Límites. Definición de derivada.

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1 Capítulo 4 Límites. Definición de derivada Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones como esta: y a la pregunta de qué sucede cuando x se acerca más y más a x 0. Y hemos visto un ejemplo, en para el cálculo de 2, en el que esa pregunta tiene una respuesta evidente. Es importante entender que la respuesta no es trivial. En principio, esperamos que, al menos en los casos normales, f(x) se parezca mucho a f(x 0 ) cuando x se acerca a x 0 (volveremos sobre este asunto de los casos normales cuando hablemos de continuidad). Y en tales casos, eso significa que el numerador y el denominador ambos se parecen mucho a 0. Es decir, que estaremos ante una situación que en matemáticas se representa con el símbolo 0/0. Por el momento, usamos este símbolo sólo para indicar que se trata de una situación que exige un análisis más detallado. Y eso significa que el problema de la tangente puede tener solución, pero esa solución exige bastante reflexión. Se trata por tanto de lo siguiente. Tenemos una expresión que depende de x, llamémosla h(x), y queremos saber qué ocurre con esta expresión cuando x se acerca a x 0. Ese problema se representa con el símbolo h(x) que leemos diciendo el ite de h(x) cuando x tiende a x 0. En el problema de la tangente tenemos h(x) = f(x) f(x 0) de manera que resolver ese problema consiste en dar sentido a la pregunta. Se trata de explicar con rigor lo que significa que un cierto número sea la respuesta. Y además, naturalmente, tendremos que ocuparnos del problema de cómo calcular ese número. Ejemplo Es decir, que queremos escribir la conclusión del ejemplo (pág. 25) sobre el cálculo de 2, diciendo que si f(x) = x 2 2, entonces (x 2 2) (x 2 0 2) = = 2x 0 Pero, para que el esfuerzo teórico que vamos a hacer tenga una recompensa generosa, no queremos limitarnos al problema de la tangente. Porque hay otras situaciones en matemáticas en las que surgen problemas similares. 27

2 Ejemplo Supongamos que queremos saber lo que ocurre con la expresión h(x) = (1 + x) 1/x cuando x es un número muy cercano a x 0 = 0. Es decir, nos preguntamos por el valor de (1 + x)1/x x 0 En tal caso, tenemos un número (1 + x) que se parece mucho a 1. En principio podemos pensar que cualquier potencia de un número cercano a 1 estará a su vez cerca de 1. Pero es que lo elevamos a una cantidad muy grande (positiva o negativa). Y si bien es cierto que, por ejemplo, no es menos cierto que (1,00001) 100 1, (1,00001) ,364 De manera que el comportamiento del resultado de una operación como (algo parecido a 1) algo muy grande parece depender de una manera sutil de cuál sea la relación de tamaño entre la base y el exponente. Para describir este tipo de situaciones hablaremos de un problema 1. Más adelante veremos cuál es la respuesta a este problema concreto, que es muy importante. Los problemas de la forma 0 0, 1 y otros similares se denominan indeterminaciones. El impulso inicial para definir los ites viene dado por nuestro deseo de conocer la respuesta a preguntas como estas. Naturalmente, también hay situaciones mucho más sencillas. No necesitamos una teoría muy elaborada para saber que x 2 x2 = 4 aunque por supuesto, la teoría que vamos a desarrollar incluirá estos casos triviales Distancias y valores absolutos Para poder construir la idea de ite que necesitamos, un ingrediente clave es la noción de distancia. Para poder decir con rigor que x está cerca de x 0, debemos ser capaces de expresar formalmente, en el lenguaje de las matemáticas, la distancia entre esos dos puntos. Afortunadamente, disponemos de dicha expresión. Definición (Distancia entre números reales). Si a y b son dos números reales, entonces la distancia entre ellos es el número a b Desafortunadamente, esta expresión utiliza el concepto de valor absoluto, que muchos estudiantes de cálculo encuentran indigesto. Trataremos de hacerlo un poco más ligero. Recordemos la definición: Definición (Valor absoluto). El valor absoluto del número real a es: { a si a 0 a = a si a < 0 Ejemplo (Error común con el valor absoluto). Una de las confusiones más frecuentes al utilizar el valor absoluto se ilustra en este ejemplo, incorrecto: { a 2 a 2 5a + 6 si a 0 5a + 6 = (a 2 5a + 6) si a < 0 28

3 Hemos resaltado la parte incorrecta de esta expresión. La expresión correcta sería: { a 2 a 2 5a + 6 si a 2 5a a + 6 = (a 2 5a + 6) si a 2 5a + 6 < 0 Como puede verse, por este y otros ejemplos similares, el trabajo con valores absolutos exige a su vez una cierta familiaridad con el uso de desigualdades en matemáticas. De hecho, las desigualdades son otro ingrediente fundamental que necesitamos para poder definir los ites y para trabajar con ellos. El trabajo con desigualdades puede ser extremadamente difícil, y es una de las partes más sutiles de las matemáticas. Pero aquí sólo necesitaremos algunas ideas sencillas. El lector de este curso debe asegurarse de que tiene la soltura suficiente como para trabajar con problemas que involucren esas ideas sencillas (como los que aparecen en la lista de problemas del curso). Para el trabajo que vamos a hacer en la siguiente sección hay un resultado sobre valores absolutos y desigualdades que resultará muy útil enseguida: Observación (Intervalos definidos mediante el valor absoluto). El conjunto de números x que cumplen la desigualdad: x a < r coincide con el intervalo de números x que cumplen: a r < x < a + r Es decir, con aquellos números cuya distancia al número a (el centro del intervalo) es menor que r (el radio del intervalo). Con este lenguaje estamos ya preparados para entender la definición del ite Definición formal de ite Continuando la discusión inicial de este capítulo, a estas alturas debemos tener bastante claro al menos una idea informal de lo que hay detrás de la idea de ite. Cuando escribimos h(x) = L siendo L un cierto número, estamos diciendo que si se calcula f en un punto x cercano a x 0, se obtendrá un valor que tal vez no sea L, pero que estará muy cerca de L. Y estará tanto más cerca, cuanto más acerquemos x a x 0. Como puede verse, en esta descripción del ite la idea central es la de distancia. Si queremos ser más precisos, y obtener una definición rigurosa, la mejor forma de pensar en esta definición de ite consiste probablemente en centrarnos en la idea de control del error: Nos fijamos un objetivo de error máximo tolerable, que fijamos mediante un número al que, en este contexto, tradicionalmente se denomina ε. Debemos pensar por tanto que ε será un número pequeño, algo como 0,001 si deseamos cometer un error de milésimas, o como 0, si el tamaño del error máximo debe ser del orden de millonésimas. Vamos a medir entonces el error que se comete al calcular h(x) en lugar de L, y queremos que ese error sea menor que ε. Es decir, queremos que la distancia entre h(x) y L sea menor que ε. Y recordando nuestra discusión sobre distancias de la sección anterior, eso significa que debe cumplirse: Naturalmente, no podemos esperar que ésto ocurra sea cual sea el valor de x que se utilice. Para que el error sea pequeño, debemos tomar x cerca de x 0. Y así llegamos a la versión casi definitiva de la definición de ite: Definición (Definición provisional de ite). Decimos que el ite de h en x 0 es L si, sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede garantizar que se cumple cuando x está suficientemente cerca de x 0. 29

4 Para convertir esto en una definición formal debemos precisar la parte que aparece subrayada en esta definición. Cuáles son los x que están suficientemente cerca de x 0? Pues todos aquellos cuya distancia a x 0 es pequeña. Una forma de garantizar que esa distancia sea pequeña es tomar un número pequeño que, también siguiendo la tradición, denominaremos δ, y pedir que se cumpla < δ Si por ejemplo tomamos δ = 0,0001, estamos pidiendo que la distancia entre x y x 0 sea menor que una diezmilésima. El número δ es casi la última pieza que nos faltaba en nuestra definición de ite. Pero falta todavía un detalle para que estemos preparados para la definición de ite. El siguiente ejemplo ilustra el tipo de situaciones que queremos evitar: Ejemplo Sea h(x) = La gráfica de esta función tiene este aspecto: { x 2 si x 1 2 si x = 1 El círculo punteado pretende indicar que la gráfica de h está, por así decirlo, agujereada en x 0 = 1, de modo que el valor h(1) = 2 se encuentra situado más arriba, representado por un punto sólido en la figura. Una situación como la de este ejemplo, que sin duda parece bastante artificial, es bastante molesta. Porque, ya que el valor de h(1) parece bastante arbitrario, nos gustaría decir que el ite de h en x = 1 es L = 1. Pero eso choca con la idea de que, para ε pequeño, si tomamos x suficientemente cerca de x 0 = 1 podemos conseguir que sea Porque basta con tomar aquí x = 1 (es decir x = x 0 ; no se puede estar más cerca de x 0!) para obtener h(x) L = h(1) 1 = 2 1 = 1 Y no hay manera de conseguir que esta cantidad, 1, sea menor que el ε pequeño con el que habíamos empezado. La conclusión de este ejemplo es que, para conseguir una definición satisfactoria, debemos añadir una coletilla a la definición provisional: sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede garantizar que se cumple 30

5 cuando x está suficientemente cerca de x 0, y es distinto de x 0. La novedad es la parte que hemos destacado en esta frase. Y la forma de excluir que sea x = x 0 es escribir 0 < < δ en lugar de simplemente < δ. Ahora sí, con este matiz, ya tenemos todos los ingredientes necesarios para la definición. Definición (Definición de ite). Decimos que el ite de h en x 0 es L si, sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede elegir un número δ tal que, para todos los x que cumplen 0 < < δ se puede garantizar que se cumple En lenguaje formal: ε > 0 δ : 0 < < δ Hay que pensar en esta definición como una especie de contrato: si tú me dices el error ε que estás dispuesto a admitir, yo me comprometo a encontrar el δ que garantiza que si tomas x a distancia menor que δ de x 0, los valores de h(x) que vas a obtener se parecen al valor L con un error menor que ε Demostrar y calcular ites Cuando nos enfrentamos con un problema de ites, nuestra primera preocupación es averiguar cuál es el número L qué debemos colocar a la derecha de la ecuación: h(x) =?? Una vez que tengamos un candidato a ser ese ese número L, entonces podremos usar la definición para certificar que el ite es cierto. Si no es así, es que hay que buscar mejor el candidato a ser el ite. En principio, este es un esquema de trabajo posible, aunque poco práctico. Por esa razón, en los próximos capítulos vamos a desarrollar un método diferente, que resultará mucho más práctico. Se trata de un método en el que calculamos y a la vez demostramos que el cálculo es correcto. Es decir, que la inmensa mayoría de las veces que usemos los ites no tendremos la necesidad de dar una demostración explícita. La definición de ite sirve, ante todo, como fundamento teórico con el que construir dichos métodos. Los usuarios no matemáticos del Cálculo, científicos e ingenieros, no piensan no necesitan pensar en la definición de ite cuando utilizan esos métodos. Y lo bueno es, precisamente, que no necesitan hacerlo, y aun así el resultado tiene una garantía absoluta de corrección! Aunque la definición de ite va a ser en este curso ante todo una herramienta teórica, es importante que el lector la entienda bien. Y ello es así por dos razones, al menos. En primer lugar porque, siendo el Cálculo una de las disciplinas fundamentales sobre las que descansan la ciencia y la técnica, cualquier lector culto no digamos ya si se trata de alguien que aspira a una formación técnica debe conocer la parte esencial de esta disciplina. Y en segundo lugar, porque hay al menos un aspecto muy práctico en la definición de ite: la definición se puede utilizar para medir el esfuerzo necesario para garantizar la precisión deseada en el cálculo de una función. Veremos en la próxima sección algunos ejemplos detallados de esta afirmación, que deben servir para mejorar nuestra comprensión del significado del ite Ejemplos de demostraciones Empezaremos por un caso muy sencillo, pero que trataremos con mucho detalle, para pasar después al problema de la tangente que hemos usado en ejemplos previos. Dejamos pendiente para una sección posterior el examen de algunos ejemplos en los que no existe el ite. Entender estos ejemplos es crucial. Advertimos al lector de que no debe seguir adelante con la lectura hasta haberse hecho una idea, al menos bastante completa, de cuál es la estructura de una demostración de ites, que le permita completar las demostraciones sencillas que aparecen en los ejercicios que acompañan al curso. 31

6 Ejemplo Vamos a empezar demostrando formalmente algo que intuitivamente es obvio: x 2 x2 = 4 Como hemos dicho antes, nos planteamos la demostración como si se tratará del cumplimiento de un contrato con un cliente. El cliente ha fijado una precisión ε; conviene que el lector piense, para fijar ideas, en un valor concreto, algo como ε = Y espera de nosotros el siguiente resultado: quiere que le demos como respuesta un cierto intervalo de valores de x, cercanos a 2, y que le garanticemos que el valor de h(x) = x 2, calculado para uno cualquiera de esos valores de x se parece a 4 con la precisión dada por ε. Es decir, que el cliente estará satisfecho si al calcular con uno de los x que le entregamos obtiene algo como 3, o como 4, Pero se disgustará si obtiene algo como 3,9: el error en este caso es demasiado grande. Así pues, el criterio de control de calidad que va a usar el cliente viene dado por la expresión: h(x) L = x 2 4 < ε = 10 6 Nuestro objetivo, para satisfacer al cliente, es que nuestros valores de x cumplan x 2 4 < 10 6 De qué herramientas disponemos para conseguir esto? Lo que nosotros controlamos es la distancia entre x y 2. Podemos pedirle al cliente que use un valor de x tan cercano a 2 como queramos. Así pues, lo que controlamos es el tamaño de x 2 Por tanto, la estrategia de la demostración consiste en mostrar que, tomando x 2 suficientemente pequeño, se puede conseguir que x 2 4 sea tan pequeño como se necesite (más pequeño que ε, concretamente). Para mostrar eso, la tarea consiste en establecer alguna relación entre las dos cantidades. En este caso, partimos del objetivo x 2 4 y lo manipulamos para tratar de relacionarlo con la cantidad que controlamos, que es x 2. El primer paso es evidente: x 2 4 = (x 2)(x + 2) = x 2 x + 2 y, en efecto, hemos conseguido hacer aparecer x 2. El problema es que no viene sólo, lo acompaña el factor x + 2. Recordemos que nuestro objetivo es, en resumidas cuentas, demostrar que si x 2 es pequeño, entonces x 2 4 = x 2 x+2 es pequeño. Sabiendo que x 2 es pequeño, podemos entonces asegurar que x 2 x + 2 tiene que serlo? Hay que tener un poco de cuidado. El producto de algo muy pequeño por algo muy grande puede darnos más de una sorpresa. Así que, para conseguir nuestro objetivo, tenemos que demostrar que, si x 2 es pequeño, entonces como consecuencia de ese hecho, el valor de x + 2 no es muy grande. Y entonces tendremos un razonamiento que esencialmente dirá que x 2 4 = x 2 x + 2 = (algo muy pequeño) (algo no muy grande) = (algo muy pequeño) Por lo tanto, lo que nos falta es ser capaces de argumentar que, si x 2 es muy pequeño, entonces x+2 no debe ser muy grande. Pero esto debería estar claro! Si pensamos en x 2 muy pequeño, podemos pensar sin duda que ha de ser, por ejemplo, x 2 < 1. Eso significa, como hemos visto al traducir estas expresiones en intervalos, que 1 < x < 3 Y si tenemos un valor de x entre 1 y 3, es evidente que x+2 < 5. Es decir, como queríamos, al controlar el tamaño de x 2, el tamaño de x + 2 queda automáticamente bajo control. Bueno, cómo usamos todas estas ideas para decidir cuáles son los valores de x que debe usar nuestro cliente? El cliente quiere, recordémoslo: x 2 4 < ε. Es decir, x 2 x + 2 < ε Si empezamos por pedirle al cliente que, en cualquier caso, utilice sólo valores de x que cumplan x 2 < 1, entonces, como hemos visto: x 2 x + 2 < 5 x 2 32

7 Y si tomamos valores de x que garanticen que la expresión de la derecha sea < ε, entonces estaremos garantizando que los deseos del cliente se cumplen. Es decir, que debemos asegurarnos de que sea 5 x 2 < ε Pero es evidente que para que esto se cumpla basta con tomar x 2 < ε. Es decir, que el cliente debe 5 usar valores que cumplan dos condiciones: 1. x 2 < 1 2. x 2 < ε 5 En condiciones normales, para un valor pequeño de ε, cumplir la segunda condición implica que también se cumple la primera. Pero si queremos tener una respuesta que le sirva al cliente sea cual sea el valor de ε que elija, podemos resumir la condición sobre x así: ( x 2 < mín 1, ε ) = δ 5 La expresión a la derecha de la desigualdad es el δ que aparece en la definición de ite, y que define la región de valores de x que el cliente puede usar para obtener la precisión ε deseada. Naturalmente, δ depende de ε. Es importante entender, en el ejemplo que acabamos de detallar, que el valor de δ que hemos obtenido no es desde luego único, y que en cualquier caso, no nos hemos esforzado en conseguir un δ que sea, en algún sentido, el mejor posible. Lo importante en una demostración de ite es que seamos capaces de demostrar que por pequeño que sea el ε con el que se empiece, siempre tenemos un δ que garantiza la precisión deseada. Veamos a continuación el ejemplo de cálculo de 2, con el que venimos trabajando desde el principio del curso. Ejemplo Vamos a demostrar que, para f(x) = x 2 2, se tiene = 2x 0 = L Es decir, que una vez que fijamos un valor de ε, tenemos que demostrar que se puede conseguir que sea: 2x 0 < ε siempre que se tome x suficientemente cerca de x 0. Por lo tanto, procediendo como en el ejemplo anterior, nuestro trabajo pasa por encontrar una relación entre el tamaño de 2x 0 y el de Manipulando la primera expresión: 2x 0 = (x 2 2) (x 2 0 2) 2x 0 = x 2 x 2 0 2x 0 ( ) = ((x + x 0 ) 2x 0 )( ) = Es decir, que en este ejemplo concreto: L = Y por lo tanto se puede tomar simplemente δ = ε. 33

8 4.5. Definición formal de derivada. Continuidad Puntual Con la definición de ite que acabamos de construir, estamos por fin en condiciones de dar una respuesta rigurosa al problema de la tangente. La primera definición que daremos es la definición clásica que el lector encontrará en la mayoría de los textos de cálculo: Definición (Derivada, def. 1). Supongamos que existe el ite Entonces diremos que f es derivable en x 0, y usaremos la notación: f (x 0 ) = El número f (x 0 ) es la derivada de f en x 0. Y la recta de ecuación y = f(x 0 ) + f (x 0 )( ) es la recta tangente a f en x Definición de continuidad puntual Decíamos al principio de este capítulo, que en los casos normales, el ite que se usa para el cálculo de una derivada siempre conduce a una indeterminación de la forma 0/0. Queremos aclarar ahora cuáles son esos casos normales a los que nos referíamos: se trata de aquellos casos en los que se cumple f(x) = f(x 0 ). Por tanto, en esta situación, el numerador de la definición de derivada tiende a 0. Vamos a darle un nombre a estos casos. Definición (Continuidad puntual). La función f(x) es continua en x 0 si se cumple f(x) = f(x 0 ). Veremos en el próximo capítulo, cuando aprendamos más detalles sobre el cálculo de ites, que si la función f no es continua en x 0 entonces no existe la derivada en dicho punto. Además, a medida que avancemos descubriremos que esta propiedad de la continuidad tiene muchas y profundas consecuencias, no sólo relacionadas con el problema de la tangente. 34

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