, 5m2 + n 1 son expresiones algebraicas. Hay diversidad de situaciones que se pueden expresar mediante expresiones algebraicas.

Transcripción

1 1.- POLINOMIOS Y OPERACIONES Expresiones algebraicas Una expresión algebraica está formada por números y letras relacionados por operaciones aritméticas. Por ejemplo, 3x 3x1 x +, a 3 b, y 3, 5m + n 1 son expresiones algebraicas. Hay diversidad de situaciones que se pueden expresar mediante expresiones algebraicas. Un número menos 7 x 7 La suma de dos números m + n El doble de un número menos su cubo x x 3 Monomios Un monomio es una expresión que consta de una parte numérica llamada coeficiente seguida de una parte con letras y exponentes naturales llamada parte literal. Grado de un monomio Es el exponente, si sólo hay una letra o la suma de los exponentes, si hay varias letras. Monomios semejantes Son los que tienen la misma parte literal. Por ejemplo, 3x, 5x son semejantes, pero x, x 3 no lo son Suma y resta de monomios semejantes Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Ejemplo: ab 5ab + 4ab = ab. Si no son semejantes no se puede hacer. Producto de monomios Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las partes literales. Ejemplo: 3a bc.( ab 3 ). ( b c) = 6a 3 b 6 c Potencia de un monomio Para calcular la potencia de un monomio se elevan al exponente el coeficiente y la parte literal. La regla es m n (Ax ) n mn A x. Por ejemplo, (3x 5 ) = 3 (x 5 ) = 9 x 10 Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma/resta de monomios no semejantes. Cada monomio se llama término del polinomio. Si en un polinomio hay algún término formado por un sólo número, este término se llama término independiente. Grado de un polinomio Es el mayor de los grados de sus términos. Por ejemplo, 5x 4 + 3x 3 7 es un polinomio de grado 4 Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes realizando las sumas/restas de los mismos. Ejemplo: (7x 3 3x 6) (x x 4) + (x 4x + 1) = = 7x 3 3x 6 x 3 10x x 4x + 1 = 5x 3 9x 7x 1 - Página 1 -

2 Producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva multiplicando el monomio por cada término del polinomio: A(B + C) = AB + AC A(B C) = AB AC Ejemplo: x(3x 5x + ) = x.3x x.5x + x. = 6x 3 10x + 4x Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada término de un polinomio por todos los términos del otro. Ejemplo: (5x 4x + 6).(3x 7) = 5x (3x 7) 4x(3x 7) + 6(3x 7) = = 15x 3 35x 1x + 8x + 18x 4 = 15x 3 47x + 46x 4 Operaciones combinadas con polinomios Para realizar operaciones combinadas con polinomios se sigue el siguiente orden: 1º) Se hacen las multiplicaciones º) Se reducen los términos semejantes 1) x.(5x 3) (3x + 5).(x 1) Solución:x.5xx.( 3) [3x.x3x.( 1) 5.x5.( 1)] 10x 6x (6x 3x10x5) 10x 6x6x 3x10x5 4x 13x5 ) 3x (x 1) (x + 3)(x 5) + x = 3x 3 3x (x + x 15) + x = 3x 3 4x x ) efectuemos [ x. q(x) p(x) ]. q(x), siendo p(x) = x + 3x y q(x) = 5x 1 Solución:[x.(5x1) ( x 3x)].(5x1) [10x xx 3x].(5x1) (11x 5x).(5x1) x 11x 5x 5x 10x 55x 36x 15x Potencia de un polinomio Para calcular una potencia de base un polinomio, se multiplica el polinomio tantas veces como indique el exponente. Ejemplo: (x x + 5) = (x x + 5)(x x + 5) = x 4 x x 10x + 5 Compruébalo! ACTIVIDADES 1 Resuelve las siguientes cuestiones: a) Traduce a lenguaje algebraico: 1) La tercera parte del cuadrado de un número m ) La raíz cuadrada del consecutivo del número x 3) La quinta parte de un número x más el triple de la raíz cuadrada del consecutivo de x 4) La tercera parte de un número n menos la raíz cuadrada del número consecutivo de n 5) La tercera parte del cuadrado de un número x menos el doble del cubo del mismo número b) Halla el monomio que representa el área de este triángulo c) Obtén los monomios que representan el perímetro y área de este rectángulo - Página -

3 d) Si Luis tiene n años y su prima Luisa tiene el doble de edad, cuál es el monomio que representa la suma de sus edades? e) Indica cuál es su grado y término independiente del polinomio 3xyz 4 + x z 3 7 f) Calcula: 1) 3(a bc 5 ). ) x (4x + 5) 3) 5x (x + 3) 4) 3x (x 3 x) 5) x.(3x x + 1) Obtén la expresión algebraica lo más reducida posible: a) Lo que pesan en total Sergio, Susana y Esperanza, sabiendo que Susana pesa m kilos, Sergio pesa 7 kilos menos que Susana y Esperanza pesa el doble que Susana b) La suma de las edades de Juan, Marisa y Rocío, sabiendo que Juan tiene x años, Rocío tiene 5 años más que Juan y Marisa tiene el doble de edad que Juan 3 Calcula, en función de x, la expresión algebraica que expresa el área de la zona sombreada: 4 Realiza las siguientes operaciones: a) x + xy z x z + 6x 5z x 3 b) ( 3xy z). (x 4 z). (3t ). (y 3 z) c) (x + 1)(5x 3) 3x(x 1) d) (3x + 1)(x 5) x(4x + 1) + (x + 1)6x e) x + (x + 1)(x ) 3(x 1) x(x 3) + 4(x 1) Fíjate en las siguientes figuras geométricas a) Halla el polinomio que expresa la suma del área del rectángulo y del triángulo b) Halla el polinomio que expresa la diferencia entre el área del triángulo y la del rectángulo c) Si x =, qué área tiene cada figura? 6 Dados los polinomios P(x) = x 5 + 3x x 1, Q(x) = x 3 + 5x x + 1, R(x) = x 3 3x + Calcula: a) [ Q(x) R(x) ]. [ P(x) + 3 Q(x) ] b) [R(x)]. Actividades del libro unidad 3:, 4, 10, 18 y 19.- IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una suma Observa: Como BA AB (AB) (AB)(AB) A ABBAB A ABB (AB) A AB B (5x + 4) = (5x) +.5x = 5x + 40x + 16 (3y z + xyz) = (3y z) +.3y z.xyz + (xyz) = 9y 4 z + 1xy 3 z + 4x y z. - Página 3 -

4 Cuadrado de una diferencia Observa: Como BA AB (AB) (AB)(AB) A ABBAB A ABB (AB) A AB B (x 7) = (x).x = 4x 8x + 49 (ab c a b) = (ab c).ab c.a b + (a b) = a b 4 c a 3 b 3 c + a 4 b. Observa: Suma por diferencia Como BA AB (AB)(AB) A ABBAB A B (AB)(AB) A B (4x + 9)(4x 9) = (4x) 9 = 16x 81 (3m + pq)(3m pq) = (3m) (pq) = 9m 4p q. 1 Resuelve las siguientes cuestiones: a) Completa: (x 3 + 3x) = x x. b) Completa: (x 7) = x x +. c) Completa: (xy + x )(xy x ) = x y. ACTIVIDADES Usando identidades notables, calcula: a) (6x + 5) b) (3x 5) c) (x 3 + x ) d) (a + 7)(a 7) e) (a 3 6ab) f) (x 3 3x 5 y) 3 Usando las identidades notables, obtén el polinomio que expresa el área de este cuadrado Actividades del libro unidad 3: 6 y DIVISIÓN DE POLINOMIOS División de dos monomios 5 5 m 53 m n 3 3 n 1x 1 x Ax A Observa : 3x 3x En general, x 4x 4 x Bx B Para dividir dos monomios de una sola variable, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la variable x a 18 3 m y x a a a x m y z 1 z (que no es un monomio porque el exponente es negativo) 3 z x (no es monomio) 3 3 x x - Página 4 -

5 Si tienen dos o más variables se divide cada variable entre su correspondiente a b c 1 a b c Observa : 4a c 3 a 3ab b x y 1 x y x y z (no es un monomio) porqué? y z 1 y z División de un polinomio entre un monomio x 8x x 1x 8x x Observa : 6x 4x x x x x Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio División de polinomios Para dividir un polinomio p(x) entre otro polinomio q(x) seguimos un método similar a la división entre números naturales. p(x) q(x) r(x) c(x) p = Dividendo q = Divisor c = Cociente r = Resto Para explicar los pasos a seguir en la regla de la división vamos a tomar como ejemplo la división ( x 3 + x 4 + x 1) : (x x 3 + ) 1º) Colocamos en orden decreciente de grados los polinomios dividendo y divisor, completando con ceros los términos que falten en el dividendo: x x 0x x1 x x º) Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y colocamos el monomio obtenido en el cociente: 4 x x x x 0x x1 x x 3 x x 3º) Multiplicamos el monomio anterior por el divisor, el resultado lo colocamos debajo del dividendo, cada término debajo de su semejante, y se lo restamos al dividendo: x x 0x x1 x x 4 3 x x 4x x 3 x 0x 5x1 4º) Repetimos los pasos º) y 3º) hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor: x x 0x x1 x x 4 3 x x 4x x1 3 x 0x 5x1 3 x x x 5x1 El cociente es c = x 1, el resto es r = x + 5x +1 Una vez hecha la división, se cumple la regla de la división: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Esta regla nos sirve para comprobar que la división está bien hecha. - Página 5 -

6 Regla de Ruffini Es un método para dividir un polinomio entre un binomio del tipo (x + a) ó (x a), siendo a un número cualquiera. Para explicar los pasos a seguir en la regla de Ruffini vamos a tomar como ejemplo la división ( x 3 + x x + 15) : (x + 3) 1º) Colocamos en orden decreciente de grados el dividendo, completando con ceros los términos que falten y hacemos una tabla colocando: - Los coeficientes del dividendo en la primera fila - En la parte inferior izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente: º) Multiplicamos 3. = 6 y lo colocamos debajo del siguiente término y sumamos º) Repetimos el proceso anterior hasta el final El último número obtenido, 6, es el resto de la división. Es decir, r = 6 El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los números de la última fila de la tabla. Por tanto, el cociente es c = x 3 7x + 1x Resuelve las siguientes cuestiones: 4 ACTIVIDADES 6x a) Efectúa 3 x 4 1x 15x b) Realiza 3x c) Si se divide un polinomio de una variable de grado 1 entre otro de grado 7, qué grado tiene el cociente? d) En la siguiente tabla de Ruffini indica cuál es el dividendo: p(x) =, el divisor: d(x) =, el cociente: c(x) = y el resto: r =. Actividades del libro unidad 4: 10, 54 y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Valor numérico de un polinomio Es el valor que se obtiene cuando se sustituye la variable x por un valor dado y después se hacen las operaciones. Por ejemplo, el valor numérico del polinomio p(x) = 3x + x + 6 para x = es: p( ) = 3.( ) +. ( ) + 6 = ( ) + 6 = = 10 - Página 6 -

7 Raíces de un polinomio Se dice que x = a es una raíz de un polinomio p(x), si p(a) = 0. Se puede demostrar que las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente. Por ejemplo, para hallar una raíz entera del polinomio p(x) = x 3 3x 4x + 1 probamos con los divisores del término independiente,1, que son ±1, ±, ±3, ±4, ±6, ±1 hasta que el valor numérico dé 0 p(1) = 6 0, p( 1) = 1 0, p() = 0. Luego, x = es una raíz del polinomio. Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible. Hay polinomios que no se pueden factorizar, por ejemplo los de grado 1 y los que no tienen raíces reales. Estos polinomios se llaman irreducibles Factorización usando la técnica de sacar factor común Basándose en que el área de las dos figuras es la misma: a.b + a.c = a.(b + c). El factor común es a También se puede sacar factor común cuando hay una resta: a.b a.c = a.(b c) x 4 + x 3 = x 3 (x + ) 3x 3 x = x (3x 1) 3x 5x = x(3x 5) Factorización usando el teorema del factor El teorema del factor dice que si x = a es una raíz de un polinomio p(x) entonces el resto de la división p(x) : (x a) es 0 y por tanto como p(x) = (x a).c(x) + r p(x) = (x a).c(x). Se dice que (x a) es un factor de p(x) De esta forma el polinomio p(x) queda expresado como producto de dos polinomios. 1) p(x) = x 3x +, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente, que son 1, 1,,, resulta que x = 1 es una raíz, pues p(1) = = Dividiendo entre x 1 obtenemos 1 1, c(x) = x. Luego, p(x) = (x 1)(x ) 1 0 ) p(x) = x + 5x 3, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente 3, que son 1, 1, 3, 3, resulta que x = 3, es una raíz, pues p( 3) = ( 3) + 5.( 3) 3 = = Dividiendo entre x + 3 obtenemos Página 7 -, c(x) = x 1. Luego, p(x) = (x + 3)(x 1) Factorización usando las igualdades notables Se usa cuando el polinomio se puede expresar como cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia. Consiste en expresar el polinomio, si es posible, de la forma (A + B) ó (A B) ó (A + B)(A B) x + 8x + 16 = x +.x = (x + 4). x 14x + 49 = x.x = (x 7). x 36 = x 6 = (x + 6)(x 6)

8 Factorización de polinomios por varios métodos Cuando queramos factorizar un polinomio p(x) y no sepamos qué método utilizar procederemos de la siguiente forma: 1) En el caso de que falte el término independiente sacamos factor común y al polinomio obtenido le aplicamos el paso siguiente. Si no se puede pasamos directamente al paso siguiente ) Si se puede expresar como una igualdad notable, lo expresamos y ya lo tenemos factorizado. Si no, usamos el teorema del factor y, en el caso de que tenga una raíz entera x = a, nos queda expresado como (x a).c(x). 3) Repetimos el paso º con el cociente c(x) hasta llegar a un polinomio irreducible. 1) 4 3 sacando factor común x usando las igualdades notables x 8x 16x x (x 8x16) x (x 4) ) 3 sacando factor común x x 4x 5x x(x 4x5). Usando el teorema del factor probamos y encontramos que x 1 es una raíz y divi dimos entre (x 1) : Obtenemos entonces que la factorización es x(x 1)(x 5) 3) 4) x x 100x100. Usamos el teorema del factor : x 1 es una raíz, dividimos entre (x1) : usando las igualdades notables Obtenemos : (x 1)(x 100) (x 1)(x 10)(x 10) sacando factor común x 3 x 6x 9x 14x x(x 6x 9x 14). Usando el teorema del factor : x 1 es una raíz, divi dimos entre (x 1) : Obtenemos : x(x 1)(x 5x 14). Aplicamos otra vez el teorema del factor : x es una raíz, dividimos entre (x ) : 14. Obtenemos como resultado final : x(x 1)(x )(x 7) 1 Resuelve las siguientes cuestiones: ACTIVIDADES a) Indica cuál es el valor numérico del polinomio p(x) = x + x para x = b) La siguiente tabla de Ruffini corresponde a la división del polinomio p(x) = x + 7x + 6 entre x Cuál es la factorización de p(x)? p(x) = Página 8 -

9 1 3 c) En la siguiente tabla de Ruffini indica cuál es el dividendo: p(x) = 1 3 0, el divisor: d(x) =, el cociente: c(x) = y el resto: r =. Cuál es la factorización de p(x)? p(x) = d) Usa la técnica de sacar factor común para factorizar el polinomio p(x): 1) p(x) = x 5 7x 4 = ) p(x) = x 3 3x = 3) p(x) = x x = e) Completa los huecos para factorizar el polinomio usando las igualdades notables: 1) x 4x 4 x 0x100 6) ) x 6x 9 3) x 49 4) x 10x 5 5) x x1 7) x 5 8) x x11 9) x 9 10) x 18x 81 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) x + 4x 1, para x = 3 b) 5x 3 3x + 1 para x = c) 6xy + 3xy y para x =, y = 1 3 Usa el teorema del factor para factorizar el polinomio: a) x 4x +3 b) x + x c) x + 5x 6 d) x x 15 e) x 10x 11 f) x + x 6 g) x + 6x 7 h) x + 1x + 11 i) x x 6 j) x 6x Factoriza el polinomio por el uso combinado de varios métodos: a) x 3 14x + 49x b) x 4 4x 3 + x + 4x 3 c) x 4 5x 3 + 4x d) x 3 x 5x + 5 e) x 3 + 3x 4 f) x x + 4x 36 g) x 4 5x 3 + 7x 3x h) x 4 + 3x 3 4x i) x 4 7x x 9x j) x 4 4x 3 + x + 6x k) x 4 + 9x x 5x l) x 4 x 3 64x + 64x - Página 9 -