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1 Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida para el estudio de un experimento aleatorio es conocer el espacio muestral, Ω, o conjunto de todos los resultados posibles. Ejemplo 5 Consideremos el siguiente experimento aleatorio: se tiran tres dados de colores rojo, azul y blanco. Podemos presentar nuestro espacio muestral de la forma: Ω = {(,, ), (,, 2),..., (3, 2, 6), (4,, ),..., (6, 6, 6)} donde (a, b, c) quiere decir que el resultado del dado rojo ha sido a, b el del azul, y c el del blanco. Es directo comprobar que hay un total de 6 3 = 26 resultados posibles. El estudio sobre el experimento lo realizaremos midiendo el tamaño relativo de subconjuntos del espacio muestral. La siguiente es una definición poco rigurosa matemáticamente. Definición 2... Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. En particular el vacío y el total son sucesos aleatorios, y los denominaremos suceso imposible y suceso seguro, respectivamente. Ejemplo 6 En el experimento aleatorio del ejemplo anterior determinar los siguientes sucesos: A = en el dado azul siempre se obtiene un 5, y en el rojo un 2 A 2 = la suma de los dados rojo y azul es siempre 3 A 3 = los dados azul y rojo difieren en 2 A 4 = la suma de los tres dados es menor que 20 A 5 = la suma de los tres dados es exactamente 2 A 6 = el resultado del blanco es la suma de los otros dos. 29

2 30 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES La respuesta, con paciencia y buen orden, es inmediata: A = {(2, 5, ), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6)} ; A 2 = {(, 2, ), (, 2, 2), (, 2, 3), (, 2, 4), (, 2, 5), (, 2, 6), (2,, ), (2,, 2), (2,, 3), (2,, 4), (2,, 5), (2,, 6)} ; A 3 = {(, 3, ),..., (, 3, 6), (2, 4, ),..., (2, 4, 6), (3, 5, ),..., (3, 5, 6), (3,, ),..., (3,, 6), (4, 6, ),..., (4, 6, 6), (4, 2, ),..., (4, 2, 6), (5, 3, ),..., (5, 3, 6), (6, 4, ),..., (6, 4, 6)} ; A 4 = Ω y A 5 = ; A 6 = {(,, 2), (, 2, 3), (2,, 3), (, 3, 4), (2, 2, 4), (3,, 4), (, 4, 5),..., (4,, 5), (, 5, 6),..., (5,, 6)}. Es directo comprobar, además, que los cardinales de los sucesos son: Por qué se ha medido así el último? A = 6 ; A 2 = 2 ; A 3 = 48 ; A 4 = 26 ; A 5 = 0 ; A 6 = = 5. Al ser los sucesos aleatorios subconjuntos del espacio muestral, es natural realizar con ellos las operaciones habituales de conjuntos. Definición Se llama suceso contrario de un suceso A, y lo denotaremos A c, al suceso que ocurre cuando no ocurre A. Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, el suceso unión, A B, es aquél que ocurre cuando ocurre alguno de los dos, A o B. El suceso intersección, A B, ocurre cuando ocurren ambos a la vez, A y B. Dos sucesos, A y B, se dicen incompatibles si no pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento aleatorio, es decir A B =. Es claro que y Ω son sucesos contrarios e incompatibles, y que cualquier suceso es incompatible con su contrario. Ejemplo 7 Calcular los sucesos contrarios de los sucesos del ejemplo anterior. Describir los sucesos A A 2, A 2 A 6 y A 3 A 6. Ignorando los sucesos seguro e imposible, hay parejas de sucesos incompatibles que no sean contrarios? Sean entonces B = {(a, b, c) : a = 2} y B 2 = {(a, b, c) : b = 5}, A = B B 2 = {(a, b, c) : a = 2 y b = 5},

3 2.. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES 3 y así: A c = (B B 2 ) c = B c B c 2 = {(a, b, c) : a 2 o bien b 5}. A 2 = {(a, b, c) : a + b = 3} y así: A c 2 = {(a, b, c) : a + b 3}. A 3 = {(a, b, c) : a b = 2} y así: A c 3 = {(a, b, c) : a b = 2}. Es evidente que: A c 4 = y A c 5 = Ω. Finalmente: A 6 = {(a, b, c) : c = a + b} de donde: A c 6 = {(a, b, c) : a + b c 0}. Respecto a las otras operaciones, tenemos: A A 2 = {(2, 5, ), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6), (, 2, ), (, 2, 2), (, 2, 3), (, 2, 4), (, 2, 5), (, 2, 6), (2,, ), (2,, 2), (2,, 3), (2,, 4), (2,, 5), (2,, 6)} ; A 2 A 6 = {(, 2, 3), (2,, 3)} ; A 3 A 6 = {(, 3, 4), (2, 4, 6), (3,, 4), (4, 2, 6)}. La respuesta a la última pregunta es afirmativa. En efecto: A A 2 = en otras palabras, son incompatibles, pero A c A 2, y por tanto no son contrarios. Es claro que si al tirar los tres dados el rojo ha sido un 2 y el azul un 5, su suma es 7, y por tanto no ocurre el suceso A 2. Recíprocamente, si la suma de los dados rojo y azul ha sido 3, es imposible que suceda A. Aprovechamos este momento para indicar que en ocasiones es más fácil contar los elementos de un suceso restando al total el de su contrario. En efecto: A c = 26 6 = 20 ; A c 2 = 26 2 = 204 ; A c 3 = = 68 ; A c 6 = 26 5 = 20, resultados triviales de las meras definiciones. Obsérvese también que, en todos los casos, se puede comprobar la fórmula para el cardinal de la unión de dos conjuntos finitos, a saber: Así, por ejemplo: A B = A + B A B. A A 2 = A + A 2 A A 2 = = 8, A 2 A 6 = A 2 + A 6 A 2 A 6 = = 25, A 3 A 6 = A 3 + A 6 A 3 A 6 = = 59, lo que nos permitirá calcular cardinales de sucesos conociendo otros más sencillos. Siguiendo esta última idea, introducimos una última definición.

4 32 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES Definición Una familia de sucesos A, A 2,..., de un espacio muestral Ω, se dice mutuamente excluyente si son incompatibles dos a dos, es decir si A i A j =, siempre que i j. De especial interés son las familias mutuamente excluyentes que a su vez recogen todos los posibles casos, es decir, tales que: Ω = A A 2 A k.... Diremos en este caso que tenemos una familia completa de sucesos. Ejemplo 8 Siguiendo con el mismo experimento aleatorio, obsérvese que si C k = {(a, b, c) : a + b = k} entonces Ω = C C 2 C, siendo además incompatibles dos a dos. Tenemos así hecha una familia completa de sucesos, o en otras palabras, una partición (disjunta) del espacio muestral, en subconjuntos que hemos definido respecto a la característica: suma de los dados rojo y azul. Si de un suceso A conociéramos los cardinales de las intersecciones A C j, digamos: es claro que A = a j. j= a j = A C j, j =,..., Aunque sea quizá más sencillo de otra manera, tratemos de calcular por este método el cardinal del suceso A = {(a, b, c) : a b = }. En las intersecciones A C k aparecerán los resultados (a, b, c) tales que se verifique el siguiente sistema lineal: { a b = a + b = k que equivale al sistema: { 2 a = k + 2 b = k Este sistema tiene soluciones: a = k+ y b = k ; que determinarán resultados posibles sólo si k es 2 2 impar y estrictamente mayor que ( por qué?). Así, tenemos los siguientes cardinales: A C 2 = {(2,, c)} = 6 A C 4 = {(3, 2, c)} = 6 A C 6 = {(4, 3, c)} = 6 A C 8 = {(5, 4, c)} = 6 A C 0 = {(6, 5, c)} = 6 y A C j = 0 en cualquier otro caso. En definitiva A = 30. Con la misma idea determínese el cardinal del suceso: B = {(a, b, c) : 3 a 2 b = }. Se trata ahora de resolver el sistema { 3 a 2 b = a + b = k o su equivalente: { 5 a = 2k + 5 b = 3k

5 2.. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES 33 y en nuestro contexto (k = 2,..., 2), las únicas soluciones son (,, c) y (3, 4, c), para k = 2 y 7 respectivamente; por lo tanto: De hecho, conocemos B: B = {(a, b, c) : 3 a 2 b = } = = 2. B = {(,, ), (,, 2), (,, 3), (,, 4), (,, 5), (,, 6), 2.. Función de probabilidad (3, 4, ), (3, 4, 2), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (3, 4, 5), (3, 4, 6)}. Pasemos a definir buenas maneras de medir el tamaño relativo de cada suceso dentro del espacio muestral. Definición Dado un espacio muestral Ω (no vacío), se define el álgebra de sucesos A como el conjunto formado por todos los sucesos de Ω. Obsérvese que, en particular,, Ω A; además, si A A también A c A, y si A, B A, también lo están A B y A B. Si escribimos A A, leeremos A es un suceso en Ω. Definición Un modelo o función de probabilidad en un espacio muestral Ω, es una función P : A [0, ] que a cada suceso A A le asocia un número entre 0 y, y que satisface las propiedades:. P (Ω) = ; 2. si A, A 2,..., A k son sucesos incompatibles, entonces ( k P A k ) = k P (A k ). Se tienen las siguientes propiedades de las funciones de probabilidad:. Para cualquier A A, P (A c ) = P (A). En particular P ( ) = Para cualesquiera A, B A: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). En particular P (A B) P (A) + P (B). 3. Para cualesquiera A, B A: si B A entonces P (B) P (A). 4. Para cualquier colección finita A, A 2,..., A n A: ( n ) n P A i = P (A i ) P (A i A j ) + P (A i A j A k ) i<j i<j<k ( n ) + ( ) n+ P A i.

6 34 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES Ejemplo 9 Sigamos con el experimento aleatorio de tirar tres dados de colores. El modelo de probabilidad natural es el que a cada suceso elemental, {(a, b, c)}, le asigna la misma probabilidad. Decimos en este caso que son equiprobables. Cuál es la función de probabilidad así determinada? Es fácil ver que todo suceso A de este experimento es un conjunto finito. Si A = {v,..., v k } Ω, es decir A = k, puesto que todos los sucesos elementales son equiprobables, y por supuesto son incompatibles, la propiedad 2 que debe verificar la función de probabilidad obliga a que: k P (A) = P ({v }... {v k }) = P ({v i }) = k p donde p es la probabilidad de cada suceso elemental (que es la misma para todos). Cuál es esta probabilidad p común a todos los sucesos elementales? La propiedad nos da la solución: P (Ω) = = 26 p por lo dicho arriba luego p = /26. En otras palabras: P (A) = A Ω, lo que nos da una fórmula general de un modelo de probabilidad en un espacio muestral Ω discreto, cuando suponemos que todos los sucesos elementales son equiprobables. Esta fórmula no es más que la conocida regla de Laplace: casos favorables P (A) =. casos totales Pero cuidado, podemos construir otros modelos de probabilidad distintos. Basta asignarles distintas probabilidades a los sucesos elementales, aunque claro ciñéndonos a la propiedad : P (Ω) =. Supongamos que el dado blanco está trucado y la probabilidad de obtener 6 es el doble que la de obtener cualquier otro resultado. Los otros dados son perfectos, por lo que asignaremos a cada resultado la misma probabilidad. Es fácil ver que, en este caso: { λ, si c =, 2, 3, 4, 5 P ({(a, b, c)}) = 2 λ, si c = 6. Para determinar el valor de λ, obsérvese que: = P (Ω) = 5(λ 36) + 2λ 36 = 80 λ + 72 λ = 252 λ, pues cada posible valor fijo de c ocurre en 36 elementos de Ω. Así, λ = /252. Calculemos las probabilidades de los sucesos A, A 2, A 3 y A 6 del Ejemplo 6, utilizando ambos modelos de probabilidad: P ({(a, b, c)}) = 26 P 2 ({(a, b, c)}) = { 252, si c =, 2, 3, 4, 5, si c = 6. 26

7 2.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA 35 A = {(2, 5, ), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6)} P (A ) = 6 26 = 36 P 2 (A ) = = = 36 ; A 2 = {(, 2, ), (, 2, 2), (, 2, 3), (, 2, 4), (, 2, 5), (, 2, 6), (2,, ), (2,, 2), (2,, 3), (2,, 4), (2,, 5), (2,, 6)} P (A 2 ) = 2 26 = 8 P 2 (A 2 ) = = = 8 ; A 3 = {(, 3, ),..., (, 3, 6), (2, 4, ),..., (2, 4, 6), (3, 5, ),..., (3, 5, 6), (3,, ),..., (3,, 6), (4, 6, ),..., (4, 6, 6), (4, 2, ),..., (4, 2, 6), (5, 3, ),..., (5, 3, 6), (6, 4, ),..., (6, 4, 6)} P (A 3 ) = = 2 9 P 2 (A 3 ) = = = 2 9 ; A 6 = {(,, 2), (, 2, 3), (2,, 3), (, 3, 4), (2, 2, 4), (3,, 4), (, 4, 5),..., (4,, 5), (, 5, 6),..., (5,, 6)} P (A 6 ) = 5 26 = 5 72 P 2 (A 6 ) = ( ) = = Sabrías explicar las coincidencias y diferencias que hemos obtenido? 2.2 Probabilidad condicionada Hay ocasiones en que al realizar un experimento aleatorio nos interesará saber si el hecho de que ocurra un suceso A aporta alguna información sobre la ocurrencia de otro suceso B. Esta cuestión se recoge en el concepto de probabilidad condicionada. Definición Dado un espacio muestral Ω, un modelo de probabilidad, P, definido en su álgebra de sucesos A, y un suceso A A con P (A) > 0, llamaremos probabilidad de B A condicionada por A, y la denotaremos P (B A), al cociente: P (B A) = P (A B) P (A) Siempre que hablemos de probabilidades condicionadas por un suceso A se entenderá que P (A) > 0. Definición Diremos que dos sucesos A y B son independientes si P (A B) = P (A) P (B)..

8 36 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES Ejercicio Demostrar que: A y B son independientes P (B A) = P (B). Ejemplo 20 Siguiendo con nuestro experimento aleatorio, determinar la independencia de los sucesos A = {(a, b, c) : a + b = 5} B = {(a, b, c) : c = 6} ; considerando las dos funciones de probabilidad del Ejemplo 9: P ({(a, b, c)}) = 26 P 2 ({(a, b, c)}) = { 252 Para la primera función de probabilidad tenemos:, si c =, 2, 3, 4, 5, si c = P (A) = = 9 P (B) = = 6 P (A B) = 4 26 = 54 = 9 6 = P (A) P (B) luego son independientes. Para la segunda función de probabilidad, tenemos: P 2 (A) = = 9 P 2 (B) = = 2 7 P 2 (A B) = 4 26 = 2 63 = = P 2(A) P 2 (B) luego son independientes. Serán siempre independientes estos dos sucesos? No, pues la independencia es un concepto que depende de la función de probabilidad. Consideremos la función de probabilidad P 3 ({(a, b, c)}) = { µ si c a + b 2µ si c = a + b. Al imponer P 3 (Ω) = resulta que µ =, puesto que hay 5 sucesos elementales en que c = a + b, y 26 5 = 20 en que c a + b. Así este modelo de probabilidad viene determinado por: P 3 ({(a, b, c)}) = { si c a + b 2 si c = a + b.

9 2.3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 37 Entonces: P 3 (A) = = 28 P 3 (B) = = 4 P 3 (A B) = 4 = 4 P 3(A) P 3 (B) = 4 28 = ; por lo que para esta función de probabilidad A y B no son independientes. Podemos, finalmente, comprobar la equivalencia de la definición de independencia con el concepto de probabilidad condicionada. En efecto: P (B A) = P 3 (B A) = = = 9 = P (B) ; P 2 (B A) = = 7 4 = P 3(B). 2.3 Cálculo de probabilidades = = 9 = P 2(B) ; Vamos a dar, por último, tres reglas útiles para el cálculo de probabilidades. Regla de la multiplicación ( n ) ( n ) P A i = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P A n A i. Por supuesto se consideran no nulas todas las probabilidades de los sucesos a los que condicionamos. La comprobación de esta regla es sencilla: basta desarrollar el segundo miembro y ver que se van cancelando todos los términos salvo P ( n A i). Por ejemplo, para 4 sucesos A, A 2, A 3 y A 4, con P (A ), P (A A 2 ) y P (A A 2 A 3 ) no nulas: P (A 2 A ) = P (A A 2 ) P (A ) = P (A )P (A 2 A ) = P (A A 2 ) P (A 3 A A 2 ) = P (A A 2 A 3 ) P (A A 2 ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) = P (A A 2 A 3 ) P (A 4 A A 2 A 3 ) = P (A A 2 A 3 A 4 ) P (A A 2 A 3 ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 )P (A 4 A A 2 A 3 ) = P (A A 2 A 3 A 4 ). Usaremos esta regla cuando queramos calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de varios sucesos y sean más sencillas de determinar las probabilidades condicionadas del segundo miembro. Regla de la probabilidad total Sea A,..., A n una familia completa de sucesos, es decir, tales que: n. A i = Ω;

10 38 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES 2. A i A j =, siempre que i j; con P (A i ) > 0 para i =,..., n. Entonces: P (B) = n P (A i )P (B A i ). Ejercicio 2 Comprobar la regla de la probabilidad total. Regla de Bayes Sea A,..., A n una familia completa de sucesos con P (A i ) > 0 para i =,..., n. Entonces: P (A j B) = P (A j) P (B A j ) n P (A i)p (B A i ) En el uso de las dos últimas reglas, llamaremos probabilidades a priori a las de los sucesos A j ; probabilidades a posteriori a las de los sucesos A j B; y verosimilitudes a las de B A i. La regla de Bayes nos permite, pues, calcular cualquier probabilidad a posteriori, conociendo las verosimilitudes y probabilidades a priori pertinentes. Obsérvese también que el denominador que aparece en la Regla de Bayes es P (B), por la regla de la Probabilidad total. El uso de ambas reglas será especialmente útil cuando se den las siguientes circunstancias: a) El experimento aleatorio se puede separar en dos etapas. b) Es sencillo dar una familia completa finita de sucesos, A,..., A n, correspondientes a sucesos de la primera etapa. c) Son fácilmente calculables las probabilidades a priori: P (A ),..., P (A n ). d) Es fácil calcular las verosimilitudes P (B A ),..., P (B A n ), para un suceso B correspondiente a la segunda etapa. Aplicaremos estas reglas en los ejercicios propuestos al final del capítulo. Recogemos por último, las fórmulas clásicas de la Combinatoria: Variaciones: V m,n = m(m )(m 2) (m n + ) = Combinaciones: C m,n = Permutaciones: P m = m!; ( ) m = n m! n!(m n)! = V m,n ; n! m! (m n)! ; Variaciones con repetición: V R m,n = m n ; ( ) m + n Combinaciones con repetición: CR m,n = C m+n,n = ; n Permutaciones con repetición: P R h,h 2,...,h k m = m! h!h 2! h k!. Recuérdese que n! = n(n )(n 2) 3 2, y que 0! =.

11 2.3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 39 Problemas. Demostrar que si A y B son sucesos independientes, entonces: (a) sus contrarios, A c y B c, también lo son; (b) A y B c son independientes. 2. Se tiran n veces dos dados equilibrados. Calcular la probabilidad de que se obtenga al menos un seis doble. Sea p esa probabilidad, cuántas partidas habrán de jugarse para tener p = /2? 3. En el ascensor de un edificio con bajo y diez plantas entran en el bajo cuatro personas. Cada persona se baja con independencia de las demás y con igual probabilidad en cada planta. Calcúlese la probabilidad de que: (a) las cuatro personas se bajen en la décima planta; (b) las cuatro se bajen en la misma planta; (c) las cuatro bajen en plantas distintas. 4. Una urna contiene seis bolas rojas y cuatro negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Si se sabe que la primera es roja, cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja? Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, cuál es la probabilidad de que la primera haya sido roja? 5. Un aparato eléctrico falla al enchufarlo con probabilidad p. Si falla una vez se repara, pero si falla en una segunda ocasión se sustituye por uno nuevo. Si se supone que los fallos se producen de forma independiente, calcúlese la probabilidad de que el aparato sea sustituido al enchufarlo por n ésima vez. 6. Se sabe que, en cierta población, el número de personas que padecen la enfermedad E es del %. Se ha investigado una prueba diagnóstica que ha resultado positiva en el 97 % de las personas que padecen la enfermedad E y en el 2 % de las personas sanas. Calcúlese la probabilidad de que una persona con prueba positiva padezca realmente la enfermedad. 7. Supongamos que se clasifica a los individuos de cierta especie animal en tres grupos A, B y C de distintas características biológicas. La probabilidad de que un individuo tomado al azar pertenezca al grupo A, B o C es respectivamente /2, /3 y /6. La probabilidad de que un individuo del grupo A, B o C contraiga cierta enfermedad S es respectivamente /0, /5 y /2. Calcúlese la probabilidad de que: (a) un individuo contraiga la enfermedad S; (b) un individuo enfermo sea del grupo A; (c) un individuo sano sea del grupo A. 8. En una estación de autobuses hay tres ventanillas para venta de billetes. La probabilidad de que un viajero se dirija a la primera, segunda o tercera ventanilla es respectivamente p, q y r. La probabilidad de que no queden billetes cuando el viajero llegue a la ventanilla elegida es P, Q o R respectivamente. Calcúlese la probabilidad de que un viajero con billete no lo haya comprado en la primera ventanilla.

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