2 Números reales: la recta real

Transcripción

1 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Números reles: l rect rel Págin. ) Justific que el punto representdo es. 0 Represent 7 (7 ) y 0 (0 + ). ) Aplicndo Pitágors: x x + x + x x Qué número es el que hemos señldo con un flech? 0 Represent, del mismo modo, el,7. 0 0,7,,7,7,7,7,,7,7,7

2 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Trmos en l rect rel: intervlos y semirrects Págin. Escribe los conjuntos siguientes en form de intervlo y represent los números que cumplen ls condiciones indicds en cd cso: ) Comprendidos entre y, mbos incluidos. Myores que 7. Menores o igules que. ) [, ] (7, + ) (, ] 7. Escribe en form de intervlo y represent: ) {x / x < } {x / x 0} {x / < x < } {x / x < } ) [, ) [0, + ) (, ) (, ) 0. Escribe en form de desiguldd y represent: ) (, ] [0, ] (, ) [, + ) ) {x / < x } {x / 0 x } {x / x < } {x / x } 0

3 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Ríces y rdicles Págin Cálculo mentl. Di el vlor de k en cd cso: ) k k k k 0 ) k k k ( ) k ( ) ( ) k k k k k k 0 0 k 0 k k 0. Clcul ls ríces siguientes: ) 0 e) ) ( ) ( ) 0 0 e). Expres en form exponencil cd un de ls siguientes ríces: ) x ) x e) x ` x j e) x x / ` x j (x / ) x 0/ / / ( 7 ) / 7/ (x / ) / x / n m k k/(n m) n m k. Clcul. ) / / / / e) / / ) / ( ) / / ( ) / / ( ) / / ( ) / e) / ( ) / / ( ) /

4 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds. Expres en form rdicl. ) x 7/ (m n ) / / b / [(x ) / ] / e) [(x / ) ] / (y z ) / ) x 7/ x 7 (m n ) / ( m n) / b / b [(x ) / ] / x x x / / / / / / e) [(x / ) ] / x x x (y z ) / ( y z ) y z

5 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Operciones con rdicles Págin. Simplific. ) x x y 0 e) ) x x y e). Simplific. ) b c b c ` j e) ` xj ` xj k ) 0 ( ) b c b c b c b c b c c b c ` j e) ` xj ` xj x x x x x k ^ h 0 0. Reduce. ) b 0 ) 0 0 b b. Sc del rdicl los fctores que se posible. ) x b c ) x x x x b b c. Efectú. ) )

6 Unidd. Números reles. Suprime el rdicl del denomindor. ) ) e) ls Enseñnzs Aplicds e) 7 7

7 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Ejercicios y problems Págin 7 Prctic Números rcionles e irrcionles. ) Cuáles de los siguientes números no pueden expresrse como cociente de dos enteros? ;,7; ;,! ; 7,! ; π; Expres como frcción quellos que se posible. Cuáles son irrcionles? ) No pueden expresrse como cociente: ; π y. ; 7, 7! ;,! ; 7, Son irrcionles:, y π.. ) Clsific en rcionles o irrcionles.! ; 07, ; ; 7 ; ; π Ordénlos de menor myor. Cuáles son números reles?! ) Rcionles: 07, ; ; 7 7! < < < < 0, 7 < π Todos son números reles. Irrcionles: ; ; π. Sitú los siguientes números en un digrm como el djunto: $ ; 7, ; ;,; ; ; ; π ; 0 0 7, ), π 7

8 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Intervlos y semirrects. Escribe los siguientes conjuntos de números en form de intervlo o semirrect: ) Myores que y menores que 7. Comprendidos entre y, mbos incluidos. Myores o igules que. Menores que 0. ) (, 7) [, ] [, + ) (, 0). Represent en l rect rel cd uno de los siguientes intervlos y semirrects: A [, ] B (, ) C [ 7, ) D (0, ] E (, ] F (, + ) A B C D E F Represent gráficmente y expres como intervlo o semirrect ests desigulddes: ) x < x x x < / e) < x <, x ) x [, ] < x (, + ) x [, + ) x < <, m e) < x <, (;,) f) x [, + ) 0, 0,,, 0 7. Escribe en form de desiguldd y represent los siguientes intervlos: ) (;,) [, ] [ 7, 0) [, + ) e) (, + ) (, ] ) {x / < x <,} {x / x } 0, 0

9 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds {x / 7 x < 0} {x / x} e) {x / x > } {x / < x } Expres como intervlo o semirrect y como un desiguldd cd uno de los conjuntos de números representdos: ) ) [, ]; x (, ]; < x [, + ); x (, ); x <. ) Indic cuáles de los números siguientes están incluidos en A [, 7) o en B (, + ): ; 0; 0,; 7; ; ;,! ; π; 7 ; ; Cuál de estos intervlos represent los números incluidos en A y en B? (, ) [, 7) [, 7] (, 7) ) A [, 7) B (, + ) A B [, + ) Los números incluidos en A o en B son: ; 0; 0,; 7; ;,! ; π; 7 ; ; Es decir, todos excepto. A B (, 7) Potencis y ríces 0. Expres en form exponencil. ) x e) ( ) 0 0 g) ` x j h) ) x / / 0 0 / e) ( ) / f) / g) x / h) /. Pon en form de ríz. ) / ( ) / d n / ( ) / e) ( / ) / ( ) / ) ( ) e) f)

10 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds. Resuelve, sin utilizr l clculdor: ) 0, e) ) 7 7 0, e) 0, 00 ( ) 0 0 0,. Obtén con l clculdor. ) 7 0, 00 0,, / e) ( ) ) 7,0 0,,,, / 0, e) 0,0 ( ) 0,. Clcul. ) / 7 / / / e) / / g) / h) / ) 7 ^ h ( ) 7 e) ( ) ( ) g) ( ) 7 h) ( ). Expres los rdicles como potencis de exponente frccionrio y efectú como en el ejemplo resuelto: / / / / / : : ) : e) : : ) / / 7/ / / / : / / e) : / / / : / / f) : / : / / 0

11 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Págin Rdicles. Simplific. ) e) / / ) / / / / / / e) / 7 7. Simplific los siguientes rdicles: ) 0 b ) /0 / / / / ( / ( / b e) ( / ( b / b / / b / b e) b b. Extre todos los fctores que pueds de los siguientes rdicles: ) 0 e) ) e)

12 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds. Multiplic y simplific el resultdo. ) 0 ) Divide y simplific. ) 7 : : : ) 7 : 7 : : : : :. Reduce un solo rdicl. ) e) ) e) 0. Clcul y simplific si es posible. ) ` j 0 ` j ` j e) ` j 0 ` j ) 0 e). Ejercicio resuelto. Ejercicio resuelto en el libro del lumndo.

13 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds. Efectú. ) ) ( + ) ( + ) ( + ) 0. Efectú. ) ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ). Rcionliz y simplific. ) e) ) e)

14 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds 7. Suprime el rdicl del denomindor y simplific. ) ) Aplic lo prendido. Represent los intervlos A (, ] y B [, ) y di si tienen puntos en común. Si es un intervlo, di cuál es. A (,] B [,) Los puntos comunes A y B están entre y (, ). Clsific los siguientes números indicndo cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á pertenecen: ;! + ; ; 7, ; ; π; reles (Á) rcionles (Q) enteros (Z) nturles (N) enteros negtivos frccionrios! ; 7, irrcionles ; π; + 0. Extre del rdicl los fctores que se posible. ) e) ) b 7 b e) f)

15 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds. Efectú. ) ( + )( ) ( + ) ( )( + ) ( ) ) ( + )( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) + + () ( )( + ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) + ( ) Di el vlor de k en cd cso: ) k k k k e) k k ) k k ( ) k k c m k e) k ( ) k. Introduce dentro de l ríz y simplific. ) k ( ) k k c7 m 7 k e) k 7 7 ) 0 e) 7 f). Suprime el rdicl del denonindor. ) ) x x x x x x x x x

16 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Págin Resuelve problems. Indic si el número que se obtiene en cd cso es rcionl o irrcionl: ) L digonl de un cudrdo de ldo cm. El áre de un círculo de rdio cm. El cteto de un triángulo rectángulo cuyos ldos miden cm y cm. ) L digonl de un cudrdo de ldo cm. Irrcionl Por el teorem de Pitágors: d d + d d cm El áre de un círculo de rdio cm. Irrcionl Áre π r Áre π π (n.º irrcionl) El cteto del triángulo rectángulo de ldos cm y cm. Rcionl cm cm + c 7 + c c c 7 c. Averigu pr qué vlores de x se pueden clculr ls siguientes ríces: ) x x x + x e) ( + x)( x) x( x) En todos los prtdos plicremos el siguiente resultdo: A se puede clculr si A 0 ) x se puede clculr si x 0 x x [, + ) x se puede clculr si x 0 x x (, ] x + > 0, pr culquier x Á x + se puede clculr pr culquier x Á. x se puede clculr si x 0 x 0 x (, 0] e) ( + x)( x) se puede clculr si ( + x) ( x) 0 Si x o x ( + x) ( x) 0 ( x) < 0 Si x < ( ( + x) ( x) < 0 ( x) > 0 + ( + x) > 0 Si < x < ( ( + x) ( x) > 0 + ( x) > 0 ( + x) > 0 Si x > ( ( + x) ( x) < 0 ( x ) < 0 Por tnto, ( + x)( x) se puede clculr si x [, ].

17 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds x ( x) se puede clculr si x ( x) 0. Si x 0 o x x ( x) 0 x < 0 Si x < 0 ( x ( x) < 0 ( x) > 0 + x > 0 Si 0 < x < ( x ( x) > ( x) > 0 Si x > x > 0 ( x ( x) < 0 ( x) < 0 Por tnto, x ( x) se puede clculr si x [0, ]. 7. Cuál de los números o + es solución de l ecución x x + 7 0? ( ) ( ) El número ( ) no es solución. ( + ) ( + ) El número ( + ) es solución.. Un cudrdo de cm de ldo está inscrito en un círculo. Clcul: ) El rdio del círculo y su áre. El perímetro del triángulo ABC, del que AB es un ldo del cudrdo y C es el punto medio del ldo opuesto. Expres los resultdos con rdicles y π. ) Se d diámetro del círculo. Por el teorem de Pitágors: cm d cm d + d + d 7 d 7 cm Si el diámetro del círculo mide d cm, entonces el rdio es r cm. Áre π r π ( ) π π cm Por el teorem de Pitágors: cm C AC + AC + AC cm A cm B AC cm Como BC AC Perímetro AB + AC + ( ) + cm 7

18 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds. El volumen de un cilindro de cm de ltur es 0 π cm. ) Cuánto mide su rdio? Clcul su áre lterl. D en mbos csos el vlor excto (utiliz rdicles y π). ) Volumen del cilindro π r h 0π π r r Áre lterl π r h 0π π A lterl π 0 π cm r r cm 0. Hll el áre de un triángulo isósceles en el que los ldos igules miden el doble de l bse cuy longitud es cm. Expres el resultdo con rdicles. Por el teorem de Pitágors: h ( ) c m cm h cm h cm / cm Áre bse ltur cm. Los puntos A y B dividen l digonl del cudrdo en tres prtes igules. Si el áre del cudrdo es cm, cuánto medirá el ldo del rombo? Expres el resultdo con rdicles C A M B D Áre del cudrdo cm ldo cm Digonl myor del rombo digonl del cudrdo CD Por el teorem de Pitágors: CD + 7 CD 7 cm D A B cm C cm

19 Unidd. Números reles ls Enseñnzs Aplicds Digonl menor AB CD cm El ldo del rombo es l hipotenus del triángulo rectángulo AMD &. _ AM AB cm b ` AD AM + MD MD CD cm b AD ( ) + ( ) + 0 AD 0 cm Por tnto, el ldo del rombo mide cm.. Clcul l ltur de un tetredro regulr de cm de rist. Expres el resultdo con rdicles. H V h Altur del tetredro: h A x Altur de un cr: x cm AH cm e o cm. Clcul el volumen de un octedro regulr cuy rist mide cm. Expres el resultdo con rdicles. h d d + cm d cm Altur de l pirámide ( ) ( ) cm Volumen del octedro c ( ) m cm