MATEMÁTICA APLICADA PARA INGRESANTES

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1 MATEMÁTICA APLICADA PARA INGRESANTES 2015 v TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO. TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA. TECNICATURA SUPERIOR EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL. TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN. TECNICATURA SUPERIOR EN SEGURIDAD VIAL. Ing. Walter Alberto Cáseres

2 CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturales y Enteros. Propiedades Números Racionales. Propiedades. Números Irracionales. Propiedades. Notación científica Números Reales. Estructura algebraica Números complejos. Estructura algebraica EXPRESIONES ALGEBRAICAS Clasificación de las expresiones algebraicas Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio Operaciones entre polinomios. Regla de Ruffini y Teorema del Resto Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra Factoreo Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación TRIGONOMETRIA Ángulos y Sistemas de medición Razones trigonométricas Resolución de Triángulos Rectángulos Circunferencia trigonométrica Relación entre ángulos de distintos cuadrantes Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno ECUACIONES Clasificación General Ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 Ecuaciones Cuadráticas Ecuaciones Racionales e Irracionales Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Sistemas Mixtos Ecuaciones e Identidades Trigonométricas FUNCIONES Conceptos preliminares Producto Cartesiano y Relación Función. Conceptos generales Función Constante Función Lineal Función Cuadrática Funciones definidas por tramos 1

3 Símbolos matemáticos de uso frecuente Algunas letras del alfabeto griego 2

4 CONJUNTOS NUMERICOS Introducción Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C, D, M El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal. Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. Objetivos Definir a los conjuntos numéricos Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo Recordar la aritmética de los números reales y complejos Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática Conceptos previos Conceptos básicos de lógica proposicional. Teoría de Conjuntos Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están representadas en el siguiente mapa conceptual 3

5 Definición Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacio Simbólicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,...n, n+1,...} Operaciones La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente: Si a N y b N, entonces a + b N (a y b se llaman términos o sumandos) Si a N y b N, entonces a. b N (a y b se llaman factores) 4

6 NUMEROS ENTEROS Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al conjunto de números naturales. Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales De ese modo 3 3 = 0 y 3 7 = -4 Definición El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los naturales Simbólicamente se expresan Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc ). En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros positivos (naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los naturales). 5

7 Operaciones en Z La suma y el producto de enteros es siempre otro entero. La diferencia a b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo a b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo La división entre los enteros a y b, con b 0, arroja como resultados dos números enteros llamados cociente (q) y resto) A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor. Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q 6

8 Se dice que la división es exacta, que a es múltiplo de b, que a es divisible por b, que b es factor de a o que b es divide a a La división por 0 no está definida. Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!! 7

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10 En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras) puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una expresión algebraica equivalente Productos notables Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables 9

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12 NUMEROS RACIONALES Dividir es repartir en partes iguales!!! Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52cartas. El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. Cuántas cartas le corresponden a cada uno? Cuántas cartas quedan en el centro? Tu puedes deducir la respuesta! Y si se quiere repartir pero el dividendo es menor que el divisor? Por ejemplo Ejemplo: Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos. Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno. Definición Los Números Racionales son los números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se pueden expresar como fracción. En símbolos Los números racionales representan partes de un todo Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números Racionales 11

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15 Q es un conjunto denso Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos. Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso 14

16 NUMEROS IRRACIONALES Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica pero, todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO!!! Existen otros números que junto a los racionales completan a la recta numérica. Ellos son los números irracionales Definición Los Números Irracionales son los números que no se pueden expresar como fracción. En símbolos Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas 15

17 Operando con números irracionales Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números Irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales!! 16

18 Y si necesitáramos expresar a los números irracionales en forma decimal? Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de los números irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notación decimal de un número irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la última cifra conservada. Racionalización Si las raíces aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A este proceso se lo conoce con el nombre de Racionalización de denominadores Primer Caso: Un único término con raíz cuadrada en el denominador Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador Segundo Caso: Un único término con raíz mayor que 2 en el denominador Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador elevada a un exponente conveniente 17

19 Tercer Caso: En el denominador suma o resta de términos que contienen raíces cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador NUMEROS REALES Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto Definición El conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto de los Irracionales. Simbólicamente A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real. El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene el siguiente cuadro: 18

20 En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos Notación científica Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos, representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia entera de diez. El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y producto de números reales cumplen los siguientes axiomas: Si x, y, z R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas X + y R (x.y) R 19

21 La suma y el producto son operaciones conmutativas x + y =y + x x.y = y.x La suma y el producto son operaciones asociativas (x+y) + z = x + (y+z) (x.y). z = x. (y.z) El producto es distributivo respecto a la suma x. (x+z) = x.y + x.z Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro respecto de la suma pues x+0 = x 1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x Todos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco x se dice inverso aditivo u opuesto de x 1/x se dice inverso multiplicativo o recíproco de x 20

22 Orden en el conjunto R R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos números reales ha y b vale una y solo una de las siguientes afirmaciones a <b, a > b o a = b Propiedades de la Igualdad en R 1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma constante se obtiene otra igualdad Si a = b, entonces a + c = b + c Si a = b, entonces a.c = b.c 2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d 21

23 Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d Propiedades de la desigualdad 1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante, la desigualdad se mantiene Si a < b, entonces a+c < b+c 2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante positiva la desigualdad se mantiene Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c 3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante negativa la desigualdad cambia de sentido Si a < b y c < 0, entonces a.c>b.c Intervalos A menudo se trabaja con subconjuntos de números reales que representan semirrectas o segmentos de recta. La notación de Intervalos es muy conveniente 22

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25 Modulo o Valor absoluto de un número real El valor absoluto o módulo de un número mide la distancia desde el número al origen. Se denota con a. Propiedades El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual a cero a 0 Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto a = -a El valor absoluto es distributivo respecto del producto a.b = a. b El valor absoluto es distributivo respecto del cociente a:b = a : b 24

26 La séptima operación: Logaritmo de un número real Sea a, b R +, con b 1. Se define logaritmo del número a en base b a aquel número n que es el exponente necesario al que hay que elevar b para obtener a. Simbólicamente: a es llamado número logaritmado, b es llamado base del logaritmo y n valor del logaritmo. 25

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28 Propiedades del Logaritmo: 27

29 NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos son combinaciones algebraicas de números reales con números imaginarios. Por qué surgen los números imaginarios? Las raíces de índice par de radicando negativo no tienen respuesta en R. Para dar solución a este problema se crea el número j. Definición: Potencia enésima de la unidad imaginaria Si n Є N, al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4. q + r, donde q es el cociente y r es el resto. Entonces 0 r < 4 y la potencia enésima de j se calculan como: 28

30 Definición Se define al conjunto de los Números Complejos como C = { z / z = a + bj, a Є R y b Є R } a se dice componente real y b se dice componente imaginaria El conjunto C también tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto Las relaciones entre los conjuntos numéricos estudiados se muestran en las siguientes Figuras: 29

31 Todo número complejo está asociado a otros llamados opuesto y conjugado Igualdad en C Dos números complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales. Esto es: a + bj = c + dj ; a = c b = d 30

32 Operaciones en c: Propiedades del conjugado: 31

33 Representación gráfica de los números complejos Todo número complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b). Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este eje se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y por ello se lo llama eje imaginario 0. 32

34 C tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo El conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma y Producto pues en él se cumplen las propiedades de: z 1,z 2,z 3 1 C La suma y el producto son operaciones cerradas La suma y el producto son operaciones conmutativas La suma y el producto son operaciones asociativas El producto es distributivo respecto a la suma Existen números complejos que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z 1 es el neutro respecto del producto pues z.1= z Todos los números complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco z se dice inverso aditivo u opuesto de z 1/z se dice inverso multiplicativo o recíproco de z 33

35 LOGICA MATEMATICA El razonamiento matemático se apoya en la lógica, que trabaja con proposiciones. Una proposición simple es cualquier afirmación de la cual se pueda decir Verdadero o Falso, pero no ambos Ejemplo: Estamos en año 2009 Es una proposición Qué día es hoy? No es una proposición A las proposiciones simples las denotamos con las letras p, q, r,..etc. Las proposiciones simples pueden generar otras proposiciones llamadas compuestas En ellas aparecen palabras llamadas conectivos lógicos. Tanto la notación como su significado están en la siguiente tabla: Los valores de verdad de las nuevas proposiciones ( p, p q, p q, p q, p q, p q) dependen de los valores de verdad de las proposiciones simples intervinientes. En particular: Algunas proposiciones se refieren a conjuntos y hacen afirmaciones sobre la frecuencia con la que se cumple una característica en el conjunto. Ejemplo: Todos los animales son cuadrúpedos 34

36 Algunos animales son carnívoros. Estas son frases que contienen cuantificadores: Todos y Algún/os Es muy frecuente expresarlos simbólicamente, más aún cuando la frase se refiere a conjuntos numéricos Sea A la característica a la que se refiere la frase y sea x un individuo cualquiera del conjunto, las notaciones correspondientes figuran en la siguiente tabla_ TEORIA DE CONJUNTOS Un conjunto es cualquier colección (finita o infinita) de elementos de cualquier naturaleza. Todo conjunto está inmerso en otro conjunto llamado Universal Se denotan con letras mayúsculas y a sus elementos con minúsculas. Es usual representarlos por medio de Diagramas de Venn. En el siguiente cuadro presentamos algunas Definiciones y su correspondiente notación. Considere en los casos correspondientes dos Conjuntos Ay B. 35

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38 NÚMEROS PRIMOS. Sea n Є N, con n>1, n es primo si y solo si tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y n Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, etc. Todo número natural puede descomponerse como producto de factores primos Ejemplos: Expresar a 750, 480 y 1734 en su forma factoreada Máximo Común Divisor Dados dos números enteros a y b. Al número que es divisor de ambos y es el mayor de todos los divisores comunes se le llama máximo común divisor (mcd). El mcd(a,b) es igual al producto de todos los factores primos comunes entre a y b con su menor exponente Mínimo Común Múltiplo Al número que es múltiplo de ambos y es el menor de todos los múltiplos comunes se le llama mínimo común múltiplo (mcm). El mcm(a,b) es igual al producto de todos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente Ejemplos 37

39 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Introducción Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas que permiten simplificar los cálculos numéricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal. Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información. Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las carreteras de la información ha crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisión y conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un método desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con Prioridades). Con él la información se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con base en polinomios. Objetivos generales Conceptos previos 38

40 MAPA CONCEPTUAL EXPRECIONES ALGEBRAICAS Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación de exponente racional. Ejemplos: A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables 39

41 Clasificación de las Expresiones Algebraicas Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en: Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no negativo. Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable está afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador. Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación. TEORIA DE LOS POLINOMIOS Monomios Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término. Grado de un Monomio Es la suma de los exponentes de las letras (o variables) que contiene. Ejemplos: 40

42 Monomios Semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos: POLINOMIO Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado que participa en él Casos particulares. Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios Ejemplos: 41

43 Polinomio Homogéneo Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. Ejemplos: Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como: Donde: n Є Z, n 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grp(x) a i Є R se denominan coeficientes del polinomio a n 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente Ejemplos: 42

44 VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO Ejemplo: CERO DE UN POLINOMIO Polinomio Ordenado Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último. Ejemplos: Polinomio Completo Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al grado del polinomio. Ejemplos: Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con coeficiente cero. Ejemplo: 43

45 Polinomio Nulo Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero Se escribe P(x) = 0 y se dice de él que no posee grado. Polinomio Opuesto Esto es la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio Nulo Ejemplo: Igualdad entre Polinomios Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos semejantes son iguales. En símbolos: Operaciones con Polinomios: La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales. 44

46 Suma de Polinomios Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado. Resta de Polinomios Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. Producto de polinomios Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes. 45

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48 División de Polinomios Numéricos: División de monomios entre si El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio. Ejemplos: División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un polinomio Ejemplo: División de Polinomios entre si Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) 0, tal que gr P(x) grq(x) Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que: P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grq(x). Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto. También puede expresarse: Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un factor de P(x) o que P(x) es divisible por Q(x). De ese modo se tendrá que: Algoritmo de la división Sean P(x) y Q(x) tal que grp(x) grq(x). Para realizar la división P(x):Q(x) se procede del siguiente modo 1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo 2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor grado del divisor 3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo 4) Se repiten los paso 2 y 3 5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. 47

49 Caso particular Si grq(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero). En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. REGLA DE RUFFINI Y un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo: 1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo 2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor b a la izquierda de los demás números ya colocados 3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del siguiente modo: 48

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51 Teorema del Resto: Al dividir P(x) en (x b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) particularizado para x = b. Esto es: R = P (b) 50

52 Teorema del Factor Sea P(x) un polinomio de grado n y b una constante. Se dice que b es un cero de P(x) (x-b) es un factor de P(x) Esto es equivalente a afirmar que b es un cero de P(x) P(x) es divisible por (x b ) Observación Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que P(x) = (x-b).c(x) 51

53 Teorema Fundamental del Algebra Teorema sobre el Numero Cero Extensión de la Regla de Ruffini: 52

54 Extensión del Teorema del Resto 53

55 FACTOREO DE POLINOMIOS Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos. Caso particular Entonces p(x) puede ser factoreado en la forma P( x ) = an ( x x1 ).( x x2 ) ( x xn ) Donde cada binomio de la forma (x xi) es un factor primo. Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes: Factor común Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece multiplicando en cada uno de esos términos. 54

56 Factor Común en Grupo Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer un único factor común habremos factoreado. Diferencia de Cuadrados Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir: 55

57 Trinomio Cuadrado Perfecto Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una diferencia. Cuatrinomio Cubo Perfecto Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente 56

58 iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sean.todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla: 57

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61 EXPRECIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes. Ejemplos: Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se obtiene al sustituir la variable por determinados valores. Ejemplo: Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe. Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de los Números Reales. EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES: Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numéricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras. Simplificación Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y denominador por un mismo factor. Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos entre sí, la expresión fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión. Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador. Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra tras un proceso de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de partida. 60

62 Ejemplo: Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios. Suma algebraica 1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión 2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores 3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios Producto de expresiones algebraicas fraccionarias 1º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión 2º paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es posible 61

63 División de expresiones algebraicas fraccionarias 1º paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor. 2º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión 3º paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es posible. 62

64 APANDICE Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad. Es decir no puede factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con coeficientes reales. En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de si misma se llama compuesta 63

65 El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Se denota con mcd [A, B], donde A y B son las expresiones algebraicas consideradas. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. TRIGONOMETRÍA Introducción La palabra TRIGONOMETRIA proviene del griego Trigonom: triangulo y Metrom: medida. Entonces significa MEDIDA DE TRIANGULOS. Desde sus orígenes, la TRIGONOMETRIA estudia: las relaciones entre los lados y los ángulos del triangulo. 64

66 Como asítambién las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. El estudio del tema abarca: - Trigonometría Plana, que se ocupa de triángulos contenidos en el plano. Trigonometría Esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. 65

67 En la vida diaria.empleamos trigonometría? Con frecuencia nos encontramos con situaciones como: - determinar a que distancia del piso esta la ventana de un edificio. - determinar la altura de un muro - determinar el peso que soportan los tirantes. de lacubierta - calcular la resultante de un sistema de fuerzas En todos los casos, para dar solución a las situaciones planteadas, aplicamos 66

68 TRIGONOMETRÍA Entonces: En esta oportunidad vamos a encarar el tratamiento del tema TRIGONOMETRÍA PLANA. Objetivos Conceptos previos ANGULOS Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta desde una posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es llamado vértice del ángulo. 67

69 Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en posición inicial y final respectivamente. Denotaremos con Q O ˆ P al ángulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo θ, O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente. La medida del ángulo Q O ˆ P es la cantidad de rotación, respecto al vértice requerida para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del reloj. Es en definitiva cuanto se abre el ángulo. Ángulos especiales 68

70 Sistemas de medición Sistema Sexagesimal Unidad: Grado sexagesimal Ej.: 30º 20' 35'' Sistema Circular Unidad: Radian Ej.: 2 rad. Sistema Centesimal Unidad: Grado centesimal Ej.: 100ºc Los sistemas de medición de ángulos mas usados son Sexagesimal y Circular. Sistema Sexagesimal La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los submúltiplos son: minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior. De la definición se deduce que: 69

71 Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa Sistema Circular y Longitud de Arco En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian. Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos α al ángulo, r al radio de la circunferencia y s al arco determinado por el ángulo. 70

72 Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que determina un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Para medir cualquier otro ángulo, usando como unidad de medida el radian, se debe contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al radio de la circunferencia. En este caso el arco determinado por α contiene 3 radios entonces diremos que Α = 3 radianes = 3 rad. Responde:.Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la medida del ángulo cambia? El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite operar con los números Reales abstractos. Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no Relación entre arco, radio y ángulo En una circunferencia de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de α radianes es: 71

73 Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas De la definición de radian y de grado se desprende que: Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa: 72

74 De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes: 73

75 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de definir a las seis razones trigonométricas vamos a nombrar los elementos de un triangulo rectángulo. Se define RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de un ángulo agudo en un triangulo rectángulo a los siguientes cocientes: 74

76 De la definición se desprende que: Dado que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos se desprende que, en un triangulo rectángulo, para cualquiera de sus ángulos agudos se cumple que: 75

77 APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas es elde ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION. 76

78 77

79 Resolución de Triángulos Rectángulos 78

80 Considerando un sistema de ejes cartesianos, es posible representar cada una de las razones trigonométricas por medio de segmentos. Para ello se considera una circunferencia de radio unidad centrado en el origen de coordenadas, llamada circunferencia trigonométrica. En ella podremos analizar que sucede con los valores de las razones trigonométricas cuando el valor del ángulo está comprendido entre 0o y 360o (0 a 2π rad). De este modo podremos resolver situaciones problemáticas que son modeladas por triángulos oblicuos. Considere un ángulo, θ, con vértice en el origen de coordenadas, el lado fijo sobre el eje de las abscisas y el lado móvil en el primer cuadrante. Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia determinado por la intersección del lado móvil del ángulo con la circunferencia. 79

81 La proyección del punto P sobre el eje x, determina el punto Q. El triangulo POQ es un triangulo rectángulo con catetos de longitudes x e y. Por ala definición se tiene que: SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Los signos de las razones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en qué cuadrante este ubicado P. 80

82 81

83 VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triangulo POQ se tiene que: de lo que se deduce que: Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGORICA. Y como: 82

84 Se tiene que: Además a partir de la relación (1) podemos deducir otras relaciones. Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por sen2 se tendrá que: Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por cos2 se tendrá que: Entonces se tienen las siguientes relaciones: APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Problema Directo: A partir de un determinado ángulo α, determinar el valor de las razones trigonométricas. Ejemplo: Si α = 20º30 determine el valor del sen α La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG) Sen 20º 30= 0,35 Problema Inverso: Conocido el valor de una razón trigonométrica, queremos calcular el valor del ángulo. Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ángulos 83

85 de un triangulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente situación. El estudio que sigue se basa en la simetría de los puntos de los distintos cuadrantes, respecto a los ejes de coordenadas y al centro. Relación entre ángulos del 1º y 2º cuadrante Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β del 2 cuadrante llamado Suplementario a α. Esto es β = 180o- α, y se tendrá que: 84

86 Relación entre ángulos del 1º y 3º cuadrante Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 3 cuadrante tal que β = α y se tendrá que: 85

87 Relación entre ángulos del 1º y 4º cuadrante Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 4 cuadrante tal que β =360 α y se tendrá que: 86

88 Para la resolución de estos triángulos se emplean los siguientes teoremas: Teorema del Seno En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos correspondientes 87

89 Teorema del Coseno En cualquier triangulo ABC se tiene: En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido pero también puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean calcular los ángulos del triangulo. 88

90 Una aplicación del teorema del coseno es la formula de Heron: 89

91 APENDICE Para resolver la situación planteada al inicio del capitulo, como tantas otras que se presentan en la vida diaria, vamos a repasar algunos conceptos. 90

92 ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO 91

93 TEOREMA DE PITAGORAS 92

94 93

95 TEOREMA DE TALES Como consecuencia del teorema de Tales se puede enunciar el teorema fundamental de SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Toda paralela a uno de los lados de un triangulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triangulo semejante al primero. 94

96 ECUACIONES Introducción En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación problemática o el fenómeno del que se esté hablando. En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los temas de mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos en nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se podrían resolver si no se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simples de cálculo. Objetivos Conceptos previos Una ecuación es una igualdad donde figuran una o más incógnitas. Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de las incógnitas que verifican la igualdad. A dichos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación. Ejemplos: 95

97 Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en: Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose exactamente con la clasificación de las expresiones A su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso. 96

98 Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias incógnitas. Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo igual. Así, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la derecha. Ejemplo: 97

99 5X + 2 = -3X Un valor es solución si se verifica ala ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en lugar de la/s incógnitas, convierten ala ecuación en identidad. Ejemplo: Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación. Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una ecuación equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata. La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original. 98

100 Propiedades que se aplican en la resolución de una ecuación 1) Propiedad simétrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si Esto es: Si a = b entonces b = a Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1er miembro de la ecuación. Ejemplo: si -3 =2-5y 2-5y = - 3 2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene. Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c Se usa cuando se quiere eliminar un término de un miembro de la ecuación, posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos Ejemplo: Si 2x + 3 = - 1 2x = x = - 4 3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, esta sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse Esto es: Si a + c = b + c, entonces a = b 4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula, positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuación, se mantiene la igualdad. Esto es: Si a = b y c 0, entonces a.c = b.c Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuación, posteriormente se aplica el axioma de los elementos recíprocos 5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o negativa, está multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse Esto es: Si a.c = b.c con c 0, entonces a = b 1) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, siempre que este definida, la igualdad subsiste. Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algún miembro de una ecuación: 99

101 Una ecuación lineal real en una variable es una ecuación de la forma ax+b= 0 donde a y b, coeficientes de la ecuación, son números reales y x es la variable. Toda ecuación real de primer grado en una incógnita tiene exactamente una raíz real. Ejemplo: A una ecuación lineal en una variable ax+b= 0 le podemos asociar una ecuación lineal en dos variables y = ax+b. Dicha ecuación representa geométricamente una recta en el plano. 100

102 Si hacemos y = 0 en esa ecuación se obtiene la ecuación en 1o grado en una variable ax+b= 0. Entonces la raíz de la ecuación ax+b= 0 representa la abscisa del punto donde la recta y = ax+b intercepta al eje X. Ejemplo: La ecuacion3x - 12 = 0 tiene por raíz x = 4 La grafica de la ecuación y = 3x - 12 intercepta el eje X en (4, 0 ) 101

103 RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO 102

104 103

105 RESOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO* Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión matemática. George Polya Como expresar lenguaje Matemático consignas dadas en lenguaje Coloquial? 104

106 105

107 106

108 Se denomina así a la consideración simultánea de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 107

109 SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos en común que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto solución al conjunto de pares ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener: 108

110 109

111 Son muy usados los métodos que a continuación se describen para resolver, analíticamente, sistemas de ecuaciones: Ellos son: método de sustitución, método de igualación, método de reducción y el método por determinantes Método de Sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformara en una ecuación con una sola incógnita la cual se puede resolver. Una vez determinado el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra al reemplazarlo en la expresión donde ella se encuentra despejada. Método de Igualación El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita. 110

112 Método de Reducción Consiste en lograr que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con solo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita. 111

113 Método por Determinantes Se trabaja solamente con los coeficientes de las incógnitas y se forman los siguientes determinantes: 112

114 Calculo de las soluciones: Análisis del determinante del sistema: Valor de un determinante: El valor del determinante de segundo orden se encuentra por medio de la siguiente regla: 113

115 114

116 115

117 116

118 Raíces o soluciones Toda ecuación de 2 grado tiene exactamente dos raíces complejas. Ecuaciones cuadráticas en una y dos variables 117

119 Caso 1: Ecuaciones incompletas Llamamos ecuación incompleta de 2 grado a aquella donde b = 0 o c = 0 En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar En los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando 118

120 Caso 2: Ecuaciones completas - método de completar cuadrados - por medio de la formula general - usando las propiedades de las raíces METODO DE COMPLETAR CUADRADOS Este método consiste en convertir a una expresión que posee un término cuadrático y uno lineal, como mínimo, en una expresión que contenga un trinomio cuadrado perfecto y que posteriormente se podrá factorear Ejemplo: 119

121 - Queda formado un trinomio cuadrado perfecto donde x puede despejarse de dos modos distintos CALCULO DE LAS RAICES POR LA FORMULA de BHASKARA que se emplea para determinar las raíces de la ecuación. En esta fórmula se observa que las soluciones dependen del signo del radicando presente en la misma. 120

122 NATURALEZA DE LAS RAICES 121

123 122

124 Usando las propiedades de las raíces se puede factorear el polinomio cuadrático como así también encontrar las raíces en caso de ser desconocidas. 123

125 Esto nos permite factorear el trinomio presente en el primer miembro de la ecuación, los que sean cuadrados perfectos y los que no Esta propiedad se aplica para la resolución de las ecuaciones de manera mental, buscando dos números que sumen b y que multiplicados arrojen el resultado c 124

126 APLICACIONES 125

127 126

128 Se llaman así a las ecuaciones poli nómicas de 4 que presentan la siguiente forma: Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuación polinómicas de 4 grado, tiene exactamente cuatro raíces, que pueden ser todas reales, dos reales y dos complejas, o todas complejas. 127

129 128

130 129

131 Son todas las ecuaciones donde las incógnitas aparecen al menos una vez bajo el signo de radicación. La resolución se basa en la aplicación de las propiedades de las operaciones de los números reales, especialmente las de la radicación y/o potenciación. 130

132 131

133 Las ecuaciones exponenciales más sencillas son de la forma Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se puede aplicar propiedades de la potenciación, pero en todos los casos se puede aplicar las propiedades de los logaritmos. Ambas se detallan a continuación Propiedades: Igualdad entre potencias de la misma base: Si dos potencias con la misma base son iguales, entonces los exponentes también deben serlo: Propiedad uniforme del logaritmo: si en una igualdad se aplica logaritmo de la misma base miembro a miembro, la igualdad se mantiene 132

134 133

135 Las ecuaciones logarítmicas más sencillas presentan la forma: 134

136 135

137 Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) es un conjunto de ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) cuyas soluciones comunes se pretende hallar. También pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas integrados por ecuaciones exponenciales, logarítmicas y/o algebraicas. 136

138 137

139 Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran relaciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las relaciones). Estas identidades son útiles para: - simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas - en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas Las identidades más importantes son las siguientes: 138

140 Dichas identidades sirven para probar otras. El método de demostración más usual consiste en partir de un miembro de la igualdad y llegar al otro miembro. Resolver una ecuación trigonométrica en el intervalo [0, 2 π ] es encontrar todos los Las ecuaciones trigonométricas son aquellas donde la/s incógnitas son ángulos. Ángulos menores o iguales a un giro que verifican la ecuación. Las estrategias a emplear son diversas. La elección del método depende de la ecuación en sí. A continuación damos ejemplos de algunos casos típicos 139

141 a) Ecuaciones que se puede expresar usando una única razón trigonométrica b) Ecuaciones que se pueden resolver como una ecuación cuadrática 140

142 c) Ecuaciones que se pueden resolver factoreando 141

143 FUNCIONES Introducción Uno de los conceptos matemáticos más útiles es el de función. A estas alturas el estudiante ya está familiarizado con ellas. El propósito de este capítulo es repasar las definiciones y características de las funciones matemáticas más elementales y resaltar su importancia debido a las aplicaciones en las ciencias. Ejemplos: 1) En la factura de energía eléctrica se prevé el pago de $26 por concepto de impuestos y $2,50 por cada KWh consumido. Cuánto se debe pagar si se consumen 320KWh? Esta es una correspondencia entre el consumo de energía eléctrica (en KWh) y el costo (en $) 2) Ramiro conduce su automóvil a una velocidad constante de m/min. Cuál es el espacio recorrido por el móvil al cabo de 10 minutos? En este ejemplo se hace corresponder al espacio (en m) recorrido por el móvil con el tiempo (en min) transcurrido. 3) Un compañía de teléfono posee el número gratuito que corresponde a 0800SERVICIOS. Otro de sus teléfonos disponibles es que es fácil de recordar pues corresponde a 0800CLIENTES. Qué número habrá que marcar para comunicarse con 0800VENTAS? Qué palabra corresponderá a ? Esta es una correspondencia entre números y letras. Objetivos generales Conceptos previos 142

144 Par ordenado Se llama par ordenado de números reales a dos números reales dados en un cierto orden. Notación: Al par ordenado formado por los números x e y, en ese orden, se lo representa entre paréntesis: ( x, y ) Se dice que x es la primera componente e y es la segunda componente Se representan en un sistema de ejes formado por dos rectas perpendiculares. Dichos ejes reciben el nombre de ejes coordenados Es usual disponer los valores de x en el eje horizontal y los valores de y en el eje vertical. Al punto de intersección le llamamos origen de coordenadas. Cada par ordenado está representado por un punto del plano y recíprocamente, cada punto del plano tiene coordenadas que se representan por un par ordenado. Notación: Los puntos se suelen representar con letras mayúsculas seguidos del par ordenado formado por sus coordenadas. Ejemplos: A(-1, 2) ; B(3,0) Para ubicar un punto en el plano conocidas sus coordenadas se deben seguir los siguientes pasos 1) A partir del origen de coordenadas desplazarse sobre el eje horizontal tantas unidades como indique la 1o componente (hacia la derecha si es positiva y hacia la izquierda si es negativa). Este dato es la abscisa del punto. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje Y 2) A partir de allí, marcamos hacia arriba (si es positivo) o hacia abajo (si es negativo) el valor de la 2 componente del par. Este dato es la ordenada del punto. Si su valor es 0 (cero) no desplazarse. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje X 3) Queda así ubicado el punto A(x,y) en el plano. 143

145 Producto Cartesiano Sean dos conjuntos A y B. Se define Producto Cartesiano A x B como: A x B = {( x, y) / x Є A e y Є B } Esto es, el producto cartesiano AxB está formado por todos los pares ordenados que se pueden formar de tal modo que la 1 componente pertenece a A y la 2 componente pertenece a B. Si los conjuntos son finitos, el resultado de A x B se podrá enumerar, en caso contrario solo se podrá representar de modo general 144

146 145

147 A las correspondencias entre los elementos de dos conjuntos las llamamos Relaciones Binarias Dados dos conjuntos A y B se dice que R es una relación entre A y B si es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B En símbolos R AXB Caso particular A = B = R 146

148 En esta oportunidad vamos a recordar el tema de funciones definidas en R. En los dos primeros ejemplos se vinculan cantidades fijas y cantidades a determinar. A las primeras llamaremos constantes y a las segundas variables. A su vez en cada uno de los problemas consideramos dos variables, consumo de energía y monto a pagar; espacio recorrido y tiempo trascurrido. En el primer caso observe que el monto a pagar depende de la energía consumida. Diremos que el monto a pagar es la variable dependiente y el consumo de energía es la variable independiente. Del mismo modo es claro que, en el caso del vehículo que se desplaza a una velocidad constante, el espacio recorrido dependerá del tiempo transcurrido. La variable dependiente será el espacio recorrido y la variable independiente será el tiempo transcurrido. Vemos que en estos problemas podemos responder a las preguntas porque cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable independiente. Sin embargo, en el último ejemplo esto no sucede. Si las variables son números y letras del teclado del teléfono se ve claramente que a cada número le corresponde más de una letra, por lo que no podemos responder a la segunda de las preguntas. Analizaremos solo aquellas relaciones que hacen corresponder a cada valor de la variable independiente con un único valor de la variable dependiente. Conceptos generales Definición: Dados dos conjuntos no vacios A y B, se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada elemento del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B. 147

149 Notación: Es usual designar con x a cualquier elemento del conjunto de partida y con y a cualquier elemento del conjunto de llegada. Se dice que x es la variable independiente y que y es la variable dependiente A las funciones se les llama f, g, h, etc y se indica f : A B o f : y = f(x) Esta ultima notación se lee y es función de x o y es imagen de x por medio de f Si A y B son subconjuntos de números reales se dice que las funciones son FUNCIONES ESCALARES o NUMERICAS En diagramas de Venn, la identificación de las funciones es sencilla El caso a) no es función pues se observa que hay un elemento de A a quien le corresponde dos elementos de B. Pero los casos b) y c) si lo son pues cumplen la definición Dominio y Rango de una función: Sea y = f(x) una función Llamamos Dominio de f (Dom f) al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente Llamamos Rango de f (Rgo f) al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente 148

150 149

151 En cuanto a las funciones expresadas por fórmulas se distinguen dos formas: Forma explicita Se dice que una función está en su forma explícita cuando las variables x e y, están relacionadas por una ecuación de la forma: y = f(x). Ejemplo: y = 2x Forma implícita Se dice que una función está en su forma implícita cuando las variables x e y, están relacionadas por una ecuación de la forma F(x, y) = 0 Ejemplo: 3x + y - 5 = 0 En cuantos a las funciones expresadas en notación de conjuntos se distinguen dos formas: Por enumeración o extensión: Cuando se enumeran todos los pares de valores relacionados por medio de la función Ejemplo: f {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} Por propiedad o comprensión: Cuando se indica mediante una formula la propiedad que cumplen los pares (x,y) Ejemplo: f {(x, y)/ y = 2x} En cuantos a las funciones dadas por tablas Estas son prácticas si son pocos los datos; de lo contrario serian tablas muy grandes y difíciles de manejar a menos que se disponga de un programa informático para graficar. 150

152 Respecto de las formas gráficas Se pueden representar por medio de Diagramas de Venn y Gráficos cartesianos La grafica en diagramas de Venn sería posible pues son pocos los valores, de lo contrario no es una representación práctica 151

153 Si toda recta vertical corta a la grafica de una relación en uno y solo un punto, entonces la relación es función. 152

154 En distintas circunstancias se hace necesario conocer la intersección de la grafica de f con los ejes coordenados. 153

155 Intersección con el eje de las abscisas: Ceros de la función Son los puntos de la forma P(x; 0) de la grafica. Pueden o no existir. A los valores de x que satisfacen esta condición se les llama ceros de la función Entonces surge la siguiente definición: x = a es un cero de f si y solo si f(a) = 0 Intersección con el eje de las ordenadas: f(0) Es el punto Q(0 ; y) de la grafica. Puede o no existir. Al valor de y que satisface esta condición se le llama f(0) (se lee f de cero. Se dice que la función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si se cumple que: 154

156 Se dice que una función y= f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si se cumple que: 155

157 Se dice que la función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al mismo, x a, la imagen de x es menor que la de a. Simbólicamente escribimos: 156

158 157

159 En el curso de nivelación para ingresar a la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán, consideramos pertinente repasar en particular a las siguientes: Funciones Algebraicas Racionales Enteras (o polinomiales) Función constante Función lineal Función cuadrática Funciones definidas por tramos 158

160 - Se observa que si x = 0, entonces y = b. Por lo tanto la grafica pasa por el punto (0,b). Se deduce que b es la ordenada del punto donde la recta corta el eje Y, por ello el nombre de ordenada al origen 159

161 - Observando la siguiente tabla de valores se deduce que cada vez que a x se le aumenta una unidad, y varia m unidades. Esto es, m representa la variación (aumento o disminución) de la variable dependiente por cada unidad que aumenta la variable independiente. A m se le llama pendiente, dado que está relacionada con la inclinación de la recta. Al único cero de la función lineal, se le llama abscisa al origen y se le representa con la letra a.se deduce que a es la abscisa del punto (a,0). La recta, representación grafica de la función lineal, se puede obtener mediante dos procedimientos: i) Conociendo P1 y P2, puntos de paso: Dado que por dos puntos pasa una única recta, se puede obtener las coordenadas de dos puntos de paso y con ellos trazar la recta ii) Conociendo b y m: Dado que la ordenada al origen informa sobre un punto de paso y la pendiente informa sobre la variación de y, se puede trazar la recta Conociendo dos puntos de paso Ejemplo: 160

162 Conociendo la ordenada al origen y la pendiente Ejemplos: 161

163 162

164 163

165 Importancia de la pendiente Las siguientes rectas tienen la misma ordenada al origen pero distintas pendientes. Sus graficas se presentan en el mismo sistema de ejes coordenados Se observa que: Todas pasan por el punto (3, 0 ) pues poseen la misma ordenada al origen Las rectas de pendientes positivas representan a funciones crecientes. Las rectas de pendientes negativas representan a funciones decrecientes. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente mayor es la velocidad con la que la función crece o decrece, según corresponda. 164

166 La representación grafica de este cálculo es 165

167 166

168 Ejemplo: Ejemplo Decir si las siguientes ecuaciones corresponden a rectas paralelas, coincidentes o perpendiculares. Justifique. 167

169 Respuesta: Para ello expresamos las ecuaciones en forma explicitas para determinar la pendiente y la ordenada al origen Cuando se estudio el tema Sistema de Ecuaciones se realizo la resolución analítica del mismo. En esa oportunidad se aplicaron distintos métodos para determinar la solución, pero se dijo que había también una forma de resolución llamada método grafico. Todo sistema de ecuaciones lineales está formado por las ecuaciones de dos funciones lineales, que expresados en forma implícita seria: Cada una de las funciones lineales tiene por representación grafica una recta. Entonces de acuerdo al valor de los parámetros m y b, puede analizarse si las rectas se interceptan o no, esto es, si el sistema es compatible o incompatible y, en el caso de compatibilidad, si es determinado o indeterminado Los casos que pueden presentarse son: 168

170 Para resolver gráficamente un sistema se debe analizar los valores de m y b y graficar. A veces se encuentra la solución en forma grafica fácilmente pero otras veces solo se puede llegar a valores aproximados. 169

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172 APLICACIONES 1) Una empresa dedicada al alquiler de automóviles quiere encontrar una función que les permita saber el precio del alquiler de los vehículos de acuerdo a los km recorridos. Cobra $50 por el contrato del servicio y $2,50 por cada km recorrido. a).cuales son las variables intervinientes?.que tipo de función es? Que formula deberán programar? b).cuanto deberá pagar un cliente que hace un viaje desde San Miguel de Tucumán a San Pedro de Colalao? (distante aproximadamente 100km) c).cuantos km puede recorrer un cliente que dispone de $275? d) Realice la representación grafica 2) Un auto parte de San Miguel de Tucumán hacia Tartagal por la ruta 9 a una velocidad constante de 95 km/h. En ese mismo instante, otro auto que se encuentra en El Cadillal, a 20 km de San Miguel de Tucumán, parte también por ruta 9 hacia Tartagal de modo tal que a 1 h se encuentra a 110km de San Miguel de Tucumán. 171

173 a) Determinar gráficamente si se encuentran los autos en algún momento. b).cuando se encuentran? c).a qué distancia de San Miguel de Tucumán es el encuentro? 172

174 Las pendientes de las rectas son distintas por lo tanto se trata de un sistema compatible determinado, hay solución única. Esto nos indica que los vehículos se encuentran. El punto de encuentro se puede observar en la siguiente grafica Los móviles se encuentran a 380 km de S.M.T y a las 4 hs de haber partido Las características de dichas funciones son las siguientes: Dominio: R En situaciones problemáticas a veces el dominio se acota para que tenga sentido la función (por ejemplo si la variable es tiempo o espacio, no deben considerarse valores negativos de la misma) Representación gráfica: la grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola de eje vertical. Las particularidades de dicha grafica se muestran en el siguiente figura 173

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176 Se observa que: - Las tres graficas son simétricas respecto del eje Y, pues a pares de valores opuestos de x le corresponde el mismo valor de y. - Además el mínimo valor que toma la función es y = 0, por lo que el Rango es [0, }. - Además el origen de coordenadas ( 0, 0 ) es el punto por donde pasa el eje de simetría y es el punto más bajo de la curva, por ello es el vértice de la parábola. 175

177 Se observa que: - Las curvas siguen siendo simétricas respecto del eje Y, pero ahora se abren hacia abajo. Esto tiene que ver con el signo de a, dado que independientemente del valor que tome x, siempre ax 2 será negativo cuando a < 0. - El rango es (, o] - La función toma su mayor valor en el origen de coordenadas, por ello el vértice de la parábola es (0, 0 ) 176

178 Se observa que las presencia de los parámetros b y c no nulos provoco - Desplazamiento del eje de simetría quien es ahora una recta paralela al eje Y - El vértice no está sobre el eje Y - De nuevo se observa la influencia del parámetro a: Si a >0, la parábola es cóncava hacia arriba Si a <0, la parábola es cóncava hacia abajo - Las parábolas interceptan al eje Y en el punto (0, c), por ello se dice que c es la ordenada al origen - La determinación del vértice no es evidente y el rango no se puede deducir si antes no encontramos las coordenadas del vértice A continuación explicaremos un método para encontrar el vértice de la parábola 177

179 Se puede pasar de una forma a la otra por manipulaciones algebraicas El mecanismo que nos permite pasar de la forma explícita a la forma canoníca se llama procedimiento de completar cuadrados. Se deben realizar los siguientes pasos 1 ) Se asocian los coeficientes cuadráticos y lineal en x 2 ) El coeficiente del término cuadrático debe ser 1, entonces se debe extraer factor común si es necesario 3 ) Dentro del paréntesis sumamos y restamos un término convenientemente para que se forme un trinomio cuadrado perfecto. Dicho término se calcula como la mitad del coeficiente lineal elevado al cuadrado Entonces queda: 4 ) Los tres primeros términos del paréntesis forman un trinomio cuadrado perfecto 5 ) Entonces se puede expresar como 6 ) Una vez conseguida la forma canónica se lee de la expresión cuales son las coordenadas del vértice, se puede graficar la parábola y escribir el rango de la función cuadrática. 178

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