Las ecuaciones que nos dan la posición (x) de la partícula en función del tiempo son las siguientes: ( )

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1 DESARROLLO DE LA PARTE TEÓRICA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA. 1. Cinemática del movimiento armónico simple. Dinámica del movimiento armónico simple 3. Energía del movimiento armónico simple 4. Aplicaciones: resorte elástico y péndulo simple. 1) Cinemática del movimiento armónico simple El movimiento armónico simple es un movimiento de vaivén entre de los puntos fijos que denominamos extremos y que actúan como punto de retorno. -A A Las ecuaciones que nos dan la posición (x) de la partícula en función del tiempo son las siguientes: x = Asin ωt + φ Donde A es la amplitud, que en el sistema internacional se medirá en metros, ω es la pulsación que se mide en rad/s y φ es el ángulo inicial que se determina por condiciones iniciales. Para obtener el resto de magnitudes cinemáticas, esto es, la velocidad y la aceleración, debemos derivar las expresiones de manera adecuada: Debemos tener en cuenta que la pulsación puede ser dada de manera indirecta, a partir del periodo y la frecuencia; definimos el periodo (T) como el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa, medido en segundos, y la frecuencia (f), como la inversa del periodo y se define como el número de oscilaciones que que da la partícula en la unidad de tiempo midíendose en Hz o s - 1. Las relaciones entre estas magnitudes son las siguientes: π 1 ω = ; f = ω = π f T T Las magnitudes anteriores están expresadas en función del tiempo, pero también, se pueden expresar en función de la posición obteniedo las expresiones siguientes: v = ω A x a = ω x

2 En los problemas en los que no se en los especifique nada acerca del instante inicial, tomaremos la fase inicial como nula, en los casos en los que se especifique en que instante se empieza la contar el tiempo, es decir, en el instante en el que comienza el movimiento, tenemos que la fase inicial tendrá un valor determinado, a continuación se muestra una tabla en la que se recogen los casos más comunes: Instante en el que comeienza el movimiento Φ (t=) X=A Φ =π/ X= Φ = x=-a Φ =3π/ Problema 1.- Un punto material oscila con movimiento vibratorio armónico simple de amplitud cm y frecuencia 1 Hz. Calcular su velocidad y aceleración máximas y la velocidad y aceleración en el tiempo t=1/1 s. La ecuación de la que partimos es la ecuación de la posición en función del tiempo de una partícula que describe un movimiento armónico simple: x = Asin ωt + φ En esta ecuación A es la amplitud, que el problema dice que son cm, sin embargo no nos dan el dato de la pulsación, si no que tenemos el dato de la frecuencia, la partir de la cual calcularemos la pulsación: π ω = = π f ω = π f T Por lo tanto, sustituyendo los datos que en los da el problema tenemos: ω = π1 = π rad/s Ahora ya podemos sustituir en la expresión de la x: x = Asin ωt + φ x =.sin π t m Calcularemos la ecuación de la velocidad y de la aceleración derivando.

3 dx v = = Aω cos ( ωt + φ ) dv a = = Aω sin ( ωt + φ ) dx dx v = = Aω cos( ωt + φ ) v = =. π cos( π t) =.4π cos( π t) m/s El valor máximo de la velocidad es el número que va delante de la función trigonométrica, ya que, esta, varía entre 1 y -1, alcanzando su valor máximo cuando el valor del coseno es 1, quedando, por lo tanto, una velocidad máxima de: v = π m/s max.4 dv dv a = = Aω sin ( ωt + φ ) a = =. ( π ) sin ( π ) = 8π sin ( π t) m/s El valor máximo de la aceleración es, igual que en el caso anterior, el número que va delante de la función trigonométrica, en este caso: a = π m/s max 8 Ahora tenemos que calcular la aceleración en un determinado instante de tiempo, para hacer eso, tenemos que acudir a la ecuación de la velocidad y sustituir t por el valor que nos da el problema: a t = 1/1 = 8π sin π 1/1 = 4π m/s ( [ ]) Problema.- La aceleración de un movimiento queda determinada por la expresión a=-16π x, estando la medida en cm/s y x (distancia al origen) en cm. Sabiendo que el desplazamiento máximo es de 4 cm y que se comenzó a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo, en los despralamientos positivos, determinar. a) La ecuación del desplazamiento para cualquier instante b) La velocidad y aceleración máximas c) La velocidad y la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del máximo. Para determinar la ecuación del desplazamiento x, tenemos que tener en cuenta que la amplitud son 4 cm, por lo tanto, ya tenemos uno de los datos que necesitamos, por otra parte, tenemos la ecuación de la aceleración en función de la posición. x = Asin ( ωt + φ ) dv a x = ω a = = Aω sin ( ωt + φ ) Del cual, podemos deducir que el valor de la pulsación es: a = 16π x ω = 16π ω = 4π rad/s Esto implica que la ecuación del desplazamiento vendrá dada por: x = Asin ωt + φ x =.4sin 4π t + φ En este problema, debemos determinar cuanto vale la fase inicial, ya que, el problema da datos acerca del estado inicial del movimiento, sabemos que el tiempo empieza a contar cuando la aceleración adquire su valor máximo en valor absoluto, es decir, cuando la partícula está en A, ya que, este es el punto en el que el cuerpo adquire la aceleración máxima. 3π x( t = ) = A A = Asin ( φ ) sin ( φ ) = 1 φ = rad. Por lo tanto, la ecuación de la posición completa será:

4 3π x =.4sin 4π t + La velocidad y aceleración máximas serán determinadas por el método usado en el problema anterior, primero, determinaremos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: dx dx 3π v = = Aω cos( ωt + φ ) v = =.16 cos 4π t + dv 3π a = = Aω sin ( ωt + φ ) a = Aω sin ( ωt + φ ) =.64π sin 4π t + El valor de la velocidad máxima será: vmax =.16π m/s El valor de la aceleración máxima vendrá dado por: amax =.64π m/s c) En primer lugar, determinaremos el valor del tiempo para el que la partícula está en A/, para ello: 1 3π 1 3π A/ = Asin ( ωt + φ ) = sin 4π t + arcsin = 4π t + π 3π = 4π t + t =.33s 6 Ahora sustituimos este valor de tiempo en las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: dx 3π v = =.16 cos 4 π.33 + =.138 m/s 3π a =.64π sin 4π t + =.m/s Problema 5.- Un punto móbil de.5 kg de masa está animado de un movimiento vibratorio armónico de 1 cm de amplitud, realizando oscilaciones cada segudo. Calcúlese: a) La elongación de dicho punto 1/6 s después de alcanzar su máxima separación. b) Representa gráficamente la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Los datos que nos dael problema sonido la amplitud del movimiento (1 cm=.1 m) y que realiza oscilaciones por segundo, el cual es el dato de la frecuencia (número de oscilaciones en la unidad de tiempo), por lo tanto, la partir deste dato, podemos calcular la pulsación: π ω = = π f ω = π f T ω = π = 4π rad/s Con estos datos tenemos suficiente para poder calcular la ecuación de la posición: x = Asin ωt + φ x =.1sin 4π t m. Ahora ya podemos empezar a calcular lo que nos pregunta el problema, es decir, la elongación (x) en un instante de tiempo determinado, en este caso concreto en t=1/6 s. ( π ( 1 )) x =.1sin 4 =.87 m 6 b) Ahora haremos la representación gráfica de estas funciones, para ello, primero calcularemos la ecuación de la velocidad y de la aceleración:

5 dx v = = Aω cos( ωt + φ ) dv = = ω ω + φ a A sin t Elongación v =.4π cos 4 a = ( πt) ( πt) 1.6π sin 4,15,1,5 x (m) -,5 -,1 -,15,,4,6,8 1 1, t (s) Velocidade 1,5 Velocidade (m/s) 1,5 -,5-1 -1,5,,4,6,8 1 t (s)

6 Aceleración a (S.I.) ,,4,6,8 1 t (s)

7 Ahora podemos representar todas las magnitudes en la misma gráfica: ,5 1 1,5 Elongación Velocidade Aceleración Problema 6.- Un cuerpo de masa 1 g posee un movimiento armónico simple a lo largo de una línea recta AB de 1 cm de longitud, con un periodo de s. Calcular: a) La velocidad y aceleración en el punto medio de la recta AB b) La velocidad y aceleración en el extremo B Comenzaremos, como en el caso anterior, determinando la ecuación del movimiento, para su determinación, tendremos en cuenta que la amplitud es 5 cm, ya que, la línea por encima de la cual se produce el movimiento mide 1 cm, esta línea está comprendida entre A y A, por lo que la longitud total de la línea coincide con la mitad de la amplitud, por otra parte el periodo es s, por lo que, la partir de este dato, podemos saber cual es la pulsación: π π ω = = = π rad/s T Las ecuaciones de la elongación velocidad y aceleración en función del tiempo serán: x = Asin ( ωt + φ ) x =.5sin ( πt) dx v = = Aω cos( ωt + φ ) v =.5π cos( πt) dv a =.5π sin ( πt) a = = Aω sin ωt + φ También tendremos en cuenta que podemos expresar estas magnitudes en función de la posición: v = ω A x = π.5 x a = x = x ω π

8 El punto medio de la recta AB coincide xon x=, por lo tanto, sustituyendo en estas dos ecuaciones: a ( x ) π v x = = π.5 =.5π m/s = = = m/s La velocidad en el extremo B, corresponde con la velocidad en x=a, ya que, el punto B es el extremo de la trayectoria de la partícula: π v x =.5 =.5.5 = m/s El cual era de esperar, ya que, el extremo de la trayectoria es el punto en el que se detiene la partícula y da la vuelta, por lo tanto la velocidad en este punto es nula. ) Dinámica del movimiento armónico simple El movimiento armónico simple está provocado por una fuerza recuperadora del tipo F = kx Que se conoce como la ley de Hooke y que indica que la fuerza es proporcional al alargamiento, o lo que es lo mismo que la fuerza es proporcional a la distancia que hay entre la posición de la partícula y la posición de equilibrio x=. De esta última ecuación y de las expresiones de la aceleración, teniendo en cuenta las leyes de Newton, podemos expresar la constante como k = mω Problema 9.- Disponemos de un bloque de 1 Kg, suspendido de un resorte de peso despreciable y de k= N/m, separamos el bloque cm de su posición de equilibrio. Determina la ecuación de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo y de la posición: En primer lugar, determinaremos la pulsación: k k = mω ω = = = rad/s. m 1 Ahora ya tenemos datos suficientes para poder calcular la ecuación, ya que, sabemos que el bloque fue separado cm de su posición de equilibrio, por lo que, la amplitud será. m, así pues, la ecuación de la elongación o posición será, teniendo en cuenta que la fase inicial es nula: ( ω φ ) x = Asin t + x =.sin t La velocidad y la aceleración serán: dx v = = Aω cos( ωt + φ ) v. cos t = dv a = = Aω sin ( ωt + φ ) a =.4sin ( t) En función de la posición, tendremos las siguientes ecuaciones: a = ω x = x v = ω A x =. x =. x Problema 1.- Determina la fuerza máxima que sufre la partícula del problema 3, así como la fuerza y el momento lineal que tiene en las siguientes posiciones; x= cm, x=4 cm, x=6 cm, suponiendo que la masa de la partícula es1 kg. Recordemos que el problema 3 decía:

9 Tenemos un movimiento de amplitud 3 cm, sabiendo que la frecuencia del movimiento es de 4 Hz, determina la ecuación del movimiento y representa gráficamente la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Teniendo en cuenta que las ecuaciones características de este problema son las siguientes: x = Asin ωt + φ x =.3sin 8π t dx v = = Aω cos( ωt + φ ) v = 4.8π cos( 8π t) dv a = 384π sin ( 8π t) a = = Aω sin ωt + φ Para determinar la fuerza, tendremos en cuenta la segunda ley de Newton, según la cual: F = ma F = 1 a = 384π sin 8π t N Si tenemos en cuenta que la aceleración también se puede expresar en función de la posición, tendremos que: a = ω x F = mω x = 1 ( 8π ) x F = 64π x F = ma Determinaremos la fuerza en las posiciones que nos da el problema: F x = cm = 64 π. = 163 N No tiene sentido calcular la fuerza para x=4 cm y para x=6 cm, ya que, el movimiento tiene de amplitud 3 cm, por lo que, la partícula no llega a tales posiciones. Ahora, calcularemos el momento lineal de dicha partícula en las mismas posiciones que en el caso anterior, para ello, tendremos en cuenta que la velocidad se puede expresar en función de la posición como: v = ω A x p = mω A x = 1 8 π.3 x p = mv p π = 8.3 x kg m/s Al igual que antes, haremos el cálculo para x= cm, que es el único que tiene sentido: p x = cm = 8π.3. = 5.6 kg m/s. 3) Energía del movimiento armónico simple. Todo cuerpo en movimiento está dotado de una energía cinética y de una energía potencial, teniendo en cuenta las expresiones para estos de los tipos de energía, tenemos que: 1 EC = m cos ( ) Aω ωt + φ 1 Ep = k Asin ( ωt + φ ) Que en los proporcionan la energía cinética y potencial en función del tiempo, si queremos tener las expresiones en función de la posición, tendremos que usar las expresiones de la posición y de la velocidad en función de la posición, obteniedo: 1 EC = mω A x 1 Ep = kx

10 Si tenemos en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía cinética más la energía potencial, tenemos que la energía mecánica es constante e igual a: EM = EC + EP = mω A x kx ka + = Gráficamente, tenemos lo siguiente: Problema 11.- Demostrar que la suma de la energía cinética y potencial en un MAS permanece constante. La energía cinética de una partícula que se mueve con una determinada velocidad viene dada por: 1 Ec = mv Si, en vez de la velocidad, ponemos la expresión que tenemos para la velocidad en función de la posición obtenemos para la energía cinética: Ec = mv = m ω A x = mω ( A x ) Por otro lado, la energía potencial, viene dada por: 1 1 Ep = kx = mω x La energía total será la suma de la energía cinética más la energía potencial, que vendrá dada por: Etot = Ec + Ep = mω ( A x ) + mω x = mω A Que es una constante, ya que, solo depende de datos que son constantes y no variables. Esto no es más que una forma del principio de conservación de la energía, es decir, durante el movimiento la energía permanece constante. Problema 1.- La energía total de un cuerpo que realiza un MAS es de J y la fuerza máxima que actúa sobre el es de N. Si el periodo de las vibraciones es s y la fase inicial de 6º, determina la ecuación del movimiento de este cuerpo. La fuerza máxima que actúa sobre un cuerpo viene dada por: F = m a F = mω x F = mω A max max max max max Por otra parte, la energía total de un cuerpo que realiza un m.a.s. es: Etot = Ec + Ep = mω ( A x ) + mω x = mω A Debemos tener en cuenta que el problema dice que el periodo es de segundos, por lo que, a partir de este dato podemos obtener el valor de la pulsación como:

11 π π ω = = = π rad/s T Podemos sustituir los datos que nos da el problema queda: Fmax = mω A 1, 5 1 = mπ A E = mω A 3 1 = mπ A Dividiendo una ecuación entre la otra: 1,5 1 mπ A = 5 = A = =.4 m mπ A A 5 Ahora ya tenemos datos suficientes para poder calcular la ecuación del movimiento, teniendo en cuenta que la ecuación del movimiento de un m.a.s. viene dada por: x = Asin ωt + φ La ecuación quedará: ( ω φ ).4sin ( π ) x = Asin t + = t + π m 3 Representando graficamente el movimiento: Elongación,6,4, x (m) -,,5 1 1,5 -,4 -,6 t (s) 4) Aplicaciones: resorte elástico y péndulo simple Los conocimientos dados se pueden aplicar a elementos reales, como son el péndulo simple y el resorte elástico: La consideración de fuerzas en un momento dado lleva a F = m.a, o, lo que es lo mismo, F = m.(d x/ ) (segunda ley de Newton) ecuación diferencial que, resolviendola, hace que obtengamos la relación: T = π Donde T es el periodo, m la masa de la carga y k la constante del resorte. Un péndulo simple es un punto material suspendido de un hilo ideal (inextensible y sin masa), que oscila en un plano sin rozamiento. Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un movimiento sea armónico simple (M.H.S.) es que proceda de una fuerza del tipo: F = - mω x (= - kx). Para pequeñas amplitudes de oscilación, el movimiento del péndulo se puede considerar armónico simple. Aplicando las consideraciones teóricas oportunas se llega a calcular el período de oscilación del péndulo como: m k

12 T = π Problema 15.- Un resorte de masa despreciable se estira 1 cm cuando se le cuelga una masa de g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5 cm y se suelta en el instante t= s. Calcula: a) la ecuación del movimiento que describe el sistema; b) la energía cinética y potencial cuando la elongación x = 3 cm. (Dato g = 9,8 m/s ). El primer dato que nos dan, va a valer para determinar cual es la constante elástica del resorte, para ello, usamos la ley de Hooke: F = k x. 9,8 = k.1 k = 19.6 N/kg Ahora, el problema nos dice, que, en esa posición realizamos un estiramiento del resorte, ese estiramento vale 5 cm, por lo que, la amplitud de nuestro movimiento serán 5 cm. Además, también nos dice, que el instante en el que comezamos a contar el tiempo es este instante, es decir, cuando la elongación es máxima, por lo tanto, podemos determinar cuánto vale el ángulo incial: x( t = ) = A A = Asin ( φ ) sin ( φ ) = 1 φ π = rad Ahora, podemos hallar el valor de la pulsación: k 19.6 ω = = = 9.9 rad/s m. Ya podemos determinar la ecuación de la elongación: x = Asin ( ωt + φ ) =.5sin ( 9.9t + π ) m/s Ahora determinaremos la energía cinética y potencial en el momento indicado, para ello, usaremos las expresiones obtenidas anteriormente: 1 Ec = mω ( A x ) = (.5.3 ) =.157 J 1 3 1, Ep = mω x = = J Problema 16.- Una masa de,1 kg realiza un movimiento armónico simple de ecuación y = 5 sen (t+π/6). (Magnitudes en el S.I.); calcula: a) posición, velocidad y aceleración en t = 1 s; b) energía potencial en x = m, c) la energía potencial, es negativa en algún instante? Para resolver el primer apartado no tenemos más que hallar las ecuaciones de la velocidad y aceleración y sustituir en ellas el valor de t que nos da el problema: y = Asin ( ωt + φ ) = 5sin ( t + π 6) g l ( π 6) ( π ) dy v = = Aω cos( ωt + φ ) v = 1 cos t + dv a = = Aω sin ( ωt + φ ) a = sin t + 6 Sustituyendo en las ecuaciones anteriores t por 1 s, obtenemos los siguientes resultados: x=.897 m v=-8.15 m/s a=11.58 m/s b) Para resolver el apartado b), tendremos en cuenta que la energía potencial, en función de la posición viene dada por:

13 1 Ep = mω y Sustituyendo los datos de los que disponemos: 1 Ep = mω y = 1,1 =.8 J Para dar respuesta al apartado c), solamente hay que darse cuenta que en la expresión de la energía potencial todas las magnitudes son positivas, ya que, la elongación, que es la única magnitud que puede ser negativa, está elevada al cuadrado, por lo tanto, la energía potencial será positiva en cualquier caso.

14 PROBLEMAS MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 1) Un punto material oscila con movimiento vibratorio armónico simple de amplitud cm y frecuencia 1 Hz. Calcular su velocidad y aceleración máximas y la velocidad y aceleración en el tiempo t=1/1 s ) La aceleración de un movimiento queda determinada por la expresión a=-16π x, estando a medida en cm/s y x (distancia al origen) en cm. Sabiendo que el desplazamiento máximo es de 4 cm y que se comenzó a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo, en los desplazamientos positivos, determinar. d) La ecuación del desplazamiento para cualquier instante e) La velocidad y aceleración máximas f) La velocidad y la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del máximo. 3) Tenemos un movimiento de amplitud 3 cm, sabiendo que la frecuencia del movimiento es de 4 Hz, determina la ecuación del movimiento y representa gráficamente la velocidad y la aceleración en función del tiempo. 4) Sabiendo que la elongación de un M.A.S es de 4 cm, determina la ecuación de la trayectoria de la partícula sabiendo que el periodo es de s y que en el instante inicial, la partícula se encuentra en su posición de máxima elongación. 5) Un punto móbil de.5 kg de masa está animado de un movimiento vibratorio armónico de 1 cm de amplitud, realizando oscilaciones cada segundo. Calcúlese: a) La elongación de dicho punto 1/6 s después de alcanzar su máxima separación. b) Representa gráficamente la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. 6) Un cuerpo de masa 1 g posee un movimiento armónico simple a lo largo de una línea recta AB de 1 cm de longitud, con un periodo de s. Calcular: a) La velocidad y aceleración en el punto medio de la recta AB b) La velocidad y aceleración en el extremo B 7) Determina la velocidad en la mitad de la recta que une el punto de equilibrio y el punto de máxima elongación en el caso del problema 3. 8) Tenemos un movimiento armónico de periodo 3 s y de amplitud 39 cm, determina la velocidad y la aceleración en los siguientes puntos: a x=3 cm, b) x=1 cm, c) x=39 cm. 9) Una fuerza sinusoidal de valor máximo N actúa sobre un bloque de 1 Kg, suspendido de un resorte de peso despreciable y de k= N/m Cual será la amplitud de oscilación del sistema en ausencia de fuerzas de rozamiento? Supoñer que la frecuencia de la fuerza aplicada es de 1 Hz. 1) Determina la fuerza máxima que sufre la partícula del problema 3, así como las fuerzas y el momento lineal que tiene en las siguientes posiciones; x= cm, x=4 cm, x=6 cm, suponiendo que la masa de la partícula es 1 kg. 11) Demostrar que la suma de la energía cinética y potencial en un MAS permanece constante 1) La energía total de un cuerpo que realiza un MAS es de J y la fuerza máxima que actúa sobre el es de N. Si el periodo de las vibraciones es s y la fase inicial de 6º, determina la ecuación del movimiento de este cuerpo 13) Una masa de kg describe un M.A.S. de frecuencia,1 Hz y amplitud,5 m, sabiendo que en t= x=, determina: a) la velocidad y aceleración cuando t= 3 s; b) las energías cinética y potencial en ese instante 14) Una masa de,1 kg unida a un resorte de masa despreciable realiza oscilaciones alrededor de su posición de equilibrio con una frecuencia de 4 Hz siendo la energía total del sistema oscilante 1 Joule. Calcula: a) la constante elástica del resorte y la amplitud de las oscilaciones (A; b) la energía cinética y potencial de la masa oscilante en un punto situado la distancia A/4 de la posición de equilibrio

15 15) Un resorte de masa despreciable se estira 1 cm cuando se le cuelga una masa de g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5 cm y se suelta en el instante t= s. Calcula: a) la ecuación del movimiento que describe el sistema; b) la energía cinética y potencial cuando la elongación y = 3 cm. (Dato g = 9,8 m/s) 16) Una masa de,1 kg realiza un movimiento armónico simple de ecuación y = 5 sen (t+π/6). (Magnitudes en el S.I.); calcula: a) posición, velocidad y aceleración en t = 1 s; b) energía potencial en y = m, c) la energía potencial, es negativa en algún instante? 17) Un resorte de masa despreciable se estira,1 m cuando se le aplica una fuerza de,45 N. Se fija en su extremo libre una masa de,85 kg y se estira,15 m a lo largo de una mesa horizontal a partir de su posición de equilibrio y se suelta dejándolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula: a) la constante elástica del resorte y el período de oscilación; b) la energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x =,75 m. 18) Si un oscilador armónico se encuentra en un instante dado en una posición x que es igual a la mitad de su amplitud (x = A/), la relación entre la energía cinética y potencial es: a Ec = Ep; b) Ec = Ep; c) Ec = 3Ep.

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