Justificaciones de los exámenes de la Eliminatoria 2014 XI Olimpiada Internacional de Lógica.

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1 Justificaciones de los exámenes de la Eliminatoria 2014 XI Olimpiada Internacional de Lógica. Este documento es de carácter informativo y busca ser de ayuda para que los profesores y los alumnos interesados sepan cuáles son las respuestas correctas de los reactivos que aparecieron en los exámenes de la eliminatoria y por qué razones las otras opciones de respuesta son incorrectas. Dado que algunos reactivos se comparten entre los tres exámenes, antes de cada reactivo se indica qué número tuvo en cada uno de los exámenes en los que apareció. En algunos casos hay variaciones mínimas de presentación o de redacción, las cuales se modificaron para la versión final del examen. En este documento se presenta solo una justificación de cada reactivo, pero puede haber diversas formas correctas de resolver los problemas, y por tanto, diversas formas de enfrentar un examen. Esperamos que este documento les sea útil para estudiar con más profundidad la materia y prepararse mejor para el examen de la final de este año, y para posteriores ediciones de la Olimpiada. Comité Académico XI Olimpiada Internacional de Lógica. BACHILLERATO: 1 Qué no se sigue de los siguientes enunciados? Juan, Pepe y Luis participan en un concurso de Lógica. Si Pepe gana, entonces Juan pierde. Si Luis gana, entonces Juan y Pepe empatan. Luis gana y Juan no pierde. a) Si Luis no gana, entonces Juan y Pepe no empatan. b) No es el caso que: Pepe no gana o Juan pierde. c) Luis no gana, o Juan y Pepe empatan. d) No es el caso que: Pepe gana o Juan pierde. e) Si Juan y Pepe no empatan, entonces Juan no pierde. Usando el diccionario: Gx: x gana. Px: x pierde. Exy: x y y empatan. Tenemos los enunciados: Gp: Pepe gana. Pj: Juan pierde. Gl: Luis gana. Ejp: Juan y Pepe empatan. La simbolización de las premisas sería: 1) Gp Pj 2) Gl Ejp 3) Gl Pj Si Luis no gana, entonces Juan y Pepe no empatan. No es el caso que: Pepe no gana o Juan pierde. Esta fórmula sí se sigue. Haciendo la prueba con deducción natural: 1) Gp Pj Premisa. 2) Gl Ejp Premisa. 3) Gl Pj Premisa. 4) Gl Simplificación 3 5) Gl Doble negación 4 6) Gl v Ejp Adición 5 7) Gl Ejp Implicación material. 6 Esta es la respuesta. Esta fórmula no se sigue. Un caso en el que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa se da con la asignación: Gl: V. Ejp: V. Pj: F. Gp: F. 1

2 Luis no gana, o Juan y Pepe empatan. No es el caso que: Pepe gana o Juan pierde. Si Juan y Pepe no empatan, entonces Juan no pierde. Esta fórmula sí se sigue. Haciendo la prueba con deducción natural: 1) Gp Pj Premisa. 2) Gl Ejp Premisa. 3) Gl Pj Premisa. 4) Gl Simplificación 3 5) Ejp Ponendo ponens 3,4. 6) Ejp v Gl Adición 5 7) Gl v Ejp Conmutativa. 6. Esta fórmula sí se sigue. 1) Gp Pj Premisa. 2) Gl Ejp Premisa. 3) Gl Pj Premisa. 4) Pj Simplificación 3 5) Gp Tollendo tollens 1, 4. 6) Pj Gp Conjunción 4,5 7) (Gp v Pj) Ley de Morgan 6 Esta fórmula sí se sigue. 1) Gp Pj Premisa. 2) Gl Ejp Premisa. 3) Gl Pj Premisa. 4) Pj Simplificación 3 5) Pj V Ejp Adición 4. 6) Ejp V Pj Conmutativa 5 7) Ejp Pj Implicación material 6. BACHILLERATO: 2 La mamá de Pepe le dice: Comes gelatina o flan, pero no ambos. Cuál de los siguientes enunciados es equivalente a éste? a) No comes gelatina o no comes flan. b) Comes gelatina y comes flan. c) No es el caso que: comes gelatina o comes flan. d) Comes flan y no comes gelatina. e) Comes gelatina si y sólo si no comes flan. El enunciado está presentando una disyunción exclusiva; que tiene la siguiente tabla. (G V F) (G F) V V V F F V V V V V F V V V F F F V V V V F F V F F F F V F F F 2

3 No comes gelatina o no comes flan. Comes gelatina y comes flan. No es el caso que: comes gelatina o comes flan. Comes flan y no comes gelatina. Comes gelatina si y sólo si no comes flan. Este enunciado no es equivalente porque es verdadero cuando las proposiciones comes gelatina y comes flan son falsas. Este enunciado no es equivalente porque es verdadero cuando las proposiciones comes gelatina y comes flan son verdaderas. Este enunciado no es equivalente porque es verdadero cuando las proposiciones comes gelatina y comes flan tienen el mismo valor de verdad; y falso cuando tienen distinto valor. Este enunciado no es equivalente porque es falso cuando la proposición comes gelatina es verdadera y la proposición comes flan es falsa. Esta es la respuesta. G F V F F V V V V F F V F V F F V F BACHILLERATO: 3. Qué enunciado es equivalente al siguiente?: Si no soy libre, no soy feliz. a) Soy libre o no soy feliz. b) Soy feliz o no soy libre. c) Si soy feliz, no soy libre. d) Soy libre o soy feliz. e) Soy libre si y sólo si soy feliz. Este enunciado solo es falso cuando el enunciado soy libre es falso; y el enunciado soy feliz es verdadero. Soy libre o no soy feliz. Esta es la respuesta correcta. Si se aplica la regla de implicación material al primer enunciado, se obtiene éste. Soy feliz o no soy libre. Si soy feliz, no soy libre. Soy libre o soy feliz. No es equivalente. Este enunciado es falso cuando el enunciado soy libre es verdadero y soy feliz es falso. No es equivalente. Este enunciado es falso cuando los enunciados soy libre y soy feliz son verdaderos. No es equivalente. Este enunciado es falso cuando ambos enunciados son falsos. 3

4 Soy libre si y sólo si soy feliz. No es equivalente. Este enunciado es falso cuando los dos enunciados tienen valores de verdad distintos. BACHILLERATO: 4. Considera el siguiente conjunto de premisas: {P (QVR), Q S, R T} Qué premisa hay que agregar para que se siga la fórmula: P? Añadiendo esta premisa no se sigue la conclusión. Una asignación S (T V M) que muestra esto se da con todas las variables de las letras proposicionales verdaderas. Con esta asignación, las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Añadiendo esta premisa no se sigue la conclusión. Una asignación (S V T) V M que muestra esto se da con todas las variables de las letras proposicionales verdaderas. Con esta asignación, las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Esta es la respuesta. Prueba con deducción natural: S ( T M) 1) P (Q V R) Premisa 2) Q S Premisa 3) R T Premisa 4) S ( T M) Premisa 5) S Simplificación 4 6) T M Simplificación 4 7) T Simplificación 6 8) Q Tollendo tollens 2,4. 9) R Tollendo tollens 3, 7. 10) Q R Conjunción 8,9 11) (Q V R) Ley de Morgan ) P Tollendo tollens 1, 11. S (M V T) Añadiendo esta premisa no se sigue la conclusión. Una asignación que muestra esto se da haciendo verdaderas a las letras P, R, M y T; y falsas a las letras Q y S. Con esta asignación, las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Añadiendo esta premisa no se sigue la conclusión. Una asignación S V ( M T) que muestra esto se da con todas las variables de las letras proposicionales verdaderas. Con esta asignación, las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. 4

5 BACHILLERATO: 5. Los inspectores 005, 006 y 007 están tratando de resolver el caso de quién o quiénes se comieron el pastel. Cada uno presenta un enunciado que aporta al caso. 005: Si Juan no se comió el pastel, entonces Luis tampoco. 006: Luis se comió el pastel y Juan también. 007: Pepe se comió el pastel o Luis se comió el pastel. Qué se sigue de la verdad de estos enunciados? a) Luis, Juan y Pepe comieron pastel. b) Si Luis comió pastel; entonces Juan no lo hizo y Pepe tampoco. c) Juan comió pastel; y Luis no lo hizo y Pepe tampoco. d) Si ni Luis ni Juan comieron pastel, entonces Pepe comió pastel. e) Luis y Juan comieron pastel; y Pepe no comió pastel. Considérese la siguiente simbolización: J: Juan se comió el pastel. L: Luis se comió el pastel. P: Pepe se comió el pastel. Esto no se sigue. Con la asignación de verdadero para los enunciados L Luis, Juan y Pepe comieron pastel. y J; y de falso para el enunciado P; se obtiene que las premisas son verdaderas, y la conclusión falsa. Si Luis comió pastel; entonces Juan no lo hizo y Pepe tampoco. Juan comió pastel; y Luis no lo hizo y Pepe tampoco. Esto no se sigue. Con la asignación de verdadero para los enunciados L, J y P; se obtiene que las premisas son verdaderas, y la conclusión falsa. Esto no se sigue. Con la asignación de verdadero para los enunciados L, J y P; se obtiene que las premisas son verdaderas, y la conclusión falsa. Si Luis no comió pastel o Juan tampoco, entonces Pepe comió pastel. Luis y Juan comieron pastel; y Pepe no comió pastel. Esta es la respuesta. 1) J L Premisa 2) L J Premisa 3) P V L Premisa 4) L Simplificación 2 5) J Simplificación 2 6) L Doble negación 4 7) J Doble negación 5 8) L J Conjunción 6,7. 9) ( L v J) Ley de Morgan 8. 10) ( L v J) V P Adición 9. 11) ( L v J) P Implicación material 10. Esto no se sigue. Con la asignación de verdadero para los enunciados L, J y P; se obtiene que las premisas son verdaderas, y la conclusión falsa. 5

6 BACHILLERATO: 6. LICENCIATURA: 1. Cuál de los siguientes enunciados expresa una contradicción? a) La Luna es roja y el Sol brilla; o la Luna no es roja y el Sol no brilla. b) El Sol brilla y no es cierto que el Sol no brilla; o el Sol no brilla si y solo si brilla. c) La Luna es roja y la Luna no es roja; o si el Sol brilla, entonces brilla. d) El Sol brilla si y solo si el Sol no brilla; o la Luna no es roja si y solo si es roja. e) Si la Luna es roja entonces no es roja; o si la Luna no es roja, entonces es roja. La Luna es roja y el Sol brilla; o la Luna no es roja y el Sol no brilla. El Sol brilla y no es cierto que el Sol no brilla; o el Sol no brilla si y solo si brilla. La Luna es roja y la Luna no es roja; o si el Sol brilla, entonces brilla. El Sol brilla si y solo si el Sol no brilla; o la Luna no es roja si y solo si es roja. Si la Luna es roja entonces no es roja; o si la Luna no es roja, entonces es roja. Respuesta Incorrecta. Esta proposición no es una contradicción. (N & D) v ( N & D) V V V V F V F F V F F F V V F V V F V F F F F V F V F F F V F V F F F V Respuesta Incorrecta. Esta proposición no es una contradicción. (B & B) v ( B B) V V V F V V F V F V F F F V F F V F F F Respuesta Incorrecta. Esta proposición no es una contradicción. (N & N) v (B B) V F F V V V V V V F F V V F V F F F V F V V V V F F V F V F V F Respuesta Correcta. Esta proposición es una contradicción. (B B) v ( N N) V F F V F F V F V V F F V F V F F F F F V F F F V F V F F V F F V F F F Respuesta Incorrecta. Esta proposición no es una contradicción. (N N) v ( N N) V F F V V F V V V V F F V F V F F F 6

7 BACHILLERATO: 7. Cuál proposición es equivalente a la siguiente? Si puedo conducir un tractor, tengo más de 20 años. a) Si no tengo más de 20 años, puedo conducir un tractor. b) Si no tengo más de 20 años, no puedo conducir un tractor. c) Si tengo más de 20 años, puedo conducir un tractor. d) Si tengo más de 20 años, no puedo conducir un tractor. e) Si no es el caso que no tenga más de 20 años, puedo conducir un tractor. Si puedo conducir un tractor, entonces tengo más de 20 años se simboliza como p q, donde p = puedo conducir un tractor, q = tengo más de 20 años. Aplicando una transposición obtenemos -q -p, lo cual se traduce como Si no tengo más de 20 años, entonces no puedo conducir un tractor. Si no tengo más de 20 años, puedo conducir un La valuación q=f y p=f satisface a la premisa pero no a la tractor. conclusión. Si no tengo más de 20 años, entonces no puedo Ver preámbulo de la justificación. conducir un tractor. Si tengo más de 20 años, entonces puedo conducir La valuación q=v y p=f satisface a la premisa pero no a la un tractor. conclusión. Si tengo más de 20 años, entonces no puedo La valuación q=v y p=v satisface a la premisa pero no a la conducir un tractor. conclusión. Si no es el caso que no tenga más de 20 años, entonces puedo conducir un tractor. BACHILLERATO: 8. LICENCIATURA: 5. MASTERS: 1. La valuación q=v y p=f satisface a la premisa pero no a la conclusión. Te aseguro le dice Holmes a Watson- que si Moriarty estuvo en Londres, asesinó accidentalmente a los leones del Palacio de Buckingham. Pues yo digo contesta Watson- que si Moriarty no estuvo en Londres, asesinó accidentalmente a los leones del Palacio de Buckingham. Qué se sigue de lo dicho por Holmes y Watson? Que Moriarty no estuvo en Londres y asesinó premeditadamente a los leones. Que Moriarty sí estuvo en Londres pero no asesinó accidentalmente a los leones. Usando las letras: L= Moriarty estuvo en Londres. A= Moriarty asesinó accidentalmente a los leones. Y simbolizando las premisas como L->A y ~L->A, y la conclusión como ~L & A es claro que no se sigue, pues al valuación L=V y A=V satisface a las premisas y no a la conclusión. Usando las letras: L= Moriarty estuvo en Londres. A= Moriarty asesinó accidentalmente a los leones. Y simbolizando las premisas como L->A y ~L->A, y la conclusión como L & ~A es claro que no se sigue, pues al valuación L=V y A=V satisface a las premisas y no a la conclusión. 7

8 Que Holmes asesinó premeditadamente a los leones o Moriarty lo hizo accidentalmente. Que Watson asesinó accidentalmente a los leones o Moriarty los asesinó premeditadamente. Que Holmes ni Watson asesinaron accidentalmente a los leones del palacio de Buckingham. Usando las letras: L= Moriarty estuvo en Londres. A= Moriarty asesinó accidentalmente a los leones. H= Holmes asesinó premeditadamente a los leones. Y simbolizando las premisas como L->A y ~L->A, y la conclusión como H v A, se sigue, partiendo de L v ~L (teorema) llegamos a A por dilema, y después H v A por adición. Usando las letras: L= Moriarty estuvo en Londres. A= Moriarty asesinó accidentalmente a los leones. W= Watson asesinó accidentalmente a los leones. Y simbolizando las premisas como L->A y ~L->A, y la conclusión como W v ~A se puede ver que no se sigue, pues la valuación W=F A=V L=F satisface a las premisas pero no a la conclusión. Usando las letras: L= Moriarty estuvo en Londres. A= Moriarty asesinó accidentalmente a los leones. H= Holmes asesinó premeditadamente a los leones. W= Watson asesinó accidentalmente a los leones. Y simbolizando las premisas como L->A y ~L->A, y la conclusión como ~H & ~W, es claro que no se sigue pues la valuación L=V A=V H=V W=F satisface a las premisas pero no a la conclusión. BACHILLERATO: 9. LICENCIATURA: 3. Suponiendo que una y sólo una de la siguientes oraciones es verdadera, cuál es? Hay un mexicano que no es guapo. No puede ser esta opción, pues es equivalente a la opción c). Javier es mexicano. No puede ser esta opción pues implica la opción d). No todos los mexicanos son guapos. No puede ser esta opción, pues es equivalente a la opción a). Hay por lo menos un mexicano. Javier es mexicano y es guapo. Esta es la respuesta. La situación que la hace verdadera es en la que Javier no es mexicano, pero hay un mexicano y todos los mexicanos son guapos. No puede ser esta opción pues implica la opción d). 8

9 BACHILLERATO: 10. Qué asignación de valores demuestra que la siguiente fórmula no es una tautología? ( (S & S) & P) (((Q R) S) & ((Q R) S)) a) V(P) = V V(Q) = V V(R) = F V(S) = V b) V(P) = V V(Q) = F V(R) = V V(S) = F c) V(P) = F V(Q) = F V(R) = F V(S) = V d) V(P) = F V(Q) = F V(R) = F V(S) = F e) V(P) = V V(Q) = F V(R) = F V(S) = V Para responder a esta pregunta es oportuno ver que la fórmula que se da es equivalente a una más simple: [~ S ~S) P] (Q R ) ~S] (Q R ) S Equivale a : [~ S ~S) P] (Q R ) ~S S) (por distribución). Pero esto a su vez, equivale a [~ S ~S) P] (Q R ) sto, en realidad equivale a: P (Q R ) De modo que necesitamos una asignación de valores que haga falso éste bicondicional. Para lo cual es indistinto el valor de verdad de S V(P) = V V(Q) = V V(R) = F V(S) = V V(P) = V V(Q) = F V(R) = V V(S) = F V(P) = F V(Q) = F V(R) = F V(S) = V V(P) = F V(Q) = F V(R) = F V(S) = F V(P) = V V(Q) = F V(R) = F V(S) = V BACHILLERATO: 11. Esta opción no es la correcta. Pues hace verdaderos ambos lados del bicondicional. De modo que éste es verdadero también. Esta opción no es la correcta. Pues hace verdaderos ambos lados del bicondicional. De modo que éste es verdadero también. Esta opción no es la correcta. Pues hace verdaderos ambos lados del bicondicional. De modo que éste es verdadero también. Esta opción no es la correcta. Pues hace verdaderos ambos lados del bicondicional. De modo que éste es verdadero también. Ésta es la respuesta correcta. P es verdadero. Pero como Q y R son falsos, la disyunción Q R es falsa. Lo cual hace verdadeo un lado del bicondicional y falso el otro. De modo el bicondicional es falso. No es cierto que: o no existe la maldad o los hombres no somos felices. Qué se sigue? No existe la maldad Ni somos felices ni existe la maldad No somos felices Somos felices y existe la maldad O no somos felices o no existe la maldad La valuación M=v y F=v satisface a la premisa y no a la conclusión. La valuación M=v y F=v satisface a la premisa y no a la conclusión. La valuación M=v y F=v satisface a la premisa y no a la conclusión. Se sigue por teorema de De Morgan. La valuación M=v y F=v satisface a la premisa y no a la conclusión. 9

10 BACHILLERATO: 12. LICENCIATURA: 7. Qué proposición no se sigue de las siguientes premisas? Si Neo está en la Matrix entonces no vive en el mundo real. Si Trinity vive en el mundo real, entonces Neo no está en la Matrix. Neo está en la Matrix o Trinity vive en el mundo real. a) Si Trinity vive en el mundo real, Neo vive en el mundo real. b) Si Trinity vive en el mundo real, Trinity vive en el mundo real. c) Si Neo no está en la Matrix, Trinity vive en el mundo real. d) Si Neo está en la Matrix, Neo está en la Matrix. e) Trinity no vive en el mundo real o Trinity vive en el mundo real. Simbolicemos de la siguiente manera: T: Trinity vive en el mundo real. N: Neo está en la Matrix. V: Neo vive en el mundo real. A partir de esto, podemos hacer las siguientes inferencias lógicas: 1) N V Premisa 1 2) T N Premisa 2 3) N V T Premisa 3 4) N T Aplicando la Regla de la Implicación sobre la proposición del paso 3. 5) T T Aplicando la Regla del Silogismo hipotético entre las proposiciones del paso 2 y 4. 6) N N Aplicando la Regla del Silogismo hipotético entre las proposiciones del paso 2 y 4. 7) T V T Aplicando la Regla de la Implicación en la proposición del paso 5. 8) N N Aplicando la Regla Contrapositiva en la proposición del paso 6. Si Trinity vive en el mundo real, Neo vive en el mundo real. Si Trinity vive en el mundo real, vive en el mundo real. Si Neo no está en la Matrix, Trinity vive en el mundo real. Respuesta Correcta. No se sigue por las proposiciones obtenidas en los pasos 5 y 6. Respuesta Incorrecta. Sí se sigue. Es el paso 5 de la prueba del preámbulo. Respuesta Incorrecta. Sí se sigue. Es el paso 4 de la prueba del preámbulo. Si Neo está en la Matrix, Neo está en la Matrix. Trinity no vive en el mundo real o vive en el mundo real. Respuesta Incorrecta. Sí se sigue. Es el paso 8 de la prueba del preámbulo. Respuesta Incorrecta. Sí se sigue. Es el paso 7 de la prueba. 10

11 BACHILLERATO: 13. Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones? Juan va al cine si y solo si María no va. María no fue al cine ayer. Juan fue al cine hoy. a) Ni Juan ni María fueron hoy al cine. b) O bien Juan no fue al cine ayer, o bien María no fue al cine ayer. c) O Juan no fue al cine hoy, o María no fue al cine hoy. d) Juan fue ayer al cine, pero no fue María. e) O bien Juan fue hoy al cine, o bien María lo hizo. Dada la información que se ofrece, todos los días o Juan o María van al cine, pero nunca los dos. Como ayer no fue María, ayer fue Juan. Como hoy fue Juan, hoy no fue María. Es decir, sabemos que: 1) Juan fue al cine Ayer y Hoy. 2) María no fue Ayer, ni fue Hoy. En consecuencia, la respuesta es la opción A. Ni Juan ni María fueron hoy al cine. Ver preámbulo de la justificación. Como cada día va uno de los dos, esto no puede seguirse y es la respuesta. O bien Juan no fue al cine ayer, o bien María no fue al cine ayer. O Juan no fue al cine hoy, o María no fue al cine hoy. Juan fue ayer al cine, pero no fue María. O bien Juan fue hoy al cine, o bien María lo hizo. BACHILLERATO: 14. LICENCIATURA: 14. MASTERS: 11. Ver preámbulo de la justificación. No es la respuesta, porque sabemos que María no fue al cine ayer lo que hace verdadera la afirmación, y se sigue de las premisas. Se sigue, porque María no fue al cine hoy. Se sigue, porque ambas cosas sucedieron. Se sigue, porque Juan fue al cine hoy. Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones? Si Walter salva a Jesse, entonces Walter se enemista con Gustavo. Si Walter se enemista con Gustavo, entonces Jesse le hará algo malo a Gael. Pero no es el caso que: Si Jesse no le hace algo malo a Gael, entonces Jesse sale bien librado de todo. Se sigue que 1) Jesse no le hace algo malo a Gael, 2) Jesse no sale bien librado de todo, 3) Walter no se enemista con Gustavo y 4) Walter no salva a Jesse. Si Walter salva a Jesse, entonces Jesse sale bien librado de todo. Incorrecto, sí se sigue, pues se sigue de que Walter no salva a Jesse. Ver el Preámbulo. Walter salva a Jesse y Jesse sale bien librado de todo. Correcto, no se sigue. Ver el Preámbulo Ni Walter salva a Jesse, ni Jesse sale bien librado de todo. Incorrecto, sí se sigue. Ver el Preámbulo Walter salva a Jesse sii Jesse le hace algo malo a Gael. Incorrecto, sí se sigue. Ver el Preámbulo Si Jesse sale bien librado de todo, entonces Walter no se Incorrecto, sí se sigue. Ver el Preámbulo enemista con Gustavo. 11

12 BACHILLERATO: 15. Qué se sigue de: Si voy a Mazatlán, entonces no voy a Cancún. Si no trabajo, voy a Cancún. No trabajo.? Simbolicemos para facilitar la explicación: p = voy a Mazatlán, q = voy a Cancún, r =voy al trabajo. 1. p -q 2. -r q 3. -r 4. q Modus ponens (2,3) 5. --q Doble negación (4) 6. -p Modus tollens (1,5) Que se traduce como No voy a Mazatlán. Voy a Mazatlán La valuación p=f y q=v r=f satisface a las premisas y no satisface a la conclusión. No voy a Mazatlán. Ver preámbulo a la justificación. No voy a Cancún. No voy ni a Mazatlán ni a Cancún Voy a a Mazatlán y no voy a Cancún. La valuación p=f y q=v r=f satisface a las premisas y no satisface a la conclusión ~q. Simbolizando como ~p&~q, la valuación p=f y q=v r=f satisface a las premisas y no satisface a la conclusión. Simbolizando como p&~q, la valuación p=f y q=v r=f satisface a las premisas y no satisface a la conclusión. BACHILLERATO: 16. LICENCIATURA: 9. Alicia y el sombrerero se encuentran en el camino y sostienen una enigmática conversación. Alicia dice: Si las rosas son rojas, entonces los lirios no son azules. El sombrerero dice: Las rosas son blancas y amarillas; y los lirios son azules o son verdes. Considerando que Alicia siempre dice mentiras y el sombrerero siempre dice la verdad; podemos determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados, excepto de uno. Cuál es ese enunciado? Dado que Alicia dice mentiras, el condicional que menciona debe ser falso. En consecuencia, el antecedente debe ser verdadero y el consecuente falso. Así, el enunciado Las rosas son rojas es verdadero; y Los lirios son azules también es verdadero. Como el sombrerero dice la verdad, y su enunciado es una conjunción; ambas partes de la conjunción deben ser verdaderas; por lo cual los enunciados de la primera parte de la conjunción Las rosas son blancas y Las rosas son amarillas deben ser verdaderos ambos. La segunda parte de la conjunción es una disyunción, por lo cual basta que uno de los enunciados que lo forman sea verdadero, para que esa parte sea verdadera. Como por lo que dijo Alicia sabemos que los lirios son azules es verdadero; entonces el enunciado los lirios son verdes puede ser tanto verdadero como falso. Los lirios son azules. Respuesta Incorrecta. Este no es la respuesta; pues es un enunciado verdadero de acuerdo a la explicación dada en la justificación. 12

13 Las rosas son rojas. Las rosas son blancas. Los lirios son verdes. Las rosas son amarillas. Respuesta Incorrecta. Este no es la respuesta; pues es un enunciado verdadero de acuerdo a la explicación dada en la justificación. Respuesta Incorrecta. Este no es la respuesta; pues es un enunciado verdadero de acuerdo a la explicación dada en la justificación. Respuesta Correcta. Esta es la respuesta correcta. Este enunciado podría ser verdadero o podría ser falso, tal y como se explica en la justificación. Respuesta Incorrecta. Este no es la respuesta; pues es un enunciado verdadero de acuerdo a la explicación dada en la justificación. BACHILLERATO: 17. LICENCIATURA: 11. Si α es una tautología y β es una fórmula contingente. Cuál de las siguientes fórmulas es una contradicción? a) α & β b) α (β & β) c) β α d) (α α) & (β β) e) (α α) & β α & β Esta fórmula es contingente, pues se imponen los valores de β dado que el conectivo principal es una conjunción y el otro conyunto es una tautología. α (β & β) Esta fórmula es una tautología, pues se imponen los valores de α dado que el conectivo principal es una disyunción y α es una tautología. β α Esta fórmula es una tautología, dado que el conectivo principal es un condicional, y el consecuente de la fórmula es una tautología. (α α) & (β β) Esta fórmula es una tautología; pues es la conjunción de dos fórmulas tautológicas. (α α) & β Esta es la respuesta. El antecedente de la fórmula es equivalente a ( α V α) y como α es una tautología; la disyunción es una contradicción; y como está unida en conjunción con β, el resultado final es una contradicción. 13

14 BACHILLERATO: 18. Una invasión zombie asola a la ciudad, pero sólo ataca a quienes dicen contingencias. Los zombies se enfrentan a un grupo de amigos y los obligan a hablar. Luis dice: No es el caso que: no tengo miedo si y sólo si no tengo miedo. Pepe dice: No es el caso que: tengo miedo o no tengo miedo. Carlos dice: No es el caso que: si no tengo miedo entonces tengo miedo. Cuál de las siguientes opciones muestra una parte de lo que hacen los zombies? Luis no dice una contingencia. Su enunciado es una contradicción. ( M M) F F V V F V F V F V V F Pepe también dice una contradicción. (M V M) F V V F V F F V V F Carlos sí dice una contingencia. ( M M) F F V V V V V F F F En consecuencia, los zombies atacarán a Carlos, pero no a Luis ni a Pepe. Atacan a Pepe, pero no a Luis. Respuesta Incorrecta. Esta no es la respuesta, pues ni Pepe ni Luis dicen una contingencia. Atacan a Carlos y a Pepe. Respuesta Incorrecta. Esta no es la respuesta, pues Pepe no dice una contingencia. Atacan a Luis y no a Carlos. Respuesta Incorrecta. Esta no es la respuesta correcta; pues Luis no dice una contingencia, y Carlos sí lo hace. Atacan a Luis y a Carlos. Atacan a Carlos y no a Pepe. Respuesta Incorrecta. Esta no es la respuesta correcta; pues Luis no dice una contingencia. Respuesta Correcta. Carlos dice una contingencia y Pepe no. BACHILLERATO: 19. LICENCIATURA: 13. MASTERS: 27. Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. En una ocasión, hubo una epidemia que causaba que los caballeros enfermos siempre dijesen mentiras y que los bribones enfermos siempre dijesen la verdad. Cuál de las siguientes oraciones puede ser dicha por un caballero enfermo? 14

15 Tendría que ser algo que dicho por un caballero enfermo sea falso. Soy un caballero. Incorrecto, pues es verdadero. Si soy un caballero, entonces estoy enfermo. Incorrecto, pues el nativo sí esta enfermo, en consecuencia el condicional es verdadero sin importar si es caballero. Soy un bribón enfermo. Correcto, pues es falso. O bien soy un caballero enfermo o bien soy un bribón enfermo. Si estoy sano, entonces soy un caballero. Incorrecto, pues es verdadero el primer disyunto. Incorrecto, pues el consecuente es verdadero. BACHILLERATO: 20. Una segunda oleada de zombies ataca a la ciudad; pero estos sólo atacan a los que no traducen sus dichos tal y como ellos lo requieran. Los zombies se encuentran a Rodrigo en el camino y le dicen: Si no quieres convertirte en zombie, debes decir un enunciado equivalente a: Si soy un zombie, entonces no estoy vivo y no estoy muerto, usando solo conjunciones y negaciones. Qué debe decir Rodrigo para no ser atacado por los zombies? a) Soy un zombie, y estoy vivo y estoy muerto. b) No es el caso que: no soy un zombie, y no es el caso que, estoy vivo y estoy muerto. c) No es el caso que: soy un zombie, y no es el caso que, no estoy vivo y no estoy muerto. d) No es el caso que: no soy un zombie, y no es el caso que, estoy vivo y no estoy muerto. e) No soy un zombie, y no estoy vivo y no estoy muerto. El enunciado para Rodrigo puede simbolizarse así: 1) Z ( V & M) 2) Z v ( V & M) Implicación material. 3) Z v ( V & M) Doble negación. 4) (Z & ( V & M)) Ley de Morgan Soy un zombie y estoy vivo y estoy No es la respuesta. Con la asignación de todas las fórmulas verdaderas, muerto. la fórmula original es falsa y la de esta opción es verdadera. No es el caso que: no soy un zombie, y no es el caso que, estoy vivo y estoy muerto. No es el caso que: soy un zombie, y no es el caso que: no estoy vivo y no estoy muerto. No es el caso que: no soy un zombie, y no es el caso que, estoy vivo y no estoy muerto. No es la respuesta. Con la asignación de todas las fórmulas verdaderas, la fórmula original es falsa y la de esta opción es verdadera. Respuesta Correcta. Esta es la respuesta correcta. Ver preámbulo de la justificación. No es la respuesta. Con la asignación de todas las fórmulas verdaderas, la fórmula original es falsa y la de esta opción es verdadera. 15

16 No soy un zombie y no estoy vivo y no estoy muerto. No es la respuesta. Con la asignación de todas las fórmulas falsas, la fórmula original es falsa y la de esta opción es verdadera. BACHILLERATO: 21. LICENCIATURA: 6. Todas las orugas se arrastran y Katy es una oruga. Cuál es la negación de lo anterior? a) Todas las orugas no se arrastran y Katy no es una oruga. b) Alguna oruga no se arrastra o Katy no es una oruga. c) Katy se arrastra. d) Es falso que todas las orugas se arrastran pero es verdad que Katy es una oruga. e) Katy no se arrastra Todas las orugas se arrastran y Katy es una oruga se simboliza como x (Ox Ax) Ok, donde Ox: x es una oruga, Ax: x se arrastra y k: Katy. La negación de la fórmula es ( x (Ox Ax) Ok), aplicando De Morgan a la fórmula se obtiene - x(ox Ax) v Ok y de ahí, x-(ox->ax) v -Ok que equivale a x(ox -Ax) v -Ok, por implicación material, que se traduce como Alguna oruga no se arrastra o Katy no es una oruga. Katy se arrastra. Ver preámbulo. Katy no se arrastra. Ver preámbulo. Todas las orugas no se arrastran y Katy no es una oruga. Ver preámbulo. Alguna oruga no se arrastra o Katy no es una oruga. Ver preámbulo. Es falso que todas las orugas se arrastran pero es verdad que Katy es Ver preámbulo. una oruga. BACHILLERATO: 22. Cuál es la negación lógica de la siguiente proposición? Si juntamos los dados y los aventamos, ganaremos el juego. a) Si no juntamos los dados y los aventamos, entonces no ganaremos el juego. b) Si no juntamos los dados o no los aventamos, entonces no ganaremos el juego. c) No es cierto que: si no ganamos el juego, entonces juntamos los dados y los aventamos. d) No es cierto que: si no ganamos el juego, entonces o bien no juntamos lo dados o no los aventamos. e) O juntamos los dados y los aventamos, o no ganamos el juego. 16

17 La tabla de la negación de esta fórmula es la siguiente: [(D & A) G] F V V V V V V V V V F F F V F F V V F V F F V F F F F V V V F F F V V F F F F F V V F F F F V F Si no juntamos los dados y los aventamos, entonces no ganaremos el juego. Respuesta incorrecta. Con la asignación D=V; A=V y G=V; la fórmula da V y no F como en la tabla del preámbulo. Si no juntamos los dados o no los aventamos, entonces no ganaremos el juego. No es cierto que: si no ganamos el juego, entonces juntamos los dados y los aventamos. No es cierto que: si no ganamos el juego, entonces o bien no juntamos lo dados o no los aventamos. O juntamos los dados y los aventamos, o no ganamos el juego. Respuesta incorrecta. Con la asignación D=V; A=V y G=V; la fórmula da V y no F como en la tabla del preámbulo. Respuesta incorrecta. Con la asignación D=V; A=F y G=F; la fórmula da V y no F como en la tabla del preámbulo. Respuesta correcta. La fórmula es equivalente a la original, aplicando primero transposición, y luego Ley De Morgan al consecuente del nuevo condicional. Respuesta incorrecta. Con la asignación D=V; A=V y G=V; la fórmula da V y no F como en la tabla del preámbulo. BACHILLERATO 23 Considera la proposición molecular: P (Q & R). Suponiendo que la proposición atómica R es falsa, cuál es el valor de verdad de la proposición molecular? a) Es el mismo que el de Q. b) Es el mismo que el de P. c) Es necesariamente falsa. d) Es el mismo que el de P Q. e) Es necesariamente verdadera. Las tablas asociadas a las condiciones del ejercicio son: P (Q & R) V V V V V F V F F F V F F V V V V F F V F F V F 17

18 Es el mismo que el de Q. Respuesta incorrecta. La tabla de Q no corresponde al resultado de la tabla en el preámbulo. Es el mismo que el de P. Q V F V F Respuesta incorrecta. La tabla de P no corresponde al resultado de la tabla en el preámbulo. Es el mismo que el de P Q. P V V F F Respuesta correcta. La tabla de este condicional es: P Q V V V V F F F V V F V F La cual es equivalente a la del preámbulo de la justificación. Es necesariamente verdadera. Respuesta incorrecta. La fórmula no es una tautología. Ver preámbulo de la justificación. Es necesariamente falsa. Respuesta incorrecta. La fórmula no es una contradicción. Ver preámbulo de la justificación. BACHILLERATO: 24. Cuál de las siguientes fórmulas corresponde a una tautología? a) (Q & Q) (P P) b) (Q & Q) (P P) c) (P & P) (Q & Q) d) (P P) (Q & Q) e) (P & P) (Q Q) 18

19 (Q & Q) (P P) Esta es la respuesta. Como el antecedente del condicional es una contradicción, el condicional siempre es verdadero. (Q & Q) (P P) Esta fórmula es contingente. Como una parte del bicondicional es una contradicción, el resultado depende de la otra fórmula. En este caso, la disyunción es una contingencia, por lo que el bicondicional es contingente. (P & P) (Q & Q) Esta fórmula es contingente. Con la asignación: P=V y Q=F el condicional es falso. Y con la asignación P=V y Q=V el condicional es verdadero. (P P) (Q & Q) Esta fórmula es contingente; como el consecuente es una contradicción, el resultado del condicional depende del antecedente, el cual es una contingencia. Esta fórmula es una contradicción. Dado que el primer elemento (P & P) (Q Q) del bicondicional es una contradicción y el segundo una tautología. BACHILLERATO: 25. LICENCIATURA: 18 Considera el conjunto de premisas: {P Q, Q R, R S} Qué premisa hay que añadir para obtener una contradicción? a) R M b) S R c) Q & R d) M R e) P & S R M S R Q & R M R Respuesta Incorrecta. Introducir esta premisa no se infiere una contradicción. Respuesta Incorrecta. Introducir esta premisa no permite obtener la conclusión. Pruébese esto con las asignaciones: S=V. M=F. P=V. Q=F. R=V. Respuesta Incorrecta. Introducir esta premisa no permite obtener la conclusión. Pruébese esto con las asignaciones: S=V. M=F. P=F. Q=F. R=F. Respuesta Incorrecta. Introducir esta premisa no permite obtener la conclusión. Pruébese esto con las asignaciones: S=V. M=F. P=F. Q=F. R=V. 19

20 P & S Respuesta Correcta. Esta es la respuesta correcta. Al simplificar P y S, por ponendo ponens se puede obtener Q, y con un nuevo ponendo ponens se obtiene R. Y con un silogismo disyuntivo se obtiene S; con lo que vemos que las premisas se vuelven contradictorias, y entonces se sigue cualquier cosa. BACHILLERATO: 26. LICENCIATURA: 26. MASTERS: 10. Supongamos que conocemos al señor Gómez. El señor Gómez un día sólo dice la verdad y el siguiente sólo dice mentiras y el siguiente sólo dice la verdad, etc. (aunque puede ser que se quede callado durante el día y no diga nada en cualquiera de los dos casos). Un día Juan visita al señor Gómez, pero Juan no sabe si ese día le toca decir la verdad o le toca mentir. Entonces el señor Gómez dijo algo, tal que Juan pudo inferir que ese día el señor Gómez sólo diría mentiras. Qué dijo el señor Gómez? Tiene que ser algo que sea falso en todos los casos. Es importante considerar que es posible que el Señor Gómez no diga nada en un día, así puede ser cierto que todo lo dicho en ese día sea falso o verdadero por vacuidad. Ayer dije una mentira. Incorrecto, lo puede decir cualquier día y puede ser verdadero o falso. Ayer no dije ninguna mentira. Ayer no dije nada falso, hoy tampoco diré nada falso. Hoy no he dicho mentiras. Ayer dije algo verdadero y hoy sólo diré la verdad. Incorrecto, si el día anterior no dijo nada, entonces puede ser cierto el día que le toca decir la verdad. Incorrecto, si el día anterior no dijo nada, entonces puede ser cierto el día que le toca decir la verdad. Incorrecto, es verdadero el día que le toca decir la verdad. Correcto, no puede ser verdadero en ninguna circunstancia. BACHILLERATO 27 Margarita, una niña de nueve años, pero muy conocedora de la lógica clásica, escribía una carta a los Reyes Magos pidiendo que bajo ninguna circunstancia hicieran lo siguiente: llevarle un monociclo siempre y cuando no le llevaran unas rodilleras. El Día de Reyes Margarita recibió exactamente dos regalos, y estuvo muy contenta cuando descubrió de qué se trataba. Cuál de las siguientes situaciones no la hubiera satisfecho? a) Recibir un monociclo y unas rodilleras. b) No recibir un monociclo ni unas rodilleras. c) Recibir o bien un monociclo, o bien unas rodilleras, pero no ambas. d) Recibir un monociclo si y solo si recibe unas rodilleras. e) Si recibía un monociclo, recibir unas rodilleras; y si recibía unas rodilleras, recibir un monociclo. 20

21 Para responder a esta pregunta es útil notar que la petición de Margarita tiene la siguiente forma lógica: ~(m ~r) Donde: m: Margarita recibe un monociclo. r: Margarita recibe unas rodilleras. La pregunta se refiere a las condiciones de verdad de dicha fórmula, por lo cual es útil recordar que: ~(α β) (α ~β) Por lo cual: ~(m ~r) (m r) De este modo, satisfacer la petición de Margarita no es más que garantizar la verdad de (m r) Por lo cual, la respuesta correcta será aquella que no satisfaga a esta fórmula. Recibir un monociclo y unas rodilleras. No recibir un monociclo ni unas rodilleras. Recibir o bien un monociclo o bien unas rodilleras, pero no ambas. Recibir un monociclo si y sólo si recibe unas rodilleras. En este caso tanto m como r son verdaderas, por lo tanto (m r) es verdadera, con lo cual se satisface la petición de Margarita. Así, esta respuesta no es la correcta. En este caso tanto m como r son falsas, por lo tanto (m r) es verdadera, con lo cual se satisface la petición de Margarita. Así, esta respuesta no es la correcta. En este caso, o bien m o bien r es verdadera, pero no lo son ambas, de este modo (m r) es falsa, con lo cual se no satisface la petición de Margarita. Así, esta respuesta es la correcta. En este caso tenemos que o bien tanto m como r son verdaderas o bien tanto m como r son ambas falsas, lo cual en cada caso hace verdadera a (m r), con lo cual se satisface la petición de Margarita. Por tanto, esta respuesta no es la correcta. Si recibía un monociclo, recibir unas rodilleras; y si recibía unas rodilleras, recibir un monociclo. Esta respuesta sí satisface, pues es equivalente a la opción d. BACHILLERATO: 28. Considera el conjunto de premisas Γ: {(P P) I, ( I & P) (F ( N R)), F & (P & N)} Qué conclusión no es lógicamente implicada por el conjunto Γ? a) ( F & I) A b) R c) R d) (P P) e) R R 21

22 Se sigue. ( F & I) A Haciendo deducción natural: 1. (P P) I Premisa 2. ( I & P) (F ( N R)) Premisa 3. F & (P & N) Premisa 4. F Simplificación 3 5. (P & N) Simplificación 3 6. P Simplificación 5 7. N Simplificación 5 8. P P Adición 6 9. I Ponendo Ponens 1, I v F v A Adición (F v I) v A Conmutativa y asociativa ( F & I) v A Ley de Morgan ( F & I) A Implicación material. ~R Esta es la correcta. Se demuestra que no se sigue con las siguientes valuaciones: P=V. I= F. F=F. N=F. R=V. R Se sigue. Haciendo deducción natural: 14. (P P) I Premisa 15. ( I & P) (F ( N R)) Premisa 16. F & (P & N) Premisa 17. F Simplificación (P & N) Simplificación P Simplificación N Simplificación P P Adición I Ponendo Ponens 1, I & P Conjunción 6, F ( N R) Ponendo Ponens 2, N R Silogismo disyuntivo. 4, R Ponendo Ponens 7, 12. (P v ~P) Es tautología, por lo que se sigue. ~R R Es equivalente a C. Por implicación material queda R v R. Y por idempotencia queda R. 22

23 BACHILLERATO: 29. Cuál es la mejor simbolización para el enunciado: Me caso sólo si heredo una fortuna? Considera el siguiente diccionario: M: Me caso. H: Heredo una fortuna. a) H M b) H M c) M H d) M H e) H M En este caso, el enunciado nos está dando a entender que en el caso de quien dice la afirmación, una condición necesaria para casarse es heredar una fortuna. Otra forma de entenderlo es así: "Si no heredo una fortuna, no me caso"; lo cual es justamente, equivalente a "Si me caso, heredo una fortuna. H Incorrecta. Ver preámbulo de la justificación. H M Incorrecta. Ver preámbulo de la justificación. M Correcta. Ver preámbulo de la justificación. M ~H Incorrecta. Ver preámbulo de la justificación. ~H ~M Incorrecta. Ver preámbulo de la justificación. BACHILLERATO: 30. LICENCIATURA: 30. MASTERS: 30. Los siguientes símbolos representan las operaciones lógicas Y, O, NEGACION respectivamente. Considerando el siguiente diagrama: Cuál de las siguientes fórmulas es la traducción del diagrama al lenguaje usual de la lógica proposicional? a) ( (P Q) & R) (R ( Q & S)) b) ((P Q )& R) (R ( Q & S)) c) ((P Q) & R) (R ( Q & S)) d) ( (P Q)& R) (R ( Q & S)) e) ( (P & Q) R) & (R & ( Q S)) 23

24 Las expresiones lógicas pueden ser representadas a través de circuitos electrónicos digitales como son las compuertas lógicas. Las compuertas responden a voltajes aplicados en sus entradas. Para un valor de 0 lógico se emplea un rango de 0.2V-0.8V, mientras que para el 1 lógico el rango va de 2.4V-5V. Las entradas representan las proposiciones primitivas en un sistema de lógica a través del cual se puede formar una tabla de verdad para analizar proposiciones compuestas. ( (P Q)& R) (R ( Q& S)) ((P Q)& R) (R ( Q& S)) ((P Q)& R) (R ( Q& S)) ( (P Q)& R) (R ( Q& S)) ( (P&Q) R) & (R&( Q S)) Respuesta Incorrecta. La operación lógica (R ( Q& S)) debe estar negada debido a que entra a una compuerta que realiza la operación de NEGACION. Respuesta Incorrecta. La operación lógica (P Q) debe estar negada debido a que entra a una compuerta que realiza la operación de NEGACION. Respuesta Incorrecta. Las operaciones lógicas (R ( Q& S)) y (P Q) debe estar negada debido a que entran a una compuerta que realiza la operación de NEGACION, cada una de manera independiente. Respuesta Correcta. La salida de cada compuerta lógica genera la expresión representada. Respuesta Incorrecta. Las operaciones lógicas representadas por el & y están invertidas en la expresión resultante. LICENCIATURA: 2. MASTERS: 4. Cuando el rey Euristeo ordenó a Hércules robar las manzanas de oro del jardín de las Hespérides, el héroe fue a consultar a las Moiras, las tres hilanderas, para saber si tendría suerte en su empresa. Cloto le dijo: sólo si matas al dragón Ladón robarás las manzanas. Láquesis agregó: o bien matarás al dragón y besarás a las Hespérides o bien no matarás al dragón ni besarás a las Hespérides. Hasta ese momento todo iba bien, pero en cuanto Átropos habló, Hércules supo que no cumpliría con su misión. Qué le dijo la última Moira? Para resolver esta pregunta se pueden formalizar las respuestas de las dos primeras Moiras del siguiente modo: R: Robarás las las Manzanas P: Matarás al dragón Ladón M: Besarás a las Hespérides. sólo si matas al dragón Ladón robarás las manzanas: R P o bien matarás al dragón y besarás a las Hespérides o bien no matarás al dragón ni besarás a las Hespérides: P M Del mismo modo, las opciones se pueden formalizar de la siguiente manera: a) P b) M c) M R d) P & M e) (R & P) La respuesta correcta será aquella que agregue a lo dicho por las dos primeras moiras información que permita concluir R Matarás al dragón Ladón (P) Agregando ésta información a R P y P M no se puede concluir R de manera válida. La siguiente asignación de valores muestra que pueden ser verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión: V(R)=V ; V(P)= V ; V(M)=V 24

25 Besarás a las Hespérides (M) Si besas a las Hespérides, no robarás las manzanas. (M R) Matarás al dragón Ladón y besarás a las Hespérides P & M Es falso que: Robarás las manzanas y no matarás al dragón Ladón. (R & P) Agregando ésta información a R P y P M no se puede concluir R de manera válida. La siguiente asignación de valores muestra que pueden ser verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión: V(R)=V ; V(P)= V ; V(M)=V Ésta es la respuesta correcta. Agregando ésta información a R P y P M se puede concluir R de manera válida. De la siguiente manera: 1) R P 2) P M 3) M R 4) P M & M P (2) 5)P M (4) 6) R M (1, 5) 7) R R (6,3) 8) R (7) por ley de clavius Agregando ésta información a R P y P M no se puede concluir R de manera válida. La siguiente asignación de valores muestra que pueden ser verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión: V(R)=V ; V(P)= V ; V(M)=V Ésta opción NO es la correcta. De hecho es equivalente a lo que dijo la primera Moira: R P. De modo que no agrega información. LICENCIATURA: 4. MASTERS: 2. Qué enunciado es equivalente a la negación de: Si hay un reloj que da todas las horas, entonces todos los relojes dan todas las horas? No es el caso que: todos los relojes dan todas las horas o no hay un reloj que da todas las horas. No hay un reloj que da todas las horas y no todos los relojes dan todas las horas. No es el caso que: si todos los relojes dan todas las horas entonces hay un reloj que da todas las horas. No es el caso que: hay un reloj que da todas las horas y todos los relojes dan todas las horas. Respuesta Correcta. Se obtiene haciendo una implicación material a la premisa y después aplicando la propiedad conmutativa. Respuesta Incorrecta. La fórmula original es equivalente a Hay un reloj que da todas las horas y no todos los relojes dan todas las horas. Como una de las partes de la conjunción es lo contrario a lo que realmente es equivalente; esta opción no es la respuesta. Respuesta Incorrecta. La fórmula original es equivalente a: No es el caso que: si no todos los relojes dan todas las horas entonces no hay un reloj que da todas las horas; lo cual no está expresado en el enunciado. Respuesta Incorrecta. La fórmula original es equivalente a: Hay un reloj que da todas las horas y no todos los relojes dan todas las horas. Como una de las partes de la conjunción es lo contrario a lo que realmente es equivalente; esta opción no es la respuesta. 25

26 Hay un reloj que da todas las horas y todos los relojes dan todas las horas. Respuesta Incorrecta. La fórmula original es equivalente a Hay un reloj que da todas las horas y no todos los relojes dan todas las horas. Como una de las partes de la conjunción es lo contrario a lo que realmente es equivalente; esta opción no es la respuesta. LICENCIATURA: 8. Dadas estas dos premisas, Todos los hombres son animales y Todos los animales son fastidiosos, cuál de las siguientes opciones se sigue de ellas? Hay animales y todos son fastidiosos. No todo animal no es fastidioso. Toda cosa no es hombre o es fastidiosa. No hay algo que no sea hombre ni tampoco animal. Todos los animales fastidiosos son hombres. No se sigue que hay animales. No se sigue. Simbolizando las premisas como (x) (Hx -> Ax) y (x) (Ax -> Fx) y la conclusión como ~(x) (Ax -> ~Fx) el modelo H=a, A=a, F=a satisface las premisas y hace falsa a la conclusión. De las premisas se sigue que todo hombre es fastidioso, que en lógica de primer orden se expresa (x) (Hx ->Fx), que es lógicamente equivalente a (x) (~Hx v Fx) No se sigue. Simbolizando las premisas como (x) (Hx -> Ax) y (x) (Ax -> Fx) y la conclusión como ~Ex (~Hx & ~Ax) el modelo H=a, A=a, F=a,b satisface las premisas y hace falsa a la conclusión. No se sigue. Simbolizando las premisas como (x) (Hx -> Ax) y (x) (Ax -> Fx) y la conclusión como ~(x) (Ax -> ~Fx) el modelo H=a, A=a,b, F=a,b satisface las premisas y hace falsa a la conclusión. LICENCIATURA: 10. MASTERS: 3. Suponiendo que una y sólo una de la siguientes oraciones es falsa, cuál es? Todos los filósofos están locos. No es la opción correcta, pues si es falsa, entonces hay un filósofo que no está loco y E) también sería falsa. Ningún filósofo está loco. No es la opción correcta, pues si es falsa, entonces hay un filósofo que está loco y E) también sería falsa. No hay filósofos que estén locos. No es la opción correcta, pues es equivalente a B). Hay por lo menos un filósofo. No hay filósofos. Es la opción correcta, pues si no hay filósofos todas la otras opciones son verdaderas. No es la opción correcta, pues si es falsa o bien A) es falsa o bien B) es falsa. 26

27 LICENCIATURA: 12. MASTERS: 26. Lea el siguiente párrafo y diga cuál de las siguientes afirmaciones NO son verdaderas partiendo únicamente de lo que dice el párrafo. Recientemente se descubrió una nueva especie de animales llamados garflexos. Los garflexos tienen un gran maxilar y no son herbívoros. Si los garflexos tienen un gran maxilar son omnívoros o carnívoros. Si los garflexos son carnívoros tienen un tracto digestivo de tipo B. Los garflexos tienen un tracto digestivo de tipo A si son omnívoros. Si los garflexos son herbívoros tienen un tracto digestivo de tipo A. Si y sólo si un animal es herbívoro tiene el estómago dividido en cámaras. Los garflexos no tienen el estómago dividido en cámaras. Los garflexos o bien tienen un tracto digestivo de tipo A o de tipo B. Si los garflexos no tienen un tracto digestivo de tipo A entonces no son omnívoros. No es el caso que los garflexos no tengan un gran maxilar. Los garflexos no tienen un tracto digestivo de tipo A. Se cumple, a partir del bicondicional "si y sólo si los garflexos son herbívoros tienen el estómago dividido en cámaras" y de que "los garflexos no son herbívoros, que a su vez se obtiene por simplificación de los garflexos tienen un gran maxilar y no son herbívoros. Se cumple por dilema, a partir de que "o bien los garflexos son son carnívoros o son omnívoros" (a su vez obtenida por modus ponens) y de que el primer disyunto implica tener un tracto digestivo de tipo A y el segundo implica tener un tracto digestivo de tipo B. Se cumple por contraposición de "los garflexos tienen un tracto digestivo de tipo A si son omnívoros" (= Si los garflexos son omnívoros entonces tienen un tracto digestivo de tipo A). Se cumple por simplificación de los garflexos tienen un gran maxilar y son herbívoros y aplicando doble negación a los garflexos tienen un gran maxilar. No se cumple, es falacia de negación del antecedente. LICENCIATURA: 15. MASTERS: 13. Qué no se sigue de la siguiente afirmación: (α β) es una tautología? a) (α & β) es lógicamente equivalente a α. b) (β α) implica lógicamente a α. c) ( β α) es una tautología. d) α implica lógicamente a (β γ). e) (α α) es tautología. (α & β) es lógicamente equivalente a α. Respuesta incorrecta. Como α β es tautología, α implica lógicamente β, y como α implica lógicamente a α, entonces α implica lógicamente α & β. 27

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