RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas mediante ecuaciones tiene una serie de dificultades que nos llevan a plantear un tema separado del resto. Las dificultades, llegado este punto en que se supone que sabéis resolver ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas lineales, aparecen al traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico propio del Álgebra. Espero que al terminar el tema seáis capaces de traducir correctamente al lenguaje simbólico los enunicados de los problemas. PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS 1º) Leer bien el enunciado. Normalmente es necesario leerlo varias veces hasta asegurarse de haberlo entendido bien. Para ello es importante ponerse ejemplos concretos y variados. 2º) Identificar los datos conocidos del problema y los desconocidos, nombrando a las incógnitas. 3º) Relacionar mediante una o varias igualdades todos los datos (conocidos y desconocidos) del problema. 4º) Resolver la ecuación o sistema resultante. 5º) Interpretar la solución hasta tener la seguridad de que se ajusta a lo que el problema nos pide. Para ir practicando, realiza los siguientes ejercicios: 1. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados, una de las siguientes expresiones algebraicas: 1) 3x a) Un número menos 3 2) x 2 b) Un número más 4 x 3) 3 i) El doble de un número d) El cuadrado de un número e) El triple de un número f) El cubo de un número g) La mitad de un número h) La tercera parte de un número 1) x 3 2) 2x 3) x + 4 4) x 3 5) x 2

2 2. Traduce a lenguaje algebraico usando una incógnita: a) El perímetro de un cuadrado de lado 'l'. b) El área de un cuadrado de lado 'p' c) El número de ruedas que tienen 'x' coches. d) El número de patas que tienen 'y' conejos. e) El área de un círculo de radio 'r'. f) La longitud de una circunferencia de radio 'r'. g) Los céntimos que hay en 't' euros. h) Los metros que hay en 'k' kilómetros. i) Si entre dos números suman 80 y uno de ellos es 'x', escribe el otro. j) Al multiplicar dos números el resultado es 1. Si un número es 'x', escribe el otro. k) Pedro tiene 't' años y su hermano Luis 6 menos. Escribe la edad de Luis. l) En cada sobre de cromos hay 5. Si Pedro tiene 'x'. Escribe el número de sobre que ha comprado. m) Si un número 'd' se aumenta en un 10%. Escribe el número aumentado. n) Si un número 'g' se disminuye en un 20%. Escribe el número disminuido. ñ) Cada kilo de café vale a Escribe lo que valen 'f' kilogramos de ese café. o) Un ciclista va a 18 km/h. Escribe los kilómetros recorridos si lleva paseando 't' horas. p) Un premio de 50 se reparte entre 'x' personas. Escribe cuánto les toca a cada una. q) Escribe el resultado de sumar un número, 'x', con su cuadrado. r) Escribe la suma de un número, 'n', y el que le sigue. s) Un número es 6 veces mayor que otro. Si el más pequeño es 'n', escribe el otro.

3 3. Traduce a lenguaje algebraico usando dos incógnitas: a) El perímetro de un rectángulo de base 'x' y altura 'y'. b) El área de un rectángulo de base 'x' y altura 'y'. c) El cuadrado de la suma de dos números 'a' y 'b'. d) La suma de los cuadrados de dos números 'a' y 'b'. e) El doble del producto de dos números 'c' y 'd'. f) Pedro ('p') es 3 años mayor que Juan ('j'). g) El precio de una falda ('f') es el 80% del precio de un pantalón ('p'). h) Escribe el área de la zona coloreada en cada una de las siguientes figuras: i) El número de patas que tienen 'x' gallinas e 'y' conejos j) La cantidad de dinero que hay con 'c' monedas de 50 céntimos de euro y 'v' de veinte céntimos. k) Se mezclan 'x' litros de aceite de 1.90 /l con 'y' litros de aceite de 2.40 /l. Escribe cuál es el precio de la mezcla. l) La cifra de las decenas de un número es 'x' y la de las unidades es 'y'. Escribe cuál es ese número. m) La diferencia de cuadrados de dos números 'a' y 'b'. n) El precio total de 's' kilos de melocotones de 0.90 /kg y 't' kilos de manzanas de 2.10 /kg. ñ) La cantidad 'h' es el doble de 'g'.

4 PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1. Calcula un número cuya mitad es 20 unidades menor que su triple. 2. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte, cuál es ese número? 3. Calcula tres números sabiendo que: -El primero es 20 unidades menor que el segundo. -El tercero es igual a la suma de los dos primeros. -Entre los tres suman La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. De qué números se trata? 5. Un número es tal que su triple menos 8 unidades da 37, qué número es? 6. La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 282. Halla esos números. 7. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. Cuál era el precio de cada artículo? 8. Me falta 1 euro para comprar mi revista de informática preferida. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían Cuánto tengo? Cuánto cuesta la revista? 9. Con los 11.5 que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían 0.60 euros. La entrada de la piscina cuesta 1.3 euros menos que la del cine Cuánto cuesta la entrada del cine? 10. María tiene 5 años más que su hermano Luis y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. Qué edad tiene cada uno? 11.Antonio tiene quince años, su hermano Roberto 13 y su padre 43. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? 12.La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre es 6 años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. Cuál es la edad de cada uno? 13.La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 95 años. El padre es 5 años mayor que la madre. La madre tuvo al mayor con 27 años y al pequeño cuatro años después. Cuál es la edad de cada uno? 14.Juan y Pedro son dos hermanos. Hoy Juan es 4 años mayor que Pedro. Cuando transcurran 24 años la edad de Pedro será el triple de la edad que hoy tiene Juan. Cúales son las edades actuales de Juan y Pedro? 15.El perro de Alex tiene hoy 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Alex tendrá el triple de la edad de su perro. Cuál es la edad de Alex y la de su perro?

5 16. Qué edad tiene ahora Pedro si su edad dentro de 12 años será el triple de la edad que tenía hace 6 años? 17. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 52% de los participantes. En la segunda prueba se elimina al 25 % de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos exámenes fue de 288, cuántas personas se presentaron a la oposición? 18.Un inversor que dispone de euros coloca parte de su capital en un banco al 8% y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 832 más que la segunda, cuánto colocó en cada banco? 19.Se mezclan 30 Kg de café de 3.60 /kg con cierta cantidad de café superior de 4.8 /kg resultando la mezcla a 4.35 /kg. Qué cantidad de café superior se ha utilizado? 20.Mezclando 15 Kg de arroz de 0.60 /kg con 25 kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 0.78 /kg. Cuál será el precio de la segunda clase de arroz? 21.Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro resultando la mezcla a 1.92 /l. Calcula el precio del litro de cada clase sabiendo que el de más calidad es el doble de caro que el otro. 22.Un comerciante dispone de dos clases de té: té de Ceilán a 3.60 /kg y té indio a 4.80 /kg. Cúantos kilos hay que mezclar de cada clase para obtener 300 kilos de una mezcla a 4.50 /kg? 23. Cuántos kilogramos de café de 5.40 /kg hay que mezclar con café superior de 7 /kg para obtener 80 kg de café a 6.40 /kg? 24.Un repostero ha mezclado 10 kg de azúcar con una cierta cantidad de miel. El precio del azúcar es 1.50 /kg y el de la miel, 3.72 /kg. El precio de la mezcla ha resultado a 2.93 /kg. Qué cantidad de miel mezcló? 25.Dos ciudades A y B distan 350 km. De A sale hacia B un coche a la velocidad de 110 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un camión a 90 km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que recorre cada uno. 26.Un autobús sale de A hacia B a 105 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un coche a 120 km/h. La distancia entre A y B es de 300 km. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan. 27.Un ciclista que va a 18 km/h pretende alcanzar a otro ciclista que va a 10 km/h y le lleva una ventaja de 6 km. Cuánto tiempo tardará en hacerlo y qué distancia recorrerá hasta conseguirlo? 28.A las 9 de la mañana sale un coche de un punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde sale un coche en el mismo sentido con una velocidad de 120 km/h. A qué distancia del punto A le alcanza? A qué hora? 29.A las 10 de la mañana sale un coche de un punto A hacia B con una velocidad de 120 km/h y a la misma hora sale del punto B otro coche a una velocidad de 90km/h en dirección a A. A qué hora y distancia de B se encuentran?

6 30.A las 9 de la mañana sale un coche de un pueblo llamado Almogía con una velocidad de 90 km/h. Después de 2 horas sale otro coche en persecución del primero a una velocidad de 120km/h. A qué hora lo alcanza y a qué distancia de Almogía?

7 PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. Divide el número 19 en dos partes de modo que la suma de sus cuadrados sea Divide el número 25 en dos partes de modo que la suma de sus cuadrados sea El triple de un número más 28 unidades es igual a su cuadrado. Halla dicho número. 4. Si a un número se le añade 3 y a ese mismo número se le resta 2, el producto de los dos factores resultantes es igual a 24. Halla dicho número. 5. Si a un número se le añade 5 y a ese mismo número se le resta 4, el producto de ambos resultados es igual a 52. Halla el número. 6. Si a los lados de un cuadrado se le aumenta en 3 y 5 m, respectivamente, la superficie del nuevo rectángulo es 440 m 2. Cuánto medía el la do del cuadrado primitivo? 7. Un lado de un rectángulo es 14 cm más largo que otro. Su diagonal es 16 cm más larga que su lado menor. Cuál es la superficie del rectángulo? 8. La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su área mide 600 cm 2. Calcular las dimensiones del rectángulo. 9. El producto de un número natural por el siguiente es 272. Calcula dichos números. 10. El producto de un número entero por el siguiente es 272. Calcúlalos. 11. Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea Al aumentar el lado de un cuadrado en 8 cm, su área aumenta en 128 cm 2. Cuánto medía su lado? 13. Al aumentar en 5 m el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75 m 2. Calcula el lado del cuadrado. 14. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3 cm más largo que el mediano, y éste, 3 cm más largo que el pequeño. Cuánto miden los lados? 15. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados. 16. Un padre reparte entre sus hijos 72 caramelos a partes iguales. Si fueran 2 hijo más, cada uno recibiría 3 caramelos menos. Cuántos son los hijos? 17. Un ciclista recorre 240 km. Si su velocidad fuese 10 km/h más tardaría 2 horas menos en realizar el recorrido. Calcula la velocidad a la que iba. 18. Compramos una cantidad de sellos por 48 Î. Si cada sello nos hubiera costado 5 céntimos más, habríamos comprado 48 sellos menos. Cuántos sellos compramos? 19. Se quieren repartir 320 litros de gasolina en coches con depósitos de igual capacidad. Si hubiese 3 coches menos, tocarían a 24 litros más cada uno. Cuántos coches hay? 20. Dos grifos tardan en llenar un depósito 36 horas, Cuánto tiempo tardará cada uno por separado si uno de ellos emplea 27 horas más que el otro?

8 SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan A cómo está el kilo de peras? Y el de manzanas? 3. He pagado un artículo de 3 con nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de cincuenta céntimos. Cuántas monedas he dado de cada clase? 4. Una empresa aceitera ha envasado 3000 litros de aceite en 1200 botellas de dos y de cinco litros, cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 5. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es 18º mayor que el otro. Calcula la medida de los ángulos del triángulo. ( nota :recuerda que los ángulos de un triángulo suman 180º ) 6. Por un pantalón y unos zapatos he pagado 126.Si el precio del pantalón aumentara en un 14%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos. Cuánto pagué por cada uno? 7. He pagado por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 110 En la camisa me han rebajado un 20 % y en el jersey un 15%. Cuál era el precio original de cada artículo? 8. En un centro escolar hay matriculados 795 estudiantes entre los dos cursos de Bachillerato. El 45% de primero y el 52 % de segundo son mujeres, lo que supone un total de 384 alumnas entre los dos cursos. Cuántos estudiantes hay en cada curso? 9. Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Media hora más tarde sale otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h, cuánto tardará en alcanzar al primero? 10. Un tren que avanza a una velocidad de 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza sobre una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo. 11. Un camión de transportes hace, una vez a la semana, la ruta entre las ciudades A y B. Si va a 80 km/h tarda, sólo en ir, tres horas más que si va a 100 km/h. Cuál es la distancia entre las ciudades? 12. Entre dos ciudades A y B hay 315 km. De cada una de ellas salen a la vez dos coches con dirección a la otra. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia recorrida por cada uno sabiendo que sus velocidades son 75 km/h y 105 km/h. 13. Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0.3 por cada pieza que sale del taller para la venta pero sufre una pérdida de 0.4 por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2100 bombillas, obteniendo unos beneficios de Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado ese día? 14. En un bar se venden bocadillos de jamón a 3.5 y bocadillos de tortilla a 2. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 Cuántos se vendieron de cada clase? 15. La suma de las dos cifras de un número es 10. Si las invertimos, obtenemos otro número que es igual al triple del anterior menos 2. Cuál es el número inicial? 16. La suma de las dos cifras de un número es 12. Si las invertimos, obtenemos otro número igual al doble del anterior menos 12. Cuál es el número inicial?

9 17. En una parcela rectangular de 44 m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de 2m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es 45 m En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas son 50, si las patas son 134. Cuántos animales hay de cada clase? 19. Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino, la primera de mejor calidad, a 3 /litro con otro de 2.2 /litro. De esta forma ha obtenido 16 hl de vino de una calidad intermedia con un precio de 2.50 /litro Cuál era el contenido de cada cuba? 20. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo 94 puntos. Cuántas acertó y cuántas falló? 21. En un puesto de verduras se han vendido 2 kg de naranjas y 5 kg de patata por 6.45 y 4 kg de naranjas y 2 kg. de patatas por Calcula el precio de cada kilo de naranjas y patatas. 22. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron Los adultos pagaban 3.5 y los niños 2.25.Calcula el número de niños y de adultos que acudieron. 23. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número. 24. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, qué edad tiene cada uno? 25. Mi tío le dijo a su hija: Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace siete años no era más que 1/7. Calcula la edad de mi tío y de su hija. 26. El perímetro de un rectángulo es 36 m. Si se aumenta en 2 m la base y se disminuye en 3 m. la altura, el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo. 27. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. Cuáles son las longitudes de los catetos? 28. El perímetro de un triángulo rectángulo es 30m y el área es 30 metros cuadrados. Calcula los catetos. 29. Dos pueblos A, B distan 155 km. A la misma hora sale de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. A qué distancia de cada pueblo se encuentran? Cuánto tiempo ha transcurrido? 30. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 km/h A qué hora lo alcanzará? A qué distancia de la ciudad? 31. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m 3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito de 27 m 3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas, cuántos litros vierte por hora cada grifo?

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