f 5 1 T T 5 1 f v52pf 5 2p T F x 52kx a x 5 F x m 52 k m x v5 Å f 5 v Å k 2p 5 1 g T 5 1 f 5 2p m x 5 A cos 1 vt 1f2

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Transcripción

1 CPÍTUO 13 RESUMEN Moviiento periódico: Un oviiento periódico se repite en un ciclo definido; se presenta siepre que un cuerpo tiene una posición de equilibrio estable y una fuerza de restitución que actúa cuando el cuerpo se desplaza del equilibrio. El periodo T es lo que tarda un ciclo. a frecuencia f es el núero de ciclos por unidad de tiepo. a frecuencia angular v es 2p veces la frecuencia. (Véase el ejeplo 13.1.) f 5 1 T T 5 1 f v52pf 5 2p T (13.1) (13.2) = 2 = 0 =, 0. 0 a y n g F y n g y F a n g Moviiento arónico siple: Si en el oviiento periódico la fuerza de restitución F es directaente proporcional al desplazaiento, el oviiento se denoina arónico siple (MS). En uchos casos, esta condición se satisface si el desplazaiento con respecto al equilibrio es pequeño. a frecuencia angular, la frecuencia y el periodo en un MS no dependen de la aplitud, sólo dependen de la asa y la constante de fuerza. En un MS, el desplazaiento, la velocidad y la aceleración son funciones senoidales del tiepo; la aplitud y el ángulo de fase f de la oscilación están deterinados por la posición y velocidad iniciales del cuerpo. (Véanse los ejeplos 13.2, 13.3, 13.6 y 13.7.) F 52 a 5 F 52 v5 Å f 5 v 2p 5 1 2p Å T 5 1 f 5 2p Å (13.3) (13.4) (13.10) (13.11) (13.12) O 2 T 2T t 5 cos 1 vt 1f2 (13.13) Energía en oviiento arónico siple: a energía se conserva en un MS. a energía total se puede epresar en térinos de la constante de fuerza y la aplitud. (Véanse los ejeplos 13.4 y 13.5.) E v constante (13.21) 2 Energía U K O E 5 K 1 U Moviiento arónico siple angular: En el MS angular, la frecuencia y la frecuencia angular están relacionados con el oento de inercia I y la constante de torsión. v5 Å I y f 5 1 2p Å I (13.24) Rueda de balance Resorte t z u a torca del resorte t z se opone al desplazaiento angular u Péndulo siple: Un péndulo siple consiste en una asa puntual en el etreo de un cordón sin asa de longitud. Su oviiento es aproiadaente arónico siple si la aplitud es lo bastante pequeña; entonces, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo dependen sólo de g y, no de la asa ni de la aplitud. (Véase el ejeplo 13.8.) v5 Å g f 5 v 2p 5 1 g 2p Å (13.32) (13.33) u T g sen u g cos u g T 5 2p v 5 1 f 5 2p Å g (13.34) 445

2 446 CPÍTUO 13 Moviiento periódico Péndulo físico: Un péndulo físico es un cuerpo suspendido de un eje de rotación. a frecuencia angular y el periodo para oscilaciones de aplitud pequeña son independientes de la aplitud, aunque dependen de la asa, la distancia d del eje de rotación a su centro de gravedad, y del oento de inercia I con respecto al eje. (Véanse los ejeplos 13.9 y ) v5 Å gd I I T 5 2p Å gd (13.38) (13.39) d sen u g sen u O u d cg z g cos u g Oscilaciones aortiguadas: Si a un oscilador arónico siple se le aplica una fuerza F 52bv proporcional a la velocidad, el oviiento se denoina oscilación aortiguada. Si b, 2 " (condición de subaortiguaiento), el sistea oscila con aplitud decreciente y una frecuencia angular vr que es ás baja de la que tendría sin aortiguaiento. Si b 5 2 " (condición de aortiguaiento crítico) o b. 2 " (condición de sobreaortiguaiento), cuando el sistea se desplaza regresa a su posición de equilibrio sin oscilar. 5 e 21b / 22t cos vrt vr 5 Å 2 b2 4 2 (13.42) (13.43) 0 2 e 2(b/2)t T0 2T0 3T0 4T0 5T0 b b t Oscilaciones ipulsadas y resonancia: Si a un oscilador arónico aortiguado se aplica una fuerza ipulsora que varía senoidalente, el oviiento resultante se denoina oscilación forzada. a aplitud es función de la frecuencia ipulsora v d y alcanza un áio con una frecuencia ipulsora cercana a la frecuencia natural del sistea. Este coportaiento se denoina resonancia. 5 F á " 1 2 v 2 d b 2 2 v d (13.46) 5F á/ 4F á / 3F á/ 2F á / F á / b b b b b v d / v Térinos clave oviiento periódico (oscilación), 419 desplazaiento, 420 fuerza de restitución, 420 aplitud, 420 ciclo, 420 periodo, 420 frecuencia, 420 frecuencia angular, 420 oviiento arónico siple (MS), 421 oscilador arónico, 422 círculo de referencia, 423 fasor, 423 ángulo de fase, 426 péndulo siple, 436 péndulo físico, 438 aortiguaiento, 440 oscilación aortiguada, 440 aortiguaiento crítico, 441 sobreaortiguaiento, 441 subaortiguaiento, 441 fuerza ipulsora, 442 oscilación forzada, 442 frecuencia angular natural, 442 resonancia, 443 Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo? Ninguna de ellas; el reloj seguiría arcando correctaente el tiepo. Si la asa de su varilla es despreciable, el péndulo es siple y su periodo es independiente de la asa [véase la ecuación (13.34)]. Si se incluye la asa de la varilla, se trata de un péndulo físico. Un auento de su asa al doble tabién duplica su oento de inercia I, así que la razón I> no cabia y el periodo T 5 2p "I/gd [ecuación (13.39)] sigue siendo el iso. Respuestas a las preguntas de Evalúe su coprensión 13.1 Respuestas: a) * 0, b) + 0, c) * 0, d) + 0, e) 5 0, f) + 0 a figura 13.2 uestra que la coponente de la fuerza total F y la aceleración a son abas positivas cuando, 0 (así que el cuerpo se desplaza hacia la izquierda y el resorte se coprie); ientras que F y a son abas negativas cuando. 0 (así que el cuerpo se desplaza hacia la derecha y el resorte se estira). Por lo tanto, F y a siepre tienen signos opuestos. Esto es válido si el objeto se ueve a la derecha (v. 0), a la izquierda (v, 0), o no se ueve (v 5 0), ya que la fuerza ejercida por el resorte depende de si se coprie o se estira, y con qué distancia. Esto eplica las respuestas a) a e). Si la aceleración es cero coo en f), la fuerza total tabién debe ser cero y por ello el resorte debe estar relajado: Respuestas: a) , f * 0; b) , f + 0 En abas situaciones, la velocidad v 0 inicial (t 5 0) no es cero, de anera que de la ecuación (13.19) la aplitud 5 " v 2 0 /v 2 2 es ayor que la coordenada inicial partir de la ecuación (13.18), el ángulo de fase es f5arctan 1 2v 0/v 0 2, el cual es positivo si la cantidad 2v 0/v 0 (el arguento de la función arcotangente) es positivo, y es negativo si 2v 0/v 0 es negativo. En el inciso a) 0 y v 0 son abos positivos, así que 2v 0/v 0, 0 y f,0. En el inciso b) 0 es positivo y v 0 es negativo, por lo que 2v 0/v 0. 0 y f Respuestas: a) iii), b) v) Para auentar la energía total E en un factor de 2, la aplitud debe auentar en un factor de "2. Puesto que es MS, un cabio de aplitud no afecta la frecuencia Respuesta: i) El periodo de oscilación de un cuerpo de asa unido a un resorte colgante de constante de fuerza está dado por T 5 2p "/, la isa epresión que para el cuerpo unido al resorte

3 Preguntas para análisis 447 horizontal. Ni ni cabian cuando el aparato se lleva a Marte, por lo que no cabia el periodo. a única diferencia es que en el equilibrio, el resorte se estirará una distancia ás corta en Marte que en la Tierra, debido a la gravedad ás débil Respuesta: no l igual que para un objeto que oscila en un resorte, en la posición de equilibrio la rapidez de la lenteja del péndulo no cabia instantáneaente (es donde la rapidez es áia, así que su derivada en este tiepo es cero). Sin ebargo, la dirección del oviiento es variable porque la lenteja del péndulo sigue una trayectoria circular. Por ello, la lenteja debe tener una coponente de aceleración perpendicular a la trayectoria y hacia el centro del círculo (véase la sección 3.4). Para originar esta aceleración en la posición de equilibrio cuando el cordón es vertical, la fuerza de tensión hacia arriba en esta posición debe ser ayor que el peso de la lenteja. Esto provoca una fuerza total hacia arriba sobre la lenteja y una aceleración hacia arriba y al centro de la trayectoria circular Respuesta: i) El periodo de un péndulo físico está dado por la ecuación (13.39), T 5 2p "I/gd. a distancia d 5 desde el pivote hasta el centro de gravedad es la isa tanto para la varilla coo para el péndulo siple, cuando la asa es. Esto significa que para cualquier ángulo de desplazaiento u actúa la isa torca de restitución sobre la varilla y sobre el péndulo siple. Sin ebargo, la varilla tiene 1 un oento de inercia ayor: I varilla e I siple 5 2 (toda la asa del péndulo está a una distancia del pivote). Por lo tanto, la varilla tiene un periodo ayor Respuesta: ii) as oscilaciones son subaortiguadas con una aplitud decreciente en cada ciclo de oscilación, coo las que se grafican en la figura Si las oscilaciones fueran no aortiguadas, continuarían con la isa aplitud indefinidaente. Si fueran críticaente aortiguadas, la punta no se balancearía verticalente, sino que suaveente regresaría a su posición de equilibrio original sin sobreaortiguaiento Respuesta: i) a figura uestra que la curva de aplitud contra frecuencia ipulsora se ueve hacia arriba con todas las frecuencias, confore el valor de la constante de aortiguaiento b disinuye. sí, para valores fijos de y, el oscilador con el aortiguaiento ínio (el enor valor de b) tendrá la respuesta ás grande en cualquier frecuencia ipulsora. PROBEMS Para las tareas asignadas por el profesor, visite Preguntas para análisis P13.1. Un objeto se ueve con MS de aplitud en el etreo de un resorte. Si la aplitud se duplica, qué sucede con la distancia total que el objeto recorre en un periodo? Qué sucede con el periodo? Qué sucede con la rapidez áia del objeto? nalice la relación entre estas respuestas. P13.2. Piense en varios ejeplos cotidianos de oviiento que sea, al enos, aproiadaente arónico siple. Cóo difiere cada uno del MS? P13.3. Un diapasón u otro instruento de afinación siilar tiene MS? Por qué es algo esencial para los úsicos? P13.4. Una caja que contiene un guijarro se conecta a un resorte horizontal ideal y oscila sobre una esa de aire sin fricción. Cuando la caja ha alcanzado su distancia áia a partir del punto de equilibrio, repentinaente el guijarro se sale por arriba sin perturbar la caja. as siguientes características del oviiento auentarán, disinuirán o peranecerán igual en el oviiento subsecuente de la caja? Justifique cada respuesta. a) Frecuencia, b) periodo; c) aplitud; d) la energía cinética áia de la caja; e) la rapidez áia de la caja. P13.5. Si un resorte unifore se corta a la itad, qué constante de fuerza tendrá cada itad? Justifique su respuesta. Cóo diferiría la frecuencia del MS usando la isa asa y edio resorte, en vez del resorte copleto? P13.6. En el análisis del MS de este capítulo se despreció la asa del resorte. Cóo cabia esta asa las características del oviiento? P13.7. Dos deslizadores idénticos en un riel de aire están conectados por un resorte ideal. Podría tal sistea ser un MS? Eplique su respuesta. Cóo sería el periodo en coparación con el de un solo deslizador unido a un resorte, donde el otro etreo está unido rígidaente a un objeto estacionario? Eplique su respuesta. P13.8. Iagine que lo capturan unos etraterrestres, lo eten en su nave y lo dueren con un sedante. Tiepo después, despierta y se encuentra encerrado en un copartiento pequeño sin ventanas. o único que le dejaron es su reloj digital, su anillo escolar y su largo collar de cadena de plata. Eplique cóo podría deterinar si todavía estuviera en la Tierra o si habría sido transportado a Marte. P13.9. El sistea de la figura se onta en un elevador. Qué le sucede al periodo del oviiento (auenta, disinuye o no cabia), cuando el elevador a) acelera hacia arriba a 5.0 >s 2 ; b) se ueve hacia arriba a 5.0 >s constantes; c) acelera hacia abajo a 5.0 >s 2? Justifique su respuesta. P Si un péndulo tiene un periodo de 2.5 s en la Tierra, qué periodo tendría en una estación espacial en órbita terrestre? Si una asa colgada de un resorte vertical tiene un periodo de 5.0 s en la Tierra, qué periodo tendrá en la estación espacial? Justifique sus respuestas. P Un péndulo siple se onta en un elevador. Qué le sucede al periodo del péndulo (auenta, disinuye o no cabia), cuando el elevador a) acelera hacia arriba a 5.0 >s 2 ; b) se ueve hacia arriba a 5.0 >s constantes; c) acelera hacia abajo a 5.0 >s 2 ; d) acelera hacia abajo a 9.8 >s 2? Justifique sus respuestas. P Qué debe hacerse a la longitud del cordón de un péndulo siple para a) duplicar su frecuencia, b) duplicar su periodo, c) duplicar su frecuencia angular? P Si un reloj de péndulo se sube a la cia de una ontaña, se adelanta o se atrasa? Eplique, suponiendo que arca la hora correcta a enor altitud. P Si la aplitud de un péndulo siple auenta, debería auentar o disinuir su periodo? Mencione un arguento cualitativo; no se base en la ecuación (13.35). Su arguento tabién es válido para un péndulo físico? P Porqué los perros pequeños (coo los chihuahueños) cainan con zancadas ás rápidas que los perros grandes (coo los daneses)? P En qué punto del oviiento de un péndulo siple es áia la tensión en el cordón? Y ínia? En cada caso, eplique su razonaiento. P Un estándar de tiepo podría basarse en el periodo de cierto péndulo estándar? Qué ventajas y desventajas tendría tal estándar con respecto al estándar actual descrito en la sección 1.3? P Para un péndulo siple, diferencie claraente entre v (la velocidad angular) y v la frecuencia angular). Cuál es constante y cuál es variable?

4 448 CPÍTUO 13 Moviiento periódico P Un deslizador está conectado a un resorte ideal fijo y oscila sobre una pista de aire horizontal sin fricción. Se coloca una oneda encia del deslizador y oscila con éste. En qué puntos del oviiento es áia la fuerza de fricción sobre la oneda? En qué puntos es ínia? Justifique sus respuestas. P l diseñar estructuras en una región de alta sisicidad, qué relación debe haber entre las frecuencias naturales de oscilación de una estructura y las frecuencias típicas de terreoto? Por qué? a estructura debe tener ucho o poco aortiguaiento? Ejercicios Sección 13.1 Descripción de la oscilación Una cuerda de piano produce una nota la edio vibrando priordialente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un la una octava ás arriba, que tiene el doble de la frecuencia de la cuerda de piano Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza de su posición de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de s su desplazaiento es de en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez durante este intervalo. Calcule a) la aplitud, b) el periodo y c) la frecuencia a punta de un diapasón efectúa 440 vibraciones copletas en s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del oviiento En la figura se uestra el desplazaiento de un objeto oscilante en función del tiepo. Calcule a) la frecuencia, b) la aplitud, c) el periodo y d) la frecuencia angular de este oviiento. Figura Ejercicio (c) t (s) O Tirón. Una cuerda de guitarra vibra con una frecuencia de 440 Hz. Un punto en su centro se ueve en MS con aplitud de 3.0 y ángulo de fase cero. a) Escriba una ecuación para la posición del centro de la cuerda en función del tiepo. b) Qué agnitud áia tienen la velocidad y la aceleración del centro de la cuerda? c) a derivada de la aceleración con respecto al tiepo es una cantidad llaada tirón. Escriba una ecuación para el tirón del centro de la cuerda en función del tiepo, y calcule el valor áio de la agnitud del tirón Un bloque de 2.00 g, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con constante de fuerza de 300 N>. En t 5 0, el resorte no está estirado ni copriido, y el bloque se ueve en la dirección negativa a 12.0 >s. Calcule a) la aplitud y b) el ángulo de fase. c) Escriba una ecuación para la posición en función del tiepo Repita el ejercicio 13.11, pero suponga que en t 5 0 el bloque tiene una velocidad de >s y un desplazaiento de a punta de la aguja de una áquina de coser se ueve en MS, sobre el eje con una frecuencia de 2.5 Hz. En t 5 0, sus coponentes de posición y velocidad son, respectivaente, 11.1 c y 215 c>s. a) Calcule la coponente de aceleración de la aguja en t 5 0. b) Escriba ecuaciones para las coponentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiepo Un objeto está en MS con periodo de s y una aplitud de En t 5 0, el objeto está en 5 0. qué distancia está el objeto de la posición de equilibrio cuando t s? Peso de los astronautas. Este procediiento se utiliza realente para pesar a los astronautas en el espacio. Se une una silla de 42.5 g a un resorte y se le deja oscilar cuando está vacía, la silla tarda 1.30 s en efectuar una vibración copleta. En cabio, con un astronauta sentado en ella, sin tocar el piso con sus pies, la silla tarda 2.54 s en copletar un ciclo. Cuál debe ser la asa del astronauta? Un objeto de g en MS tiene a >s 2 cuando Cuánto tarda una oscilación? Sobre una pista de aire horizontal sin fricción, un deslizador oscila en el etreo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es 2.50 N>c. En la figura la gráfica uestra la aceleración del deslizador en función del tiepo. Calcule a) la asa del deslizador; b) el desplazaiento áio del deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza áia que el resorte ejerce sobre el deslizador. Figura Ejercicio a (/s 2 ) Sección 13.2 Moviiento arónico siple Una pieza de una áquina está en MS con frecuencia de 5.00 Hz y aplitud de 1.80 c. Cuánto tarda la pieza en ir de 5 0 a c? En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel de aire de g al etreo de un resorte ideal de asa despreciable y se pone a oscilar. El tiepo transcurrido entre la priera vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por este punto es de 2.60 s. Deterine la constante de fuerza del resorte Un cuerpo de asa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza de 120 N>. Se observa que vibra con una frecuencia de 6.00 Hz. Calcule a) el periodo del oviiento; b) la frecuencia angular; y c) la asa del cuerpo Cuando una asa de g oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de 1.33 Hz. a) Cuál será la frecuencia si se agregan g a la asa original, y b) y si se restan de la asa original? Intente resolver este problea sin calcular la constante de fuerza del resorte Un oscilador arónico tiene una asa de g unida a un resorte ideal con constante de fuerza de 140 N>. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia y c) la frecuencia angular de las oscilaciones O 12.0 t (s) a velocidad de una asa de g en un resorte está dada en función del tiepo por v 1 t c/s 2 sen s 21 2 t 2p/24. Calcule a) el periodo, b) la aplitud, c) la aceleración áia de la asa y d) la constante de fuerza del resorte El desplazaiento en función del tiepo de una asa de 1.50 g en un resorte está dado por la ecuación 1 t c 2 cos s 21 2 t Calcule a) el tiepo que tarda una vibración copleta; b) la constante de fuerza del resorte; c) la rapidez áia de la asa; d) la fuerza áia que actúa sobre la asa; e) la posición, rapidez y aceleración de la asa en t s; f ) y la fuerza que actúa sobre la asa en ese oento.

5 Ejercicios Un objeto está en MS con periodo de s y una aplitud de 6.00 c. En t 5 0, el objeto está instantáneaente en reposo en c. Calcule el tiepo que el objeto tarda en ir de c a c. Sección 13.3 Energía en el oviiento arónico siple as puntas de un diapasón rotulado con 392 Hz están vibrando con una aplitud de a) Qué rapidez áia tiene una punta? b) Una osca coún (Musca doestica) con asa de g está sujeta en el etreo de una de las puntas. l vibrar la punta, qué energía cinética áia tiene la osca? Suponga que el efecto de la asa de la osca sobre la frecuencia de oscilación es despreciable Un oscilador arónico tiene frecuencia angular v y aplitud. a) Calcule la agnitud del desplazaiento y de la velocidad cuando la energía potencial elástica es igual a la energía cinética. (Suponga que U 5 0 en el equilibrio.) b) Cuántas veces sucede eso en cada ciclo? Cada cuándo sucede? c) En un instante en que el desplazaiento es igual a >2, qué fracción de la energía total del sistea es cinética y qué fracción es potencial? Un deslizador de g, conectado al etreo de un resorte ideal con constante de fuerza N>, está en MS con una aplitud de Calcule a) la rapidez áia del deslizador; b) su rapidez cuando está en ; c) la agnitud de su aceleración áia; d) su aceleración en ; e) su energía ecánica total en cualquier punto de su oviiento Una porrista ondea su popón en MS con aplitud de 18.0 c y frecuencia de Hz. Calcule a) la agnitud áia de la aceleración y de la velocidad; b) la aceleración y rapidez cuando la coordenada del popón es c; c) el tiepo que tarda en overse directaente de la posición de equilibrio a un punto situado a 12.0 c de distancia. d) Cuáles de las cantidades pedidas en los incisos a), b) y c) pueden obtenerse epleando el enfoque de energía de la sección 13.3 y cuáles no? Eplique su respuesta Para la situación descrita en el inciso a) del ejeplo 13.5, qué asa deberá tener la asilla para que la aplitud después del choque sea la itad de la aplitud original? Con ese valor de, qué fracción de la energía ecánica original se convierte en calor? Un juguete de g está en MS en el etreo de un resorte horizontal con constante de fuerza N>. Cuando el objeto está a de su posición de equilibrio, tiene una rapidez de >s. Calcule a) la energía total del objeto en cualquier punto de su oviiento; b) la aplitud del oviiento; c) la rapidez áia alcanzada por el objeto durante su oviiento Usted observa un objeto que se ueve en MS. Cuando dicho objeto está desplazado a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2.20 >s a la derecha y una aceleración de 8.40 >s 2 a la izquierda. qué distancia de este punto se desplazará el objeto, antes de detenerse oentáneaente para iniciar su oviiento a la izquierda? En una esa horizontal sin fricción, una caja de 5.20 g abierta de arriba se sujeta a un resorte ideal, cuya constante de fuerza es de 375 N>. Dentro de la caja hay una piedra de 3.44 g. El sistea oscila con una aplitud de 7.50 c. Cuando la caja ha alcanzado su rapidez áia, la piedra se sale repentinaente de la caja hacia arriba sin tocar ésta. Calcule a) el periodo y b) la aplitud del oviiento resultante de la caja. c) Sin realizar cálculos, el nuevo periodo es ayor o enor que el periodo original? Cóo lo sabe? Dentro de un vehículo de prueba de la NS, se tira de una esfera de 3.50 g ediante un resorte ideal horizontal que está unido a una esa sin fricción. a constante de fuerza del resorte es de 225 N>. El vehículo tiene una aceleración constante de 5.00 >s 2, y la esfera no oscila. De repente, cuando la rapidez del vehículo llega a 45.0 >s, sus otores se apagan, eliinando así su aceleración pero no su velocidad. Calcule a) la aplitud y b) la frecuencia de las oscilaciones resultantes de la esfera. c) Cuál será la rapidez áia de la esfera en relación con el vehículo? Sección 13.4 plicaciones del oviiento arónico siple Un orgulloso pescador de alta ar cuelga un pez de 65.0 g de un resorte ideal con asa despreciable, estirando el resorte a) Calcule la constante de fuerza del resorte. hora se tira del pez 5.00 c hacia abajo y luego se suelta. b) Qué periodo de oscilación tiene el pez? c) Qué rapidez áia alcanzará? Un deslizador de 175 g sobre una pista de aire horizontal sin fricción está unido a un resorte ideal fijo, cuya constante de fuerza es de 155 N>. En el oento en que usted ide el deslizador, éste se ueve a >s y está a 3.00 c de su posición de equilibrio. Utilice la conservación de la energía para calcular a) la aplitud del oviiento y b) la rapidez áia del deslizador. c) Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones? Un gato con asa de 4.00 g que gusta de las eociones fuertes está unido ediante un arnés a un resorte ideal de asa despreciable y oscila verticalente en MS. a aplitud es de y, en el punto ás alto del oviiento, el resorte tiene su longitud natural no estirada. Calcule la energía potencial elástica del resorte (suponga que es cero cuando el resorte no está estirado); la energía cinética del gato; la energía potencial gravitacional del sistea relativa al punto ás bajo del oviiento; y la sua de estas tres energías cuando el gato está a) en su punto ás alto, b) en su punto ás bajo, y c) en su posición de equilibrio Una esfera de 1.50 g y otra de 2.00 g se pegan entre sí colocando la ás ligera debajo de la ás pesada. a esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 N>, y el sistea vibra verticalente con una aplitud de 15.0 c. El pegaento que une las esferas es débil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas están en la posición ás baja de su oviiento. a) Por qué es ás probable que el pegaento falle en el punto ás bajo, que en algún otro punto del oviiento? b) Calcule la aplitud y la frecuencia de las vibraciones después de que la esfera inferior se despega Un disco unifore sólido de etal con asa de 6.50 g y diáetro de 24.0 c cuelga en un plano horizontal, apoyado en su centro con un alabre etálico vertical. Usted sabe que se requiere una fuerza horizontal de 4.23 N tangente al borde del disco para girarlo 3.34, y así torcer el alabre. hora usted eliina esta fuerza y suelta el disco del reposo. a) Cuál es la constante de torsión para el alabre etálico? b) Cuáles son la frecuencia y el periodo de las oscilaciones de torsión del disco? c) Escriba la ecuación del oviiento para u(t) del disco Cierto reloj despertador hace tic cuatro veces cada segundo, y cada tic representa edio periodo. a rueda de balance consiste en un aro delgado con 0.55 c de radio, conectada al vástago de balance por rayos de asa despreciable. a asa total de la rueda es de 0.90 g. a) Qué oento de inercia tiene la rueda con respecto a su eje? b) Qué constante de torsión tiene la espiral? Figura Ejercicio Un disco etálico delgado con asa de g y radio de 2.20 c se une en su centro a una fibra larga (figura 13.32). Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule R la constante de torsión de la fibra.

6 450 CPÍTUO 13 Moviiento periódico Iagine que quiere deterinar el oento de inercia de una pieza ecánica coplicada, con respecto a un eje que pasa por su centro de asa, así que la cuelga de un alabre a lo largo de ese eje. El alabre tiene una constante de torsión de N # / rad. Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la suelta, cronoetrando 125 oscilaciones en 265 s. Cuánto vale el oento de inercia buscado? a rueda de balance de un reloj vibra con aplitud angular U, frecuencia angular v y ángulo de fase f50. a) Deduzca epresiones para la velocidad angular du>dt y la aceleración angular d 2 u>dt 2 en función del tiepo. b) Calcule la velocidad angular y la aceleración angular de la rueda de balance, cuando su desplazaiento angular sea U, y cuando su desplazaiento sea U>2 y u esté disinuyendo. (Sugerencia: haga una gráfica de u contra t.) * Para la interacción de Van der Waals con la función de energía potencial dada por la ecuación (13.25), deuestre que, cuando la agnitud del desplazaiento con respecto al equilibrio (r 5 R 0 ) es pequeña, la energía potencial es aproiadaente U < U 0. [Sugerencia: en la ecuación (13.25), sea r 5 R 0 1 y u 5 /R 0. uego, aproie (1 1 u) n con los prieros tres térinos de la ecuación (13.28).] Copare de esta ecuación con la constante de fuerza de la ecuación (13.29) para la fuerza. * Cuando los dos átoos de hidrógeno de una olécula de H 2 se desplazan del equilibrio, una fuerza de restitución F 52, con N>, actúa sobre ellos. Calcule la frecuencia de oscilación de la olécula de H 2. (Sugerencia: la asa de un átoo de hidrógeno es unidades de asa atóica, es decir, 1 u; vea el péndice E. Coo en el ejeplo 13.7 de la sección 13.4, use >2 en vez de en la epresión para f.) Sección 13.5 El péndulo siple Se tira de un péndulo siple de de longitud para overlo 3.50 a un lado y luego se suelta. a) Cuánto tarda la lenteja del péndulo en alcanzar su rapidez áia? b) Cuánto tarda si el ángulo es de 1.75 en vez de 3.50? Un alpinista de 85.0 g planea balancearse, partiendo del reposo, desde una saliente utilizando una cuerda ligera de 6.50 de largo. Sujeta un etreo de la cuerda, en tanto que el otro etreo está unido ás arriba a la cara de una roca. Coo la saliente no está uy lejos de la cara de la roca, la cuerda fora un ángulo pequeño con la vertical. En su punto ás bajo de su balanceo, planea soltarse y dejarse caer una distancia corta hacia el suelo. a) Cuánto tiepo después de que epieza a balancearse el alpinista alcanzará su punto de oscilación ás alto? b) Si falla en la priera oportunidad de soltarse, cuánto tiepo después de iniciar su balanceo, el alpinista llegará a su punto ás bajo por segunda vez? En San Francisco un edificio tiene aditaentos ligeros que consisten en bobillas pequeñas de 2.35 g con pantallas, que cuelgan del techo en el etreo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terreoto leve, cuántas oscilaciones por segundo harán tales aditaentos? Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo siple tiene un periodo de 1.60 s. Qué periodo tendrá en Marte, donde g >s 2? Una anzana pesa 1.00 N. Si la colgaos del etreo de un resorte largo con constante de fuerza de 1.50 N> y asa despreciable, rebota verticalente en MS. Si deteneos el rebote y dejaos que la anzana oscile de lado a lado con un ángulo pequeño, la frecuencia de este péndulo siple es la itad de la del rebote. (Puesto que el ángulo es pequeño, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciableente la longitud del resorte.) Qué longitud tiene el resorte no estirado (sin la anzana)? Una esfera pequeña de asa está unida a una varilla sin asa de longitud con un pivote en el etreo de arriba, forando un péndulo siple. Se tira del péndulo hacia un lado, hasta que la varilla fora un ángulo U con la vertical y se suelta del reposo. a) Dibuje un diagraa del péndulo justo después de soltarse; incluya vectores que representen las fuerzas que actúan sobre la esfera pequeña y la aceleración de la esfera. a eactitud es iportante! En este punto, qué aceleración lineal tiene la esfera? b) Repita el inciso a) para el instante en que el ángulo de la varilla con la vertical es U>2. c) Repita el inciso a) para el instante en que la varilla del péndulo está vertical. En ese punto, qué rapidez lineal tiene la esfera? Después de posarse en un planeta desconocido, una eploradora espacial construye un péndulo siple con longitud de 50.0 c y deterina que efectúa 100 oscilaciones copletas en 136 s. Cuánto vale g en ese planeta? Un péndulo siple de 2.00 de largo oscila con un ángulo áio de 30.0 con la vertical. Obtenga su periodo, a) suponiendo una aplitud pequeña, y b) utilizando los prieros tres térinos de la ecuación (13.35). c) Cuál de las respuestas a los incisos a) y b) es ás precisa? Para la que es enos precisa, de qué porcentaje es el error con respecto a la ás precisa? Sección 13.6 El péndulo físico Una biela de 1.80 g de un Figura Ejercicio otor de cobustión pivota alrededor de un filo de navaja horizontal coo se uestra en la figura El centro de gravedad de la biela se encontró por balanceo y está a del pivote. d Cuando la biela se pone a oscilar cg con aplitud corta, copleta 100 oscilaciones en 120 s. Calcule el oento de inercia de la biela respecto al eje de rotación en el pivote Quereos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación copleta con ángulo pequeño una vez cada 2.0 s. Qué radio debe tener el aro? Deuestre que la epresión para el periodo de un péndulo físico se reduce a la del péndulo siple, si el péndulo físico consiste en una partícula de asa en el etreo de un cordón sin asa de longitud Una llave inglesa de 1.80 g tiene su pivote a de su centro de asa y puede oscilar coo péndulo físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño es de s. a) Qué oento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b) Si la llave inicialente se desplaza rad de la posición de equilibrio, qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición? Dos péndulos tienen las isas diensiones (longitud ) y asa total (). El péndulo es una esfera uy pequeña que oscila en el etreo de una varilla unifore sin asa. En el péndulo B, la itad de la asa está en la esfera y la otra itad en la varilla unifore. Calcule el periodo de cada péndulo para oscilaciones pequeñas. Cuál tarda ás tiepo en una oscilación? Un adorno navideño con fora de esfera hueca de asa M g y radio R se cuelga de una raa con un lazo de alabre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila coo péndulo físico con fricción despreciable. Calcule su periodo. (Sugerencia: use el teorea de los ejes paralelos para deterinar oento de inercia de la esfera con respecto al pivote en la raa.)

7 Probleas Cada uno de los dos péndulos que se uestran en la figura consiste en una esfera sólida unifore de asa M sostenida por un cordón sin asa; no obstante, la esfera del péndulo es uy pequeña, en tanto que la esfera del péndulo B es ucho ás grande. Obtenga el periodo de cada péndulo para desplazaientos cortos. Qué esfera tarda ás en copletar una oscilación? Figura Ejercicio M Sección 13.7 Oscilaciones aortiguadas Una asa de 2.20 g oscila sobre un resorte cuya constante de fuerza y periodo son de N> y s, respectivaente. a) Se trata de un sistea aortiguado o no? Cóo lo sabe? Si es aortiguado, calcule la constante de aortiguaiento b. b) El sistea es no aortiguado, subaortiguado, críticaente aortiguado o sobreaortiguado? Cóo lo sabe? Un ratón de g, nada contento, se ueve en el etreo de un resorte con constante de fuerza N>, soetido a la acción de una fuerza aortiguadora F 52bv. a) Si la constante b g>s, qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? b) Con qué valor de b el aortiguaiento será crítico? Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se ueve en el etreo de un resorte cuya constante de fuerza es N>. Su desplazaiento inicial es de Una fuerza aortiguadora F 52bv actúa sobre el huevo, y la aplitud del oviiento disinuye a en 5.00 s. Calcule la constante de aortiguaiento b El oviiento de un oscilador subaortiguado está descrito por la ecuación (13.42). Sea el ángulo de fase f50. a) Según la ecuación, cuánto vale en t 5 0? b) Qué agnitud y dirección tiene la velocidad en t 5 0? Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de contra t cerca de t 5 0? c) Deduzca una epresión para la aceleración a en t 5 0. Para qué valor o intervalo de valores de la constante de aortiguaiento b (en térinos de y ) en t 5 0, la aceleración es negativa, cero o positiva? Coente cada caso en térinos de la fora de la curva de contra t cerca de t 5 0. Sección 13.8 Oscilaciones forzadas y resonancia Una fuerza ipulsora que varía senoidalente se aplica a un oscilador arónico aortiguado con constante de fuerza y asa. Si la constante de aortiguaiento tiene el valor b 1, la aplitud es 1 cuando la frecuencia angular ipulsora es "/. En térinos de 1, cuánto vale la aplitud con la isa frecuencia ipulsora y la isa aplitud de la fuerza ipulsora F á si la constante de aortiguaiento es a) 3b 1 y b) b 1 >2? Una fuerza ipulsora que varía senoidalente se aplica a un oscilador arónico aortiguado. a) Qué unidades tiene la constante de aortiguaiento b? b) Deuestre que la cantidad " tiene las isas unidades que b. c) Deterine, en térinos de F á y, la aplitud de v d 5 " / cuando i) b " y ii) b 5 0.4"? Copare sus resultados con la figura Un paquete eperiental y su estructura de soporte que se colocarán a bordo de la Estación Espacial Internacional actúan coo siste- B /2 M a de resorte-asa subaortiguado con constante de fuerza de N> y asa de 108 g. Un requisito de la NS es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia enor que 35 Hz. Satisface el paquete tal requisito? Probleas MS en un otor de Figura Problea cobustión. El oviiento del pistón de un otor de autoóvil (figura 13.35) es aproiadaente arónico siple. a) Si la carre- O ra del pistón (el doble de la 2 aplitud) es de y el otor trabaja a 3500 rev>in, qué aceleración tiene el pistón en el etreo de su carrera? b) Si el pistón tiene una asa de g, qué fuerza neta debe ejercerse sobre él en ese punto? c) Qué rapidez y energía cinética tiene el pistón en el punto edio de su carrera? d) Qué potencia edia se requiere para acelerar el pistón desde el reposo, hasta la rapidez deterinada en el inciso c)? d) Repita los incisos b), c) y d) con el otor trabajando a 7000 rev>in Cuatro pasajeros cuya asa cobinada es de 250 g coprien 4.00 c los resortes de un autoóvil con aortiguadores vencidos cuando se suben en él. Modele el auto y los pasajeros coo un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el autoóvil cargado tiene un periodo de vibración de 1.08 s, qué periodo tiene cuando está vacío? Un deslizador oscila con MS y aplitud 1 en un riel de aire. Usted lo frena hasta reducir la aplitud a la itad. Qué pasa con sus a) periodo, frecuencia y frecuencia angular? b) Con su energía ecánica total? c) Con su rapidez áia? d) Con su rapidez en >4? e) Y con sus energías cinética y potencial en 56 1 >4? Un niño alcriado está deslizando su plato de 250 g de un lado a otro, sobre una superficie horizontal en MS con aplitud de En un punto a de la posición de equilibrio, la rapidez del plato es de >s. a) Calcule el periodo. b) Encuentre el desplazaiento cuando la rapidez es de >s. c) En el centro del plato hay una rebanada de zanahoria de 10.0 g, que está a punto de resbalar en el etreo de la trayectoria. Calcule el coeficiente de fricción estática entre la rebanada de zanahoria y el plato Una charola (bandeja) horizontal unifore de 1.50 g está unida a un resorte ideal vertical con constante de fuerza de 185 N> y una esfera etálica de 275 g está en la charola. El resorte está debajo de la charola, así que puede oscilar verticalente. a charola se presiona hacia abajo 15.0 c por debajo de su posición de equilibrio (llaaos a esto punto ) y se suelta del reposo. a) Qué tan alto por encia del punto estará la charola cuando la esfera etálica salga de la charola? (Sugerencia: esto no ocurre cuando la esfera y la charola llegan a sus rapideces áias.) b) Cuánto tiepo transcurre desde que el sistea se libera en el punto y la esfera sale de la charola? c) Qué tan rápido se ueve la esfera justo cuando sale de la charola? Un bloque de asa M descansa en una superficie sin fricción y está conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza. El otro etreo del resorte está fijo a una pared (figura 13.36). Un segundo bloque de asa está sobre el priero. El coeficiente de fricción Figura Problea s M

8 452 CPÍTUO 13 Moviiento periódico estática entre los bloques es μ s. Deterine la aplitud de oscilación áia que no perite que el bloque superior resbale Una asa de 10.0 g viaja hacia la derecha con rapidez de 2.00 >s sobre una superficie horizontal lisa y choca contra una segunda asa de 10.0 g que inicialente está en reposo pero unida a un resorte ligero con constante de fuerza de 80.0 N>. a) Calcule la frecuencia, la aplitud y el periodo de las oscilaciones subsecuentes. b) Cuánto tiepo tarda el sistea en regresar por priera vez a la posición inediataente después del choque? Un cohete acelera hacia arriba a 4.00 >s 2 desde la platafora de lanzaiento en la Tierra. En su interior, una esfera pequeña de 1.50 g cuelga del techo ediante un alabre ligero de Si la esfera se desplaza 8.50 de la vertical y se suelta, encuentre la aplitud y el periodo de las oscilaciones resultantes de este péndulo Un objeto cuadrado de asa se construye con cuatro varas Figura Problea unifores idénticas, cada una con longitud, unidas entre sí. Este Gancho objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho (figura 13.37). Si se gira ligeraente a la izquierda y luego se suelta, con qué frecuencia oscilará de un lado a otro? Una fuerza elástica de restitución con constante de fuerza de 10.0 N> actúa sobre un objeto con asa de g. a) Grafique la energía potencial elástica U en función del desplazaiento dentro de un intervalo de desde hasta En su gráfica use la escala 1 c J verticalente y 1 c horizontalente. El objeto se pone a oscilar con una energía potencial inicial de J y una energía cinética inicial de J. Conteste las preguntas que siguen consultando la gráfica. b) Qué aplitud tiene la oscilación? c) Cuánto vale la energía potencial cuando el desplazaiento es de la itad de la aplitud? d) Con qué desplazaiento son iguales las energías cinética y potencial? e) Cuánto vale el ángulo de fase f si la velocidad inicial es positiva y el desplazaiento inicial es negativo? Una cubeta de 2.00 g que contiene 10.0 g de agua cuelga de un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 125 N>, y oscila verticalente con una aplitud de 3.00 c. De repente, la cubeta diana una fuga en la base, goteando agua a una tasa constante de 2.00 g>s. Cuando la cubeta se vacía y queda a la itad de su capacidad, calcule a) el periodo de oscilación y b) la tasa con la que el periodo cabia con respecto al tiepo. El periodo se vuelve ás largo o ás corto? c) Cuál es el sistea de oscilación ás corto que este sistea puede tener? Un alabre colgante tiene 1.80 de longitud. Cuando una bola de acero de 60.0 g se suspende del alabre, éste se estira Si se tira de la bola hacia abajo una distancia pequeña adicional y se le suelta, con qué frecuencia vibrará? Suponga que el esfuerzo aplicado al alabre es enor que el líite proporcional (véase la sección 11.5) Una perdiz de 5.00 g cuelga de un peral ediante un resorte ideal con asa despreciable. Si se tira de la perdiz para bajarla con respecto a su posición de equilibrio y se suelta, vibra con un periodo de 4.20 s. a) Qué rapidez tiene al pasar por su posición de equilibrio? b) Qué aceleración tiene cuando está arriba de dicha posición? c) Cuando está subiendo, qué tiepo tarda en overse de un punto debajo de su posición de equilibrio a un punto que está arriba? d) a perdiz se detiene y se retira del resorte. Cuánto se acorta éste? Un perno de g se ueve en MS con aplitud de y periodo de s. El desplazaiento del perno es de cuando t 5 0. Calcule a) el desplazaiento del perno cuando t s; b) la agnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el perno en t s; c) el tiepo ínio que el perno tarda en overse de su posición inicial al punto donde ; d) la rapidez del perno cuando MS de una balanza de carnicero. Un resorte con asa despreciable y constante de fuerza N> cuelga verticalente, y una bandeja de g se suspende de su etreo inferior. Un carnicero deja caer un filete de 2.2 g sobre la bandeja desde una altura de El choque es totalente inelástico y el sistea queda en MS vertical. Calcule a) la rapidez de la bandeja y el filete justo después del choque; b) la aplitud del oviiento subsecuente; c) el periodo de ese oviiento Una viga unifore de 225 g se suspende horizontalente de dos resortes verticales idénticos que sujetan cada etreo de la viga con el techo. Un saco de 175 g de grava se coloca sobre el punto edio de la viga. Ésta oscila en MS con aplitud de 40.0 c y frecuencia de ciclos>s. a) El saco de grava se cae de la viga cuando ésta tiene su desplazaiento áio hacia arriba. Calcule la frecuencia y aplitud del MS subsecuente de la viga. b) Suponga ahora que el saco de grava se cae cuando la viga tiene su rapidez áia. Calcule la frecuencia y aplitud del MS subsecuente de la viga En el planeta Newtonia, un péndulo siple tiene una lenteja con asa de 1.25 g y longitud de c cuando se suelta del reposo, tarda 1.42 s en describir un ángulo de 12.5 hasta un punto donde otra vez tiene rapidez cero. Se deterinó que la circunferencia de Newtonia es de 51,400. Calcule la asa del planeta Una fuerza de 40.0 N estira un resorte vertical a) Qué asa debe colgarse del resorte para que el sistea oscile con un periodo de 1.00 s? b) Si la aplitud del oviiento es de y el periodo es el especificado en a), dónde está el objeto y en qué dirección se ueve 0.35 s después de haber pasado hacia abajo la posición de equilibrio? c) Qué fuerza (agnitud y dirección) ejerce el resorte sobre el objeto cuando éste está bajo la posición de equilibrio al subir? Que no la deje el barco. En una visita a Minnesota (la tierra de los 10,000 lagos ), una turista se inscribe en una ecursión por uno de los lagos ás grandes. Cuando llega al uelle donde está atracado el barco de 1,500 g, ve que la ebarcación oscila verticalente sobre las olas, en oviiento arónico siple con aplitud de 20 c. El barco tarda 3.5 s en efectuar un ciclo copleto de subidabajada. Cuando está en su punto ás alto, la cubierta está a la isa altura que el uelle estacionario. l ver cóo se ece el barco, la turista (asa 60 g) coienza a sentirse areada (debido en parte a que la noche anterior cenó bacalao noruego), por lo que se niega a subir a bordo, a enos que la cubierta esté a enos de 10 c del nivel del uelle. De cuánto tiepo dispone para abordar el barco cóodaente durante cada ciclo de oviiento vertical? Un ejeplo interesante pero uy poco práctico de oscilación es el oviiento de un objeto que se deja caer por un agujero que va de un lado de la Tierra a otro pasando por el centro. Suponiendo (lo cual no es realista) que la Tierra es una esfera con densidad unifore, deuestre que el oviiento es arónico siple y calcule el periodo. [Nota: la fuerza gravitacional sobre el objeto en función de la distancia r del objeto al centro de la Tierra se dedujo en el ejeplo (sección 12.6). El oviiento es MS si la aceleración a y el desplazaiento con respecto al equilibrio están relacionados por la ecuación (13.8), y el periodo es entonces T 5 2p>v.] Dos asas puntuales se sostienen separadas una distancia d. Otra asa puntual M está a la itad entre ellas. Después, M se despla-

9 Probleas 453 za una distancia pequeña perpendicular a la línea que conecta las dos asas fijas y se libera. a) Deuestre que la agnitud de la fuerza de gravedad neta sobre M debida a las asas fijas está dada aproiadaente por F net 5 si V d. Cuál es la dirección de 16 GM esta d 3 fuerza? Se trata de una fuerza de restitución? b) Deuestre que la asa M oscilará con una frecuencia angular de 1 4/d 2 "G/d y un periodo pd/2 "d/g. c) Cuál sería el periodo si g y d c? Parece que este periodo se podría edir con facilidad? Qué hace que este eperiento sea difícil de realizar en un laboratorio de física coún? d) M oscilará si se desplaza una distancia pequeña desde el centro hasta cualquiera de las otras asas fijas? Por qué? Para cierto oscilador, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo de asa está dada por F 52c 3. a) Qué función de energía potencial describe este oscilador, si toaos U 5 0 en 5 0? b) El cuerpo se ueve de 5 0 a 5 en un cuarto de periodo. Calcule este tiepo y de ahí el periodo. [Sugerencia: epiece en la ecuación (13.20), odificada para incluir la función de energía potencial que obtuvo en el inciso a), y despeje la velocidad v en función de. uego, sustituya v por d>dt y separe la variable escribiendo todos los factores que contienen de un lado y los que contienen t del otro, de anera que pueda integrarse cada lado. En la integral de, haga el cabio de variables u 5 >. a integral resultante puede evaluarse usando étodos nuéricos en una coputadora y tiene el valor 1 0 du/"1 2 u ] c) Según el resultado obtenido en el inciso b), el periodo depende de la aplitud del oviiento? as oscilaciones son arónicas siples? Considere el círculo de referencia de la figura a coponente de la velocidad de Q es la velocidad de P. Calcule esta coponente y uestre que la velocidad de P está dada por la ecuación (13.15). * Molécula diatóica. Dos átoos idénticos de una olécula diatóica vibran coo osciladores arónicos; no obstante, su centro de asa, que está a la itad del caino, no se ueve. a) Deuestre que, en cualquier instante, los oentos lineales de los átoos con S respecto al centro de asa son p y 2p S. b) Deuestre que la energía cinética total K de los dos átoos en cualquier instante es la isa que tiene un solo objeto de asa >2 con oento lineal de agnitud p. (Use K 5 p 2 >2.) Este resultado uestra por qué debe usarse >2 en la epresión para f del ejeplo 13.7 (sección 13.4). c) Si los átoos no son idénticos, y tienen asas 1 y 2, deuestre que aún se cuple el resultado del inciso a), y que la asa del objeto único del inciso b) es 1 2 >( ). a cantidad 1 2 >( ) se denoina asa reducida del sistea. * Una aproiación de la energía potencial de una olécula de KCl es U 5 31R 7 donde R /8r /r4, y J #. Use esto para a) deostrar que la coponente radial de la fuerza sobre cada átoo es F r 5 31R 7 0 /r / r 2 4 y b) deostrar que R 0 es la separación de equilibrio. c) Calcule la energía potencial áia. d) Use r 5 R 0 1 y los prieros dos térinos del teorea binoial (ecuación 13.28) para deostrar que F r < 2 1 7/R 3 0 2, de odo que la constante de fuerza de la olécula sea 5 7/R 3 0. e) Si los átoos de K y Cl vibran en direcciones opuestas en lados opuestos del centro de asa de la olécula, 1 2/ g es la asa que debe usarse para calcular la frecuencia (véase el problea 13.86). Calcule la frecuencia de las vibraciones de aplitud pequeña Dos cilindros sólidos conectados a lo largo de su eje coún por una varilla corta y ligera tienen radio R y asa total M, y descansan sobre una esa horizontal. Un resorte con constante de fuerza tiene un etreo sujeto a un soporte fijo, y el otro, a un anillo sin fricción en el centro de asa de los cilindros (figura 13.38). Se tira de los cilindros hacia la izquierda una distancia, estirando el resorte, y se sueltan. Hay suficiente fricción entre la esa y los cilindros para que éstos rueden sin resbalar al oscilar horizontalente. Deuestre que el oviiento del centro de asa de los cilindros es arónico siple, y calcule su periodo en térinos de M y. [Sugerencia: el oviiento es arónico siple si a y están relacionados por la ecuación (13.8) y por lo tanto, el periodo es T 5 2p/v. plique gt z 5 I c a z y gf 5 Ma c- a los cilindros con la finalidad de relacionar a c- con el desplazaiento de los cilindros con respecto a su posición de equilibrio.] Figura Problea M R En la figura 13.39, la esfera Figura Problea superior se suelta del reposo, choca contra la esfera inferior estacionaria y se pega a ella. bos cordones tienen 50.0 c de longitud. a esfera superior tiene asa de 2.00 g y está inicialente 10.0 c ás alta que la inferior, cuya asa es de 3.00 g. Calcule la frecuencia y el desplazaiento angular áio del oviiento después del choque c T. re. Modele la pierna del T. re del ejeplo (sección 13.6) coo dos varillas unifores con longitud de 1.55 cada una y unidas rígidaente por un etreo. a varilla inferior tiene asa M, y la superior, 2M. El objeto copuesto pivota en torno a la parte superior de la varilla de arriba. Calcule el periodo de oscilación de este objeto para oscilaciones de aplitud pequeña. Copare su resultado con el del ejeplo Una varilla etálica delgada y unifore con asa M pivota Figura Problea sin fricción sobre un eje que pasa por su punto edio y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante de fuerza se conecta al etreo inferior de la varilla, y el otro etreo del resorte se fija a un soporte rígido. a varilla se desplaza un ángulo pequeño U con respecto a la vertical u (figura 13.40) y se suelta. Deuestre que se ueve en MS angular y calcule su periodo. (Sugerencia: suponga que U es suficienteente pequeño para que las aproiaciones sen U < U y cos U < 1 sean válidas. El oviiento es arónico siple si d 2 u/dt 2 52v 2 u, y el periodo es entonces T 5 2p>v.) El problea de la capana que suena en silencio. Una capana grande de 34.0 g cuelga de una viga de adera, de odo que puede oscilar con fricción despreciable. Su centro de asa está 0.60 bajo el pivote, y su oento de inercia con respecto a un eje en el pivote es de 18.0 g # 2. El badajo es una asa de 1.8 g que

10 454 CPÍTUO 13 Moviiento periódico cuelga del etreo de una varilla delgada de longitud y asa despreciable. El otro etreo de la varilla está sujeto al interior de la capana, de odo que puede oscilar libreente sobre el iso eje de la capana. Qué longitud debe tener la varilla para que la capana suene en silencio, es decir, para que el periodo de oscilación de la capana sea igual a la del badajo? Dos varillas delgadas idénticas, Figura Problea cada una con asa y longi- tud, se unen en ángulo recto para forar un objeto en fora de, el cual se balancea sobre la cúspide de un triángulo agudo (figura 13.41). Si el objeto en fora de se desvía un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilación Se desea construir un péndulo con un periodo de 4.00 s en un lugar donde g >s 2. a) Qué longitud tiene un péndulo siple con este periodo? b) Suponga que el péndulo debe ontarse en una caja que no puede tener ás de 0.50 de altura. Puede inventar un péndulo con un periodo de 4.00 s que cupla este requisito? Una varilla unifore de longitud oscila con ángulo pequeño alrededor de un punto a una distancia de su centro. a) Deuestre que su frecuencia angular es "g/ 31 2 / b) Deuestre que su frecuencia angular áia se da cuando 5 /"12. c) Qué longitud tiene la varilla si la frecuencia angular áia es 2>p rad>s? Probleas de desafío Dos resortes, abos con longitud no estirada de 0.200, pero con diferentes constantes de fuerza 1 y 2, están unidos a etreos opuestos de un bloque de asa en una superficie plana sin fricción. hora los etreos eteriores de los resortes se unen a dos agujas P 1 y P 2 que están a de las posiciones originales de los etreos de los resortes (figura 13.42). Sea N>, N> y g. a) Calcule la longitud de cada resorte cuando el bloque está en su nueva posición de equilibrio, después de que los resortes se fijan a las agujas. b) Calcule el periodo de vibración del bloque, si se desplaza un poco de su nueva posición de equilibrio y se suelta. Figura Problea de desafío P 1 P Constante de fuerza efectiva de dos resortes. Dos resortes con la isa longitud no estirada, pero diferentes constantes de fuerza 1 y 2, se unen a un bloque de asa en una superficie plana sin fricción. Calcule la constante de fuerza efectiva efe en cada uno de los tres casos: a), b) y c) de la figura (a constante de fuerza efectiva está definida por gf 52 efe.) d) Un objeto de asa, suspendido de un resorte unifore con constante de fuerza, vibra con una frecuencia f 1. Si el resorte se parte a la itad y el iso objeto se cuelga de una de las itades, la frecuencia es f 2. Deterine la relación f 2 >f 1. Figura Problea de desafío a) b) c) a) Deterine el cabio DT del periodo de un péndulo siple cuando la aceleración debida a la gravedad cabia en Dg. (Sugerencia: el nuevo periodo T 1DT se obtiene sustituyendo g 1Dg por g: T 1DT 5 2p Å g 1Dg Para obtener una epresión aproiada, epanda el factor (g 1 Dg) 21>2 usando el teorea binoial (péndice B) y conservando sólo los prieros dos térinos: 1 g 1Dg 2 21 / 2 5 g 21 / g23 / 2 Dg 1 c os deás térinos contienen potencias ayores de Dg y son uy pequeños si Dg es pequeño.) Eprese su resultado coo el cabio fraccionario del periodo DT>T, en térinos del cabio fraccionario Dg>g. b) Un reloj de péndulo da la hora correcta en un punto donde g >s 2, pero se atrasa 4.0 s cada día a una altura ayor. Use el resultado del inciso a) para calcular el valor aproiado de g en este nuevo lugar Resorte con asa. En todos los probleas anteriores del capítulo, heos supuesto que los resortes tienen asa despreciable aunque, desde luego, ningún resorte carece por copleto de asa. Para deterinar el efecto de la asa de un resorte, considere un resorte de asa M, con longitud de equilibrio 0 y constante de fuerza. Si el resorte se estira o coprie a una longitud, la energía potencial es 1 2 2, donde a) Considere un resorte coo éste con un etreo fijo y el otro en oviiento con rapidez v. Suponga que la rapidez de los puntos a lo largo del resorte varía linealente con la distancia l al etreo fijo, y que la asa M del resorte está distribuida uniforeente a todo lo largo del resorte. Calcule la energía cinética del resorte en térinos de M y v. (Sugerencia: divida el resorte en partes de longitud dl; deterine la rapidez de cada parte en térinos de l, v y ; deterine la asa de cada parte en térinos de dl, M y ; 1 e integre de 0 a. El resultado no es 2Mv 2, ya que no todo el resorte se ueve con la isa rapidez.) b) Obtenga la derivada de la ecuación de conservación de la energía (ecuación 13.21) con respecto al tiepo, para una asa que se ueve en el etreo de un resorte sin asa. Coparando sus resultados con la ecuación (13.8), que define v, deuestre que la frecuencia angular de oscilación es v5"/. c) plique el procediiento del inciso b) para obtener la frecuencia angular de oscilación v del resorte considerado en el inciso a). Si la

11 Probleas de desafío 455 asa efectiva Mr del resorte está definida por v5"/mr, eprese Mr en térinos de M Una cinta étrica unifore (con longitud de 1.00 ) cuelga de un eje horizontal por un etreo y oscila coo péndulo físico. Un objeto pequeño con asa igual a la de la cinta étrica se sujeta a la isa a una distancia y por debajo del eje. Sea T el periodo del sistea con el cuerpo pegado y T 0 el periodo de la cinta étrica sola. a) Deterine la relación T>T 0. Evalúe su epresión para valores de y desde 0 hasta 1.0 en increentos de 0.1, y grafique T>T 0 contra y. b) Hay algún valor de y, distinto de y 5 0, para el que T 5 T 0? Si lo hay, encuéntrelo y eplique por qué el periodo no cabia cuando y tiene ese valor Se deterina que el periodo de un péndulo físico alrededor de un punto pivote es T. uego se encuentra otro punto pivote en el lado opuesto del centro de asa que da el iso periodo. os dos puntos están separados una distancia. Use el teorea de ejes paralelos para deostrar que g 5 1 2p/T 2 2. (Este resultado sugiere una fora de calcular g sin conocer la asa ni ningún oento de inercia del péndulo físico.) Resonancia en un sistea ecánico. Una asa está unida al etreo de un resorte sin asa con constante de fuerza y longitud no estirada l 0. El otro etreo del resorte puede girar libreente alrededor de un clavo incrustado en una superficie horizontal sin fricción (figura 13.44). Se hace que la asa gire en un círculo con frecuencia angular de vr. a) Calcule la longitud l del resorte en función de vr. b) Cóo cabia el resultado del inciso a) cuando vr se acerca a la frecuencia natural v5"/ del sistea asa-resorte? (Si el resultado le parece etraño, recuerde que los resortes sin asa y las superficies sin fricción no eisten; sólo son descripciones aproiadas de resortes y superficies reales. deás, la ley de Hooe isa es sólo una aproiación al coportaiento de los resortes reales; cuanto ás se alargue un resorte, ás se desviará su coportaiento de la ley de Hooe.) Figura Problea de desafío * Vibración de una olécula con enlace covalente. Muchas oléculas diatóicas (de dos átoos) están unidas por enlaces covalentes que son ucho ás fuertes que la interacción de Van der Waals. Ejeplos de ello son H 2, O 2 y N 2. os eperientos indican que, en el caso de uchas de tales oléculas, la interacción puede describirse con una fuerza de la fora F r 5 3e 22b1r2R e 2b1r2R donde y b son constantes positivas, r es la separación de los centros de los átoos y R 0 es la separación de equilibrio. Para la olécula de hidrógeno 1 H , N, b , y R Calcule la constante de fuerza para oscilaciones pequeñas alrededor del equilibrio. (Sugerencia: use la epansión de e dada en el péndice B.) Copare su resultado con el valor dado en el ejercicio v9 l

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