EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 207 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. SEPTIEMBRE 2018 OPCIÓN A

Transcripción

1 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD 07 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. SEPTIEMBRE 08 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá elegir una opción A o B y responder a todas las cuestiones de esa opción. Nunca podrá mezclar cuestiones de la opción A con cuestiones de la opción B. En cada cuestión se indica su puntuación. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables. OPCIÓN A / 0 x 0 CUESTIÓN A. Dadas las matrices A, B 0, C y y D z 5 t A B C D. ( puntos) Hallar x, y, z para que se cumpla. CUESTIÓN A. Dada la función ( ) ln 5 que se cumpla f (0) y f '(0). (,5 puntos) f x x x ax b con a y b números reales. Hallar a y b para CUESTIÓN A. Calcular las siguientes integrales: a) b) c) x x x x dx. (0,75 puntos) x dx. (0,75 puntos) e dx. (0,5 puntos). Hallar P A, PB CUESTIÓN A4. Sabiendo que P( A B) 0,95, P( A B) 0,5 y P(A/ B) 0,5 yp A/ B ( puntos) CUESTIÓN A5. En una muestra aleatoria de 00 individuos se ha obtenido para el peso una media de 60 kg. Se sabe que el peso en la población de la que procede la muestra sigue una distribución normal con una desviación típica de 0 kg. a) Obtener un intervalo de confianza al 9% para el peso medio de la población. (,5 puntos) b) Qué error máximo se comete en la estimación anterior? (0,5 puntos) de 0

2 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia OPCIÓN B CUESTIÓN B. Un agricultor puede utilizar, como máximo, 0 hectáreas de terreno para dos tipos de cultivo, A y B. Quiere dedicar, al menos, 5 hectáreas al cultivo A, y el terreno dedicado al cultivo B debe ser como mínimo el doble que el dedicado al cultivo A. Cada hectárea de cultivo A le produce 00 de beneficio, mientras que cada hectárea de cultivo B le produce 5. Hallar las hectáreas que debe dedicar a cada uno de los cultivos para conseguir el máximo beneficio. A cuánto ascenderá dicho beneficio? ( puntos) x CUESTIÓN B. Dada la función f ( x) 5x e x : a) Calcular f '(0). (,5 puntos) b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (0, ). (0,5 puntos) CUESTIÓN B. Hallar el valor del parámetro a para que se cumpla (,5 puntos) ax 9 x 0 dx a. CUESTIÓN B4. En un grupo hay mujeres y 8 hombres. Se eligen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, tres personas. a) Hallar la probabilidad de que las tres personas sean mujeres. (0,5 puntos) b) Cuál es la probabilidad de que las tres personas no sean del mismo sexo? (0,75 puntos) c) Hallar la probabilidad de que salgan, al menos, dos hombres. (0,75 puntos) CUESTIÓN B5. En una muestra aleatoria de tamaño 50 de individuos de una población se ha obtenido que utilizan el tranvía. Hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de individuos de la población que utilizan el tranvía. (,5 puntos) 0 de 0

3 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia SOLUCIONES OPCIÓN A / 0 x 0 CUESTIÓN A. Dadas las matrices A, B 0, C y y D z 5 t A B C D. ( puntos) Hallar x, y, z para que se cumpla. / 0 t A A / 0 x 0 t A B C D / 0 y 0 z 5 x / y 0 z 5 x y x y z z x Haciendo los productos fila por columna / y x y z z x 0 y y z z x y z x y z y z 5 Queda el sistema de ecuaciones: x y z x y z 4 x z 4 z 4 x y z x y z y z 4 x z 4 z y z 5 y z 4 x 4z 8 x z z 4 x 4z 8 Multiplico la fila ª por x 6z 6 x z x z y las sumo z z x 4 8 x x 6 y 4 5 La solución es x 6; y 5; z de 0

4 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia CUESTIÓN A. Dada la función ( ) ln 5 que se cumpla f (0) y f '(0). (,5 puntos) Vayamos imponiendo las condiciones: f x x x ax b con a y b números reales. Hallar a y b para Primera condición f (0) f ( x) x ln x 5 ax b f (0) 0 ln 0 5 a 0 b b x 0 Como f (0), entonces b= Segunda condición f '(0) f x x x ax b f x x x x a x 5 f a a ( ) ln 5 '( ) ln( 5) 0 '(0) 0 ln( 0 5) Como f '(0), entonces a= CUESTIÓN A. Calcular las siguientes integrales: a) b) x x x dx. (0,75 puntos) x dx. (0,75 puntos) c) x e dx. (0,5 puntos) a) b) c) x x x x dx x Cambio de variable x x x dt t dx x dx x t x dx dt x x x dt x Cambio de variable dt e dx e t e dx dt t dt t e t dt dt dx x e t t dt ln t ln( x ) x K K 4 de 0

5 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia CUESTIÓN A4. Sabiendo que P( A B) 0,95, P( A B) 0,5 y P(A/ B) 0,5 y P A / B. ( puntos) Utilizando la fórmula para el cálculo de la probabilidad condicionada: P( A B) P(A/ B) PB ( ) 0,5 0,5 P( B) 0,5 PB ( ) 0,7 0,5 P( B) 0,7 Utilizando la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos: P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,95 PA ( ) 0, 7 0,5 0,95 0,7 0,5 P( A) P( A) 0,6 De nuevo, utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: P( A B) P A/ B PB ( ) P( B) P( B) 0,7 0, P( A B) P( A B) P(A B) 0,95 0,05 P P( A B) 0,05 A/ B 0,66 PB ( ) 0, P A / B 0'66. Hallar P A, PB CUESTIÓN A5. En una muestra aleatoria de 00 individuos se ha obtenido para el peso una media de 60 kg. Se sabe que el peso en la población de la que procede la muestra sigue una distribución normal con una desviación típica de 0 kg. a) Obtener un intervalo de confianza al 9% para el peso medio de la población. (,5 puntos) b) Qué error máximo se comete en la estimación anterior? (0,5 puntos) a) Sea X la variable aleatoria que mide el peso de los individuos de una población. Sabemos que sigue una N(μ, 0). Utilizamos la fórmula x z/, x z/ para establecer el intervalo de confianza. n n n=00, x =60, =0 y como - =0 9 =0 08 /= /=0 96 z / = 75 El intervalo de confianza para la media de la población es: 5 de 0

6 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia 0 0 x z/, x z/ 60 '75, 60 '75 n n b) El error máximo que se puede cometer es de,5 kg Intervalo de confianza 56,5, 6'5 6 de 0

7 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia OPCIÓN B CUESTIÓN B. Un agricultor puede utilizar, como máximo, 0 hectáreas de terreno para dos tipos de cultivo, A y B. Quiere dedicar, al menos, 5 hectáreas al cultivo A, y el terreno dedicado al cultivo B debe ser como mínimo el doble que el dedicado al cultivo A. Cada hectárea de cultivo A le produce 00 de beneficio, mientras que cada hectárea de cultivo B le produce 5. Hallar las hectáreas que debe dedicar a cada uno de los cultivos para conseguir el máximo beneficio. A cuánto ascenderá dicho beneficio? ( puntos) Llamemos x=número de hectáreas del cultivo A y=número de hectáreas del cultivo B. Detallemos cuales son las restricciones del problema: x 0 y 0 x y0 x 5 y x Dibujemos la región factible (donde está la solución del problema) Nuestra solución estará en uno de los vértices del triángulo blanco del dibujo. Averiguamos sus coordenadas: x 5 y y0 x A(5, 95) x 5 y 5 50 y x B(5, 50) 7 de 0

8 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia y 0 x 0 x x 0 x x 0 / 40 y x C(40, 80) Determinemos la función beneficio (Cada hectárea de cultivo A le produce 00 de beneficio, mientras que cada hectárea de cultivo B le produce 5 ): Beneficio( x) 00x 5y Sustituyendo cada punto podremos decidir el punto solución: A(5,95) Beneficio(5,95) B(5,50) Beneficio(5,50) C(40,80) Beneficio(40,80) El máximo beneficio se obtiene para x = 40 e y = 80. Para 40 hectareas del cultivo A y 80 hectareas del cultivo B se obtiene el máximo beneficio, siendo de 900 x CUESTIÓN B. Dada la función f ( x) 5x e x : a) Calcular f '(0). (,5 puntos) b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (0, ). (0,5 puntos) a) x x x x x 0 x x x f ( x) 5 x e f '( x) 5x e 5 x e x f '( x) 5x e 0x e x f '(0) 5 0 e 0 0 e x b) A partir de la ecuación general de la recta tangente a la función y f x en un punto x a: y f ( a) f '( a)( x a) La aplicamos para a 0 : y f (0) f '(0)( x 0) f (0) y 0 x f '(0) 0 y CUESTIÓN B. Hallar el valor del parámetro a para que se cumpla (,5 puntos) Resolvamos la integral definida: ax 9 x 0 dx a. 0 8 de 0

9 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia 0 ax x d 9 0 x a 4 ax x 9 0x a a a a 4 4 a 0 a 4 a 7a 4 a8 8a 8 7a 8 a 4 7 a 4 CUESTIÓN B4. En un grupo hay mujeres y 8 hombres. Se eligen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, tres personas. a) Hallar la probabilidad de que las tres personas sean mujeres. (0,5 puntos) b) Cuál es la probabilidad de que las tres personas no sean del mismo sexo? (0,75 puntos) c) Hallar la probabilidad de que salgan, al menos, dos hombres. (0,75 puntos) Construyamos el árbol correspondiente a este experimento aleatorio: /9 0/8 8/8 /0 8/9 /8 7/8 8/0 /9 /8 7/8 7/9 /8 6/8 9 de 0 a) Probabilidad de elegir mujeres solo se produce en la rama superior siendo su probabilidad

10 EBAU Septiembre 08 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia 0 Probabilidad de elegir mujeres 0, b) Probabilidad de que personas no sean del mismo sexo aparece en muchos casos, por ello, lo haremos con el suceso contrario. Probabilidad de que personas no sean del mismo sexo es lo mismo que Probabilidad de que sean del mismo sexo. Probabilidad de que personas no sean del mismo sexo Probabilidad de que sean tres mujeres o tres hombres , c) Mirando el árbol y contando desde arriba hasta abajo, se eligen, al menos, dos hombres en el caso 4º, 6º, 7º y 8º. Por lo que la probabilidad del suceso pedido se obtiene sumando las probabilidades de que ocurra cada una de estos sucesos: Probabilidad de elegir, al menos, hombres = = P( ) + P( ) + P( ) + P( ) = = , CUESTIÓN B5. En una muestra aleatoria de tamaño 50 de individuos de una población se ha obtenido que utilizan el tranvía. Hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de individuos de la población que utilizan el tranvía. (,5 puntos). Los datos son z /,58 p 0, ; n 50, Para un nivel de confianza del 99% obtenemos 50 El intervalo de confianza para la proporción de personas que utilizan el tranvía es: p p p p p z/, p z/ n n 0, 0,79 0, 0,79 0,,58, 0,, ,4, 0, de 0