Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal

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1 Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos. Definición del núcleo y de la imagen y sus propiedades básicas, eliminación de Gauss, construcción de una sublista básica de una lista de vectores, solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.. Ejercicio. Sea T L(V, W una transformación lineal inyectiva y sean v,..., v k algunos vectores linealmente independientes del espacio V. Demuestre que los vectores T (v,..., T (v k son linealmente independientes. 2. Proposición (la imagen de una transformación lineal está generada por las imágenes de los vectores que generan al dominio. Sea T L(V, W, donde V es de dimensión finita. Sean a,..., a n algunos vectores de V tales que l(a,..., a n = V. Entonces im(t = l(t (a,..., T (a n. Demostración. Demostremos que l(t (a,..., T (a n im(t. De la defición de im(t sigue que T (a,..., T (a n im(t. Como im(t es un subespacio de W, toda combinación lineal de T (a,..., T (a n también pertenece a im(t, es decir, l(t (a,..., T (a n im(t. Demostremos que im(t l(t (a,..., T (a n. Sea w im(t. Entonces w = T (v para algún v V. Como a,..., a n generan a V, existen escalares λ,..., λ n F tales que n v = λ k a k. k= Aplicando T a ambos lados de esta igualdad obtenemos que w = T (v = n λ k T (a k l(t (a,..., T (a n. k= Construcción de bases en el núcleo e imagen, página de 6

2 3. Corolario (construcción de una base de la imagen. Sea T L(V, W, donde V es de dimensión finita. Sean a,..., a n V tales que l(a,..., a n = V (en particular, a,..., a n puede ser una base de V. Entonces:. Cualquier sublista básica de (T (a,..., T (a n es una base de im(t. 2. dim(im(t = r(t (a,..., T (a n. 3. dim(im(t dim(v. 4. Definición (el rango de una transformación lineal. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo y sea T L(V, W. Entonces el rango de T se define como la dimensión de la imagen de T : r(t := dim(im(t. 5. Contrucción de una base de la imagen de una transformación lineal usando la matriz asociada. Sea T L(V, W, sea A una base de V y sea B una base de W. Supongamos que en la matriz T B,A las columnas con índices j,..., j r forman una sublista básica. Entonces los vectores T (a j,..., T (a jr forman una base en im(t. En particular, r(t = r(t B,A. 6. Construcción de una base del núcleo de una transformación lineal usando su matriz asociada. Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones finitas y sea T L(V, W. Sean A una base de V y B una base de W. Denotemos a la matriz T B,A por C. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogéneas Cx =. y denotemos por (u,..., u s a una base de su conjunto solución. Entonces los vectores de V que tienen vectores de coordenadas u,..., u s forman una base de ker(t. Construcción de bases en el núcleo e imagen, página 2 de 6

3 7. Ejemplo (construcción de bases del núcleo y de la imagen. Dada la matriz de transformación lineal T : V W en bases B = (b, b 2, b 3 y A = (a, a 2, a 3, a 4, construir bases de su núcleo e imagen. Hacer las comprobaciones. T B,A = Solución. Primero transformemos la matriz dada T B,A en una matriz pseudoescalonada reducida usando operaciones elementales por filas: R 3 = 2R R 3 = R 2 R += 2R 2 R 2 = Los elementos pivotes están en las columnas y 3. Por lo tanto, las columnas y 3 forman un subsistema básico de la matriz T B,A. Por consequencia, los vectores T (a = 2b b 2 + 3b 3, T (a 3 = b + 2b 3 forman una sublista básica del sistema (T (a, T (a 2, T (a 3, T (a 4 y una base del espacio im(t generado por T (a, T (a 2, T (a 3, T (a 4. Para construir una base del núcleo, consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogéneas T B,A x =. Usando la forma pseudoescalonada reducida de la matriz T B,A escribimos la solución general: Los vectores x 2 5x 4 x 2 7x 2 + 8x 4 x 4 u = = x 2 7 7, u 2 = + x 4 forman una base del conjunto solución de T B,A x =, y los vector correspondientes del espacio V, v = a + a 2 7a 3, v 2 = 5a + 8a 3 + a 4, forman una base del núcleo de T Construcción de bases en el núcleo e imagen, página 3 de 6

4 Comprobamos que v, v 2 ker(t : T B,A u = T B,A u 2 = = = = = ; Comprobamos que T (a 2, T (a 4 l(t (a, T (a 3. Observando la matriz pseudoescalonada reducida vemos que se deben cumplir las igualdades T (a 2 = T (a + 7T (a 3, T (a 4 = 5T (a 8T (a 3. Recordamos que las coordenadas de T (a,..., T (a 4 respecto la base B están escritas en las columnas de T B,A y hacemos la comprobación: T (a + 7T (a 3 = ( 2b b 2 + 3b ( b + 2b 3 = ( 2 + 7b + ( + b 2 + ( b 3 = 3b + b 2 + 4b 3 = T (a 2 ; 5T (a 8T (a 3 = 5 ( 2b b 2 + 3b 3 8 ( b + 2b 3 = ( 8b + ( 5b 2 + (5 6b 3 = 2b 5b 2 b 3 = T (a 4 ; Al final, probamos que se cumple la relación entre el rango y la nulidad: dim(im(t + dim(ker(t = = 4 = dim(v. Construcción de bases en el núcleo e imagen, página 4 de 6

5 8. Se considera la transformación lineal T : M 2 (R M 2 (R definida mediante la siguiente regla: [ ] 4 6 T (X = AX XA, donde A =. 8 7 Construir una base en ker(t y una base en im(t. Hacer las comprobaciones. Solución. En el espacio M 2 (R usamos la base canónica E = (E, E 2, E 3, E 4 : [ ] [ ] [ ] [ ] E =, E 2 =, E 3 =, E 4 =. Calculamos la matriz asociada al operador T respecto la base E (omitimos los cálculos: 8 6 T E = Aplicando operaciones elementales transformamos T E en una matriz pseudoescalonada reducida: 4/3 4/3 R = R 6 T E = R R 4 += 6R / R 2 = 6 4/3 /6 8 44/3 8 R 3 += 8R 2 4/3 /6 } {{ } Q La solución general del sistema de ecuaciones lineales T E x = 4 es x x x = 2 4x 3 2 = x + x x + x 6 2 } {{ } } {{ } u u 2 Las columnas u y u 2 son elementos de R 4 ; hay que convertirlas en matrices 2 2 para obtener una base de ker(t : [ ] [ ] 6 U = E +E 2 +E 3 +E 4 = ; U 2 = E +6E 2 8E 3 +E 4 =. 8 Construcción de bases en el núcleo e imagen, página 5 de 6

6 Comprobemos que U, U 2 ker(t. Para la matriz U = I 2 la comprobación es trivial: T (U = T (I 2 = AI 2 I 2 A = A A = 2,2. Hagamos la comprobación para U 2 : [ ] [ ] [ T (U 2 = AU 2 U 2 A = [ ] [ ] = [ ] [ ] = = ,2. ] [ ] Para construir una base de la imagen notemos que en la matriz pseudoescalonada Q las columnas 3 y 4 forman una sublista básica, y las columnas y 2 son sus combinaciones lineales: = Por lo tanto las matrices T (E 3 = 6E + E 3 6E 4 = ; [ 6 6 4/3 /6 = ] [ 6, T (E 4 = 6E 2 + 8E 3 = 8 forman una base de im(t, y las matrices T (E y T (E 2 son sus combinaciones lineales: T (E = T (E 3 T (E 4, T (E 2 = 4 3 T (E 3 6 T (E 4. Hagamos la comprobación de las últimas igualdades: [ ] [ ] [ ] T (E 3 T (E 4 = = = T (E ; 4 3 T (E 3 [ ] [ ] [ ] 6 T (E = + = = T (E 44/3 8 44/ Al final probamos que r(t + nul(t = dim(dominio: = 4. ] Construcción de bases en el núcleo e imagen, página 6 de 6

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