En el resultado de los experimentos aleatorios interviene el azar, cuando ésto no ocurre así, hablaríamos de sucesos deterministas.

Transcripción

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2 1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y SUCESOS Un experimento aleatorio es aquel que cumple las siguientes condiciones: Se conocen todos sus posibles resultados No se puede conocer el resultado que se obtendrá en una experiencia concreta. Si se repite en condiciones idénticas puede dar lugar a resultados diferentes Ejemplos: a) "Lanzamiento de una moneda al aire" : Los resultados pueden ser "cara" o "cruz", no sabemos el resultado que se obtendrá aunque lancemos la moneda de la misma forma, con la misma fuerza... b) "Lanzamiento de un dado": Los resultados pueden ser los números naturales del 1 al 6, no tampoco sabemos el resultado que se obtendrá cada vez que lanzamos el dado. En el resultado de los experimentos aleatorios interviene el azar, cuando ésto no ocurre así, hablaríamos de sucesos deterministas. Un ejemplo de suceso determinista podría ser el tiempo que tarda en llegar al suelo una moneda lanzada desde una altura determinada. Si se repite el suceso en idénticas condiciones, el resultado será el mismo. En este tema nos dedicaremos al estudio de la probabilidad asociada a los experimentos aleatorios. Nociones básicas: Dado un experimento aleatorio, se llama: Espacio muestral: al conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento. Se representa con la letra E. Suceso: todo subconjunto del espacio muestral. Se representan con las letras A, B... Distinguiremos entre: Suceso elemental: es el suceso formado por un único resultado del espacio muestral. Suceso compuesto: suceso formado por la unión de varios sucesos elementales. Página 2 de 13

3 Suceso imposible: es aquel que nunca ocurre, se representa con la letra φ Ejemplo: Que al lanzar un dado numerado del 1 al 6 salga un 7 Suceso seguro: es aquel que ocurre siempre, se representa con la letra E, espacio muestral. Ejemplo: Que al lanzar el dado anterior salga un número natural comprendido entre 1 y 6 Suceso contrario o complementario de A: es el suceso que ocurre cuando no ocurre A, y estará formado por los resultados de E que no están en A. C Se denota A o A. Ejemplo: A = " Que el número obtenido sea menor que 4" = {1, 2, 3} A = " Que el número obtenido sea mayor o igual que 4" = {3, 4, 5, 6} OPERACIONES CON SUCESOS: UNIÓN DE SUCESOS A B = w A o w B { } INTERSECCIÓN DE SUCESOS A B = w A y w B { } DIFERENCIA DE SUCESOS A B = w A y w B { } Página 3 de 13

4 Sucesos incompatibles: Dos sucesos A y B son incompatibles cuando son excluyentes, es decir, no pueden ocurrir a la vez. Esto es A B = φ Leyes de De Morgan: A B = A B A B = A B 2.- FRECUENCIAS RELATIVAS Y PROBABILIDAD. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA. Supongamos que repetimos el mismo experimento A, n veces: Podemos observar que : Esto nos da una idea intuitiva del concepto de probabilidad, ya que si repetimos el mismo experimento n veces y anotamos las frecuencias absolutas y relativas de un determinado suceso, para valores "infinitamente grandes" de n, se observa una ley de regularidad estadística. Así pues la definición frecuentista de la probabilidad (J. Bernoulli) sería: Página 4 de 13

5 Como esta definición presenta el inconveniente de que no podemos repetir indefinidamente un experimento aleatorio, apenas se usa, pero nos da una idea intuitiva de lo que mide la probabilidad de un suceso aleatorio. Definición axiomática de la probabilidad: Fue introducida por el matemático ruso A. N. Kolmogorov, mediante los siguientes axiomas (propiedades que se aceptan sin demostración). 3.- PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: Página 5 de 13

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7 REGLA DE LAPLACE: Sea A un suceso de un espacio muestral E equiprobable, esto es, cuando la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales de E es idéntica. (ejemplo: observación del resultado obtenido n el lanzamiento de un dado no trucado). Podemos calcular la probabilidad del suceso A aplicando la siguiente fórmula: P ( A) = número de casos favorables al suceso A número de casos posibles Esta fórmula se conoce como Regla de Laplace. Ejemplo: Ejercicios propuestos: Página 7 de 13

8 4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA Se trata de hallar la probabilidad de que ocurra un suceso, con la condición de que haya ocurrido previamente otro. De la misma forma Luego P( A B) = P( A B) P( B) P( A B) = P( B A) P( A) Para hallar este tipo de probabilidades usaremos como ayuda diagramas de árbol o tablas de contingencia. Para resolver este tipo de problemas es muy útil utilizar el diagrama de árbol: Página 8 de 13

9 5.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS: Sucesos dependientes: Dos sucesos A y B son dependientes cuando el que ocurra el suceso A influye en que ocurra o no B o viceversa. Un suceso "condiciona" la ocurrencia del otro. Sucesos independientes: Cuando el hecho de que ocurra uno de ellos no afecta para nada a que ocurra o no el otro suceso. Ej: Lanzamos un dado y una moneda y anotamos el resultado. A= " Que salga cara" B= Que el número sea impar A y B son independientes Si A y B son dos sucesos independientes, entonces: P ( A B) = P(A) y P ( B A) = P( B), luego P ( A B) = P( A) P( B) Página 9 de 13

10 6.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Si B es un suceso del espacio muestral E y A 1, A 2, A 3, A 4... A k son sucesos de E que cumplen: Podemos calcular la probabilidad del suceso B de la siguiente forma: lo que se conoce como Teorema de la Probabilidad Total. Página 10 de 13

11 Ejemplo: 7.- TEOREMA DE BAYES Si B es un suceso del espacio muestral E y A 1, A 2, A 3, A 4... A k son sucesos de E que cumplen: P( A i ) > 0 i { 1,2,3,...k} P( B) > 0 Página 11 de 13

12 Ejemplo: Página 12 de 13

13 Resumen Página 13 de 13