AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA

Transcripción

1 AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA FERNANDO LUIS GARCÍA ALONSO ANTONIO PÉREZ CARRIÓ JOSÉ ANTONIO REYES PERALES Profesores Titulares de la Escuela Politécica Superior de la Uiversidad de Alicate

2 Ampliació de fudametos de matemática aplicada. 3ª edició revisada Ferado Luis García Aloso Atoio Pérez Carrió José Atoio Reyes Perales. ISBN: Depósito legal: A Edita: Editorial Club Uiversitario. Telf.: C/ Cottolego, 25 - Sa Vicete (Alicate) Prited i Spai Imprime: Impreta Gamma. Telf.: C/ Cottolego, 25 - Sa Vicete (Alicate) gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad i parte de este libro puede reproducirse o trasmitirse por igú procedimieto electróico o mecáico, icluyedo fotocopia, grabació magética o cualquier almaceamieto de iformació o sistema de reproducció, si permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

3 A uestras familias

4 Prólogo Las matemáticas so ua herramieta para los estudiates de las carreras técicas, tato coceptual como de cálculo. Coceptual porque permite compreder los desarrollos teóricos de asigaturas fudametales, de cálculo porque ayuda a resolver los problemas que habitualmete se preseta e el ejercicio de la profesió. Las matemáticas tiee u carácter formativo, que geera el hábito de platear los trabajos co rigor y cotribuye al desarrollo de u autético método cietífico del futuro profesioal. El objetivo fudametal que comparte las asigaturas de matemáticas e todas las carreras técicas, tato medias como superiores, es el de proporcioar al estudiate ua formació matemática básica, que le permita acceder al estudio de cualquier disciplia de matemática aplicada, requerida e su ejercicio profesioal, más adelate. Este objetivo puede ser formulado, más detalladamete, del modo siguiete: Familiarizar al alumo co el leguaje y razoamietos matemáticos, situádolo e codicioes de adquirir por sí mismo, e el futuro, los coocimietos de matemáticas que precise como istrumeto de su labor técica específica. Proporcioarle asimismo, métodos útiles para abordar los problemas que aparece e las diferetes disciplias de su titulació. Dotarle de u repertorio de coceptos, métodos y técicas de aálisis o cálculo adecuados a sus futuras ecesidades profesioales. La presete obra ha sido cocebida para tales fies, y está dirigida preferetemete a los alumos que ha elegido ua carrera técica, ispirádose su redacció e los programas de las pricipales uiversidades. Es tambié volutad de los autores que este texto costituya ua herramieta útil y eficaz e la preparació de exámees, procurado que sea lo más autosuficiete posible, e el setido de que pueda leerse si más coocimietos previos que los que aparece e cualquier asigatura de Fudametos de Matemática Aplicada. Co esta idea se ha creído coveiete icluir e cada capítulo, además de ua itroducció teórica que proporcioa ua visió global del tema que itetamos abordar, ua colecció variada de problemas resueltos co observacioes y otas que tiee por objeto facilitar su compresió. Al fializar cada capítulo aparece ua recopilació de problemas propuestos, similares a los resueltos, para que el alumo ejercite y afiace los coocimietos adquiridos. Es tambié iteció de los autores, que el presete libro permita asetar uas bases sólidas para ulteriores estudios. El coteido de esta obra se estructura e siete capítulos; e los cico primeros se estudia los coceptos de aplicacioes lieales etre espacios vectoriales, valores y vectores propios de u edomorfismo, trasformacioes ortogoales, diagoalizació ortogoal y su aplicació al estudio, clasificació y represetació gráfica de cóicas. El capítulo seis preseta las ideas de límite, cotiuidad y difereciabilidad de campos escalares y vectoriales. Por último e el séptimo se efectúa el estudio sobre la itegració exacta de ecuacioes difereciales ordiarias básicas. Los autores

5 Ídice Capítulo Aplicacioes Lieales Itroducció Aplicacioes lieales. Clasificació Defiició de aplicació lieal Teorema de caracterizació Ejemplos de aplicacioes lieales Propiedades Clasificació de homomorfismos Image y úcleo de ua aplicació lieal Defiicioes y cosecuecias Teoremas de caracterizació de moomorfismos Caracterizació de la image recíproca de u vector Homomorfismos etre E.V. de dimesió fiita Isomorfismos etre E.V. de la misma dimesió Determiació de aplicacioes lieales Teoremas de caracterizació de moo, epi e isomorfismos Matriz de ua aplicació lieal Ecuacioes y matriz de u homomorfismo Operacioes co aplicacioes lieales y matrices asociadas Equivalecia de matrices asociadas a ua misma A.L Defiició de matrices equivaletes, semejates y cogruetes Relació etre matrices asociadas a ua misma A.L. e distitas bases..9 Ejercicios resueltos...10 Ejercicios propuestos...28

6 Capítulo Diagoalizació de Edomorfismos Itroducció Valores y vectores propios Defiició de valores y vectores propios de u edomorfismo Subespacio propio asociado a u valor propio Determiació de valores y vectores propios Cálculo de valores y vectores propios. Ecuació característica Defiició de edomorfismo diagoalizable Edomorfismo diagoalizable Teorema de caracterizació y cosecuecias Primer teorema de diagoalizació Teorema fudametal de diagoalizació Matrices diagoalizables Defiició de matrices diagoalizables Caracterizació Propiedades Teoremas de aulació...35 Ejercicios resueltos...37 Ejercicios propuestos...57 Capítulo Trasformacioes Ortogoales Itroducció Aplicacioes ortogoales Homomorfismo ortogoal Cosecuecias Trasformacioes ortogoales Defiició de trasformació ortogoal Teoremas de caracterizació Matrices ortogoales Defiició de matrices ortogoales Teorema de caracterizació Trasformacioes ortogoales directas e iversas Trasformacioes e el E.V.E. ( ) co el p.e. caóico...63 Ejercicios resueltos...64 Ejercicios propuestos...75 Capítulo Diagoalizació Ortogoal Itroducció Edomorfismos simétricos de ( ) Valores y vectores propios de u edomorfismo simétrico Diagoalizació ortogoal de u edomorfismo simétrico Formas cuadráticas Defiició de forma cuadrática Expresió reducida de ua forma cuadrática Formas cuadráticas defiidas, semidefiidas e idefiidas...84 Ejercicios resueltos...85 Ejercicios propuestos...106

7 Capítulo Cóicas Itroducció Defiició y ecuació reducida Ecuació caóica y represetació gráfica de cóicas o degeeradas Clasificació y represetació gráfica de cóicas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Capítulo Cálculo Diferecial Itroducció Nocioes de topología de El espacio ormado Clasificació de los putos de co respecto a u cojuto D Límites de campos escalares Límites fiitos de campos escalares Límites segú u subcojuto Límites ifiitos de campos escalares Propiedades de los límites de campos escalares Límites fiitos de campos vectoriales Cotiuidad de fucioes de varias variables Cotiuidad local de campos escalares Cotiuidad local de campos vectoriales Derivadas direccioales y derivadas parciales Derivadas direccioales y derivadas parciales de campos escalares Derivadas direccioales y derivadas parciales de campos vectoriales La diferecial Diferecial de campos vectoriales Matriz jacobiaa Iterpretació geométrica de la diferecial de campos escalares Difereciació de fucioes compuestas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Capítulo Ecuacioes difereciales Itroducció Defiicioes y termiología Problema Cauchy o de valores iiciales Ecuacioes co variables separables Ecuacioes homogéeas Ecuacioes difereciales lieales de primer orde Ecuacioes de Berouilli Ecuacioes difereciales exactas Factores itegrates Alguos tipos de factores itegrates Trayectorias isogoales Ecuació diferecial lieal de orde, co coeficietes costates Sistema fudametal de solucioes

8 Cálculo de sistemas fudametales de solucioes Solució geeral de la ecuació diferecial lieal de orde completa co coeficietes costates Ejercicios resueltos Cuadro E.D.O. orde Ejercicios propuestos Bibliografía Ídice alfabético de defiicioes...311

9 Capítulo 1 Aplicacioes Lieales 1.1 Itroducció Parece lógico que después de haber maejado Espacios vectoriales itetemos buscar relacioes etre ellos. Estas aplicacioes etre espacios vectoriales debe cumplir al meos co las operacioes que defie la estructura de espacio vectorial y coservar dicha estructura, es decir, debe preservar la suma y el producto por u escalar. E otras palabras estas aplicacioes, llamadas lieales, matiee la forma y de ahí que tambié reciba el ombre de homomorfismos (igual forma). La palabra lieal co la que se apostilla estas aplicacioes etre espacios vectoriales, proviee de la expresió e ecuacioes lieales de las imágees. Cuado los espacios vectoriales relacioados so de dimesió fiita, las ecuacioes lieales de las imágees toma cuerpo a través de su expresió matricial, ecotrádoos co u elemeto ta ligado a la aplicació lieal que e ocasioes se idetificará ambos coceptos. Nos estamos refiriedo a la matriz asociada a ua aplicació lieal respecto a dos bases dadas (si los EV so distitos) o respecto de ua base (si so iguales), lo que fialmete os llevará respectivamete a la equivalecia o semejaza de matrices que represeta a ua misma aplicació lieal. So muchos los feómeos que se comporta de modo lieal a través de modelos matemáticos aplicados a distitos ámbitos cietífico-técicos, como por ejemplo, e arquitectura, física, igeiería eléctrica, ecología, ecoomía, telecomuicacioes,... 1

10 Capítulo 1. Aplicacioes lieales 1.2 Aplicacioes lieales. Clasificació Defiició de aplicació lieal Defiició. Sea U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Ua aplicació f de U e V es toda correspodecia que asocia a cada vector u U u úico vector v V, que se llama Image o Trasformado de u mediate f. La Aplicació f : U V es Lieal si verifica las codicioes siguietes: 1) f ( u+ v) = f ( u) + f ( v) u, v U. 2) f λu = λf u λ u U. ( ) ( ) Observació: Termiológicamete so coceptos idéticos Aplicació Lieal, Homomorfismo, Trasformació Lieal y Operador lieal Teorema de caracterizació Teorema. La aplicació f : U V es lieal u homomorfismo si, y sólo si: f λ u+ µ v = λ f u + µ f v λ, µ u, v U ( ) ( ) ( ) Ejemplos de aplicacioes lieales 1. Si [x] es el espacio vectorial de los poliomios de grado meor o igual que, a coeficietes reales y co idetermiada e x, etoces la aplicació etre espacios vectoriales D : [x] 1[x] que a cada poliomio le hace correspoder su derivada respecto de x es lieal (compruébese por el lector). 2. Sea U = C [ a, b ], a< b el espacio vectorial de las fucioes reales que so cotiuas e el itervalo [a, b]. La aplicació etre espacios vectoriales: ϕ : U f( x) f( x) dx es lieal (basta utilizar la liealidad de la itegral defiida). 3. Dado el espacio vectorial U = U1 U2,etoces las aplicacioes proyecció de U sobre U 1 y sobre U 2 so lieales. 4. La aplicació idetidad i: U U, tal que i( u) = u u U, es lieal. 5. La aplicació ula 0:U V, tal que 0( u) = 0, u U, es lieal. 6. Los giros y simetrías axiales so trasformacioes que coserva las distacias y puede comprobar el lector que so trasformacioes lieales. b a 2

11 1.2.4 Propiedades Resume teórico Dada la Aplicació Lieal etre espacios vectoriales sobre el cuerpo, f : U V, se verifica: a) f (0) = 0. b) f( u) = f( u) u U. c) Si U 1 es subespacio vectorial de U f( U1) es subespacio vectorial de V. d) Si V 1 es subespacio vectorial de 1 V f V1 ( ) es subespacio vectorial de U. e) Si S es u sistema geerador de U1 f( S) es u sistema geerador de f( U 1). f) Si S es u sistema ligado e U f( S) es u sistema ligado e V. g) Si f( S ) es u sistema libre e V S es u sistema libre e U ((cotrarrecíproco de f). Observació : El sistema image de u sistema libre puede ser libre o ligado, depediedo de la aplicació lieal Clasificació de homomorfismos Defiició. Ua aplicació f : U V es: a) iyectiva si f( u) = f( v) u = v; u, v U. b) sobreyectiva si f( U) = V. c) biyectiva si es iyectiva y sobre a la vez. Defiició. Sea f : U V ua aplicació lieal u homomorfismo, etoces: 1) Si f es iyectiva, se le llama moomorfismo. 2) Si f es sobreyectiva, se le llama epimorfismo. 3) Si f es biyectiva, se le llama isomorfismo. 4) Si U = V, etoces a f se le llama edomorfismo. A u edomorfismo biyectivo se le llama automorfismo. Observació: E ua correspodecia uívoca etre cojutos co cardialidad, f : A B, e la que todos los origiales tiee ua sola image, la iyectividad implica que Card ( A ) Card ( B ), la sobreyectividad implica que Card ( A ) Card ( B ) y la biyectividad, que Card ( A ) = Card ( B ). E estas codicioes si f es iyectiva y Card ( A ) = Card ( B ) etoces f es biyectiva. Claramete las dimesioes de espacios vectoriales isomorfos so iguales. 1.3 Image y úcleo de ua aplicació lieal Defiicioes y cosecuecias Defiició. Sea f : U V ua aplicació lieal etre espacios vectoriales sobre u mismo cuerpo, etoces: 3

12 Capítulo 1. Aplicacioes lieales I. Se llama Image de f al cojuto de vectores trasformados de todos los vectores de U y se represeta por Im( f ). Como Im( f ) = f( U ), etoces por la propiedad c) es u Subespacio Vectorial de V. Llamamos Rago de f a la dimesió de Im( f ). II. Se deomia Image recíproca de u vector v V mediate f, y se represeta por f 1 ( v), al cojuto de vectores de U que tiee por image a v. III. Se llama Núcleo de f, y se represeta por N( f ) o Ker(f) (del iglés Kerel, o del alemá ker), al cojuto de vectores de U cuya image es ula (image recíproca del vector ulo). Por la propiedad d) como { 0 } es u subespacio vectorial (impropio) de V y N( f ) = f 1 (0) etoces N( f ) = es u subespacio vectorial de U. A la dimesió del úcleo de f se le llama ulidad de f. IV. Si U es de dimesió fiita etoces dimu = dim N( f ) + dim Im( f ) = ulidad de f + rago de f Teoremas de caracterizació de moomorfismos. Teoremas: i. ii. f es u moomorfismo N( f ) =. f es u moomorfismo La image de todo sistema libre de U es u sistema libre e V. Observació: Como cosecuecia del primer teorema resulta obvio que si dim U es fiita etoces, f es moomorfismo sii dimu = rago de f = dimim( f ) = dim Caracterizació de la image recíproca de u vector f ( U ). Sea el homomorfismo f : U V y v Im( f ), etoces existe u vector u0 U tal que f( u0) = v. Si u es otro vector de U cuya image tambié es v, es decir, u vector cualquiera de la image recíproca de v, etoces f( u) = f( u0) por lo que u u0 N( f ), y así podemos cocluir fácilmete que : Observació: Obviamete si N( f )= la image recíproca de cualquier vector v Im( f ) costa de u (moo) solo vector. 4

13 1.4 Homomorfismos etre E.V. de dimesió fiita. Resume teórico E esta secció etederemos que U quiere decir que el espacio vectorial U sobre el cuerpo tiee dimesió. Etoces la aplicació lieal f : U Vm se etederá que parte de u espacio vectorial de dimesió y llega a u espacio vectorial de dimesió m. Si o se poe el subídice se etederá que o es ecesario el dato de la dimesió Isomorfismos etre E.V. de la misma dimesió. Dado el espacio vectorial ( ) U, ua base B = { e, i = 1,2,..., } i de éste y el vector x del mismo, podemos expresar x como combiació lieal úica de los vectores de la base, es decir, x= xe xe, dode los coeficietes de la combiació lieal so escalares del cuerpo, que agrupados de la forma ( x1,..., x ) deota las coordeadas de x e la base B. La aplicació φ : U ( ) ( ) x ( x,..., x ) 1 es lieal y biyectiva (compruébese como ejercicio). Lo que establece u isomorfismo etre espacios vectoriales de dimesió y el espacio vectorial. Observació: El isomorfismo defiido depederá e cada caso de la base elegida. Este isomorfismo os permite idetificar U co hora de resolver ejercicios tato teóricos como prácticos. para de esta forma poder trabajar co mayor simplicidad a la es el modelo aalítico de los espacios vectoriales, -dimesioales, sobre el cuerpo y su importacia estriba e que u sistema de coordeadas permite el estudio de la geometría vectorial de u e.v. V de dimesió sobre. Observació: Si recordamos la observació del apartado 1.2.5, toda aplicació lieal iyectiva etre espacios vectoriales de la misma dimesió fiita es biyectiva y por lo tato isomorfismo Determiació de aplicacioes lieales. Teorema. Ua aplicació lieal f : U coociedo las imágees de los vectores de ua base de de U y x U etoces, V queda uívocamete determiada U. Si B { e i} i = 1,2,..., = es base x= xe xe f( x) = f( xe xe ) = x f( e) x f( e )

14 Capítulo 1. Aplicacioes lieales Teoremas de caracterizació de moo, epi e isomorfismos. Sea f : U V u homomorfismo, { } 1,2,..., B= e i i = ua base de U y f( B) = { f( e )} = 1,..., i i etoces: Teoremas: i. ii. iii. f f f es epimorfismo f( B) es sistema geerador de V. es moomorfismo f( B) es libre. es isomorfismo f( B) es base de V. 1.5 Matriz de ua aplicació lieal Ecuacioes y matriz de u homomorfismo vectoriales Sea B = { u u } y B = { v v } U U y V m y,..., 1 x U e V y V Si coocemos las imágees de los vectores de la base aplicació lieal f : U Vm, e efecto: Recordemos que por u lado y que por otro m,..., 1 m bases respectivas de los espacios tales que f( x ) = y. f( u1) = α11v1 + α12v α1 mvm f( u2) = α21v1 + α22v α2mv... f( u ) = α v + α v α v m m y = yv y v 1 1 m m B U tedremos determiada la y = f( x) = x1f( u1) xf( u) = = x1 ( α11v1 + α12v α1 mvm) x( α 1v1 + α2v αmvm) = = ( xα + x α x α ) v ( xα + x α x α ) v m 2 2m m m m y como la expresió de y es úica e la base B V, los coeficietes de la combiació lieal coicide y así resulta que: y = xα + x α x α y = xα + x α x α y = xα + x α x α m 1 1m 2 2m m 6

15 Resume teórico que so las Ecuacioes de la aplicació lieal. Expresado matricialmete el sistema aterior, que relacioa las coordeadas ( x1,..., x ) de x e la base BU co las coordeadas ( y1,..., y m ) de f( x ) e la base BV se obtiee: y1 α11 α21 α 1 x1 y2 α12 α22 α2 x2 = y α α α x m 1m 2m m dode α α α α α α α α α m 2m m es la Matriz de la aplicació lieal f respecto a las bases B U y B V, cuyas columas so las coordeadas de las imágees de los vectores de B U respecto de la base B V. Se puede utilizar la otació f BUB para aludir a dicha matriz. V Observació: A la matriz de u homomorfismo f respecto a las bases dadas tambié se llama matriz asociada al homomorfismo f respecto a dichas bases Operacioes co aplicacioes lieales y matrices asociadas Sea f : U Vm y g: U Vm y B U ua base de U y matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a las bases respectivamete: B V ua base de V m. Las B U y B V, so F f B B Suma y producto por u escalar = y G = g U V B B U V Defiició. Se defie la aplicació lieal suma f ± g de la siguiete forma: ( f ± g)( u) = f( u) ± g( u) ; u U y la matriz asociada correspodiete es F ± G. Del mismo modo se defie el homomorfismo producto por u escalar λ f tal que ( λf)( u) = λf( u), u U, λ K y su matriz asociada es λ F. Co estas operacioes el cojuto de las aplicacioes lieales etre los espacios vectoriales U y V m, L( U, V m) tiee estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo 7

16 Capítulo 1. Aplicacioes lieales y es isomorfo al espacio vectorial de las matrices de orde m, por lo que su dimesió es m. Composició de aplicacioes Sea f : U Vm y h: Vm Wp y B U ua base de U y B V ua base de V m y B W ua base de W p. Las matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a sus bases so respectivamete: F f B B = y H = h U V B B V W Defiició: El homomorfismo composició (f compuesto co h) h f U W : p se defie por ( h f)( u) = h[ f( u)] y tiee por matriz asociada H F. De forma atural e caso de existir la aplicació iversa de f para la composició, 1 f, su matriz asociada sería la iversa de F, es decir, 1 F. 1.6 Equivalecia de matrices asociadas a ua misma A.L Defiició de matrices equivaletes, semejates y cogruetes Defiició. Dos matrices A, B M mx ( ) so equivaletes si existe dos matrices P y Q, cuadradas y regulares, de órdees y m respectivamete, tales que : 1 B= Q A P Observació: Dos matrices que represete a ua misma aplicació lieal pero e distitas bases, so equivaletes, siedo P y Q las matrices de cambio de base (e el siguiete apartado se estudiará esta situació co detalle). Defiició. Dos matrices A, B M ( ) so semejates si existe ua matriz P regular, de orde, tal que: 1 B= P A P Observació: Dos matrices que represete al mismo edomorfismo pero e distita base, so semejates, siedo P la matriz de cambio de base. Es trivial que las matrices semejates tiee el mismo determiate. Defiició. Dos matrices A, B M ( ) so cogruetes si existe ua matriz P regular, de orde, tal que: t B= P A P 8

17 Resume teórico Observació: Dos matrices que represete al mismo edomorfismo ortogoal pero e distita base, so cogruetes, siedo P la matriz de cambio de base Relació etre matrices asociadas a ua misma A.L. e distitas bases. Sea f : U Vm, B U ua base de asociada a f e dichas bases. Cosideramos ahora las bases asociada a f es F' = f B ' U B '. V U, B ' U de U y La matriz de cambio de base (cuadrada y regular) de cada espacio vectorial. Sea x U e y V m tales que f( x ) = y. B V ua base de V m y F = f B U B la matriz V B ' V de V m respecto a las que la matriz B ' a B se deota por ( B' : B) e La expresió e forma de matriz columa de x e la base B U viee dada por X, y e la base B ' U por X '. La expresió e forma de matriz columa de y e la base B V viee dada por Y, y e la base B ' V por Y '. Las relacioes de cambio de base so: = ( ' : ) ' (1) ( ' ) X B B X U U Y = B : B Y' (2) V V Por otro lado: Y = F X (3), Y' = F' X ' (4) (relacioes de las matrices asociadas) Sustituyedo (1) y (2) e (3) se obtiee: por lo que ( ) ( ) B' : B Y' = F B' : B X ' (5) V V U U 1 ( ) ( ) Y' = B' : B F B' : B X ' (6) V V U U y como la matriz de ua aplicació lieal respecto a uas bases dadas es úica, comparado (4) y (6) resulta que: ( ) 1 ( ) F' = B' : B F B' : B V V U U lo que corrobora la equivalecia de las matrices asociadas a ua misma aplicació lieal e distitas bases. 9

18 Capítulo 1. Aplicacioes lieales EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dados los espacios vectoriales U y V, estudie si las siguietes aplicacioes f:u V so lieales: a) b) U = V = U = 3 ( )/ f(x,y,z) = (2x + y, y z, x + y + z). 3 ( ) ; V = c) U = V = M ( )/ f(a) = A t A. SOLUCIÓN: 2 ( )/ f(x,y,z) = (2xy, x + 3y 4z). Para que la aplicació f :U V (etre espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ) sea lieal u homomorfismo debe cumplirse que: E la práctica se utiliza el teorema de caracterizació (T.C.): a) Dado que f : 3 ( ) 3 ( )/f(x, y, z) = (2x + y, y z, x + y + z) Utilizado la caracterizació aterior f( λ (x, y, z ) + µ (x, y, z )) = f( λ x + µ x, λ y + µ y, λ z + µ z ) = (2( λ x + µ x ) + ( λ y + µ y ),( λ y + µ y ) ( λ z + µ z ),( λ x + µ x ) + ( λ y + µ y ) + ( λ z + µ z )) = λ (2x + y, y z, x + y + z ) + µ (2x + y, y z, x + y + z ) = λf(x, y, z ) + µ f(x 2, y 2, z 2) para cualquier aplicació lieal 3 λ, µ y (x, y, z ),(x, y, z ) ( ) por lo que es f ua b) E este caso f : 3 ( ) 2 ( )/ f (x, y, z) = (2xy, x+3y-4z) Cuado las coordeadas del vector image so expresioes poliómicas podemos utilizar u método ituitivo para el recoocimieto de homomorfismos. Cuado las coordeadas mecioadas so poliomios de térmios homogéeos de grado 1 ( lieales) etoces es homomorfismo. Por el cotrario si algua coordeada es o lieal o de grado cero (o ulo), o será aplicació lieal. E este último caso basta ecotrar u ejemplo que o cumpla la defiició o el T.C. 10

19 Ejercicios resueltos f(2,0,0)=(0,2) f(1,1,1)=(2,0) f(2,0,0)+f(1,1,1) f(3,1,1) f(3,1,1)=(6,2) y como cosecuecia f o es homomorfismo t c) f : M ( ) M ( )/f( A) = A A Utilizado el T.C. t t t f( λ A+ µ B) = ( λ A+ µ B) ( λ A+ µ B) = λ A + µ B λ A µ B= t t λ ( A A) + µ ( B B) = λ f( A) + µ f( B) A, B M ( ), λ, µ co lo que f es ua aplicació lieal. 2. Determie los subespacios Im(f) y N(f) de la siguietes aplicacioes lieales: a) f: 3 ( ) 3 ( )/ f(x,y,z) = ( y, 0, x - y - z). b) f: P ( ) P ( )/ f(p(x)) = xp (x) ( 1 1 P ( ) 1 es el e.v. de los poliomios de grado meor o igual que uo, co idetermiada e x y a coeficietes reales). SOLUCIÓN: caso. Hallaremos uas ecuacioes implícitas y ua base del N( f ) y de la Im( f ) e cada a) De la defiició de f resulta que por lo que se deduce fácilmete que f(x, y, z) = x(0,0,1) + y(1,0,-1) + z(0,0,-1) Im( f ) = <(1,0,-1), (0,0,1)> pues (0,0,-1) es proporcioal a (0,0,1) y ua base de la image es pues {(1,0,-1),(0,0,1)} Para hallar uas ecuacioes implícitas sea (x,y,z) Im( f ), por lo que x = α (x,y,z) = α(1,0,-1) + β(0,0,1) y = 0 z = α + β 11

20 Capítulo 1. Aplicacioes lieales que costituye las ecuacioes paramétricas de las que elimiado los parámetros obteemos ua ecuació implícita que e este caso es y = 0. y = 0 E cuato al N( f ) ={(x,y,z)/f(x,y,z)=(0,0,0)} os coduce al sistema 0 = 0 de x-y-z = 0 dode N( f ) ={(x,y,z)/y=0, x = z}={(x,0,x)/x real}=<(1,0,1)>, siedo uas ecuacioes implícitas, y = 0, x = z y ua base, {(1,0,1)}. b) E este caso resulta claro que f(ax + b) = ax por lo que Im( f ) = <x> = {ax+b / b = 0}, siedo la ecuació implícita, b = 0 y ua base de Im( f ), {x}. De la misma forma N( f ) = {ax+b / f(ax+b) = poliomio idéticamete ulo (P.I.N)} Es decir N( f ) = {ax+b/ ax = 0x+0} = {ax+b/ a = 0} =<1> y de esta forma ua base de N( f ) es {1} y ua ecuació implícita es a = Clasifique las siguietes aplicacioes lieales: a) f: M ( ) M ( )/ f(a) = A t + A 2. b) c) f: f: SOLUCIÓN: 3 ( ) 2 ( )/ f(x,y,z) = ( x + y, y + z). 2 ( ) 3 ( )/ f(x,y) = ( 2x - y, 2y x, 2x+2y). a) Dado que A+A t es ua matriz simétrica etoces Im( f ) = S ( ) (espacio vectorial de las matrices simétricas). Por otro lado toda matriz cuadrada real de orde puede expresarse de forma úica como suma de ua matriz simétrica mas ua atisimétrica, es decir, M ( ) = S ( ) AS ( ) Además dim M ( ) = dim Im( f ) + dim N( f ) = dim S ( )+ dim N( f ) y de la expresió aterior podemos cocluir que N( f ) = AS ( ) por lo que f sólo es edomorfismo *. Otra forma de llegar al úcleo de f es: N( f ) ={A M ( )/A+A t = 0 (matriz ula)}={a M ( )/A= - A t } es decir N(f) = AS ( ). * Como dim S ( ) = resultado. ( + 1 ) y dim AS 2 ( ) = ( 1 ) resulta obvio el 2 12

21 Ejercicios resueltos b) Im(f) = x(1,0) + y(1,1) + z(0,1) =<(1,0), (0,1)> = 2 ( ) como cosecuecia f es sobre y dado que las dimesioes de los espacios vectoriales so distitas f o puede ser biyectiva luego o puede ser iyectiva y por tato f es epimorfismo. c) N( f ) = {(x,y)/ 2x y = 0; 2 y x= 0; 2x+ 2 y = 0 }={(0,0)} luego f es iyectiva y como las dimesioes de los espacios vectoriales so distitas f o puede ser biyectiva, por tato f o es sobre y como cosecuecia f es moomorfismo. NOTA: Si f :U V es ua aplicació lieal (etre espacios vectoriales de dimesió fiita) sabemos que dimu = dim Im(f) + dim N(f). Así pues e el caso e que dimu > dimv, f o puede ser iyectiva (ya que e cualquier caso dim Im(f) dimv < dimu co lo que dim N(f) 0 y etoces N(f) { 0 }). Por otro lado si dimu < dimv, f o puede ser sobreyectiva (ya que dim Im(f) dimu < dimv ). 4. Dado el edomorfismo f: P 2 ( ) P 2 ( )/ f(p(x)) = xp (x) p(x), se pide que: a) Halle ua base y uas ecuacioes implícitas del úcleo y de la image de f. -1 b) Determie, de forma razoada, si existe f. c) Compruebe si N(f) e Im(f) so suma directa. SOLUCIÓN: Dado que P 2 ( ) es el espacio vectorial de los poliomios de grado meor o igual que dos co idetermiada e x y a coeficietes reales, f queda defiida por: así pues, f(ax 2 +bx+c) = ax 2 c a) 2 Im( f ) = x,1 = { ax 2 +bx+c / b = 0} (f o es sobre). N( f ) = { ax 2 +bx+c / f(ax 2 +bx+c) = 0 (PIN)} = { ax 2 +bx+c / ax 2 c = 0 (P.I.N)}= { ax 2 +bx+c / a = 0, c = 0} = x (f o es iyectiva). Ua base de Im( f ) es { x 2, 1} y ua ecuació implícita es b = 0. Ua base de N( f ) es {x} y uas ecuacioes implícitas so a = 0 y c = 0. b) Puesto que f o es biyectiva, es claro que f o es iversible. c) De las estructuras de Im( f ) y de N( f ) es obvio que P ( )= Im( f ) N( 2 f ). 13

22 Capítulo 1. Aplicacioes lieales 5. Cosideremos los edomorfismos f y g sobre el espacio vectorial U(K), co dimesió, cumpliedo las siguietes codicioes : a) f = i g ( i = aplicació idetidad). b) g ( u) = u u = 0; u U. c) g es ilpotete de orde. (es decir, g 1 ) 0, g ) = 0). SOLUCIÓN: Se pide que: a. Demuestre que existe f 1 b. Halle f 1. e fució de g. 1. Para que f sea iversible basta ver que es iyectiva pues al ser edomorfismo si es iyectivo es automorfismo. Veamos pues la iyectividad de f: Sea u U(K) ; u N(f) f(u )= 0 (por i.) i(u )-g(u )= 0 u -g(u )= 0 g(u )=u (por ii.) u = 0 luego N(f) ={ 0 } (es decir, f es iyectiva). 2. Sea f (i + g + g g ) = ( i g ) ( i + g + g g ) = i g +1 = i, pues g es ilpotete de orde, es decir, g + 1 = 0 (A.I.N.), de dode podemos cocluir que: f -1 = i + g + g g siedo g = ) gg... g co. NOTA: Las siglas A.I.N. sigifica aplicació idéticamete ula. 6. Determie la aplicació lieal f: P ( ) 3 2 ( ) tal que: y calcule f(x 2 + 4x + 4). f(1 x) = (2, 0,0) f(x 2 + 2x 1) = (0, 1, -1) f(2x 2 1) = (1, -2, 0) 14

23 Ejercicios resueltos SOLUCIÓN: Puesto que ua aplicació lieal etre espacios vectoriales de dimesió fiita queda uívocamete determiada coociedo las imágees de ua base, utilizaremos este extremo para cotestar a la primera preguta. 2 2 El sistema 1 x, x + 2x 1,2x 1 es ua base de P ( ) 2 u 1 u2 u3 decir, si p(x) P 2 ( ), etoces existe tres escalares, α, β, γ, tales que, (compruébese), es p(x) =! αu1+ βu2 + γu3 luego f(p(x)) = α f( u 1 )+ β f( u 2 )+γ f( u 3 ) y e el caso que os ocupa: x 2 +4x +4 = 22 3 u u 2-7 u f(x 2 +4x +4) = f( u 1 ) f( u 2 )- 7 3 f( u 3 )= =,, (haga el lector las pertietes verificacioes) NOTA: El sigo de exclamació! idica la uicidad de la expresió a la que se refiere. 7. Sea f el edomorfismo de que : 3 ( ), co f(x 1,x 2,x 3 ) = (y 1,y 2,y 3 ) de forma y 1 = x 1 x 2 + x 3 y 2 = x 1 + x 2 y 3 = x 2 que so las ecuacioes del mismo. Si U 1 = {(x 1,x 2,x 3 )/ x 1 + x 2 = 0} y U 2 = = {(x 1,x 2,x 3 )/ x 3 = 0}, calcule: a) f 1 (0). 1 b) f (1,2,1) si resolver igú sistema de ecuacioes, sabiedo que f(1,1,1)=(1,2,1). c) f(u ) y f(u ). 1 2 SOLUCIÓN: a) f 1 (0) = N(f) = {( x 1,x 2,x 3) / f( x 1,x 2,x 3) = (0,0,0)} y resolviedo el sistema: 15

24 Capítulo 1. Aplicacioes lieales x x + x = x +x = x = 0 2 cuya úica solució es la trivial, co lo que N(f) = { 0 }. b) c) Dado que f es moomorfismo, la image recíproca de cualquier vector del espacio vectorial Im(f ) costa de u solo vector, luego f 1 (1,2,1) = (1,1,1). Puesto que U 1 = {( x 1,x 2,x 3)/ x 1 +x 2 = 0 }={( x 1, x 1,x3)/ x 1,x 3 } = <(1,-1,0),(0,0,1)> S 1 = {(1,-1,0),(0,0,1)} es u sistema geerador de U 1, por tato f(s 1 ) es u s.g. de f(u 1 ) y como f(s 1 ) = {(2,0,-1),(1,0,0)}, resulta que : f(u 1 )=<(2,0,-1),(1,0,0)>. De la misma forma U 2 = {( x 1,x 2,x 3)/ x 3 = 0}={( x 1,x 2,0)/ x 1,x 2 } = <(1,0,0),(0,1,0)> S 2 = {(1,0,0),(0,1,0)} es u sistema geerador de U 2, por tato f(s 1 ) es u s.g. de f(u 2 ) y como f(s 2 ) = {(1,1,0),(-1,1,1)}, resulta que : f(u 2 )=<(1,1,0),(-1,1,1)>. 8. Dada la aplicació f : 3 ( ) M 2 ( ) / f(x,y,z) = x y +. Estudie si f es 0 x z lieal y, e este caso, halle la matriz asociada a dicha aplicació lieal e las bases caóicas. SOLUCIÓN: λ, µ y se tiee que 3 (x 1,y 1,z 1),(x 2,y 2,z 2) ( ) f( λ (x 1,y 1,z 1)+ µ (x 2,y 2,z 2) )=f( λ x 1+ µ x 2, λ y 1+ µ y 2, λ z 1+ µ z2)= λ x1+ µ x2 λ y1+ µ y2 x1 y1 x2 y2 = = λ + µ 0 ( λ x1+ µ x 2) + ( λ z1+ µ z 2) 0 x1+ z1 0 x2 + z2 = λ f (x 1,y 1,z 1)+ µ f(x 2,y 2,z 2) ) lo que prueba que f es ua aplicació lieal. = 16

25 Ejercicios resueltos Para hallar la matriz asociada a f e las respectivas bases caóicas procederemos calculado los trasformados de la base caóica de los vectores de la base caóica de M ( ). 2 3 ( ) y expresarlos e fució de f(1,0,0)= = f(0,1,0)= = f(0,0,1)= = Las columas de la matriz asociada a f so las costituidas por los coeficietes de las expresioes ateriores (coordeadas de los trasformados de los vectores de la base caóica de 3 ( ) e la base caóica de M ( ) 2 ), es decir, f C3CM 2 ( ) = Sea las bases B = {(1,1), (1,0)} y B = {((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} de 2 ( ) y 3 ( ) respectivamete. Cosideremos el homomorfismo f : 2 ( ) 3 ( ) defiido por: f ( x, y) = ( y, x, x y) Halle la expresió matricial de f e las bases B y B. SOLUCIÓN: Método 1: Los trasformados de los vectores de la base B f (1,1) = (1,1, 0) = α (1,1,1) + α (1,1, 0) + α (1, 0, 0) f (1, 0) = (0,1,1) = α (1,1,1) + α (1,1, 0) + α (1, 0, 0) expresados e fució de los vectores de la base B os coduce a dos sistemas de tres ecuacioes co tres icógitas (ambos compatibles determiados) cuyas úicas solucioes so, respectivamete, ( α11, α12, α13) = (0,1,0); ( α21, α22, α23) = (1,0, 1) y coforma las columas de la matriz buscada. 17

26 Capítulo 1. Aplicacioes lieales α11 α fbb' = α12 α22 = 1 0 α α Método 2: Si otamos co C 2 y C 3 las respectivas bases caóicas de 2 ( ) y de 3 ( ) y teemos e cueta que la defiició de f os da los trasformados de C 2 e fució de los vectores de C 3 f ( 1, 0 = ) ( 0, 1, 1 ) f ( 0, 1) = (1, 0, - 1) etoces la expresió matricial de f e las bases caóicas es 0 1 fc 1 0 2C = por otro lado sea P = [ B :C 2 ] (matriz de cambio de base de B a C 2 ) y Q = [ B :C 3 ] (matriz de cambio de base de B a C 3 ) co lo que la relació etre matrices asociadas a ua misma aplicació lieal e distitas bases ( B, B y C 2, C 3 ) es f 1 BB' = Q fc 2C 3 P y dado que de forma obvia 1 1 P = 1 0 y Q = , basta hallar Q = y etoces 18

27 Ejercicios resueltos fbb' = = NOTA: La forma de obteer las matrices P y Q es muy secilla dado que se trata de expresar los vectores de la base B y B e fució de los vectores de las bases C 2 y C 3 respectivamete y como los vectores de las bases B y B está referidos a las bases caóicas respectivas, las columas de las matrices de cambio de base está costituidas por las coordeadas, e las bases caóicas, de dichos vectores. Recuerde tambié el lector que P y Q so matrices regulares. 10. Sea f : 2 ( ) 4 ( ) la aplicació lieal defiida por f(2,1) = (1,0,-1,3) y f(4,1) = (2,-2,3,1) Calcule la matriz asociada a f respecto de las bases caóicas. SOLUCIÓN: Método 1: f(2,1)=(1,0,-1,3) El hecho de que f(4,1)=(2,-2,3,1) se puede traducir a u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas cosiderado { } { e,e,e,e} C = u,u base caóica de C = base caóica de ( ) 4 ( ) El sistema queda : f(2u 1+u 2) = e1 e3 + 3e4 f(4u +u ) = 2e 2e + 3e + e y aplicado la liealidad de f, se obtiee el sistema 2f(u 1)+f(u 2) = e1 e3 + 3e4 4f(u )+f(u ) = 2e 2e + 3e + e que es compatible determiado, siedo la solució (a través de sus coordeadas) 19

28 Capítulo 1. Aplicacioes lieales 1 f(u 1) = e1 e2 + 2e3 e4 2 f(u ) = 0e + 2e 5e + 5e co lo que f C2C = Método 2: Puesto que B 2 = {(2,1),(4,1)} es base de 2 ( ) y {(1,0,-1,3 ),(2,-2,3,1)} es liealmete idepediete, podemos completar este último sistema hasta obteer ua base de 4 ( ). Sea B 4 = {(1,0,-1,3 ),(2,-2,3,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} dicha base completada. Por otro lado sea P = [B 2 :C 2 ] (matriz de cambio de base de B 2 a C 2 ) y Q = [B 4 :C 4 ] (matriz de cambio de base de B 4 a C 4 ) co lo que la relació etre matrices asociadas a ua misma aplicació lieal e distitas bases ( B 2, B 4 y C 2, C 4 ) es siedo f = Q f P f = Q f P 1 1 B2B4 C2C4 C2C4 B2B = = = = f BB ;P P ;Q 2 4 y fialmete f C2C = =

29 Ejercicios resueltos 11. Determie la expresió matricial de la aplicació lieal g f,e las bases caóicas de 3 ( ) y 4 ( ), sabiedo que: f: g: 3 ( ) 2 ( ) /f(x,y,z) = (x+y, y+z). 2 ( ) 4 ( ) /g(x,y) = (x, 2x y, y x, y). SOLUCIÓN: Método 1: Por composició directa Dado que (g f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) y utilizado las defiicioes de f y g resulta que: (g f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x+y, y+z) = [(x+y), 2(x+y)-(y+z), (y+z) (x+y), (y+z)} = = (x + y, 2x + y z, z x, y + z ). Co lo que de forma clara * se tiee : (g f) C3C = * NOTA: La primera columa está costituida por los coeficietes de x e las ecuacioes coordeadas de (g f), la seguda por los coeficietes de y, y la tercera por los de z. Esto se debe a la obteció de esta matriz respecto de las bases caóicas, e las cuales está dadas las ecuacioes de la composició. Este procedimieto equivale a hallar las coordeadas de los trasformados, mediate g f, de los vectores de la base caóica C 3, e la caóica C 4. Método 2: Matricialmete C 3 C 2 : La defiició de f os ofrece de maera directa la matriz asociada a f e la bases f C3C = por otro lado la defiició de g tambié os da trivialmete la matriz asociada a C 2 C 4 : g C2C =

30 Capítulo 1. Aplicacioes lieales Etoces la matriz asociada a la composició (g f) e las bases C 3 C 4 viee dada por el siguiete producto matricial: (g f) CC =(g 3 4 CC ) (f 2 4 CC ) = = Dado el homomorfismo f: 2 ( ) 3 ( ) /f(x,y) = (-y, 2x, y) calcule la expresió matricial de f respecto de las bases B = {(1,0), (1,-1)} y B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,-1)} de SOLUCIÓN: Método 1: 2 ( ) y 3 ( ) respectivamete. Siguiedo el mismo procedimieto del ejercicio 9, hallamos los trasformados de los vectores de la base B y los expresamos e fució de los vectores de la base B. f (1, 0) = (0, 2, 0) = α11(1,1,1) + α12(1,1, 0) + α13(1, 0, 1) = 2(1,1,1) + 4(1,1, 0) 2(1, 0, 1) f (1, 1) = (1, 2, 1) = α (1,1,1) + α (1,1, 0) + α (1, 0, 1) = 2(1,1,1) + 4(1,1, 0) 1(1, 0, 1) obteiedo 2 2 fbb' = Método 2: Siguiedo los mismos pasos del ejercicio 9 llegamos a que la expresió matricial de f e las bases caóicas es 0 1 fc2c = por otro lado sea P = [B:C 2 ] (matriz de cambio de base de B a C 2 ) y Q = [B :C 3 ] (matriz de cambio de base de B a C 3 ) 22

31 Ejercicios resueltos co lo que la relació etre matrices asociadas a ua misma aplicació lieal e distitas bases ( B, B y C 2, C 3 ) es -1 fbb' = Q fc2c P 3 y dado que de forma obvia 1 1 P = 0 1 y Q= , basta hallar Q = y etoces fbb' = = Sea f: 2 ( ) 3 ( ) ua aplicació lieal y B, B las respectivas bases del ejercicio aterior, siedo la matriz asociada a f e estas bases: f BB = Calcule la ueva matriz de la aplicació respecto a las bases B ={(3,2), (4,3)} y B ={(2,1,1), (3,3,1), (2,1,2)}. Halle tambié la represetació matricial de f respecto a las bases caóicas. SOLUCIÓN: Este ejercicio es ua aplicació directa de la equivalecia de matrices asociadas a ua misma A.L. e distitas bases, cuya relació es: -1 f = Q f BB' BB' P dode P = B:B y Q = B':B' so las respectivas matrices de cambio de base. 23

32 Capítulo 1. Aplicacioes lieales La obteció de P pasa por expresar los vectores de la base B e fució de los de la base B. (3, 2) = α (1, 0) + α (1, 1) = 5(1, 0) 2(1, 1) = α21 + α22 = 5 7 P 2 3 (4,3) (1, 0) (1, 1) 7(1, 0) 3(1, 1) = La obteció de Q -1 = B':B' requiere la expresió de B ' e fució de B' (1,1,1) = β11(2,1,1) + β12(3,3,1) + β13(2,1,2) = (2,1,1) + (3,3,1) + (2,1, 2) (1,1,0) = β21(2,1,1) + β22(3,3,1) + β23(2,1,2) = (2,1,1) + (3,3,1) + (2,1, 2) (1,0, 1) = β31(2,1,1) + β32(3,3,1) + β33(2,1,2) = (2,1,1) + (3, 3,1) + (2,1,2) Q = y aplicado la relació de equivalecia mecioada f = BB' 3 = Para hallar la matriz de f e las bases caóicas utilizamos la relació de equivalecia de matrices asociadas a ua misma aplicació lieal e distitas bases. f = Q f P f = Q f P -1-1 BB' C2C3 C2C3 BB' dode P = [ B:C 2 ] = P = respectivas matrices de cambio de base. y Q = [ ] B ' : C = so las Y aplicado la relació dada: fc2c = =