MATEMÁTICAS I MATEMÁTICAS CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y REATROALIMENTACIÓN

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1 COLEGIO DE BACHILLERES COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS I CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y REATROALIMENTACIÓN

2 MATEMÁTICAS I Coordinador General del Proyecto Álvaro Álvarez Barragán Dirección Técnica Uriel Espinosa Robles Coordinación: Luis Antonio López Villanueva Elaboración: Juan Pérez Rodríguez Revisión de Contenido: Mario Ulises Alvarado Hernández Pedro Arrazola Clava Joel Díaz Guadarrama Ricardo Garnica Juárez Daniel González Frías José Carlos López Jiménez Miguel Ángel Marrufo Chan Sergio Muñoz Martínez Conrado Octaviano Pacheco Gasca José Javier Tecuapetla Díaz Asesoría Pedagógica: Obdulia Martínez Villanueva Diseño Editorial Rosa Maria Cedillo Aguilar Julia Mary Soriano Saenz Asistencia Técnica Esteban Hernández Salazar Copyright en trámite para el Colegio de Bachilleres, México. Colegio de Bachilleres, México Rancho Vista Hermosa No. 05 Ex-Hacienda Coapa, 0490, México, D.F. La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97. Word 97, es marca registrada por Microsoft Corp. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.

3 ÍNDICE PRESENTACIÓN 4 INTRODUCCIÓN 5 I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA 7 II. TEMAS FUNDAMENTALES 8 III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES 9. COMPENDIO FASCÍCULO. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 0. COMPENDIO FASCÍCULO. LENGUAJE ALGEBRAICO: OPERATIVIDAD 8. COMPENDIO FASCÍCULO. ECUACIONES: MODELOS GENERALIZADOS 55 IV. HOJA DE COTEJO DE EVALUACIÓN 8 V. EVALUACIÓN MUESTRA 9 5. HOJA DE RESPUESTA HOJA DE COTEJO 08 VI. SIMBOLOGÍA 0 VII. GLOSARIO BIBLIOGRAFÍA

4 PRESENTACIÓN El presente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres. El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificación de los aprendizajes obtenidos a través del estudio de tu compendio fascicular. Los elementos didácticos que lo estructuran son los siguientes: Objetivos de evaluación sumativa que te informan acerca de lo que se pretende lograr con el estudio del compendio fascicular. Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan en el Cuaderno. Retroalimentación y verificación de aprendizajes en el cual encontrarás instrucciones generales y del compendio fascicular la síntesis de cada tema, ejemplos y evaluación a contestar. Hoja de cotejo en la cual identificarás las respuestas correctas de la evaluación que respondiste. Evaluación muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar en tu evaluación final de la asignatura, y que puedes verificar tus respuestas correctas al final del mismo. Bibliografía que te apoya en la ampliación del conocimiento independientemente del compendio fascicular. Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje: TE DESEAMOS SUERTE! 4

5 INTRODUCCIÓN El Departamento de Evaluación de la CAESA como parte de su actividad y basado en la concepción de evaluación que se tiene...como un proceso integral, sistemático, continuo y flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicación de distintas técnicas, procedimientos e instrumentos que proporcionan información... que permite tomar decisiones..., ha elaborado el siguiente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación. El Cuaderno tiene el propósito de apoyar al estudiante en su proceso de asesoría que desarrolla en el Sistema de Enseñanza Abierta, en él se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluación sumativa de la asignatura a la que está dirigida; (cabe señalar que es un documento para uso del estudiante y del asesor). Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, además de prepararlo para la evaluación sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarán e identificarán aquellos avances y/o problemáticas que se tienen de uno o más contenidos de la asignatura. La asignatura de Matemáticas I tiene como objetivo general aplicar el conocimiento matemático, en la profundización del estudio de la Aritmética y el Álgebra, facilitando su avance en el dominio del lenguaje matemático y profundizar sus habilidades en el manejo de los temas que le permitan generar una metodología de estudio propio, útil en el desempeño académico general. Además es base para abordar los contenidos de las asignaturas consecutivas de Matemáticas II, III y IV, Cálculo Diferencial e Integral I y II y Estadística Descriptiva e Inferencial I y II, así como el Laboratorio de Informática I y II. Matemáticas I recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redacción y Métodos de Investigación en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensión del lenguaje, así como el manejo de la lógica y el estudio del método científico. A su vez da servicio a las asignaturas del área de Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) en el apoyo de desarrollo de procedimientos, habilidades de análisis, observaciones y abstracción del conocimiento. COLEGIO DE BACHILLERES, La Evaluación del Aprendizaje en el SEA. Documento Normativo CAESA, 998, pág.. 5

6 Con base a lo anterior, este Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación apoyará: Al asesor. Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo más para el proceso formativo de los estudiantes, conjuntamente con el compendio fascicular y materiales que haya desarrollado como parte de su práctica educativa. ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD! Al estudiante. Para utilizarlo como un apoyo en su estudio independiente, proceso formativo y su evaluación sumativa. ÉXITO! 6

7 I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA COMPENDIO FASCÍCULO. Diferenciará la simbología de algunos sistemas numéricos (egipcio, sumerio, griego, romano, maya y decimal).. Aplicará las principales características del sistema decimal.. Obtendrá el resultado de algunas operaciones con números naturales, por medio del método de Gauss, el de duplicación egipcia y otros algoritmos..4 Identificará las propiedades de campo de las operaciones con números reales..5 Obtendrá el resultado de operaciones con números reales hasta aquellas que incluyan signos de agrupación..6 Resolverá problemas y situaciones aritméticas por medio del método de ensayo y error..7 Resolverá problemas y situaciones aritméticas, aplicando el concepto de proporcionalidad..8 Resolverá problemas y situaciones aritméticas por medio de diagramas de operaciones..9 Reconocerá el modelo algebraico que representa al enunciado de una situación concreta. COMPENDIO FASCÍCULO. Reconocerá la terminología y notación algebraica.. Reducirá términos semejantes en una operación algebraica.. Obtendrá el resultado de operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división con monomios y polinomios, aplicando leyes de exponenciación (radicales)..4 Desarrollará los diferentes casos de productos notables..5 Desarrollará los diferentes casos de factorización..6 Obtendrá la simplificación o su más simple expresión de las operaciones con expresiones algebraicas racionales. COMPENDIO FASCÍCULO. Reconocerá el modelo algebraico de la ecuación de primer grado con una incógnita, que representa al enunciado de un problema.. Determinará la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita por medio del método algebraico.. Interpretará la representación y solución gráfica de una ecuación lineal..4 Obtendrá la solución de problemas que dan lugar al planteamiento de ecuaciones de primer grado con una incógnita..5 Interpretará gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas..6 Determinará la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas por distintos métodos algebraicos..7 Planteará y resolverá el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas que representa al enunciado de un problema, para obtener la solución de éste. 7

8 II. TEMAS FUNDAMENTALES COMPENDIO FASCÍCULO I. OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES. II. DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA. COMPENDIO FASCÍCULO III. IV. OPERATIVIDAD CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. COMPENDIO FASCÍCULO V. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. VI. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 8

9 III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES A continuación se presenta el nombre de cada tema con sus características generales y uno o más ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos, propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solución correcta. Posteriormente, en el apartado de evaluación se presenta una serie de ejercicios correspondientes a los temas especificados; es importante señalar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temáticos de tus fascículos; si no fue así te pedimos que consultes dichos compendios fasciculares y a tu asesor de contenido. En este mismo apartado podrás verificar tus respuestas y resultados con los que te proporcionamos en la hoja de cotejo. Por último, debes contestar la evaluación muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo, esta evaluación es semejante a la evaluación global de la asignatura. Al final podrás verificar tus resultados en la hoja de respuestas. Las fórmulas que se utilizan a lo largo del contenido, únicamente se mencionan y se aplican, ya que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular. Para tus ejercicios de evaluación y del examen muestra, ten a la mano un cuaderno de notas para que vayas anotando las respuestas correctas de lo que se te pregunte. 9

10 . COMPENDIO FASCÍCULO. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA En el compendio fascículo conociste la simbología de algunos sistemas de numeración, aplicaste algoritmos y las propiedades de campo para la resolución de operaciones con números reales que nos permiten obtener la solución de problemas aritméticos; así como también aprendiste a interpretar el lenguaje común (cotidiano) al lenguaje algebraico. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Los más conocidos, son: el griego y romano cuyas simbologías son a base de letras, el egipcio a base de rayas, el maya a base de puntos y rayas, el sumerio en forma de cuñas y el indoarábigo o decimal que son los números que actualmente se utilizan. EJEMPLO *Los símbolos diferentes que utilizaba el sistema maya para representar los números del al 0 son dos, el punto y la raya. *Los símbolos diferentes que utiliza el sistema romano para representar la numeración actual del al 00, son cinco, la I, la V, la X, la L y la C. SISTEMA DECIMAL Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 0 unidades forman una decena, 0 decenas forman una centena, 0 centenas forman una unidad de millar y así sucesivamente. EJEMPLO * La cantidad 8050, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero decenas, cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar. - Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente: Valor del dígito de acuerdo a su posición: x unidad 0 x decenas 5 x centenas 0 x unidades de millar 8 x decenas de millar x centenas de millar

11 - Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente: 8050 x x x x x La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los múltiplos de 0. Para las unidades, tenemos: Para las decenas: 0 0 Para las centenas: 00 0 x 0 0 Para las U. de millar: x 0 x 0 0 Para las D. de millar: x 0 x 0 x Para las C. de millar: x 0 x 0 x 0 x Así se tiene que la cantidad, 8050 representada en múltiplos de diez o potencias de diez, queda de la forma siguiente: x x x x x 0 + x OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE ALGORITMOS A) Valor posicional de los números. EJEMPLO * Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es el caso del número que se puede representar en las siguientes formas:,,, / y, La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (). La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de ()()() 597. La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de x0 5. La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad () ya que / es igual a uno, y de acuerdo con esto el valor numérico es /. La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres resultando un valor numérico de. De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es / y el mayor es.

12 De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma: /,,,,. B) Método de Gauss. Para sumas de series de números. EJEMPLO * Sumar los primeros 0 números naturales pares por medio del método de Gauss. La serie, es: Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc La suma de cada par de extremos da 4, y como la serie se compone de 0 elementos, entonces se realizan 0 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 0 números naturales pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas realizadas: 4 x 0 40 C) Multiplicación por duplicación egipcia. EJEMPLO * Obtener el resultado de la multiplicación 6 x, por medio del método de duplicación egipcia. Se coloca la unidad () y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es. 4 8

13 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor del factor menor (). 4 8 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (6), de manera correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor, y esa suma es el resultado de la multiplicación PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES Las propiedades son los pasos que se siguen en el desarrollo de las operaciones con números reales para llegar al resultado de éstas. Tanto en la adición como en la multiplicación se utilizan las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, elemento inverso y cerradura. EJEMPLO En cada operación se nombra la propiedad de campo que se está aplicando en su desarrollo. * (7 + 6) + (8 + ) (6 + 7) + ( + 8) Prop. Conmutativa de la adición (Se cambia el orden de los sumandos sin alterar el resultado) (6 + 7) + ( + 8) Prop. Conmutativa del producto (Se cambia el orden de los factores sin alterar el resultado) (6 + 7) + (6 + 4) Prop. Distributiva (Al multiplicar un número dado por la suma de dos números, es igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar el número dado por cada uno de los otros dos) ( ) Prop. Asociativa de la adición (Se pueden asociar los número de distinta forma, sin alterar el resultado) 4 Cerradura (El resultado obtenido no sale del conjunto de los números al que pertenecen los elementos sumados)

14 * Elem. Inv. Multiplicativo (Al multiplicar un número con su recíproco se obtiene la unidad) - + Prop. Conmutativa de la adición (Se puede cambiar el orden de los sumandos sin alterar el resultado) 0 + Elem. Inv. Aditivo (Al sumar dos números iguales, pero de signo contrario; da como resultado el cero). Elem. Neutro Aditivo y Cerradura (Al sumar cualquier número con el cero, se obtiene el mismo número y al sumar dos números reales, el resultado es otro número real) OPERACIONES CON NÚMEROS REALES En estas operaciones se aplican leyes de los signos para suprimir signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. Los signos de agrupación indican el orden en que se deben efectuar las operaciones. Si existen signos de agrupación contenidos dentro de otro, se inicia la operación eliminando el más interior. La temática está conformada por: A) Operaciones con números enteros. Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. B) Operaciones con números racionales. Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. A) Operaciones con enteros EJEMPLO * Realizar (5-6) - + (-) - + (Se efectúa la operación que está en el interior del paréntesis) - - (Se ordenan los elementos por conmutatividad en la adición) - (Se efectúa la operación de los dos números negativos) 0 (Se obtiene el resultado aplicando el elemento inverso aditivo y la propiedad de cerradura) 4

15 * Realizar + (5 ) + () - (Se efectúa la operación que está en el interior del paréntesis) + (Al suprimir el paréntesis, el término no cambia de signo, ya que está precedido por un signo positivo) + 0 (Se suman los dos elementos simétricos por medio del elemento inverso aditivo) (Se obtiene el resultado por medio de la aplicación del elemento neutro aditivo y la cerradura) * Realizar 7 ( - 5) + ( + ) 7 (-) + (-) (Se efectúan las operaciones que están en el interior del paréntesis) 7 (9) + ( ) (Se desarrolla la potencia, aplicando ley de signos) 7 (9) + + (Al suprimir el paréntesis, el término cambia de signo, ya que está precedido por un signo negativo) (Se suprime el paréntesis, realizando la multiplicación, aplicando ley de signos) + (Se eliminan los dos veintisietes por la propiedad del inverso aditivo) 4 (Se realiza la operación final mediante la aplicación de la propiedad de cerradura) * Realizar + [( 5) ( )] + [5] (Se suprimen los paréntesis aplicando ley de signos en el desarrollo de la operación indicada en el interior del corchete) (Se suprime el corchete, realizando la multiplicación aplicando ley de signos) -7 (Se realiza la operación final) * Realizar [ + 5 ( 6) + 9] [ + 5 ( 4) + 9] (Se efectúa la operación del interior del paréntesis) [ 0 + 9] (Se suprime el paréntesis realizando el producto, aplicando ley de signos) [ 8] (Se efectúa la operación del interior del corchete) [64] (Se desarrolla la potencia, aplicando ley de signos) 8 (Se suprime el corchete realizando el producto, aplicando ley de signos) 5

16 * Realizar { 5 + [ ( 7)] } + - {-5 + [-( 6)] } + (Se efectúa la operación que está dentro del paréntesis) - {-5 + [8] } + (Se suprime el paréntesis, aplicando ley de signos en el producto) - { } + (Se suprime el corchete, aplicando ley de signos en el producto) - {0} + (Se efectúa la operación que está dentro de las llaves) (Se suprime las llaves, aplicando ley de signos en el producto) -87 (Se realiza la operación final) B) Operaciones con racionales En la adición y sustracción se obtiene el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores cuando éstos son distintos. En la división se sustituye el divisor por su recíproco (inverso multiplicativo) para representar la operación en forma de producto y efectuar la multiplicación de numeradores y denominadores respectivamente. Los resultados de este tipo de operaciones se deben reducir a su mínima expresión, simplificando tanto numerador como denominador. EJEMPLO * Resolver, (Se obtiene el mínimo común múltiplo m.c.m. de 4 6 los denominadores, descomponiendo cada uno de ellos en sus factores primos y multiplicando dichos factores) ()()() () () m.c.m ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) (Como el m.c.m. de los denominadores es, entonces se convierten las fracciones a otras equivalentes con denominador multiplicando tanto numerador como denominador por un número que de como resultado en dicho denominador) (Se representa la operación con el común denominador que es ) (Se representa la operación de los numeradores con un solo denominador) (Se efectúa la operación de los numeradores y se simplifica el resultado) 4 6

17 Resolver + 5 Se efectúa la operación que está en el interior del paréntesis; ()(5) 5 m.c.m. (Se obtiene el m.c.m. de los denominadores) (5) () + (Se convierten las fracciones a otras equivalentes con denominador 5) (5) 5() 0 + (Se representa la operación con el común denominador que es 5) (Se suman los numeradores y se obtiene el resultado) - Se efectúa la operación final, sustituyendo el resultado anterior en el interior del paréntesis de la operación original: (Se obtiene el m.c.m. de los denominadores) 5 5 ()()(5) 0 m.c.m () (5) (Se convierten las fracciones a otras equivalentes con denominador 0) 5() (5) 6 45 (Se representa la operación con el común denominador que es 0) (Se suman los numeradores y se obtiene el resultado) 0 * Resolver (Como es una multiplicación de fracciones, entonces se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, aplicando ley de signos) (Se vuelve a realizar el paso anterior ) (Se simplifica el resultado) 7

18 * Resolver (Como es una división de fracciones, entonces se sustituye el divisor por su 5 recíproco en la división del interior del paréntesis) 4 4 (Se realiza el producto) (Se sustituye el divisor por su recíproco) 0 (Se realiza el producto y se simplifica el resultado) * Resolver 6 + (Se convierte a fracciones equivalentes la suma del interior del paréntesis) (Se realiza la suma del interior del paréntesis) 49 (Se desarrolla la potencia de la fracción ubicada dentro del paréntesis) (Se suprimen paréntesis realizando el producto) (Se representa la operación mediante fracciones equivalentes) (Se obtiene el resultado realizando la sustracción) 8

19 * Resolver Se realizan las operaciones de abajo hacia arriba, (Se realizan las operaciones, 6 7 y (Se realiza la división en cada fracción, efectuando producto de extremos entre producto de medios 4 y 4 7 ) 7 (Se convierten las dos fracciones a otras equivalentes) (Se obtiene el resultado final realizando la sustracción de los numeradores) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y SITUACIONES ARITMÉTICAS Los problemas aritméticos se pueden resolver por distintos métodos, dependiendo de las características de la situación problemática que se presente; en ésta temática se presentan tres métodos que a continuación se ejemplifican. MÉTODO DE ENSAYO Y ERROR. Consiste en buscar y ensayar con cantidades que se aproximen a las condiciones del problema, hasta obtener la cantidad exacta que determine la solución correcta del problema. EJEMPLO En el entrenamiento de un atleta, éste corrió cierta distancia el primer día y fue aumentándola en Km cada día. Al cabo de 5 días había recorrido 50 Km en total. De acuerdo con esto; Cuántos kilómetros recorrió el primer día? 9

20 Del análisis del enunciado, se tiene que en 5 días el atleta recorrió una distancia de 50 Km. Por tal razón se plantea la siguiente operación: º día + º día + º día + 4º día + 5º día 50 Km Como cada día fue aumentando Km en el recorrido, se tiene que el º día recorrió una cierta distancia, el º día recorrió la cierta distancia y kilómetros más, el º día recorrió la cierta distancia y 4 kilómetros más, el 4º día recorrió la cierta distancia y 6 kilómetros más, y el 5º día recorrió la cierta distancia y 8 kilómetros más. º día + º día + º día + 4º día + 5º día 50 Km ( ) + [( ) + ] + [( ) + 4] + [( ) + 6] + [( ) + 8] 50 Si se supone que el atleta recorrió Km el primer día y se sustituye el valor en la expresión, se tiene: () + [() + ] + [() + 4] + [() + 6] + [() + 8] De lo anterior se observa que si el atleta recorre Km el º día, la distancia total recorrida en los 5 días es de 5 Km, lo cual es una cantidad menor a 50 Km establecidos en el problema, por lo tanto se debe intentar con una cantidad mayor a Km. Intentemos con 5 Km. (5) + [(5) + ] + [(5) + 4] + [(5) + 6] + [(5) + 8] Como la distancia total recorrida con 5 Km en el primer día, sigue siendo menor a 50, ahora se intenta con 7 Km. (7) + [(7) + ] + [(7) + 4] + [(7) + 6] + [(7) + 8] Se ve que la distancia total recorrida con 7 Km en el primer día es mayor que los 50 Km establecidos en el problema; por lo tanto se debe considerar para el º día una distancia mayor que 5 Km y menor que 7 Km; es decir, se intenta con 6 Km. (6) + [(6) + ] + [(6) + 4] + [(6) + 6] + [(6) + 8] El resultado obtenido, es igual al que se está planteando como condición en el problema; por lo tanto, la distancia recorrida por el atleta en su primer día de entrenamiento es de 6 Km, lo cual representa la solución del problema. MÉTODO DE PROPORCIONALIDAD. Razón Es la comparación entre dos cantidades de la misma magnitud en forma de cociente. b 0. a r, con b 0

21 EJEMPLO Si Andrés tiene $80.00 y Benito tiene $0.00. Entonces: - La razón de lo que tiene Andrés y lo que tiene Benito, es 80. Esto indica que la cantidad 0 que tiene Andrés es de la que tiene Benito. - La razón de lo que tiene Benito y lo que tiene Andrés, es 0. Esto indica que la cantidad 80 de Benito es de la que tiene Andrés. Proporción. a c Es la igualdad de dos razones donde a y d son extremos y b y c son medios. ad bc. b d El producto de extremos es igual al producto de medios. EJEMPLO * La razón de $48.00 a $7.00 es * La razón de $00.00 a $50.00 es Puesto que las dos razones son iguales, se establece que: como 00 es a que se lee, 48 es a Cálculo de un término en una proporción. El término que se desea obtener, puede ubicarse en cualquiera de los cuatro valores de una proporción; el que corresponde a este curso es el que se ubica en el denominador de la primera razón. EJEMPLO 7 40 * Obtener el valor de b en la siguiente proporción de valores. b 0 Se obtiene la constante de proporcionalidad dividiendo el denominador entre numerador de la 0 segunda razón. k 8 40 Se multiplica la constante por el numerador de la primera razón y se obtiene el valor de b. (8) (7) 576 b 576.

22 Método de proporcionalidad (variación directa). Se calcula el valor de un término a partir de los valores de los otros tres términos de una proporción. EJEMPLO * Un trabajador de una dependencia de gobierno ganaba $00.00 mensuales hace tres años, hace dos años ganaba $50.00, hace un año ganaba $ , y actualmente gana $ Otro trabajador de la misma dependencia gana actualmente $56.0. Si el sueldo de ambos trabajadores ha aumentado en la misma proporción uno con respecto al otro; entonces, Cuál era el sueldo del segundo trabajador hace dos años? Del análisis del enunciado, se tiene que de hace tres años a la actualidad, los sueldos de los dos trabajadores ha aumentado en forma proporcional, por lo tanto se va a aplicar el método de proporcionalidad, representando los datos en una tabla. Hace tres años Hace dos años Hace un año Actualmente $00.00 $50.00 $ $ ? $56.0 De la tabla se establece la proporción entre la razón de la columna de hace dos años y la razón de la columna de actualmente ? 56.0 Posteriormente se obtiene la constante de proporcionalidad entre los valores de la segunda razón k La constante obtenida se multiplica por el numerador de la primera razón..065 (50) 740 El resultado del producto anterior representa la cantidad de dinero que ganaba el segundo trabajador hace dos años, es decir $ es la solución del problema. Una vez obtenida la constante de proporcionalidad, ésta se puede multiplicar por la cantidad de cada columna, y así se obtiene el sueldo del segundo trabajador en cada tiempo correspondiente. Hace tres años:.065 (00) 400 Hace dos años:.065 (50) 740 Hace un año:.065 (4048) 40

23 Con las cantidades obtenidas, se completa la tabla: Hace tres años Hace dos años Hace un año Actualmente $00.00 $50.00 $ $ $ $ $40.00 $56.0 De la tabla se establece que la razón para cada columna es el mismo valor correspondiente a la constante de proporcionalidad DIAGRAMAS DE OPERACIONES. Representa la estructura de las operaciones que se van realizando hasta llegar al resultado final del problema. EJEMPLO * Arturo abrió una cuenta de cheques con una cierta cantidad el día º de enero. El día 7 hizo un depósito de $ ; el día 4 extendió un cheque por la cantidad de $ ; el día 0 hizo un depósito por una cantidad que le duplicó su saldo del día 4 y el día 4 hizo un retiro de $ De acuerdo con esto; Cuál es la cantidad inicial con la que abrió Arturo su cuenta de cheques, si el banco le informa que a fin de mes tiene un saldo de $ ? Del análisis del problema se obtienen las siguientes características: º de enero.- Arturo deposita una cantidad que no conocemos ( ) 7 de enero.- Hizo un depósito de $ , es decir, hasta esta fecha el tenía, ( ) (?) 4 de enero.- Extendió un cheque de $ , es decir, (?) 0000 (? ) 0 de enero.- Hizo un depósito que le duplicó su saldo anterior, (? ) (??) 4 de enero.- Retiró $ y le informan que su saldo restante es de $ Por lo tanto, a lo que tenía anteriormente se le resta el retiro realizado y el resultado de la resta es el saldo restante, (??) Una vez desglosado el problema en sus operaciones a realizar, se construye un esquema secuencial para dichas operaciones: x 5000???? 5000 Para obtener la cantidad inicial que depositó Arturo, se realizan las operaciones en el esquema de la parte derecha hacia la parte izquierda; para ello cambiamos el sentido de las flechas y cambiamos los signos de operación por sus inversos: ???? 5000 Realizando operaciones, se tiene:

24 La cantidad de $ correspondiente al primer cuadro del esquema, es la solución del problema; es decir, Arturo abrió su cuenta de cheques con $ INTERPRETACIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE ALGEBRAICO Las expresiones algebraicas son modelos matemáticos que se obtienen a partir de la contextualización de un enunciado. EJEMPLO * Obtener el modelo algebraico del enunciado, el producto de la suma de dos números distintos por su diferencia de los mismos. De la contextualización del enunciado, se ve que las incógnitas son dos números distintos que se pueden representar por x, y. Teniendo presente ésta condición, se va interpretando el enunciado desde el principio para ir conformando el modelo: - el producto..., simbólicamente se representa por dos paréntesis ( ) ( ) - el producto de la suma de dos números distintos..., simbólicamente se tiene, (x + y) ( ) - el producto de la suma de dos números distintos por su diferencia de los mismos, (x + y) (x y) Una vez que se terminó de interpretar el enunciado, se obtiene el modelo o expresión algebraica, la cual es: (x + y) (x y). * en una dependencia de gobierno hay x número de trabajadores en la planta baja, mientras que en el primer piso hay el doble de los que hay en la planta baja y en el segundo piso sólo la mitad de los que tiene el primero; de acuerdo con esto, representa la suma de los trabajadores que hay en la dependencia, por medio de una expresión algebraica. En este caso, la incógnita ya se tiene especificada, ya que x representa el número de trabajadores en la planta baja. Separando al enunciado por cada nivel de piso que tiene la dependencia, se puede ir construyendo el modelo: Planta baja tiene x número de trabajadores. º piso tiene el doble de la planta baja, es decir, x º piso ---- tiene la mitad de los que tiene el primero; si el primero tiene x entonces la mitad es x Como el enunciado pide la suma de los trabajadores, se tiene que: P. Baja + º Piso + º piso es igual al modelo: x + x + x que es el modelo general del enunciado. 4

25 EVALUACIÓN Realiza cada ejercicio en tu cuaderno de notas.. Cuáles sistemas numéricos de la antigüedad utilizan 0 símbolos diferentes para representar los primeros diez números actuales?. Cuál es el sistema numérico que emplea el símbolo a la izquierda de otro para restar, y a la derecha de otro para sumar?. Indica el valor posicional del dígito que se encuentra en el tercer lugar de izquierda a derecha en la cantidad,. 4. Representa el valor posicional en forma desarrollada del dígito que aparece subrayado en la cantidad, Representa en forma desarrollada y en múltiplos de diez o potencias de diez la cantidad, De los números, 444, 44 4, 4 44, 4 4/4. Cuál de ellos tiene un valor numérico menor que 44 4? 7. Representa la expresión que por el método de Gauss nos conduce al resultado de la suma de la siguiente serie de números, Escribe las cantidades que por el método de los egipcios, se deben sumar para obtener el valor del número menor (multiplicador) del producto 78 x 4. Posteriormente escribe las cantidades que se deben sumar para obtener el resultado de dicho producto. 9. Escribe la propiedad de campo que se está aplicando en la siguiente operación. ( ) ( x 8) + ( x ) + ( x 5) 0. Escribe las dos propiedades que se están aplicando en la operación, Escribe el nombre de las propiedades que justifican el desarrollo de la siguiente operación aritmética. ( + )+(8 + 5) ( + ) + (5 + 8) ( ) 8. Realiza la operación, [ ( 5 ) + 5( )] [ ( + 5)] [( 8)(7)]. Determina el resultado de la operación, ( ) + { [5 + ( + ) ] + } 4. Resuelve la operación,

26 5 5. Realiza la operación, Determina el resultado de la operación, 4 7. Resuelve el siguiente problema, apoyándote en el método de ensayo y error. Qué número se debe sumar a 8 y 4 para que el producto de sus resultados sea 05? 8. Determina la solución del siguiente problema, apoyándote en el método de ensayo y error. Alicia percibe $ por semana, más una comisión de $50.00 por cada aparato portátil de televisión que ella vende. Con base en esto; Cuántos aparatos debe vender para ganar un total de $ a la semana? 9. Resuelve el siguiente problema, apoyándote en el método de ensayo y error. Dos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento y trabajan en la misma fábrica; el joven va desde la casa a la fábrica en 0 min, el viejo en 0 min. En cuántos minutos alcanzará el joven al viejo, si éste sale 5 minutos antes de la casa? 0. Determina la solución del siguiente problema, apoyándote en el concepto de proporcionalidad. En 995 una población pequeña tenía aproximadamente 800,000 habitantes; y en 997 una población grande tenía aproximadamente 5 500,000 habitantes. Si se supone que la tasa media de crecimiento anual para ambas poblaciones es del 8%; entonces, determina el número de habitantes que tenía la población grande en Resuelve el siguiente problema, apoyándote en el concepto de proporcionalidad. Una industria textil se ve en la necesidad de repartir proporcionalmente la cantidad de $ entre cuatro empleados, cuyas antigüedades son de, 4, 7 y 8 años respectivamente. De acuerdo con lo anterior ; Qué cantidad le corresponde a cada empleado respectivamente?. Resuelve el siguiente problema por medio de diagramas de operaciones. En un día, un chofer de microbús obtuvo una cierta cantidad de dinero, de la cual, dio de cuenta la mitad de lo que obtuvo; también pagó $50.00 de gasolina y por último a él le quedaron $ De acuerdo con esto; Cuánto obtuvo de dinero en un principio? 6

27 . Determina la solución del siguiente problema por medio de diagramas de operaciones. Un albañil pegó una cierta cantidad de tabiques el día lunes; el día martes pegó 50 tabiques más que el día anterior; el miércoles pegó 0 tabiques más que el día anterior; el jueves 0 tabiques más que el miércoles; el viernes 50 tabiques menos que el jueves y el sábado pegó 75 tabiques, lo que representa la mitad de tabiques pegados en el viernes. De acuerdo con esto; Cuántos tabiques pegó el lunes? 4. Interpreta el modelo algebraico del siguiente enunciado, el doble del cuadrado de un número, más tres unidades es igual a cuatro. 5. Un pastel está compuesto por dos capas circulares; el radio de la ª capa mide x centímetros, y el radio de la ª capa es las tres cuartas partes del primer radio. Con base en esto, Cuál es el modelo algebraico que representa el perímetro de la ª capa? 6. En un jardín se aprecian orquídeas, claveles y rosas. Hay 5 claveles más que el triple de orquídeas, y las rosas son el doble de los claveles. Si el jardín cuenta con 05 de éstas flores; entonces; Cuál es el modelo algebraico que representa la suma de los tres tipos de flores? 7

28 . COMPENDIO FASCÍCULO. LENGUAJE ALGEBRAICO: OPERATIVIDAD En el compendio fascículo conociste la terminología y notación de las expresiones algebraicas para poder realizar operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con monomios y polinomios; así como también desarrollaste los distintos casos de productos notables y factorización para poder realizar la simplificación de expresiones algebraicas racionales en su operatividad. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. A) Características de términos algebraicos. B) Características y clasificación de expresiones algebraicas. C) Valor numérico de expresiones algebraicas. EJEMPLO * La siguiente tabla muestra las características de varios términos algebraicos. TÉRMINO ALGEBRAICO COEFICIENTE PARTE GRADO GRADO CON NUMÉRICO LITERAL ABSOLUTO RESPECTO A X 5x y 5 x y 5 GRADO CON RESPECTO A Y xy x y x x no tiene De la tabla se observa que si el coeficiente numérico del término es uno, éste no se escribe, y si el exponente de la variable es uno, tampoco se escribe. * La siguiente tabla muestra las características de varias expresiones algebraicas. EXPRESIÓN ALGEBRAICA CLASIFICACIÓN POR SU Nº DE TÉRMINOS GRADO ABSOLUTO GRADO CON RESPECTO A X GRADO CON RESPECTO A Y x 4 y MONOMIO 7 4 5x 6y BINOMIO x xy + 4y TRINOMIO 6x 5 y x 4 y + 4x y x y POLINOMIO 6 5 8

29 * Calcular el valor numérico de, x x + ; cuando x. x+ Se sustituye el valor de en cada literal que aparece en la expresión y se efectúan las operaciones indicadas: x x + x+ ( ) El resultado obtenido es, el cual es un valor real; por lo tanto es el valor numérico de la expresión algebraica. * Calcular el valor numérico de, 5x x ; cuando x. Se sustituye el valor de en cada literal que aparece en la expresión y se efectúan las operaciones indicadas: 5x x 5 () ? El resultado obtenido no es un número real, ya que se llega tanto a una raíz par negativa como a un denominador cero; por lo tanto, si x, la expresión no simboliza un valor numérico real. TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal (mismas bases y mismos exponentes), EJEMPLO * El término x y es semejante con el término x y ; ya que ambos tienen la misma parte literal. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Dos términos se pueden reducir únicamente si son semejantes. Se reducen sumando sus coeficientes numéricos y pasando su parte literal tal cual. EJEMPLO * Simplificar la expresión, xy + xy xy ( + ) xy xy Como los tres términos son semejantes, entonces se sumaron los coeficientes pasando la parte literal tal cual. 9

30 * Simplificar la expresión, x y x y + + x x + y + y (Se aplica la propiedad conmutativa para agrupar a cada término con su semejante respectivo) x + + y (Se representan las sumas de los coeficientes numéricos) x y (Se convierten las fracciones a otras equivalentes en la primera suma y se realizan operaciones en la segunda suma). 6 x + y (Se realizan operaciones en los numeradores y se simplifica el resultado) * Simplificar la expresión, x y xy 0.x y 5x y xy x y 5x y + 0. x y + x y xy (Se agrupa a cada término con su semejante 5 respectivo) ( 5) x y x y xy 5 (Se representan las operaciones de los coeficientes numéricos) x y + + x y xy 5 5 (Se realiza la operación de enteros y se convierte el número decimal a fraccionario) x y + x y xy 5 (Se realizan operaciones en los numeradores de las fracciones) 5 x y x y xy (Se ordena el polinomio resultante en forma decreciente) OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas son polinomios, y para la operatividad de éstos se utilizan las propiedades de los números reales; en la operatividad se ordenan los polinomios en forma decreciente. Las operaciones con polinomios son: adición, sustracción, multiplicación y división. Adición de polinomios. Sumando + sumando suma o total Se reducen los términos que son semejantes. 0

31 EJEMPLO * Sumar (x + 7x + 8) + (x 8 + x ) (7x + x + 8) + (x + x 8) (Se ordenan los polinomios en forma decreciente) (7x + 0x + x + 8) + (x + x + 0x 8) (Se completan los polinomios poniendo cero como coeficiente a los términos ausentes) + 7x + 0x + x + 8 x + x + 0x 8 0x + x + x (Se colocan verticalmente los polinomios haciendo coincidir sus términos semejantes) (Se reducen términos semejantes, efectuando las operaciones de los coeficientes numéricos) * Sumar xy xy 5 x 0 x xy y x + x y+ xy + x xy y + (Se ordenan los polinomios en 5 0 forma decreciente) x x y xy 0y x 0x y xy y (Se completan los polinomios) x + x y+ xy + 0y (Se colocan verticalmente los polinomios) 5 0 x + 0x y xy y + x + x y xy y + (Se reducen términos semejantes, efectuando 0 6 operaciones de los coeficientes numéricos) Sustracción de polinomios minuendo sustraendo resta o diferencia. Se sustituye al sustraendo por su inverso aditivo (el inverso aditivo de un elemento es el mismo elemento pero con signo contrario), y dicho inverso aditivo se suma al minuendo.

32 EJEMPLO * Realizar (x 9x + 6x 9) (x x 4 + 6x ) (x 9x + 6x 9) + ( x + x + 4 6x ) (Se le suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo) (x + 6x 9x 9) + ( 6x + x x + 4) (Se ordenan los polinomios en forma decreciente) + x + 6x 9x 9 (Se colocan verticalmente los polinomios) 6x + x x + 4 5x + 7x 0x + 4 (Se reducen términos semejantes, efectuando las operaciones de los coeficientes) * Realizar 5 6 x 9 y xy 8 xy 5 y x + y + x y xy + y (Se le suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo) 5 x + 0x y+ 0xy + y + 0x + x y xy + y (Se completan los polinomios) x + 0x y + 0xy + 0 x + x y xy y y 5 6 x xy 8 xy y (Se colocan verticalmente los polinomios) (Se reducen términos semejantes efectuando las operaciones de los coeficientes numéricos)

33 Adición y sustracción con signos de agrupación. EJEMPLO * Resolver la operación, y + { 5x [ y + (9x y x)]} y + { 5x [ y + 9x y x]} (Se suprimen paréntesis y los términos no cambian de signo, puesto que está precedido por un signo positivo) y + { 5x + y 9x + y + x} (Se suprimen corchetes y los términos cambian de signo, puesto que está precedido por un signo negativo) y 5x + y 9x + y + x (Se suprimen llaves y los términos no cambian de signo, puesto que está precedido por un signo positivo) x 5x 9x + y + y + y (Se agrupan términos semejantes) ( 5 9)x + ( + + )y (Se representan las operaciones de los coeficientes numéricos) x + 5y (Se efectúan operaciones y se obtiene el resultado de la operación original) Leyes de los exponentes. Para efectuar multiplicaciones y divisiones algebraicas, se deben aplicar las leyes de los exponentes que se especifican a continuación. ª a m a n a m+n ª (a m ) n a mn ª (ab) m a m b m 4ª a b m a b m m a m-n ; si m > n m a 5ª n a 6ª a 0 ; si m n a n m ; si m < n Con a, b R ; a, b 0; m, n N 7ª a -n ; n a n a a n 8ª a b n b a n

34 EJEMPLO En cada ejercicio se aplican las leyes de los exponentes en su desarrollo correspondiente. (x y ) (x ) x + y x 5 y 5 (se aplica la ª Ley) (x 5 ) x (5)() x 0 (se aplica la ª Ley) (x y ) 4 (x ) 4 (y ) 4 x 8 y (se aplica la ª y ª Ley) x y x y (se aplica la 7ª Ley) x y y x y x (se aplica la 8ª y 4ª Ley) x 5 x 5- x 4 (se aplica la 5ª Ley) x Multiplicación de monomios y polinomios Se multiplican los coeficientes aplicando ley de signos y se desarrollan las literales aplicando leyes de los exponentes. EJEMPLO * Multiplicar (4x ) (x) (4) (x ) () (x ) (Se representan las potencias tanto de coeficientes como de variables) (4) (x 6 ) () (x ) (Se aplica ley de los exponentes en la primer variable) (64) (x 6 ) (9) (x ) (Se desarrollan las potencias de los coeficientes) (64) (9) (x 6 ) (x ) (Se agrupan los coeficientes) (64) (9) (x 6+ ) (Se aplica ley de los exponentes) 576x 8 (Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes) * Multiplicar ( x) (x 4x + ) ( x)(x ) + ( x)( 4x) + ( x)() (Se aplica la propiedad distributiva) x + + 8x + 6x (Se multiplican los coeficientes y se aplica la ley de exponentes) x + 8x 6x (Se suman los exponentes) 4

35 * Multiplicar 8 7 xy 4 9 xy xy xy ( ) x y x y x y x y + x y xy (Se aplica la propiedad distributiva) x y x y + x y (Se multiplican los coeficientes racionales y se aplica 6 7 ley de los exponentes en las literales) 6 6 xy xy xy (Se suman los exponentes) * Multiplicar (a a + 0) (a ) (Se colocan verticalmente los polinomios) a a + 0 Multiplicando (Se multiplica cada término del multiplicador por a Multiplicador cada término del multiplicando, aplicando ley de a a + 0a signos y exponentes) a + 6a 0 (Se agrupan los términos semejantes) a 5a + 6a 0 (Se reducen términos semejantes) * Multiplicar x xy y 4 x 4 + y (Se colocan verticalmente los polinomios) (Se multiplica cada término del multiplicador x + xy y Multiplicando por cada término del multiplicando, efectuando 4 x y 4 Multiplicador producto de racionales y aplicando la ley de 6 x + x y xy 8 8 los exponentes en las literales) x y xy + y (Se agrupan términos semejantes) (Se reducen términos semejantes, efectuando 8 x 6 xy 9 7 xy + y suma y resta de racionales) 5

36 División de monomios y polinomios Se representa la operación en forma de fracción, se dividen los coeficientes aplicando ley de signos y se desarrollan las literales aplicando leyes de los exponentes. EJEMPLO * Dividir ( 5x y z) ( xy z ) 5x y z xy z (Se representa la operación en fracción) x z 5 5x z () (Se dividen los coeficientes y se aplica ley de los exponentes en las literales) (Se efectúan operaciones en los exponentes) * Dividir (6x y + 9x y 5xy ) (6xy) 6 x y 9x y 5xy + (Se divide cada término del polinomio entre el monomio) 6xy 6xy 6xy (Se dividen los coeficientes quedando en el primer término un entero, x xy y en el segundo se simplifica la fracción y el tercero queda igual, también se aplica ley de los exponentes en las literales) * Dividir 5 x x 5 4 x + 4 x (Cuando la división de un polinomio entre un monomio es con racionales, se sustituye el monomio por su 5 4 x + x x 5 4 x inverso multiplicativo y se representa la operación como un producto) x 5 4 x + x 4 + x x x (Se aplica la propiedad distributiva) x 4x 60x + (Se realizan los productos de racionales) 5x 6x x (Se simplifican los coeficientes y se aplica la ley 4 5 x + x 5 de los exponentes en las literales) 6

37 * Dividir (y + 8y y ) ( + y) Cuando la división es con dos polinomios, se representa mediante el algoritmo de Euclides, Cociente divisor Dividendo Residuo y y + y + 8y (Se ordenan los polinomios de forma decreciente y se colocan por medio del algoritmo de Euclides) y (Se divide el primer término del dividendo entre el primer término y y + y + 8y del divisor y y, y el resultado se coloca en el cociente) y y (Se multiplica el término del cociente por el divisor y y + y + 8y ( y ) (y ) y + 6y, y se coloca el inverso aditivo de su y 6y producto y 6y, abajo del dividendo formando columnas de términos semejantes) y y y + y + 8y y 6y 4y + 8y (Se efectúa la suma del dividendo con el inverso aditivo y se obtiene un residuo) y 4y (Se divide el primer término del residuo entre el primer término y y + y + 8y del divisor 4y 4y, y el resultado se coloca como segundo y y 6y término en el cociente. Posteriormente se multiplica el segundo 4y + 8y término del cociente por el divisor, 4y (y ) 4y + 8y, y se 4y 8y coloca el inverso aditivo de su producto, 4y 8y, abajo del residuo) y 4y y y + y + 8y y 6y 4y + 8y 4y 8y 0 (Se efectúa la suma del residuo con el inverso aditivo obtenido y se obtiene un residuo final igual a cero). Como se ha llegado a un residuo igual a cero, entonces el resultado de la división es, y 4y. El resultado se comprueba al realizar la multiplicación del cociente por el divisor, obteniendo como resultado la expresión del dividendo (-y - 4y) (y - ) -y + y + 8y 7

38 4 * Dividir x y + x y xy y + x x y 5 x y (Se ordenan los polinomios de forma decreciente y se 4 x y x y xy colocan por medio del algoritmo de Euclides Posteriormente se divide el primer término del dividendo, entre el primer término del divisor x y x x y, y el 6 resultado se coloca en el lugar del cociente) x y 5 x y (Se multiplica el término del cociente por el divisor 4 x y x y xy x y x y x y x y , y se coloca el inverso x y+ x y aditivo de su producto, x y+ x y, abajo del x y xy 5 dividendo; se efectúa la suma del dividendo con el inverso aditivo y se obtiene un residuo) x y 5 x y + xy (Se divide el primer término del residuo entre el primer 4 x y x y xy término del divisor, x y x xy, y el resultado se x y+ x y 6 5 coloca como segundo término en el cociente. x y xy 9 5 Posteriormente se multiplica el segundo término del x y + xy cociente por el divisor, xy x y x y xy y se coloca el inverso aditivo de su producto, x y + xy, abajo del residuo. Por último se efectúa 9 5 la suma del residuo con el inverso aditivo obtenido y resulta un residuo final igual a cero) Como el residuo final es cero, entonces el resultado de la división es, xy xy + 8