DIAGONALIZACIÓN. Diagonalización de Endomorfismos y Matrices. Conceptos fundamentales y ejemplos

Transcripción

1 Diagonaliación DIAGONALIZACIÓN Autores: Juan Alberto Rodrígue Veláque Cristina Steegmann Pascual ESQUEA DE CONTENIDOS Diagonaliación de Endomorfismos atrices Diagonaliación usando athcad Conceptos fundamentales ejemplos atri asociada matri de cambio de base INTRODUCCIÓN En este math-block como su título indica se estudia el problema de la diagonaliación de endomorfismos matrices. Dicho estudio está estrechamente vinculado a los conceptos de matri asociada a una aplicación lineal matri de cambio de base; es por ello que dedicamos la primera sección al análisis de las relaciones eistentes entre estas matrices. En la segunda sección analiamos el problema de la diagonaliación de endomorfismos matrices presentamos los resultados necesarios para el estudio de dicho problema. Los ejemplos ilustrativos de los principales resultados presentados en el math-block están agrupados en la cuarta sección. Por último presentamos la diagonaliación de algunas matrices utiliando el programa athcad como herramienta de cálculo. OBJETIVOS Conocer la relación eistente entre las matrices asociadas a una misma aplicación lineal en diferentes bases. Conocer el método de cálculo de los valores vectores propios de un endomorfismo (matri Saber determinar si un endomorfismo (matri es diagonaliable. Saber determinar una base propia la matri diagonal de un endomorfismo diagonaliable. Proecto e-ath

2 Diagonaliación ostrar las posibilidades que brinda el programa athcad para el estudio de la diagonaliación de endomorfismos matrices. CONOCIIENTOS PREVIOS Es recomendable haber leído previamente los math-blocks relativos a: Álgebra de matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. Aplicaciones lineales. Espacios vectoriales. Además recomendamos los introductorios a athcad. CONCEPTOS FUNDAENTALES atri asociada a una aplicación lineal Sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita: f : E n Em f ( Sean A ( a a... an B ( b b... bm bases de E n matri asociada a f en las bases A B a la matri ij m n coordenada i del vector f a en la base B. Denotamos esta matri por [ f A B]. j Es decir si f ( a j ( j E m respectivamente. Llamamos α son la (α cuos elementos ij α entonces f ( a j es la columna j de la matri [ f A B]. α mj Consideremos la siguiente aplicación lineal f : R R definida por f ( ( Vamos a calcular la matri asociada a f en las bases canónicas. En este caso la matri asociada se obtiene calculando la imagen de los vectores de la base del espacio de partida poniéndolas en columnas: Entonces la matri asociada es f ( (; f ( (. f ( (; Proecto e-ath

3 Diagonaliación [ f C C ] Nótese que la matri asociada actúa como la aplicación lineal de la siguiente forma: f ( (. Esto quiere decir que podemos estudiar la aplicación lineal a partir de su matri asociada. Naturalmente si cambiamos las bases obtenemos otra matri asociada. Consideremos ahora la aplicación lineal de antes las bases (( ( ( B ( ( de R R respectivamente. Vamos a determinar la matri [ f A B]. Las imágenes de los vectores de la base de partida son: f ( (; f ( ( ; f ( (. La matri de cambio de base de B a la canónica es Q La matri de cambio de base de la canónica a B es Q A Entonces obtenemos las coordenadas de los vectores imágenes en la base de llegada: Colocamos los vectores ( B (; ( B (; ( ( B. B ( B [ ] f A B ( B ( en columna obtenemos la matri asociada Veamos ahora como se relacionan ambas matrices las matrices de cambio de base. La matri de cambio de base de la base A a la canónica es Proecto e-ath

4 P La matri de cambio de base de la base la canónica a la base A es concreto coincide con P. Cómo actúan estas matrices? [ f A B]: Transforma los vectores de Diagonaliación P que en este caso en R cuas coordenadas estén epresadas en la base A A R en su imagen por la aplicación f cuas coordenadas están epresadas en la base B de R ( f ( R. A B [ f C C ]: Transforma los vectores de R cuas coordenadas estén epresadas en la C R en su imagen por la aplicación f cuas coordenadas están f ( R base canónica epresadas en la base canónica de R (. C C P : Transforma vectores de R cuas coordenadas están epresadas en la base en ellos mismos pero con las coordenadas epresadas en la base canónica C R. Q : Transforma vectores de R A A R R cuas coordenadas están epresadas en la base canónica C en ellos mismos pero con las coordenadas epresadas en la base B B R. Entonces el siguiente diagrama conmutativo nos permite relacionar estas matrices: [ f C C ] ( R C ( R C P Q ( R A ( R B [ f A B] O lo que es igual: Esto es [ f A B] Q [ f C C ] P. [ f A B] En general sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita: Proecto e-ath

5 Sean A A' bases de E n sean B f : E n B' bases de Em f ( [ f A B] Q [ f A' B' ] P donde P es la matri de cambio de base de A a a B '. Diagonaliación E m. Se cumple la siguiente relación: A ' Q es la matri de cambio de base de B Diagonaliación Diremos que una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo. La matri asociada a un endomorfismo definido en un espacio vectorial de dimensión n es una matri cuadrada de orden n. Si se pretende estudiar un endomorfismos a partir de su matri asociada resultará conveniente averiguar si eiste una base tal que la matri asociada respecto a dicha base sea la más simple posible; una matri diagonal. Si eiste tal base se dice que el endomorfismo es diagonaliable. Sea f un endomorfismo definido en un espacio vectorial E de dimensión n. Denotaremos la f C f C C. matri asociada a f en la base canónica de E de la siguiente forma: [ ] [ ] Supongamos que [ f C] es una matri diagonal: [ f C] n Veamos qué condiciones se deben cumplir para que eista esta matri: En primer lugar f n ( e e e e e f ( e e e e en e f ( en e e nen nen En resumen f ( e i iei i : i {... n}. Diremos que un vector no nulo de un espacio vectorial E es un vector propio del endomorfismo f definido en E si eiste R tal que f (. En ese caso se dice que es un valor propio de f que es un vector propio asociado al valor propio. Un vector no nulo de un espacio vectorial real E de dimensión n es un vector propio de la t t En ese caso se dice que matri cuadrada de orden n si eiste R tal que. es un valor propio de que es un vector propio asociado al valor propio. Proecto e-ath

6 Diagonaliación Bajo el supuesto de antes (de que [ f C] endomorfismo i : i {... n}. i f de la matri [ f C] que i es diagonal concluimos i es un valor propio del e es un vector propio asociado al valor propio Naturalmente si en la diagonal de la matri ha números repetidos entonces eistirán valores propios que tendrán más de un vector de la base como vector propio asociado. En cambio a cada vector propio le corresponde un único valor propio. En efecto sea E un vector propio sean β α β α β de donde por ser α R tales que f ( f (. Entonces ( resulta que α β. Sean ahora dos bases B B ' de E sean [ f B] [ f B' ] matrices no necesariamente diagonales. A continuación analiaremos la relación que eiste entre los valores vectores propios de ambas matrices asociadas a f. t t Sea E {} : [ f B]( B ( B es decir es un valor propio de [ f B] B es un vector propio de [ f B] asociado al valor propio cuas coordenadas están epresadas en la base B. Sea Q la matri de cambio de la base B ' a la base B. Entonces se tiene [ f B] ( E B ( E B Q Q ( E B' ( E B' [ f B' ] De ahí que t t [ f B' ]( B' Q [ f B] Q( B' t Q [ f B]( B t Q ( B t ( Q ( B ( t B' Hemos obtenido el siguiente resultado: Todas las matrices asociadas a un endomorfismo poseen los mismos valores vectores propios. Dicho de otro modo los valores vectores propios de un endomorfismo coinciden con los valores vectores propios de cualquiera de sus matrices asociadas. Proecto e-ath 6

7 Diagonaliación Veamos ahora cómo determinar los valores vectores propios. Sea E un vector propio asociado al valor propio. Entonces se cumple: t t t [ f C] ( [ f C] I f ( donde I es la matri unidad es el vector columna cuas componentes son cero. t ( [ f ] I t Evidentemente si consideramos las componentes de como incógnitas obtenemos un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. El vector no es nulo por ser un vector propio entonces para que este sistema homogéneo no sea compatible determinado es necesario suficiente que el determinante de la matri del sistema sea cero. Esto es [ f C] I Dicho de otro modo es condición necesaria suficiente para que un número real sea un valor propio del endomorfismo f que el núcleo del endomorfismo f i no sea inectivo. Si consideramos como una incógnita entonces el determinante [ f C] I representa un polinomio de grado n con coeficientes reales que recibe el nombre de polinomio característico de la matri [ f C]. Las raíces del polinomio característico son los valores propios de la matri [ f C]. Como los valores propios son invariantes del endomorfismo (son los mismos para todas las matrices asociadas el polinomio característico también es un invariante del endomorfismo. Es por eso que el polinomio característico de las matrices asociadas a f es denominado polinomio característico de f se denota P f. Sea un valor propio del endomorfismo f. El conjunto V { E : f ( } subespacio vectorial de E. En efecto V a que f V. a φ ( es un b c V V f ( f ( f ( f ( ( V ( α V.. f ( ( α R f ( α αf ( α( ( α El subespacio V recibe el nombre de subespacio propio asociado al valor propio. Proposición [] Sean e vectores propios de un mismo endomorfismo asociados a valores propios diferentes entonces e son linealmente independientes. Proecto e-ath 7

8 Diagonaliación Dicho de otra forma más fácil: los vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Si podemos determinar una base de E formada por vectores propios del endomorfismo f entonces podemos concluir que f es diagonaliable la matri diagonal es la matri asociada a f en dicha base. Una base con tales características es denominada base propia del endomorfismo. La pregunta que nos falta por contestar es la siguiente Bajo qué condiciones podemos construir una base propia? La respuesta a esta pregunta nos la da el siguiente teorema: Teorema [6] Sea E un espacio vectorial real de dimensión n. Sea f E E es diagonaliable si sólo si se verifican las dos propiedades siguientes: P f posee n raíces reales iguales o distintas Para cada raí R de P f se cumple que dim( V k multiplicidad de. : un endomorfismo. f donde k es la Por lo tanto el estudio de la diagonaliación de un endomorfismo se reduce a los siguientes pasos:. Seleccionamos una base del espacio vectorial. Hallamos la matri asociada respecto a la base seleccionada. Determinamos los valores propios.. Determinamos el subespacio propio asociado a cada uno de los vectores propios.. Verificamos si se cumplen las dos condiciones del teorema anterior. Toda matri simétrica es diagonaliable. Además se puede demostrar que siempre ha una base propia ortonormal. Cuando esto es así se dice que la diagonaliación es ortogonal. Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son ortogonales por eso cuando una matri simétrica posee todos los valores propios diferentes se puede asegurar que la base propia es ortogonal. Si una matri simétrica posee valores propios repetidos se puede aplicar el método de ortogonaliación de Gram-Schmidt para obtener una base propia ortogonal. Luego normaliando los vectores se obtiene la base ortonormal. En la siguiente sección analiaremos varios ejemplos de diagonaliación de endomorfismos matrices. Proecto e-ath 8

9 Diagonaliación Proecto e-ath 9 Casos prácticos Ejemplo Sea : R R f un endomorfismo definido por: ( ( f Veamos si f es diagonaliable en caso afirmativo determinemos una base propia la matri diagonal. La matri asociada a f en la base canónica es [ ] C f El polinomio característico es (. ( ( ( ( f P Las raíces del polinomio característico son los valores propios. Estos son: de multiplicidad de multiplicidad. El subespacio propio V asociado al valor propio está formado por todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: De ahí que { } ( ( : ( R V El subespacio propio V asociado al valor propio está formado por todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: De ahí que { } ( : ( R V Una base propia es. (( (( B La matri asociada a f en la base B es la matri diagonal [ ] B f

10 Diagonaliación Proecto e-ath Observación: permutando los vectores de esta base propia obtenemos otra base propia por consiguiente otra matri diagonal. Otra base propia es (( (( ' B la matri asociada a f en esta base es [ ] B f Ejemplo Determinemos los valores vectores propios del endomorfismo de R cua matri asociada respecto a la base canónica es A Es diagonaliable la matri A? El polinomio característico es. ( ( ( A P Las raíces del polinomio característico son los valores propios. Estos son: de multiplicidad de multiplicidad. El subespacio propio V asociado al valor propio está formado por todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: De ahí que { } ( : ( R V El subespacio propio V asociado al valor propio está formado por todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: De ahí que { } ( : ( R V

11 Diagonaliación es La matri A no es diagonaliable porque la multiplicidad del valor propio dim( V. Ejemplo Determina si la matri A es diagonaliable. El polinomio característico es P A (. Este polinomio no tiene raíces reales. La matri A no es diagonaliable. Ejemplo El endomorfismo canónica: f : R R se define a partir de la imagen de los vectores de la base f ( ( f ( ( f ( ( Es f diagonaliable? La mati asociada a f en la base canónica es [ f C] El polinomio característico es P f ( ( (. La única raí real del polinomio característico es tiene multiplicidad. Entonces el endomorfismo f no es diagonaliable. Proecto e-ath

12 Diagonaliación CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Diagonaliación usando athcad Ejemplo Determinemos los valores vectores propios de la siguiente matri : Definimos la matri unidad: I : Y luego calculamos polinomio característico usando el comando Smbolic: I 9 6 Para determinar las raíces del polinomio característico usaremos el comando solve de la barra de herramientas smbolic: P: 9 6 P solve Entonces los valores propios son con multiplicidad con multiplicidad. Proecto e-ath

13 Diagonaliación Podríamos haber calculado directamente los valores propios usando la función eigenvals: v : eigenvals ( v El subespacio propio V asociado al valor propio está formado por todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: Es decir En este caso la solución del sistema es evidente R. V De ahí que {( R : } (( ( El subespacio propio V asociado al valor propio está formado por todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo: Para resolver este sistema vamos a usar la instrucción Given la función find En primer lugar le asignamos valores iniciales cualesquiera a las incógnitas: : : : Introducimos el sistema de ecuaciones después de la instrucción Given: given Usamos la función find: Proecto e-ath

14 Diagonaliación Obtenemos: find( V De ahí que {( R : } (( Nótese que cualesquiera que sean dos vectores propios asociados a valores propios diferentes son ortogonales (el producto escalar es cero. Esto lo sabíamos de antemano porque la matri es simétrica. Si se desea obtener una base ortonormal que diagonalice se puede aplicar el método de ortogonaliación de Gram-Schmidt luego normaliar los vectores dividiéndolos por su norma. Los vectores propios se pueden calcular directamente mediante la función eigenvecs: V: eigenvecs ( V De antes sabemos que los valores propios se calculan mediante Proecto e-ath

15 Diagonaliación Proecto e-ath v eigenvals ( : v Para obtener los vectores propios asociados a cada uno de los valores propios por separado hacemos: V eigenvecs ( : V V V Por tanto una base propia es: B En este caso la base que hemos obtenido usando la función eigenvecs de athcad es ortonormal. La forma diagonal de la matri referida a la base B es: Ejemplo Veamos si la siguiente matri es diagonaliable: : Los valores propios son v eigenvals ( : v

16 Diagonaliación Son todos reales diferentes. La matri es diagonaliable. Los vectores propios son V: eigenvecs ( V V V Ejemplo La siguiente matri no es diagonaliable en R : : Los valores propios no son reales v : eigenvals ( v i i Ejemplo La siguiente matri no es diagonaliable : Los valores propios son v : eigenvals ( v El subespacio propio asociado al valor propio tiene dimensión la multiplicidad de este valor propio es. En efecto los vectores propios son: Proecto e-ath 6

17 Diagonaliación V BIBLIOGRAFÍA [] ontes Loano A (998: "Álgebra" ódulo : "atrices vectores sistemas de ecuaciones lineales" Ediciones UOC [] ontes Loano A (998: "Álgebra" ódulo : "Aplicaciones Lineales" Ediciones UOC [] G. J. Porter D. R. Hill (996: Interactive Linear Algebra. A laborator course using athcad Springer-Verlag New York [] H. Benker (999: "Practical use of athcad. Solving mathematical problems with a computer algebra sstem" Springer-Verlag New York [] H. Anton (: "Elementar Linear Algebra: Applications Version" John Wile&Sons [6] J. Rojo (986: "Álgebra Lineal" ª Edición. Editorial AC ENLACES [W] Página web de la enciclopedia de Planetath.org sobre álgebra lineal. En inglés. [W] Página web de la School of athematics and Statistics Universit of St Andrews Scotland. Trata sobre la historia del álgebra. En inglés. Proecto e-ath 7

18 Diagonaliación [W] Página web del Departamento de atemáticas Estadística de la Universidad de Nebraska- Lincoln. Libro on-line sobre álgebra lineal sus aplicaciones. En inglés. [W] Página web sobre teoría de números. Libro on-line sobre álgebra lineal. En inglés. [W] Página web de la publicación "The Electronic Journal of Linear Algebra" publicada por "The International Linear Algebra Societ". En inglés. [W6] Página en la que está recogida la información relacionada con el software disponible gratuitamente en la red para la solución de problemas de álgebra lineal. En inglés. [W7] Libro online sobre álgebra con especial énfasis en álgebra lineal: "Elements of Abstract and Linear Algebra" escrito por Edwin H. Connell [W8] Libro online sobre álgebra: "Beginning with Linear Álgebra " escrito por Eric Carlen and Conceicao Carvalho. [W9] Libro online: "Linear Algebra" escrito por Jim Hefferon athematics Saint ichael's College Proecto e-ath 8