz f f figur 6.

2 Págin 06 LA ELIPSE * L letr b represent l distnci que hy desde el centro hst el extremo de l elipse por su prte más chtd o cort. * L letr c represent l distnci que hy desde el centro hst cd foco. Ls crcterístics o prtes principles de un elipse son (ver figur 6.3): * Vértices: Son los puntos extremos más lejdos del centro. * Eje myor: Es l distnci de un vértice hst el otro y equivle. * Eje menor: Es l distnci de extremo extremo medid por su prte más ngost y equivle b. Distnci focl: Es l distnci que hy de un foco l otro foco y equivle c. b eje menor f f V V ldo recto c eje myor figur 6.3 ( ) * L posición del centro, cuys coordends son h, k. Pr evitr confusiones con l distnci del centro l foco l que se le nombró con l letr c minúscul, l centro de l elipse se le sign l letr O (myúscul). * Ldo recto: Es l cuerd perpendiculr l eje myor y que ps por el foco. Hy dos posibiliddes de obtener un elipse: horizontl o verticl.

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 07 ( ) A prtir de ls coordends del centro h, k, de l longitud del semieje myor y de l longitud del semieje menor b se pueden obtener o deducir tods ls crcterístics nteriores, ls cules están dds en l ecución prticulr de l elipse, que de hecho son dos, según se trte de un elipse horizontl o de un elipse verticl. L ecución prticulr de l elipse es: ( x h) ( y k) b si el eje focl es horizontl o bien ( x h) ( y k) b si el eje focl es verticl en donde debe cumplirse que >b Pr sber si se trt de un elipse horizontl o un elipse verticl, bst comprr los dos denomindores de l ecución prticulr. Como > b, el denomindor myor debe ser. El eje myor es prlelo l eje de l vrible en donde está. Igul que en ls nteriores cónics que tienen términos l cudrdo, h signific el desplzmiento horizontl del centro y k el desplzmiento verticl del centro. El significdo de ls letrs y b de los denomindores están definidos en l figur 6.3. Existe un relción entre ls tres constntes, b y c, que prtir del teorem de Pitágors está dd por l fórmul = b + c de donde, despejndo cd literl, se obtiene: = b + c b = c c = b

4 Págin 08 LA ELIPSE Otr crcterístic interesnte de l elipse es que l longitud del ldo recto mide lr = b en donde ls letrs y b que precen, son ls misms definids nteriormente. Finlmente, un medid interesnte es l llmd excentricidd, denotd por l letr e. Excéntrico en este cso signific fuer del centro. Se refiere qué tn lejos del centro de l elipse se encuentrn los focos en proporción l tmño de dich elipse. Pr comprender mejor este concepto bst drse cuent que en un elipse mientrs más se lejen los focos del centro, l form de dich elipse es más lrgd (ver figur 6.4, inciso ); conforme los focos se cercn l centro, es decir, conforme el clor de c se hce más pequeño, l elipse se proxim un circunferenci (ver figur 6.4, inciso b); y finlmente, cundo los focos coinciden con el centro, o se que c = 0, l elipse se convierte en un circunferenci (ver figur 6.4, inciso c). ) b) c) figur 6.4 Anlíticmente puede verse trvés de l relción de ls constntes, b y c. Si los focos coinciden con el centro, signific que c = 0. Entonces de donde = b + c = b + 0 = b = b Si es el semieje myor y b es el semieje menor, l ser igules cundo los focos coinciden con el centro, se convierten mbos semiejes en el rdio de un circunferenci.

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 09 c L excentricidd se mide trvés de l proporción e =. L escl posible de medición de l excentricidd v de cero uno, es decir, 0 e <. Si e = 0 se trt de un circunferenci. Mientrs más cercno esté el vlor de e l cero, más cercn estrá l elipse de un circunferenci; por el contrrio, mientrs más se proxime e l vlor de, más lrgd estrá. 6. TRANSFORMACIONES Dr, por medio de un regl, como se hizo en el cso de l circunferenci y de l prábol, el procedimiento pr trnsformr de l ecución generl l prticulr, en el cso de l elipse result muy extenso; de mner que, por es rzón, se v mostrr dicho proceso trvés de un ejemplo. Ejemplo : L ecución generl de un elipse es ecución prticulr y esbozr su gráfic. 4x + 9y 6x + 8y = 0. Trnsformrl su Solución: Pr trtr de dr clridd l explicción, se hrá por psos l trnsformción pedid. PASO : Se grupn en el ldo izquierdo los términos que contengn ls misms vribles y se escribe en el ldo derecho l constnte sol: ( x x) ( y y) = PASO : Se fctoriz en cd grupo el coeficiente del término l cudrdo: ( x x) ( y y) = PASO 3: Se complet un trinomio cudrdo perfecto en cd grupo, ñdiendo l ldo derecho l mism cntidd gregd en el izquierdo: ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) = = 36 NOTA: Se gregó 6 en el ldo derecho porque es el 4 que se gregó dentro del primer préntesis, el cul está multiplicdo todo por 4; de l mism form, en el segundo préntesis se gregó dentro un, pero como está multiplicdo por 9, en relidd fue 9 en totl lo que se gregó. PASO 4: Se fctorizn los dos préntesis: ( x ) ( y ) = 36

6 Págin 0 LA ELIPSE PASO 5: Se dividen mbos ldos de l iguldd entre 36 (pr que quede igul en el ldo derecho, y que sí es l form de l ecución prticulr) y se simplific: ( x ) ( y + ) = ( x ) ( y + ) 9 4 donde = 9 (por ser el denomindor myor) y b = 4 ; por lo tnto, se trt de un elipse horizontl, y que el denomindor myor está bjo l vrible x. De est ecución se deducen los vlores de: x : Se obtiene del binomio x de l ecución prticulr; h = ( ) x : Se obtiene del binomio y + de l ecución prticulr; k = ( ) ( ) x El centro está en O, ; x Si = 9 y b = 4 obtenidos prtir de los denomindores en l ecución prticulr, se deduce que = 3 y b =. Y por l relción de ls constntes, b y c, se clcul que l distnci semifocl es c = b c = (proximdmente) x L longitud del ldo recto de est elipse se clcul con l relción lr = b ( ) lr = 6. 3 (proximdmente) x L excentricidd es e = e = c 3. 3

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin e = L figur 6.5 muestr los detlles de l elipse. Y X X b = ldo recto f O(, - ) f V - V - b = - 3 c =. - 4 Y = 3 c =. = 3 figur 6.5 Si = 3 es l distnci del centro los vértices, prtir del centro deben contrse tres uniddes l izquierd y tres l derech pr obtener ls coordends de los vértices. Son: (, ) = (, ) V 3 V ( +, ) = (, ) V 3 V 5 L longitud del eje myor es = 6; l del eje menor es b = 4. Pr obtener ls coordends de cd foco, de mner semejnte los vértices, como c = 3. es l distnci del centro cd foco, prtir del centro deben contrse.3 uniddes l izquierd y.3 l derech, esto signific que pr el foco f debe restrse. 3 mientrs que pr el foco f debe sumrse Por lo tnto, ls coordends de los focos son (., ) = (., ) f 3 f 0 3

8 Págin LA ELIPSE ( +., ) = (., ) f 3 f 4 3 Ejemplo : Trnsformr su ecución generl l ecución prticulr de l elipse ( x + 4) ( y ) 49 4 Solución: Pr eliminr los denomindores debe multiplicrse tod l iguldd por el producto de los dos denomindores, es decir, por 96. Hciéndolo, se obtiene: ( x + 4) ( y ) ( x ) ( y ) = 96 elevndo l cudrdo los binomios indicdos: ( x x ) ( y y ) ( ) = 96 hciendo ls multiplicciones indicds: 4x + 3x y 96y + 96 = 96 finlmente, escribiendo todo l lzo izquierdo y reduciendo términos semejntes se lleg : 4x + 3x y 96y = 0 4x + 49y + 3x 96y + 64 = 0 Ejemplo 3: De l siguiente elipse, hllr ls coordends de sus vértices y sus focos, ls longitudes de sus ejes myor y menor, ls coordends del centro, l longitud del ldo recto, l excentricidd y esbozr su gráfic: ( x ) ( y + ) 9 5 Solución: El denomindor myor es 5 y como está bjo el numerdor que contiene l vrible y, signific que se trt de un elipse verticl. Así que en este cso se tiene que

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 3 = 5, de donde = 5 b = 9, de donde b = 3 por lo tnto, l semidistnci focl es y demás h = y k =. c = b c = 5 9 = 4 L figur 6.6 es un esbozo de l gráfic, l cul es muy útil pr yudrse con ell scr los vlores de ls coordends solicitds. Pr obtener dich gráfic se mrc primero el punto correspondiente l centro de l elipse cuys coordends son h y k, es decir, O (, ) continución, ls ordend del centro k = se le greg pr rrib y pr bjo (y que se trt de un elipse verticl) el vlor clculdo de c = 4, en virtud de que l distnci del centro los focos está dd por c, obteniéndose sí ls coordends de los focos, o se f y f, 6. Igulmente, sumándole y restándole l ordend del centro el vlor (, ) ( ) de 5, se obtienen ls coordends de los vértices, o se V 3 y V, 7. = (, ) ( ) Finlmente, como el eje myor es igul, entonces su longitud es 0 y como el eje menor es igul b, su longitud es 6.. A Y 4 3 V f X c = 4 = O(, - ) -4-5 c = 4 = 5-6 f -7-8 V b = 3 b = 3 figur 6.6

10 Págin 4 LA ELIPSE Ejemplo 4: L longitud del ldo recto de un elipse mide 6/3. Hllr su ecución sbiendo que ls coordends de sus vértices son V (- 3, 6) y V (- 3, - 6). Clculr ls coordends de sus focos y esbozr l gráfic. Solución: El centro tiene que estr ubicdo l mitd de los dos vértices. Hciendo un gráfic con ls coordends de los vértices (ver figur 6.7), se deduce fácilmente que el centro está en O 30,, es decir que h = 3 y ( ) k = 0 ; demás, se trt de un elipse verticl. Por otr prte, bst medir l distnci que hy entre los dos vértices y l mitd será el vlor correspondiente de. Como desde y = hst y = 6 hy un distn- 6 ci de, entonces = 6. Con el vlor del ldo recto ddo desde el enuncido del problem y con el de = 6, se puede estblecer que b 6 lr = =, donde = 6 3 sustituyendo y despejndo, se obtiene: centro 7 V V -6-7 figur 6.7 b 6 = 6 3 ( ) ( ) 6 6 b = 3 b = 6 b = 4 Sustituyendo los vlores en l ecución prticulr, se lleg l ecución pedid: ( x h) ( y k) b ( x + 3) ( y + 0) 4 6 ( ) x + 3 y 6 36

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 5 L semidistnci focl es c = b c = 36 6 c 447., o se (proximdmente) De donde se deduce, gregndo pr rrib y pr bjo est cntidd prtir del centro, que ( ) ( ) ls coordends de los focos son f 3; y f 3; Finlmente, su excentricidd es e = c e = L figur 6.8 muestr l gráfic de est elipse. V f 4 3 (-3, 0) c = = c = = 6-4 f -5-6 V -7 b = 4 b = 4 figur 6.8

12 Págin 6 LA ELIPSE Ejemplo 5: Un elipse horizontl con centro en el origen tiene un excentricidd ( ) ( ) e = y ls coordends de sus focos son f ; 0 y f ; 0. Hllr l ecución de dich elipse y esbozr su gráfic. Solución: Inicilmente conviene grficr los dtos del enuncido, en este cso los focos y el centro, los cules se muestrn en l figur 6.9. Recordndo que l distnci del centro de un elipse culquier de los focos es c, se tiene entonces que c = Además, como el centro está en el origen, se desprende que h = 0 y k = 0. Por otr prte, sbiendo que l excentricidd está dd por l relción f (-3.46; 0) f (0; -3.46) centro e = c figur 6.9 conociendo los vlores de e y de c se obtiene que = de donde = = Conociendo los vlores de ls constntes = 4 y c = se clcul el de b: Por lo tnto, su ecución es b = c b = b = ( x 0) ( y 0) 4

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 7 x y 6 4 L gráfic se muestr en l figur 6.0: Y 3 b = X - 4 f f X - b = - = 4-3 Y = 4 figur 6.0

14 Págin 8 LA ELIPSE EJERCICIO 9 Trnsformr l form prticulr ls siguientes ecuciones de elipses: ) 4x + y + 8x + 6y - 3 = 0 ) 5x + 4y - 50x + 8y + 9 = 0 3) x + 4y + 4x + 3y + 3 = 0 4) 5x + 64y - 350x + 04y + 37 = 0 5) 9x + 6y + 6x - 3y + 60 = 0 6) x + 5y - x + 50y + 3 = 0 7) 5x + 36y + 00x + 7y = 0 8) 6x + y - 9x + 4y = 0 Trnsformr su ecución generl ls siguientes elipses: ( ) ( ) x + 5 y + 9) 0) 6 4 ( ) ( ) x 4 y + 7 ) ) 36 4 ( ) ( ) x + 8 y 4 3) 4) 9 4 ( ) ( ) x + 6 y + 5) 6) 64 ( x + ) ( y 8) 6 9 ( x + 9) ( y ) 5 49 ( x ) ( y ) 9 4 ( x + 5) ( y ) 8 9 7) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (, ) y V (, - 5) y ls coordends de sus focos son f (, 0) y f (, - 4). Hllr su ecución. 8) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (- 0, ) y V (6, ) y ls coordends de sus focos son f (-, ) y f (8, ). Hllr su ecución. 9) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (- 4, 0) y V (6, 0) y ls coordends de sus focos son f (0, 0) y f (, 0). Hllr su ecución. 0) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (-, 8) y V (-, - ) y ls coordends de sus focos son f (-, 7) y f (-, - ). Hllr su ecución. ) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (3, 0) y V (- 7, 0) y l longitud de su ldo recto es 88/5. Hllr su ecución. ) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (- 9, ) y V (7, ) y l longitud de su ldo recto es 88/3. Hllr su ecución. 3) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (4, 5) y V (4, - 5) y l longitud de su ldo recto es 8/5. Hllr su ecución. 4) Ls coordends de los focos de un elipse son f (, 5) y f (, - 3) y l longitud de su eje menor es 6. Hllr su ecución. 5) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 0, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje menor es 4. Hllr su ecución.

15 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 9 6) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 5, 0) y f (5, 0) y l longitud de su eje menor es 8. Hllr su ecución. 7) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, - ) y l de uno de sus focos es f (5, - ). Si l longitud de su eje menor es 0. Hllr su ecución. 8) Ls coordends del centro de un elipse son O (0, ) y l de uno de sus focos es f (5, ). Si l longitud de su eje menor es 4. Hllr su ecución. 9) Ls coordends de los focos de un elipse son f (, 5) y f (, - 3) y l longitud de su eje menor es 6. Hllr ls coordends de sus vértices. 30) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 0, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje menor es 4. Hllr ls coordends de sus vértices. 3) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 3, ) y f (- 3, - 7) y l longitud de su eje menor es 0. Hllr ls coordends de sus vértices. 3) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, - ) y l de uno de sus focos es f (5, - ). Si l longitud de su eje menor es 0. Hllr ls coordends de sus vértices. 33) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, 5) y l de uno de sus focos es f (8, 5). Si l longitud de su eje menor es 4. Hllr ls coordends de sus vértices. ( ) ( ) 34) Un elipse verticl tiene sus focos sobre l circunferenci x 3 + y = 49 y ls coordends de uno de sus vértices son V (3, 0). Hllr l ecución de dich elipse. ( ) ( ) 35) Un elipse horizontl tiene sus vértices sobre l circunferenci x + + y 4 = 8 y ls coordends de uno de sus focos son f (5, 4). Hllr l ecución de dich elipse. 36) L longitud del eje myor de un elipse es 78 y su excentricidd es e =. Sbiendo que se trt de un elipse 3 horizontl con centro en el origen, hllr su ecución. 37) Un elipse verticl tiene sus focos sobre l circunferenci ( ) x + y + = 6. Si su excentricidd es e =, hllr l ecución de dich elipse. 38) Ls coordends del centro de un elipse son O(-3, -4), l longitud de su eje menor es 40, su excentricidd es e = y l longitud de su ldo recto es lr = 3. Hllr l ecución de tl elipse si ést es horizontl ) Hllr l ecución de l elipse de centro (3, 8), uno de los focos f (8, 8) y que ps por el punto P(6, 4).

16 Págin 0 LA ELIPSE 6.3 INSTRUCCIONES PARA CONSTRUIR UNA ELIPSE CON PAPEL ) En un hoj tmño crt de ppel lbnene, trzr un circunferenci que brque l máximo l hoj. Mrcr el centro de dich circunferenci (ver figur 6.). ) Dibujr un punto entre.5 cm y cm por dentro de l circunferenci (ver figur 6.). 3) Doblr l hoj por l prte posterior, de mner que l líne de l circunferenci trzd en el pso coincid con el punto del pso (ver figur 6.). Mrcr bien el doblez. 4) Repetir el proceso nterior hciendo coincidir hor otro punto de l circunferenci del pso con el punto del pso..5 cms figur 6. 5) Continur sí hst llenr de dobleces l hoj. 6) Un vez concluid l construcción de l elipse bse de dobleces, el lumno deberá de mner intuitiv deducir cuáles son los dos focos de dich elipse. Hcer coincidir l líne con el punto figur 6.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3.

* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3. págin 110 7.1 DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 7.1, los focos están representdos por los puntos

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr

Más detalles

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a L Elipse L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Estos dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Elementos de l Elipse Vértices : A, B,

Más detalles

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd

Más detalles

Circunferencia y elipse

Circunferencia y elipse GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

La Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005

La Hipérbola. César Román Martínez García  Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005 L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo

Más detalles

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).

Más detalles

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2 UNIDAD 6: GEOMETRIA ANALÍTICA 6. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistem de coordends rectngulres divide l plno en cutro cudrntes por medio de dos rects perpendiculres que se cortn en el punto O.

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE 1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd

Más detalles

Ejercicios de las Cónicas

Ejercicios de las Cónicas Ejercicios de ls Cónics Ejemplo 1 Ejemplo Otener l ecución crtesin generl de l circunferenci que coincide con el punto (, 3) cuo centro coincide con el origen. Prtiendo de l ecución ordinri ( - h) + (

Más detalles

ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1

ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1 ELIPSE. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l sum de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. L elipse

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Ls tutorís corresponden los espcios cdémicos en los que el estudinte del Politécnico Los Alpes puede profundizr y reforzr sus conocimientos en diferentes tems de cr l exmen de

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 - INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

Resolución de triángulos

Resolución de triángulos 8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN Si hor colocmos l elipse horizontl con centro en el origen, oservremos que no cmin l form ni lgun de sus crcterístics. Si tenímos como ecución

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

HIPÉRBOLA. En una hipérbola siempre se cumple c a b. excentricidad: e a. 2b a. Lado Recto: LR =

HIPÉRBOLA. En una hipérbola siempre se cumple c a b. excentricidad: e a. 2b a. Lado Recto: LR = XI. HIPÉRBOLA Lugr geométrico de todos los puntos tles que el vlor soluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos (focos), es un cntidd constnte y menor que l distnci entre los focos. En un hipérol

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

Calcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 )

Calcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 ) Clse 1: Ecución de l rect Determinr l pendiente del segmento de rect que une dos puntos. Comprender ls distints representciones lgerics de l ecución de l rect. Determinr un ecución pr un rect ddos dos

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza. Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron

Más detalles

Capítulo 5. Medición de la Distancia por Medio de Triangulación

Capítulo 5. Medición de la Distancia por Medio de Triangulación Cpítulo 5. Medición de l Distnci por Medio de Tringulción 5.1 Introducción Hemos visto cómo medir l distnci de un objeto un cámr cundo dicho objeto es cptdo por un sol cámr; sin embrgo, cundo el objeto

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Hll el punto medio del segmento de extremos P, y Q,. Ls coordends del punto medio, M, son l

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

y ) = 0; que resulta ser la

y ) = 0; que resulta ser la º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos

Más detalles

( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9

( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 1 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 < x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 x < x > -1 c) x < 4 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 > x + 4 c) 5x + 10 < 1x - 4 x > x < -

Más detalles

Las medias como promedios ponderados

Las medias como promedios ponderados Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad:

MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad: MATEMÁTICA Unidd Geometrí nlític Objetivos de l unidd: Aplicrás correctmente l geometrí nlític: prábol, elipse e hipérbol l encontrr soluciones diverss problemátics del entorno. 55 Figurs cónics ests son

Más detalles

open green road Guía Matemática ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .cl

open green road Guía Matemática ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .cl Guí Mtemátic ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgrejo.cl 1. Ecución de segundo grdo Es un iguldd donde l vrible incógnit está l cudrdo, l cul puede tener soluciones diferentes, 1 solución

Más detalles

HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág.

HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. HIPÉRBOLA. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l diferenci de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, positiv y menor que l distnci entre los focos.

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL FECHA: 7 de gosto, 0 SOLUCIONARIO NIVEL C ( - ) OLCOMA II Elimintori

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA

Más detalles

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina: Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino

Más detalles

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

Enunciados y Soluciones

Enunciados y Soluciones L limpid mtemátic Espñol (oncurso Finl) Enuncidos y Soluciones 1. Es posible disponer sobre un circunferenci los números 0, 1, 2,..., 9 de tl mner que l sum de tres números sucesivos culesquier se, como

Más detalles

MOVIMIENTO DE RODADURA

MOVIMIENTO DE RODADURA E.T.S.. Agrónomos. U.P.. OVENTO DE ODADUA Cuerpos rodntes. Considermos el moimiento de cuerpos que, debido su geometrí, tienen l cpcidd de rodr: eser, ro, disco, supericie eséric, cilindro poydo sobre

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola

HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola Mtemátic 014 HIPÉRBOLA Definición: Se llm hipérol l conjunto de puntos del plno que cumplen con l condición de que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. pf p f ' = constnte

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores

Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores Semn 1: Tem 1: Vectores 1.1 Vectores dición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitrios 1.4 Multiplicción de vectores Vectores Los vectores son cntiddes que tienen tnto mgnitud como dirección

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función

EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función Unidd 3 Funciones Cudrátics EJERCICI0S PARA ENTRENARSE 4 Represent en los mismos ejes ls siguientes funciones: )) y y -. )) y 0,5 y - 0,5. c)) y 6 y - 6. Hcemos un tl de vlores y después representmos l

Más detalles

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161 7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Elipse: lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. d(x,f) + d(x,f ) = k LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Más detalles

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola INTRODUCCIÓN: UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof. Esther Morles (009) 1 Ls figurs

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB 9 6 5 5 BC 6 9 5 5 AD 9 6 5 5 CD

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS

PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete) EJEMPLO Considere

Más detalles

Elipse: Ecuación de la elipse dados ciertos elementos

Elipse: Ecuación de la elipse dados ciertos elementos Elipse: Euión de l elipse ddos iertos elementos Tinoo, G. (013). Euión de l elipse ddos iertos elementos. [Mnusrito no publido]. Méxio: UAEM. Espio de Formión Multimodl Elipse vertil Si l elipse tiene

Más detalles

SEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

SEPTIEMBRE  ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme. SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este

Más detalles

9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196

9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196 PÁGIN 196 Pág. 1 P RCTIC Ángulos 1 Hll el vlor del ángulo en cd uno de estos csos: ) b) 11 37 48 48 c) d) 35 40 ) 37 b 11 b 180 11 68 180 37 68 75 b) 360 48 8 13 c) 40 b b 180 90 40 50 180 50 130 d) 35

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del

Más detalles

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA:

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: EDISON MEJÍA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA DURACION 8

Más detalles

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m.

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m. Álgebr 1 de Secundri: I Trimestre I: EXPRESIONES ALGEBRAICAS R Sen 1 Son epresiones lgebrics T 1 log R',, z 3 z A 1 TÉRMINO ALGEBRAICO TÉRMINOS SEMEJANTES ) 3z ; - 3z ; 6z Son términos semejntes b) b;

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad?

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad? PÁGIN 164 El director del equipo nliz un plno en el cul 1 cm corresponde 20 m en l relidd. Su mquet de l moto es l décim prte de lrg que l moto rel. L moto de l fotogrfí es l mism que se ve en l mquet.

Más detalles

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA:

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: EDISON MEJÍA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA DURACION 8

Más detalles