2.3 El Mundo de Tarski.

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1 2.3 El Mundo de Tarski El mundo de Tarski es una herramienta de software desarrollada expresamente para enseñar y mejorar la capacidad del estudiante para describir situaciones en un mundo simple utilizando Lógica Proposicional. Para esta sección utilizaremos una implementación libre del Mundo de Tarski disponible en el sitio siguiente como un applet de Java: Este applet tiene la opción de descarga para ejecutarlo de manera local, para lo que se requiere que en tu máquina esté instalado el JRE (Java Runtime Environment) 1.4 o posterior. Se descarga un archivo llamado blockworld.jar y se ejecuta desde una ventana Símbolo de sistema con el siguiente comando: java -classpath blockworld.jar ch.ethz.inf.rs.blockworld Colocando figuras en el tablero El mundo de Tarski consiste de un tablero de 8 x 8 celdas, en el que se pueden colocar triángulos, pentágonos y cuadrados, cuyo tamaño puede ser pequeño, mediano o grande. El estudiante puede colocar tantas figuras como desee en el tablero y distribuirlas a su gusto. Una vez definida una configuración del mundo, se debe describir dicha configuración por medio de una serie de proposiciones que deben ser verdaderas todas ellas en la configuración mostrada. La siguiente figura muestra el tablero del mundo de Tarski. En este caso, se muestra un tablero vacío.

2 Para colocar la figura en cualquier otra celda del tablero, sólo debes arrastrarla hasta le celda deseada, es decir, dar click sobre la figura y sin soltar el botón del click, desplazarla hasta su nueva celda y entonces soltar el botón. Para deseleccionar una figura, sólo da un click en cualquier celda Como puedes ver, en la parte derecha del tablero hay una serie de botones: Triangle, Squarey Pentagon se utilizan para elegir la figura a colocar. Small, Mediumy Large se utilizan para determinar el tamaño de la figura elegida. Name nos permite nombrar la figura (con una letra entre la a y la z minúsculas). El nombre de las figuras es opcional. También aparecen otros botones: Create: Se utiliza para agregar una nueva figura de acuerdo a la forma, tamaño y nombre (si es el caso) definidos en los botones anteriores. Apply: Nos permite modificar los atributos de una figura ya colocada en el tablero. Para esto debemos elegir previamente la figura dando click sobre la misma. Delete: Nos permite eliminar del tablero la figura elegida. Clear all: Permite eliminar todas las figuras del tablero, es decir, limpiar el tablero. Save as: Nos permite guardar la configuración actual del tablero. Esta opción sólo es posible si estoy ejecutando el applet en mi máquina local, para lo cual tuve que descargarlo antes. Open: Nos permite cargar una configuración previamente guardada. Esta opción sólo es posible si se está ejecutando el applet en la máquina local, para lo cual hay que descargarlo antes. La siguiente figura muestra elegidas las opciones para crear un pentágono de nombre p, de tamaño grande (Large). Nota que al dar click en el botón Create, aparece un pentágono gris en la esquina superior izquierda del tablero. Todas las figuras recién creadas aparecerán en esa esquina. El color gris indica que la figura está seleccionada.

3 La siguiente figura muestra el pentágono ya colocado en una celda de la parte media del tablero. Nota que ahora el pentágono es de color naranja, o sea, ya no está seleccionado, y que los botones que se usaron para crearlo tampoco lo están ya. Supongamos que ahora quieres cambiar el tamaño del pentágono. Actualmente es grande, pero deseas que sea mediano. Para esto, primero selecciona el pentágono haciendo click sobre él. Te darás cuenta de que el pentágono ha sido seleccionado porque cambia a color gris. Nota que al seleccionarlo, los botones Pentagon, Large y el nombre p se vuelven a seleccionar. Ahora debes elegir Medium y dar click en el botón Apply. Al hacer esto, verás que el pentágono cambia de tamaño, como se muestra en la siguiente figura.

4 Ahora solo resta deseleccionar el pentágono para que regrese a su color naranja y se liberen los botones utilizados para crear/modificar las figuras. De la misma manera que se creó el pentágono, puedes crear tantas figuras como quieras, y distribuirlas en el tablero a tu gusto. Como comentamos arriba, una vez colocadas todas las figuras en el tablero, sigue describir este mundo por medio de una serie de proposiciones. Pasemos entonces a estudiar cómo especificar estas proposiciones en el mundo de Tarski Sintaxis del mundo de Tarski La parte inferior del tablero (que se muestra en la figura siguiente) es el lugar diseñado para capturar las proposiciones que describen la configuración actual del mundo de Tarski. El software define una sintaxis para construir adecuadamente las proposiciones que creemos detallan correctamente la configuración actual del tablero. Estas proposiciones son sensibles a uso de mayúsculas y minúsculas. Verás una serie de botones en la parte superior de las entradas para las proposiciones. Estos botones y sus funciones son los siguientes: Eval all hace que el programa evalúe todas las proposiciones capturadas hasta el momento y me indica cuáles son verdaderas (T) y cuáles son Falsas (F). El objetivo es que todas las proposiciones sean Verdaderas. Clear all borra todas las proposiciones capturadas hasta el momento, dejando completamente en blanco el área de fórmulas. Save as permite guardar las proposiciones definidas hasta el momento. Esta opción sólo es posible si estoy ejecutando el applet en la máquina local, para lo cual hay que descargarlo antes. Open se usa para cargar proposiciones previamente guardadas. Esta opción sólo es posible si estoy ejecutando el applet localmente, para lo cual hay que descargarlo previamente.

5 Valores de las fórmulas T La fórmula is Verdadera (true) en el mundo actual. F La fórmula is Falsa (false) en el mundo actual. U La fórmula contiene variables libres indefinidas en el mundo actual.? La fórmula contiene error de sintaxis. Al evaluar las proposiciones capturadas en el área de fórmulas, cada una de ellas tomará alguno de los siguientes valores: Conectivos lógicos El Mundo de Tarski nos permite definir los siguientes conectivos lógicos: /\ : Conjunción (una diagonal normal seguida de una diagonal invertida). \/ : Disyunción (una diagonal invertida seguida de una diagonal normal). => : Implicación (un igual seguido de un mayor que). <=> : Implicación doble (un menor que, seguido de un igual, seguido de un mayor que). ~ : Negación. Cuantificadores Los cuantificadores se representan de la siguiente manera: A : Para todo (una A mayúscula). E : Existe al menos uno (una E mayúscula). Predicados Las características de las figuras geométricas se especifican por medio de los siguientes predicados: Triangle(x) x es un triángulo. Square(x) x es un cuadro. Pentagon(x) x es un pentágono. Small(x) x es pequeño. Medium(x) x es mediano. Large(x) x es grande. Smaller(x,y) x es más pequeño que y. SameSize(x,y) x es del mismo tamaño que y. SameCol(x,y) x está en la misma columna que y. SameRow(x,y) xy y están en la mismo renglón. LeftOf(x,y) la columna de x está a la izquierda de la columna de y. Between(x,y,z) x está entre yy z en un renglón, columna o diagonal.

6 x <> y x es diferente de y. Por ejemplo, considere la siguiente configuración del mundo de Tarski: ç Como puedes observar, esta configuración sólo consta de tres triángulos de diferente tamaño. En este mundo las siguientes proposiciones son todas verdaderas: En la configuración también vemos que cada triángulo es de diferente tamaño y está en distinta columna y renglón. Por tanto, creemos que también la siguiente proposición es verdadera: x y: ~SameRow(x,y) ~SameCol(x,y) Que en la sintaxis del Mundo de Tarsky se escribe como se muestra a continuación: A x A y ~SameRow(x,y) /\ ~SameCol(x,y)

7 Vamos a capturarla y evaluarla para determinar si está bien definida esta proposición. Esto es, la capturamos en la línea 3 y damos click en el botón Eval all. Al evaluar la proposición en el mundo de Tarski, la siguiente figura muestra que algo no está bien, ya que la proposición 3 es Falsa: Qué está mal en la última proposición? A primera vista parece ser correcta, dado que cada uno de los triángulos está en diferente columna y renglón. El problema es que para evaluar la última proposición, puesto que contiene variables x y y, el programa debe instanciar esas variables de acuerdo a las diferentes figuras del tablero actual. En nuestro caso, estas figuras son los triángulos a, b y c. Es decir, tanto x como y pueden tomar cualquiera de estos tres valores. Cuando x=triangle(a) y y=triangle(b), por ejemplo, la proposición es Verdadera, pero cuando x=triangle(a) y y=triangle(a), la proposición es Falsa. Por tanto, debemos especificar que si x y y son diferentes, entonces están en diferente columna y renglón. Así que la proposición correcta es la siguiente: x y: x <> y ~SameRow(x,y) ~SameCol(x,y) Que en la sintaxis del mundo de Tarski es así: A x A y x <> y => ~SameRow(x,y) /\ ~SameCol(x,y) Otra proposición que también parece correcta es que al menos hay un triángulo pequeño, lo que podemos representar así: x: Triangle(x) Small(x) que en la sintaxis del Mundo de Tarski se escribe así: E x (Trangle(x) /\ Small(x))

8 Para indicar que todas las figuras son de diferente tamaño, podemos usar la siguiente proposición: x y: x <> y ~SameSize(x,y) Que en la sintaxis del Mundo de Tarski se representa así: A x A y x <> y => ~SameSize(x,y) A continuación mostramos el área de fórmulas con todas las proposiciones anteriores, donde podemos ver que todas son Verdaderas: A manera de ejercicio, define la proposición que diga que por lo menos hay un triángulo en medio de otros dos. Una vez que hayas completado la lectura de esta breve guía, estás listo para la actividad de la semana: una serie de ejercicios con el Mundo de Tarski. Adelante y mucho éxito en esta tarea!

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