X si existe una transformación lineal. : de modo que se verifique que: 0 =

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1 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II Diereciabilidad Deiició: Sea el capo vectorial D : y sea puto iterior de D. Se dice que es diereciable e si eiste ua trasoració lieal : de odo que se veriique que: li El siguiete paso es deteriar cuál es la atriz asociada a la trasoració lieal co respecto a las bases caóicas. Vaos a euciar u teorea que os idica que dicha atriz es la atriz jacobiaa asociada al capo. Teorea: Sea el capo vectorial D : / i y sea puto iterior de D. Si es diereciable e etoces la atriz asociada a la trasoració lieal : e las bases caóicas está dada por: D Esta atriz se deoia atriz jacobiaa de e. Aalizareos los casos particulares que se preseta para la atriz de la trasoració lieal : segú sea las distitas posibilidades para las diesioes de los espacios vectoriales. es ució vectorial Siedo D :... / t t t t la trasoració lieal asociada será :. E este caso la atriz asociada a es ua atriz de es decir ilas y colua. Por lo tato: T D

2 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II es u capo escalar Siedo : D la trasoració lieal asociada será :. E este caso la atriz asociada a es ua atriz de es decir ila y coluas. Por lo tato: D... Teorea Sea : D /... i... y sea puto iterior de D. es diereciable e i es dierecialbe e i co i Teorea Sea : D y sea puto iterior de D. Si es diereciable e etoces es cotiua e. Deostració: Si es diereciable e etoces se cuple que: li D ecordeos el teorea que dice: Sea las ucioes g : D y h : D y sea puto iterior de D. g Si li y adeás eiste li h etoces resulta h ecesariaete li g Si el líite de u cociete de iiitésios es cero etoces el iiitésio del uerador tiede ás rápidaete a cero que el del deoiador es decir que el uerador será u iiitésio de ayor orde que el deoiador. Teiedo e cueta el teorea aterior y sabiedo que li podeos airar que: li D Si el líite de la ora de u vector tiede a dicho vector tederá ecesariaete al vector ulo. Por lo tato: li [ D ] Aplicado álgebra de líites sabeos que el líite de la resta es igual a la resta de los líites por lo que: li li li D li + li + li D

3 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II Aplicado uevaete álgebra de líites para el producto de ucioes resulta que: li + li + li D. li Tegaos e cueta que tato coo D so costates. Por lo tato li li D D. Adeás el li. Aplicado estos coceptos resulta: li + D. li Esta últia igualdad coira que es cotiua e ya que el líite de la ució co coicide co el valor de la ució e el puto cosiderado. Si ua ució es diereciable e u puto iterior de su doiio es cotiua e dicho puto. Si ebargo el teorea recíproco o es válido: ua ució puede ser cotiua e u puto y o ser diereciable e dicho puto. Teorea Sea : D y sea puto iterior de D. Si es diereciable e etoces es derivable e toda direcció y setido e y adeás D v. v Deostració: Si es diereciable e etoces se cuple que: li D ecordeos el teorea que dice: Sea las ucioes g : D y h : D y sea puto iterior de D. g Si li y adeás eiste li h etoces resulta h ecesariaete li g Si el líite de u cociete de iiitésios es cero etoces e iiitésio del uerador tiede ás rápidaete a cero que el del deoiador es decir que el uerador será u iiitésio de ayor orde que el deoiador. Teiedo e cueta el teorea aterior y sabiedo que li podeos airar que: li D 3

4 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II Si el líite de la ora de u vector tiede a dicho vector tederá ecesariaete al vector ulo. Por lo tato: li [ D ] Aplicado álgebra de líites sabeos que el líite de la resta es igual a la resta de los líites por lo que: li [ ] li D li [ ] + li D ealizaos ahora la siguiete sustitució: + H Haceos H h v siedo h H y v es el versor asociado al vector H. Por lo tato: + h v. Para realizar la sustitució e el líite debeos cosiderar que: H H h ealizaos etoces la sustitució e el líite : lih + h v li h D h v Dividiedo iebro a iebro por h: + h v li h h li h D h h v D v v Si ua ució es diereciable e u puto iterior de su doiio eistirá todas las derivadas direccioales e dicho puto. Si ebargo el teorea recíproco o es válido: puede eistir todas las derivadas direccioales de ua ució e u puto y si ebargo dicha ució o ser diereciable e el puto cosiderado. Caso particular: capos escalares Si la ució es u capo escalar es decir : D siedo diereciable e u puto iterior a su doiio eiste todas las derivadas direccioales de e y puede calcularse de la siguiete aera: v. v Aplicado los coceptos apredidos e relació al producto escalar de vectores podeos escribir: v. v v cos α.. cosα siedo α el águlo copredido etre abos vectores es decir etre y v por lo que resulta α π. 4

5 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II Teeos etoces que: v cosα Derivada direccioal áia a epresió será áia cuado el cosα sea áio ya que es u úero positivo. Por lo tato cosα es áio si cosα α. Siedo de el águlo etre los vectores y v geoétricaete sigiica que abos tiee la isa direcció y setido. v Por ello podeos airar que si u capo escalar es diereciable e u puto iterior a su doiio la derivada direccioal será áia e la direcció y setido del gradiete del capo escalar e dicho puto. va ia e El valor de la derivada áia e será: a ia cosα Derivada direccioal íia a epresió será íia cuado el cosα sea íio ya que es u úero positivo. Por lo tato cosα es íio si cosα α π. Siedo de π el águlo etre los vectores y v geoétricaete sigiica que abos tiee la isa direcció y setido cotrario. v Por ello podeos airar que si u capo escalar es diereciable e u puto iterior a su doiio la derivada direccioal será íia e la direcció y setido opuesto al gradiete del capo escalar e dicho puto. vi ia e El valor de la derivada íia e será: i ia cosα 5 -

6 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II 3 Derivada direccioal ula a epresió será ula cuado el cosα sea ulo ya que es u úero π positivo. Por lo tato cosα es ulo si cosα α. π Siedo de el águlo etre los vectores y v geoétricaete sigiica que abos vectores so perpediculares. v Por ello podeos airar que si u capo escalar es diereciable e u puto iterior a su doiio la derivada direccioal será ula e las direccioes y setidos perpediculares al gradiete del capo escalar e dicho puto. Si el capo escalar está deiido e u subcojuto de habrá dos direccioes de derivada ula que resulta ser los dos versores perpediculares al gradiete e el puto cosiderado. Sabiedo que los vectores perpediculares al aterior y será y. Por lo tato: y y v ula e y o v ula e y 3 Si el capo escalar está deiido e u subcojuto de los versores asociados a la derivada ula será los que yace e el plao que tiee al gradiete e el puto cosiderado coo vector oral. Plao β perpedicular a 6

7 Pro. Adrea Capillo Aálisis ateático II Fucioes de clase Sea C : D y sea puto iterior de D. Si eiste todas las derivadas parciales de e y todas ellas so cotiuas e se dice que la ució es de clase C e. Este cocepto se geeraliza deiiedo que la ució es de clase si D se cuple que es de clase C e. C e D si y solo Notació: es de clase C e D C e D Teorea Sea : D y sea puto iterior de D. El teorea recíproco o es válido. C e es diereciable e os teoreas ás iportates de la diereciabilidad se ecadea e el siguiete orde: C e es diereciable e es cotiua e es derivable e toda direcció y setido e y adeás D v. v 7

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