Instrumentos y matriz de datos

Transcripción

1 Curso: Estadística Instrumentos y matriz de datos Medidas descriptivas de Tendencia Central y Posición Estadística Descriptiva Profesor: Gonzalo Fernández Fecha: 19/09/2017

2 LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante estará en la capacidad de calcular e interpretar medidas de tendencia central y posición de un conjunto de datos sin agrupar y agrupados en tablas de frecuencias con precisión y exactitud de cálculo.

3 Sesión 5: Medidas de tendencia central y posición CONTENIDO 1. Medidas descriptivas de tendencia central: 1.1 Media aritmética. 1.2 Mediana. 1.3 Moda. 2. Medidas descriptivas de posición: 2.1 Cuartiles. 2.2 Percentiles. SABERES PREVIOS Conceptos fundamentales de estadística. Manejo de funciones básicas de Excel o MegaStat.

4 INTRODUCCIÓN Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que se usan para resumir la distribución de datos con un solo valor, dicho valor se dice que es representativo de los datos. Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que se usan para resumir la distribución de datos con un solo valor, dicho valor se dice que es representativo de los datos.

5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA RECOLECCIÓN CLASIFICACIÓN DATOS PRESENTACIÓN DESCRIPCIÓN PRESENTACIÓN DESCRIPCIÓN MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL, DISPERSIÓN Y FORMA TABLAS DE FRECUENCIA GRÁFICOS POSICIÓN CENTRALIZACIÓN DISPERCIÓN FORMA SIN INTERVALOS CON INTERVALOS BARRAS CIRCULARES HISTOGRAMAS CUARTILES DECILES PERCENTILES MEDIA MEDIANA MODA RANGO VARIANZA DESVIACION ESTANDAR C.V. ASIMETRÍA CURTOSIS

6 Medidas Resumen Descripción Numerica de Datos Tendencia Central Variación Forma Media Aritmética Mediana Moda Cuartiles Percentiles Rango Rango Intercuartílico Varianza Desviación Estándar Coeficiente de Variación Asimetría

7 CLASIFICACIÓN DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central mas utilizadas son: Media Aritmética Percentiles Mediana Deciles Moda Cuartiles

8 1. MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS La Media Aritmética es una de las medidas de resumen más importante de la Estadística, es un valor que tiende a ubicarse en el centro de la distribución de un conjunto de datos. Se obtiene al dividir la suma de todos los valores de un conjunto de datos entre el número total de datos. X n i 1 n x i Donde: x i : valores de la data n: número total de datos Ejemplo 1: La Media de 2,2,3,7 es ( )/4=3,5 - Conveniente cuando los datos se concentran simétricamente con respecto a ese valor. - Muy sensible a valores extremos. - Centro de gravedad de los datos.

9 2. MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente. Divide al conjunto de datos en dos partes iguales. Si el número de datos es impar, la mediana es el valor central. Ejemplo 2: Mediana de 1, 2, 4, 5, 6, 6, 8 es Me=5 Si el número de datos es par, se elige el punto medio de los dos datos centrales. Ejemplo 3: Mediana de 1, 2, 4, 5, 6, 6, 8, 9 es Me=(5+6)/2=5,5 - Es conveniente cuando los datos son asimétricos. - No es sensible a valores extremos. Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. La media es 117,7!

10 Mediana: Posición y Valor Si los datos están ordenados, la mediana es el valor medio (50% inferiores, 50% superiores) La localización (posición) de la mediana (n impar): Posición Mediana n 1 2 posición en los datos ordenados El valor de la mediana NO es afectado por valores extremos. Me 50% 50% Datos ordenados

11 3. MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones. Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal. Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo y cuantitativo. Ejemplo 4: Se tiene el Ingreso familiar de un grupo de familias Mo =1300 (Unimodal) El ingreso más frecuente es 1300 Soles Mo = 1200 y Mo = 1400 (Bimodal)

12 Ejemplo 3: El gerente del hotel Buen Samaritano de Ica brinda que brinda hospedaje a turistas que visitan la laguna de Huacachina, tiene el propósito de conocer el promedio de días que permanecen los turistas. Para el estudio se ha tomado el registro de 20 días, y los días de estancia de los turistas son: Calcule e interpreta la media, mediana y moda Interpretaciones:

13 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN MEDIA O PROMEDIO MEDIANA MODA ( X ) ( ) Me ( Mo)

14 4. MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS Se utilizará cuando los datos están distribuidos en una tabla de frecuencias. Luego se calcula la media aritmética aplicando la fórmula: X n i1 xi f n i Donde: f i = frecuencia absoluta x i = Marca de clase n = número de observaciones Observaciones: La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas.

15 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS Ejemplo 5: La siguiente tabla muestra el número de autos vendidos mensualmente por los empleados de una tienda de automóviles: X N de Autos Li Ls x i f i fixi TOTAL n = n i1 xi f n i Interpretación: El promedio mensual de autos vendidos por los empleados fue de 37.

16 5. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la fórmula para calcular la mediana es: Me L c i i n 2 Fi 1 f i Donde: L i : Límite inferior de la clase mediana. F i-1 f i c i : Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. : Frecuencia absoluta de la clase mediana. : Amplitud de la clase mediana.

17 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Ejemplo 6: En el ejemplo 5 calcular la mediana del número de autos vendidos. c i =10 Mediana N de Autos Li Ls X i f i F i TOTAL n =80 n/2=80/2=40 Me Interpretación: El 50% de los empleados vendieron una cantidad menor o igual a 36 autos.

18 6. MODA PARA DATOS AGRUPADOS Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la fórmula para calcular la moda es: 1 Mo Li c i 2 1 Nota La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos. Donde: Li : Límite inferior de la clase modal ci: Amplitud del intervalo de la clase modal n : número total de observaciones o datos Δ 1 = f j f j-1 y Δ 2 = f j f j+1 Δ 1 : Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia anterior. Δ 2 : Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia siguiente.

19 MODA PARA DATOS AGRUPADOS Ejemplo 7: En el ejemplo 5 calcular la moda del número de autos vendidos. c i =10 Moda N de Autos Li Ls TOTAL n =80 x i f i Mayor Frecuencia f i = 26 Δ 1 = 11 Δ 2 = Mo Interpretación: El número de autos vendidos con mayor frecuencia fue de 35.

20 7. MEDIA PONDERADA La media ponderada de un conjunto de observaciones x 1, x 2,... x n, con pesos o ponderaciones p 1, p 2,... p n se define como: x p n px p x p x... p x P p p... p i i i n n 1 2 n Donde: P n i1 p i En particular: x p k nx n x n x... n x n n n... n i i i k k 1 2 k Donde : n i : Número de elementos de cada grupo. x i : Media aritmética (i=1,2,., k).

21 EJEMPLO 8: MEDIA PONDERADA A continuación se presentan las notas finales de un alumno, obtenidas al concluir el semestre académico y los créditos que tiene cada uno de los cursos que ha llevado: CURSO Nª de créditos Nota Matemáticas 4 15 Lenguaje 3 14 Inglés 2 16 Cuál es su PROMEDIO de notas? x p 3 nx i i i n

22 Propiedades de la Media Si x 0, x 1 0, x 1 n 0, entonces ax ax, a constante x a x a, a constante x 0 x y x y Luego, Resumiendo ax by ax by, a,b constantes

23 Medidas de Posición La mediana (poblacional o muestral) divide el conjunto (ordenado) de datos en dos partes iguales. Si se dividen los datos en más de dos partes se pueden obtener medidas de localización más finas. Cuartiles = división en cuatro partes Primer cuartil Segundo cuartil Tercer cuartil 2 cuartil = mediana Deciles = división en diez partes Percentiles = división en 100 partes

24 Estadísticos de posición

25 Cuartiles Q 1 Q 2 Q 3 25% 25% 25% 25%

26 Cuartiles Medidas de posición que dividen a un conjunto de datos ordenados en 4 partes iguales y cada una de ellas representa el 25% de los datos. Q 1 : 25% de los datos están debajo del primer cuartil Q 2 : 50% de los datos están debajo del segundo cuartil Q 3 : 75% de los datos están debajo del tercer cuartil. Q 1 Q 2 Q 3 25% 25% 25% 25%

27 n=8 Ejemplo: Calculando Cuartiles Datos ordenados: 106, 109, 114, 116, 121, 122, 125, 129 Q 1 : Q 2 : Q 3 : i i i 25 Q ( ) Q ( ) Q ( ) Note que cuando i es un número entero el cuartil es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares i e (i+1), en la data ordenada.

28 Percentiles Percentil (Pk): Llamado también centil k, donde el k-ésimo percentil es un valor tal que por lo menos k por ciento de las observaciones son menores o iguales a este valor y por lo menos (100-k) por ciento de las observaciones son mayores a este valor. Percentil de orden k, localización i=(k/100)n El percentil de orden 15: Al menos 15% de las observaciones están en o por debajo de ese valor, y cuando menos 85% están en o sobre ese valor. Primer cuartil = Percentil 25 Segundo cuartil = Percentil 50 = Mediana Tercer cuartil = Percentil 75.

29 Procedimiento para el cálculo del k-ésimo percentil: Paso 1: Ordene los datos de forma ascendente. Paso 2: Calcule un índice i, para localizar el percentil. i k 100 ( n) Donde: k = percentil i = localización percentil n = número de datos Se presenta dos casos: a) Si i no es entero, i se redondea al entero mayor, el k-ésimo percentil es el dato que ocupa la posición i. b) Si i es entero, el k-ésimo percentil es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares i e i+1. Paso 3: El percentil es el dato que ocupa la posición i.

30 Ejemplo: Calculando Percentiles Data: 14, 12, 19, 23, 5, 13, 28, 17 Ordenando la data: 5, 12, 13, 14, 17, 19, 23, 28 Problema: Halle el percentil 30 Número de observaciones n = 8 Localización del Percentil 30: El índice de localización, i, no es un número entero. Por tanto, aproximando i al entero mayor, tenemos i = 3. El percentil 30 está en la tercera posición de la data ordenada : Percentil 30 = 13

31 Relación entre la media, mediana y moda Si media=mediana=moda, la distribución es simétrica. Si media<mediana, la distribución es asimétrica negativa. Si media>mediana, la distribución es asimétrica positiva. Media Mediana Asimétrica Negativa Moda Media Mediana Moda Simétrica (No Asimétrica) Moda Mediana Asimétrica Positiva Media

32 Relación entre la media, mediana y moda

33 Sensitividad a los Valores Extremos Un conjunto de datos contiene 19 familias, con 8 familias que ganan US$30,000 por año, 10 ganan US$35,000 por año, y que 1 gana $1 millones por año. X 8(30,000) 10(35,000) 19 1(1,000,000) 1,590, $83,684 Me $35,000 Si la distribución es altamente asimétrica, la mediana es la mejor elección.

34 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

35 Las estadísticas no sustituyen el juicio. Henry Clay