Matemáticas Financieras

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemáticas Financieras"

Transcripción

1 Matemátcas Fnanceras Francsco Pérez Hernández Departamento de Fnancacón e Investgacón de la Unversdad Autónoma de Madrd Objetvo del curso: Profundzar en los fundamentos del cálculo fnancero, necesaros para su aplcacón en posterores asgnaturas. Adquscón de los prncpales conceptos matemátcos requerdos para la valoracón de operacones fnanceras. Adqurr la habldad de analzar stuacones reales relaconadas con el cálculo de leyes, rentas fnanceras, tpos de nterés y operacones fnanceras. 1

2 Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Contendos del Programa: Tema I. Valoracón del dnero en el Tempo I.1 Captales fnanceros. I.2 Leyes fnanceras. I.3 Captalzacón smple y compuesta. I.4 Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto. I.5 Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado. I.6 Suma y desdoblamento de captales. Tema II. Rentas Fnanceras II.1 Concepto y clasfcacón de rentas. II.2 Valor captal de una renta. II.3 Valoracón de rentas constantes. II.4 Valoracón de rentas varables. II.5 Rentas fracconadas. MF Tema III. Operacones Fnanceras III.1 Concepto y clasfcacón de las operacones fnanceras. III.2 Equvalenca fnancera. III.3 Saldo Fnancero. III.4 Operacones fnanceras smples. 2

3 Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema IV. Operacones Fnanceras Compuestas IV.1 Operacones de amortzacón. IV.2 Estudo de las prncpales modaldades de préstamos. IV.2.1 Sstema francés. IV.2.2 Cuotas de amortzacón constantes. IV.2.3 Sstema amercano. IV.2.4 Térmnos varables. IV.4 Prestamos a tpo de nterés varable. IV.5 Operacones de consttucón de un captal. Tema V. Coste y Rentabldad de las Operacones Fnanceras V.1 Coste o rendmento de las OF Smples. V.2 Coste o rendmento de las OF Compuestas. V.3 Operacones con característcas comercales. V.4 Tpo Anual Equvalente (TAE). EE 3

4 Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema I. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 4

5 Introduccón Valor del Dnero en el Tempo Los benes por esenca económca tenen un valor presente y un valor futuro, puesto que gracas a poder dsponer de ellos, se generan benefcos, que a su vez se pueden renvertr. Matemátcamente: V = V 1 V 0 Dnero = Ben V 1 V = 0 V y consderando que ( V) puede representarse como porcentaje (p) del valor base (V 0 ), tenemos: V V 1 0 pv 0 V V (1 + 0 = = ) 1 p para obtener el valor presente, conocendo el valor futuro, despejando tendríamos: V 1 V = p 5

6 Valor del Dnero en el Tempo S aplcamos la anteror expresón al concepto dnero, el ncremento porcentual se denomna TIPOS DE INTERÉS. Sendo en lugar de p, mentras que a V le llamaremos CUANTÍA. Así entonces: C = C 0 (1 + ) ó C 0 C + = 1 1 Así, el valor del dnero en el tempo, cuya medda es el tpo de nterés, lo podemos entender desde una doble perspectva: El cambo de valor del momento actual (0) a otro momento posteror (1). Podemos tener revalorzacón o deprecacón. El preco que tene su uso o dsposcón, dado que lo podemos prestar o contratar en un banco o una empresa de nversón. 6

7 Valor del Dnero en el Tempo Ejemplo: A un prestamsta se le presentan 2 clentes potencales, cada uno de los cuales le ofrece devolverle el préstamo de 100 más 10 en concepto de ntereses. A quén le damos el préstamo? Clente / Perodo Total A B

8 Valor del Dnero en el Tempo En defntva, de forma matemátca, valor del dnero = f (dsponbldad, resgo, ) entendéndose por dsponbldad a la capacdad de poseer una cosa, y como snónmo de cantdad de tempo. Así, la naturaleza del tpo de nterés tene dos perspectvas totalmente relaconadas entre sí: 1. El valor del dnero en el tempo es gual al benefco que se genera en el tempo. 2. Tasa de susttucón entre una cuantía presente y la msma cuantía en el futuro. 8

9 Valor del Dnero en el Tempo Este gráfco muestra la curva de una persona que cobrará 200 (100 ahora (momento 0) y el resto en el perodo ; ; ; ; ; La pendente de la curva es (1+), que en este caso al hacer los cálculos con un 10% su valor sería -1,1. Es decr, s ncrementamos el valor de t 0 en 1, decrecería el valor en t 1 1,1. 9

10 Valor del Dnero en el Tempo Antes de entrar con los conceptos de captales y leyes fnanceras es mportante menconar que exsten dos tpos de varables (o meddas) del dnero: 1. Fondo o stock. 2. Corrente o flujo. Además, exsten 3 aspectos fundamentales de las valoracones monetaras en el tempo: 1. Se trabajan con flujos de tesorería (cash-flows). 2. Se parte de t0, t1, t2, tn. 3. Los fondos se producen al prncpo o fnal de cada perodo. 10

11 I.1. Captales Fnanceros Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros En los sstemas económcos se realzan contnuamente operacones fnanceras que conssten en la susttucón de unos captales fnanceros por otros, en dstntos momentos del tempo. Los Captales Fnanceros son cobros, pagos o flujos de caja que se recben o entregan en un momento del tempo. Por tanto, un captal fnancero tene dos dmensones: (C, t), sendo C captal y t el momento del tempo en el que se cobra o paga. Un captal fnancero que se cobra o paga en t, se puede expresar como Ct para t = 0, 1, 2, n. Sendo: t = 0 : momento presente o actual. t = 1 : momento del tempo 1 período después del momento actual. t = n : momento fnal o plazo de una operacón o vencmento. 11

12 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros De forma gráfca: C 0 C 1 C 2 C 3 C n t= t=n 12

13 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Las prncpales operacones fnanceras de las undades económcas (socedades no fnanceras, socedades fnanceras, hogares etc.) son las sguentes: Operacones fnanceras de nversón: adquscón de actvos que mplca un desembolso hoy Co (un captal C en el momento del tempo t=0 o momento actual) y una esperanza de cobros futuros o captales Ct en dstntos momentos del tempo t, para t = 1,2, n. Operacones fnanceras de fnancacón que permten dsponer de un captal actual Co a cambo de una oblgacón de pago en el futuro Ct: Descuento de Letras de Cambo. Emsón de valores de renta varable. Emsón de bonos y oblgacones. Emsón de pagarés de empresa. Solctud de préstamos y crédtos. 13

14 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Las operacones fnanceras mplcan: La susttucón de unos captales fnanceros Ct por otros con dstnto vencmento. La valoracón de los captales fnanceros Ct en el tempo con expresones matemátcas o leyes fnanceras. El uso o aplcacón de un tpo de nterés o preco del dnero. Un tpo de nterés anual ndca o ben una rentabldad de las nversones o ben un coste de la fnancacón. La ntervencón de dos partes en las operacones fnanceras, la prestacón y la contraprestacón. El uso de nstrumentos o actvos fnanceros (Ej. letras, bonos etc.) como mecansmo de reconocmento de derechos y oblgacones. 14

15 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Recordemos, en las operacones fnanceras ntervenen dos partes (A y B) y para valorar esta operacón es necesaro plantear matemátcamente la equvalenca fnancera de los captales Ct que entregan ambas partes. Por ejemplo: Un depósto como operacón de nversón para la empresa A que ngresa un captal hoy Co en un depósto o cuenta del Banco B. En este ejemplo el captal que entrega A es el que recbe B. Dcho captal fnancero se entrega en el momento actual y es Co. La parte de la operacón fnancera que cede dnero espera una rentabldad. Posterormente en el tempo los captales que entrega B son los que recbe A y corresponden a Intereses (Ct) y devolucón del prncpal (Cn). Dchos captales fnanceros los paga B que se a fnancado al recbr el captal Co y que, por tanto, tene un coste. 15

16 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros De todo lo dcho observamos que los elementos fundamentales de las operacones fnanceras, además del captal y el tpo de nterés, son: El orgen de la operacón (t=0) El fnal de la operacón (t=n) El plazo o duracón de la operacón (1, 2, 3,..., n) 16

17 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Atendendo a lo anteror, las operacones pueden ser: A corto plazo. t = 0-1 año Medano plazo. t = 1-3 años Largo plazo. t 5 años Cuanto mayor sea el ntervalo temporal de una operacón fnancera, mayor será su resgo. Es decr, t R t R 17

18 Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros A efectos de la valoracón fnancera con expresones matemátcas, son dos tpos de operacones fnanceras: Operacones de Captalzacón: Cuando se nverte un captal fnancero con el objetvo de obtener una rentabldad en un futuro (n), el captal obtendo (Cn) debe ser superor al ncal (Co). Cn > Co Operacones de Descuento: Cuando calculamos el valor de un captal fnancero en el pasado. Por tanto, el captal obtendo en el momento 0 deberá ser nferor al valor actual (Cn). Co < Cn 18

19 Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras I.2. Leyes Fnanceras Para la valoracón de cualquer tpo de operacón fnancera se aplcan expresones matemátcas, éstas son llamadas LEYES FINANCIERAS. Leyes de Captalzacón: Expresones matemátcas > 1. Valoracón de captales en el futuro Leyes de Descuento: Expresones matemátcas < 1. Valoracón de captales en el pasado. 19

20 Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras Al crtero o regla del que dsponen los agentes económcos para la valoracón de transaccones de captal u operacones fnanceras, se les conoce como LEYES FINANCIERAS. Para obtener el valor de un captal fnancero en el futuro (V) se necesta de tres elementos: la cuantía ncal (C), el tempo o perodo de duracón de la cuantía (t) y (p) que es el punto de comparacón o susttuto o equvalente fnancero. Es decr: V= F (C, t, p) 20

21 Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras C 2 V 2 V 1 C 1 t 1 t 2 p Se dstnguen entre leyes de captalzacón y de descuento en funcón de que el punto p de comparacón se stúe a la derecha de los captales ntervnentes (captalzacón) o a la zquerda (descuento), anotándose con L(t;p) las leyes de captalzacón y con A(t;p) las de descuento. 21

22 Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras Son muchas las funcones matemátcas que podemos utlzar en el mundo fnancero. Para resumr y con el objeto de menconar las más utlzadas en valoracones de operacones fnanceras, las leyes fnanceras se pueden agrupar en 2 subconjuntos: Leyes estaconaras: Cuando sólo se tene en cuenta el tempo nterno de la operacón. z= p-t ó z= t-p Leyes sumatvas: Cuando en un ntervalo de tempo consderado no se acumulan ntereses para producr nuevos ntereses. Leyes multplcatvas: Cuando se acumulan ntereses. 22

23 Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras En las operacones fnanceras se utlzan leyes smples o compuestas según el ntervalo de tempo: A corto plazo: Leyes smples, de captalzacón y descuento. A largo plazo: Leyes compuestas, de captalzacón y descuento 23

24 I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta La expresón matemátca abrevada de la captalzacón smple es: L 1 (t)= 1+ * t Sendo: L 1 (t): Captalzacón de una cuantía : tpo de nterés efectvo anual (con > 0) t: duracón de la operacón en años S aplcamos esta ley smple (a una funcón lneal) podemos obtener el valor de la cuantía que colocamos (lo llamaremos montante) en un perodo o plazo n. La cuantía M y los ntereses generados I se obtenen así: M= C * ( 1+ * t ) y I= C * * t ó I= M-C Montante o Cuantía Fnal Cuantía ncal Tpo de nterés Duracón de la operacón Intereses obtendos 24

25 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Ya que la captalzacón smple se utlza en operacones fnanceras a corto plazo (1 año), es común que t se exprese como fraccón de año. Así, por ejemplo, cuando la duracón se expresa en meses (k), el montante o los ntereses obtendos se anotarán así: M k = C * I = C * k * 12 Así, k/12 medrá la fraccón de año que representan los k meses. Nota: cuando la duracón se expresa en días, se utlzan dos tpos de años: el cvl o real (365 días) o el comercal (360 días). 25

26 Casos práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Ejemplo Nº 1 Un captal de euros se coloca hoy a un tpo de nterés del 6% anual durante un perodo de 75 días. Obtener, utlzando el año comercal ( o =360 días): a) Valor fnal de la cuantía (V) y los ntereses que produce (I). k M = C * M = * 1 + 0, = I = M C I = =125 b) Los tpos de nterés: semestral y trmestral. 6 6 = = 3% 1,5% 2 2 = = semestres 4 trmestres 26

27 Casos práctcos Ejemplo Nº 2 Se colocan euros al 2% trmestral durante 9 meses. Se pde obtener los ntereses que se obtenen: Se puede obtener medante dos formas: a) Utlzando como undad de tempo el trmestre (3) I = C * * t I 9 = *0,02 * 3 = Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta b) Obtenendo el tpo anual equvalente y operando en años. = 4 ( trmestres / año) * 2( actual) = 8% anual I = C * * t I 9 = *0,08* 12 =

28 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Consderando la expresón matemátca de la obtencón del montante o cuanta fnal medante captalzacón smple C 1 = C 0 (1+), s queremos llegar hasta el últmo perodo n, tendríamos que repetr el proceso una y otra vez: C 2 = C 1 (1+), como a su vez, C 1 = C 0 (1+), resultaría, C 2 = C 0 (1+)(1+), es decr; C 2 = C 0 (1+) 2 Por tanto, y sguendo la expresón de la CAPITALIZACIÓN COMPUESTA: L 2 (t)= (1+) t Aplcando esta ley compuesta, una funcón exponencal, nos permte obtener el montante dentro de n años en una operacón a medano y largo plazo: t M = C *( 1 + ) [ t I = C * ( 1+ ) 1)] 28

29 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta La formula la podemos aplcar para captalzar una cuantía de manera que s queremos saber su valor del año p tomando como base el año k, la formula sería: C j k = C j (1+) k - j Por ejemplo, s tenemos del año 3, en el año 7 tendríamos: = 1.000* (1+) 7-3 Lo que estamos hacendo es sólo comparar dos valores (el ncal y el fnal), obtenendo así su revalorzacón total. En resumen, s por ejemplo en el 2º año, los ntereses se calcularan sobre la cuantía generada en el 1º año (cuantía ncal), más los ntereses generados en el prmer perodo, por consguente tendríamos que los INTERESES SE ACUMULAN al captal. Ésta es la CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 29

30 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Pero Cuál es la dferenca entre la Captalzacón Compuesta y la Smple? 1. Por ejemplo, s tenemos 100 en un depósto a plazo fjo en una cuenta openbank durante 1 año al 10% () con opcón de renovacón al segundo año (captalzacón compuesta). Al fnal de los 360 días cobraríamos 110 (sn poder sacarlos) e nmedatamente se nvertrían un año más, obtenendo así (110 * 1,1 ó ) 121 S lo hubésemos calculado medante la captalzacón smple tendríamos sólo 120 {100*(1+0,20)} Una vez más, la dsponbldad desempeña un papel sgnfcatvo. 30

31 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Gráfcamente sería así 3,5 3,0 2,5 C Las dos funcones se cortan al 1º año L2 (F Exponencal) 2,0 L1 (F Lneal) 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 t 31

32 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Casos práctcos Ejemplo Nº 3 Una empresa A le presta a su flal B, a 3 años a un tpo de nterés efectvo anual del 3,7% Cuál es el captal fnal (C n ) que recbe la empresa a tras la devolucón del prestamo? M = C *( 1+ ) Cn = Co* ( 1+ ) t t Cn = *( , ) = * 1115, 3 =

33 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Casos práctcos Ejemplo Nº 4 Lehman Brothers tena prevstos unos benefcos de una nversón al cabo de 2 años y 6 años de y Qué captal fnal ha de proporconar otra nversón (C n o M) para que sea mejor que ésta, s el tpo de nterés efectvo anual para la valoracón es del 3%? 33

34 I.4. Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Las leyes de descuento o actualzacón permten proyectar fnanceramente captales haca el pasado y son expresones matemátcas cuyo valor es nferor a 1. Las leyes de descuento smples se aplcan en operacones a corto plazo y pueden ser comercal o raconal. LEY DE DESCUENTO COMERCIAL: A 1 (t)= 1-d * t El térmno d es el tanto de descuento y mde la dsmnucón por undad de cuantía y undad de tempo. 34

35 Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Defnremos Valor Descontado de un captal al equvalente en el momento ncal, así: V 0 = C* (1-d * t ) Y denomnaremos Descuento a la dsmnucón que expermenta el captal de cuantía C al adelantar su dsponbldad en t períodos. D= C*d * t D = C - V 0 A 1 (t) / d t 35

36 Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto LEY DE DESCUENTO RACIONAL: A 2 (t)= 1 1+d * t El parámetro d es el tanto descuento raconal. S esta cuantía se captalzará se obtene la undad de la que se había partdo: 1 1+ d * t *( 1+ d * t) = 1 lo que no ocurre cuando se utlza el descuento comercal a tanto d, dado que (1 - d * t) * (1 + d * t) = 1 - d 2 * t 2 < 1 36

37 Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto LEY DE DESCUENTO COMPUESTO: Permte descontar captales futuros haca el pasado en operacones a largo plazo. A 3 (t)= (1+d) -t ó A 3 (t)= (1-d) t Valor Descontado Descuento V 0 = C* (1 + d) -t D= C*{1 - (1+d) -t } D = C - V 0 37

38 Gráfco de las 3 Leyes de Descuento: Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto 1,2 C 1 0,8 A 2 0,6 0,4 A 3 0,2 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 A 1 t 38

39 Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Casos práctcos Ejemplo Nº 5 Una empresa tene un pago pendente de dentro de 2,5 años y desea cancelar la deuda hoy. A cuánto equvale dcho pago en el momento actual, s el tpo de nterés de valoracón es el 3,5% efectvo anual? Vo = C *(1 + d) t Vo = *( , ) 25, = * 0918, =

40 Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado 1.5 Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Recordando, el alquler de un prncpal o cuantía ncal (Co) que se cobra a terceros se le conoce como tpo de nterés. Podemos expresar el tpo de nterés, por ejemplo el 3,5% de Open Bank, de dstntas formas: En tanto por cen: 3,5% En puntos báscos: 350 PB (3,5% * 100) En puntos porcentuales: 3,5PP 40

41 Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Para valorar fnanceramente las operacones, todas las varables (Co, t, ) deberán de estar en la MISMA UNIDAD DE TIEMPO (años con años, meses con meses, días con días, peras con peras, ) Por ello, en la mayoría de operacones a corto plazo es necesaro valorar fnanceramente con un fracconamento m del año, de modo que el año se dvde en "m" partes guales. m=12 en operacones mensuales m=360 en operacones daras Así, para obtener la equvalenca del tpo de nterés anual y el tpo de nterés fracconado en la captalzacón smple: 41

42 Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Por tanto, el tpo de nterés fracconado es gual al tpo de nterés efectvo anual dvddo por el fracconamento del año. Esto es así, úncamente en las operacones a corto plazo en las cuales los ntereses son proporconales al captal Co y al plazo t. Tpo de nterés daro = 360 = /360 Tpo de nterés mensual= 12 = /12 Tpo de nterés trmestral= 4 = /4 Tpo de nterés cuatrmestral= 3 = /3 Tpo de nterés semestral= 2 = /2 42

43 Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado (Intereses fracconados y ley de captalzacón smple) Ejemplo Nº 6 Una empresa solcta un préstamo smple de 9.000, que cancela con un pago únco al cabo de un año y dos meses. Cuál es el captal que cancela el préstamo, Cn, s el tpo de nterés efectvo anual es =4,5%? Y s el tpo de nterés mensual es (12)? 0.045/12= 0,375% Cn= * ( 1 + 0,045 * 14/12 ) = * (1+0,045*1,1666) = * (1+0,0525) = * (1,0525) =

44 Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado (Intereses fracconados y ley de descuento smple comercal) En operacones a corto plazo, en que se usan leyes smples, es común que la duracón sea nferor al año y por tanto se descuente o actualce con un tpo de nterés fracconado como, por ejemplo, el tpo mensual, trmestral etc. Ejemplo Nº 7 Se descuenta (comercal) una letra de nomnal dentro de 3 meses. Cuál es el efectvo Co=E recbdo s el tpo de nterés anual es 12%? E= * (1 0,12* 3/12) =

45 Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Tpo de Interés Nomnal Anual, Tpo de Interés Nomnal Anual y Tpo de Interés Fracconado En la captalzacón de operacones a largo plazo (leyes compuestas) cuando la valoracón se realza en períodos nferores al año, el tpo de nterés puede ser: : tpo de nterés efectvo anual m : tpo de nterés para perodos nferores al año. Ejemplos: Tpo de nterés mensual: 12 Tpo de nterés trmestral: 4 j m : tpo de nterés nomnal anual para operacones que se realzan en períodos de tempo nferores al año.. Leyes Compuestas 45

46 Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado (Intereses fracconados y ley de captalzacón compuesta) Ejemplo Nº 8 Se solcta un préstamo a 3 años de a un tpo anual del 4,5% y el pago de ntereses es mensual. 4,5% es el tpo de nterés nomnal anual, para una operacón mensual: j 12 Cuál es el tpo de nterés efectvo anual (coste efectvo o real)? Ecuacón de equvalenca de en leyes compuestas 46

47 Solucón = (1 + ( 0,045 / 12 ) ) 12 1 = 4,6% 12 =j 12 / 12 = 4,5% / 12 = 0,37% Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado EJEMPLOS m Interés Efectvo 2 4,55% Tasa Nomnal 2 4,50% Int. Efectvo 4 4,58% Int. Efectvo 6 4,5852% Int. Efectvo 12 4,5940% 47

48 Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Importante y habtual: En las operacones a largo plazo valoradas con leyes compuestas, sea la ley de captalzacón o la ley de descuento (actualzacón), cuando se calculan los ntereses en períodos nferores al año, hemos de consderar que podemos dsponer de un dato de tpo de nterés anual efectvo o tpo de nterés anual nomnal j m o tpo de nterés fracconado m. No obstante, a partr de la ecuacón de equvalenca de tpos de nterés podemos calcular cualquera de estos tpos a partr de otro de ellos. 48

49 Casos Práctcos (Intereses fracconados y leyes compuestas) Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Ejemplo Nº 9 Una empresa ha de realzar unos pagos dentro de 6 meses, 1,5 años, 5,5 años y 6 años, que ascenden a , , y respectvamente. Cuál es el pago o captal únco (equvalente) pasados 3 años, para cancelar dchas deudas, s el tpo de nterés nomnal anual para la operacón semestral es 3,7646%? j 2 = 3,7646 =3,8% C 3 = (1+) 2, (1+) 1, (1+) -2, (1+) -3 C 3 = ,6 49

50 1.6 Suma y Desdoblamento de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Comparacón de captales Equvalenca Ordenacón Suma de captales Vencmento común Vencmento medo Desdoblamento de captales Prórroga de vencmento 50

51 Equvalenca de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Cuando dos o más captales tenen el msmo valor en la fecha que se efectúa la comparacón. Cuando la ley fnancera es el descuento comercal o raconal, la fecha (p) en la que se efectúa la comparacón es el momento presente (p=0) y por tanto, concden los valores. S utlzamos la ley de la captalzacón smple, la comparacón se efectúa en la fecha de acumulacón de ntereses, fecha que suele concdr con el fnal del año o semestre. S la ley es la captalzacón o el descuento compuesto la equvalenca puede establecerse en cualquer momento de tempo ya que la equvalenca NO depende del momento de valoracón. 51

52 Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Casos Práctcos Ejemplo Nº 10 Se tene que pagar una letra del tesoro de dentro de 60 días y se acuerda sustturla hoy por otra de cuantía equvalente con vencmento dentro de 120 días aplcando el descuento comercal al 12% anual. Cuál sería la esta cuantía s se utlza el año comercal? C 2 p=0 60 d 120 d 52

53 Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Ordenacón de Captales Dados dos captales y una ley fnancera, se preferrá el que tenga mayor valor en la fecha en la que se efectúa la comparacón. S son más de 2 captales se establecerá el orden de preferenca entre ellos comparando sus valores en la fecha ctada. S la ley es la captalzacón smple se hayan los montantes o cuantías fnales en p, M 1 y M 2 y luego se decde: 53

54 Suma de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Dados dos captales sumandos (C 1 ;t 1 ) y (C 2 ;t 2 ) y una ley fnancera de valoracón en p, el captal es la suma fnancera de ambos s se verfca para el descuento comercal p=0, la sguente gualdad de los valores descontados: C 1 C C 2 p=0 t 1 t t 2 C 1 * (1-d*t 1 )+C 2 (1-d*t 2 )= C(1-d*t ) 54

55 Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Cuando, con los msmos captales sumandos, la ley de captalzacón smple, el esquema gráfco y la ecuacón de equvalenca son: C 1 C C 2 t 1 t t 2 p Vencmento Común Vencmento Medo C 1 * (1+*(p-t 1 )) + C 2 * (1+*(p-t 2 )) = C* (1+*(p-t)) 55

56 Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Ejemplo Nº 11 Se han de pagar dos letras, la prmera de dentro de 45 días y la segunda de dentro de 90 días y se decde hoy sustturlas por una que venza dentro de 60 días. S se utlza el descuento comercal a un tanto del 15% anual. Cuál sería la cuantía de la nueva letra? , ,15 = 1 0, =

57 Desdoblamento de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales El desdoblamento de captales es la operacón compuesta a la suma ya que ahora el dato es el captal suma y se trata de descomponerlo en varos captales susttutos. Se utlza cuando el deudor efectúa un pago en certo momento t y desea sustturlos por varos pagos de menor cuantía en dstntos momentos t 1, t 2, t 3,..., t n que en conjunto sean equvalentes al prmero. Un caso partcular del desdoblamento de captales es la prórroga de vencmento: t = C 1 t C C = C 2 C1 t C t C C2 * + * * C t = 2 1 * t 1 57

58 Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema II. RENTAS FINANCIERAS 58

59 CONCEPTO DE RENTA Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas Sucesón o conjunto de captales fnanceros en determnados períodos de tempo con vencmentos regulares. a = ( a * t )( a * t )( a * t )...( a * t n n ) Térmno de Renta Períodos de Maduracón a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 59

60 Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas Una renta, según su ORIGEN puede ser prepagable o pospagable. S se stúa en t 1 nos referremos a una renta prepagable. a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n S el orgen está en t 0 hablaremos de una renta pospagable. a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 60

61 Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas CLASIFICACIÓN DE RENTAS Las Rentas se pueden agrupar en dstntos subconjuntos que tenen una o más característcas en común. De entre todas las clasfcacones destacan las sguentes: 1º Por la cuantía de los captales Rentas Constantes Rentas Varables 2º Por la duracón Rentas Temporales Rentas Perpetuas 61

62 Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas 3º Por la ampltud de períodos de maduracón Rentas Dscretas Peródcas No Peródcas Rentas Contnúas 4º Por el momento de vencmento Rentas Pospagables Rentas Prepagables 5º Por el momento de valoracón Rentas Inmedatas Rentas Dferdas 62

63 Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas En una operacón fnancera en la que ntervenen dos partes (A y B), se plantea la equvalenca fnancera de los captales que entregan ambas partes. Dcha equvalenca se plantea para un tpo de nterés de valoracón, el tpo de nterés efectvo anual ", y aplcando leyes compuestas. Recbe A C 0 = = Entrega A s (1 + ) as Entrega A = Recbe A Ejemplos de rentas: alquleres mensuales, préstamos, leasng, cupones o ntereses de bonos y oblgacones, dvdendos constantes, benefcos mensuales. 63

64 Rentas Fnanceras II.2 Valor Captal de una Renta Valoracón de rentas: la valoracón de rentas se realza en un momento del tempo, normalmente con leyes compuestas: En el orgen de la operacón (t=0) => Se obtene el Valor Actual (VA) de la renta. El valor actual de una renta es el captal equvalente en el momento actual (t=0), a "todos" los captales de la renta. El valor actual es el equvalente a "todas" las anualdades, mensualdades etc. de la renta. Los valores actuales para rentas se obtenen en hojas de cálculo con la funcón fnancera VA o VNA, para rentas constantes y varables respectvamente. En el fnal de la operacón (n) => Se obtene el Valor Fnal (VF) de la renta. 64

65 Rentas Fnanceras II.2 Valor Captal de una Renta Las varables que afectan al valor (actual o fnal) de una renta (en excel las funcones fnanceras son VA, VNA y VN) son tres: La duracón de la renta (t). El captal de la renta. Ej. en rentas untaras: 1 u. m. El tpo de nterés al que se calcula el valor (actual o fnal) de la renta: tpo de nterés efectvo anual (). 65

66 Rentas Fnanceras II.2 Valor Captal de una Renta Metodología de análss de las Rentas Constantes y Varables: RENTAS CONSTANTES RENTAS VARIABLES Anuales Valor Actual (VA) Valor Fnal (VF) Rentas Prepagables y Pospagables Rentas Perpetuas Fracconadas Anuales En progresón geométrca En progresón artmétca Fracconadas 66

67 RENTAS CONSTANTES Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Anuales Valor actual de una renta: VA es el valor actual de una renta (Ej. una renta untara de duracón n años y tpo de nterés efectvo anual ). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n VA 1 2 = 11 ( + ) + 11 ( + ) ( 1+ ) n VA = 1 n s= 1 (1 + ) s 67

68 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Valor actual renta: Valor actual renta de captal: VA = a n = ( 1 ( 1+ ) n ) C : C * a n El valor actual de una renta constante se representa medante el símbolo a n (a hstorada) y se obtene sumando las cuantías equvalentes en el momento 0 (orgen) a cada una de las undades monetaras que componen la renta a n = ( 1 ( 1+ ) n ) Para calcular el Valor Actual (VA = V 0 ) V VA 0 = * V VF a n n = * a n 68

69 Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 12 Una persona percbe una renta de anuales y pospagables durante 10 años. Se desea conocer el Valor Actual de esta renta sabendo que se valora en captalzacón compuesta al 9% anual. a n = ( 1 ( 1+ ) n ) a 10 9% = ( 1 ( , ) 009, =6, ) V VA = * V = * a 0 n n % V a = * VF a n = * 64177, = , 69

70 Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 13 Una empresa tenen prevsto el cobro de una renta constante de al año durante 5 años, cuál sería el captal únco equvalente a dcha renta, en el momento actual, s el tpo de nterés efectvo anual es 3%? a n = ( 1 ( 1+ ) n ) a 5 3% = (1 (1 + 0,03) 0,03 = 4, ) = * V = 6.000* 0 5 3% V V a a 0 n n VA = * VF a n = 6.000*4,5797 = ,24 70

71 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Valor fnal de una renta: Valor fnal de una renta: VF es el valor fnal de una renta (Ej. una renta untara de duracón n años y tpo de nterés efectvo anual ). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 1 2 VA = 1(1 + ) + 1(1 + ) (1 + ) n VA = 1 n s= 0 (1 + ) s 71

72 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Valor fnal de una renta: Valor fnal renta de captal: VF = sn C : C * s n n ( 1+ ) 1 = s El valor fnal se representa medante el símbolo n (s hstorada) y se obtene sumando las cuantías equvalentes en el momento n a cada una de las undades monetaras que componen la renta s n = n ( 1+ ) 1 Para calcular el Valor Fnal (VF = V n ) V VF = * V s n 0 n = VA * sn 72

73 Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 14 S se ngresa en una cuenta o depósto un captal de anualmente y, la rentabldad de la cuenta es un 5%. De que captal se dspone pasados 3 años? s n = n ( 1+ ) 1 s 3 5% = (1 + 0,05) 0, = 3,1525 V = * V s n n V n = 6.000*3,1525 VF VA 0 s = * n =

74 Casos Práctcos Ejemplo Nº 15 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Una empresa consttuye un fondo de prevsón, a favor de sus trabajadores, para complementar sus pensones de jublacón. El fondo lo acumula medante aportacones anuales de durante 8 años y la rentabldad efectva del fondo es un 4%. s n = n ( 1+ ) 1 s 8 4% = (1 + 0,04) 0, = 9,2142 V = * V s n n V n = 6.010*9,2142 VF VA 0 s = * n = ,50 74

75 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Casos Práctcos Ejemplo Nº 16 Un ndvduo decde realzar un depósto de 100 el prmer día de cada mes durante qunce años. S el tpo de nterés efectvo al que la entdad remunera el depósto es del 3%. Determne el dnero dsponble transcurrdo los 15 años (12) = (1 + 0,03) = 0, V n n-1 n=12x15=180 = s = 100* = 100* ( (12) ) ( (12) 1+ * s 100* 1 ) (12) = ( ) ( ) (12) = 100* ( 1+ 0,00246) (12) (12) * a 180 (12) (12) 1 = ( 1+ 0,00246) 0, V n =

76 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Es fundamental tener claro (es quzá lo más mportante), que los ntereses generados, resultado de una nversón durante un período de tempo se les conoce como COSTE DE OPORTUNIDAD. Y éste, en Rentas Fnanceras, está representado por y. a n s n Por tanto, la a hstorada recoge todos los costes de oportundad generados de una nversón realzada, de la cual se conoce el valor fnal de la renta fnancera total equvalente. Sn duda, a n sntetza el cálculo de los costes de oportundad en cada período de maduracón. n VA (1 + ) = L+ = = a n n (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + )

77 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Por su parte, la s hstorada recoge todos los costes de oportundad que se generarán al realzar una renta fnancera. Al gual que la a hstorada, s n recoge todos los costes de oportundad en cada período de maduracón. n 1 n 2 VF = 1*( 1+ ) + 1*( 1+ ) + 1*( 1+ ) n 3 + L+ 1 = = (1 + ) n an = sn k 77

78 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes El valor actual y el valor fnal de la renta son captales equvalentes puesto que mden lo msmo (el valor de la renta) en dos momentos dferentes de tempo (t 0 y t n ). Por ello, s conocemos una de las cuantías podemos calcular la otra. Así, para pasar de 0---n en captalzacón compuesta tenemos que n multplcar por ( 1+ ) ; y para pasar de n---0 hay que multplcar por. (1+ ) n ( a n ; n) ( s n ; n) s a n n = = (1 + ) (1 + ) n n * a * s n n 78

79 Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 17 Una empresa propone las sguentes modaldades de devolucón de un depósto de A) Un únco pago transcurrdo tres años de = = 3 (1 + ) 9,972% B) Un únco pago transcurrdo cnco años de = = 5 (1 + ) 9,16% 79

80 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Rentas prepagables y pospagables Renta pospagable: Cuando el prmer captal de la renta se cobra/paga al fnal del prmer ejercco (en t=1). (El argumento "tpo" es 0). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n Renta prepagable: Cuando el prmer captal de la renta se cobra/paga al prncpo del prmer ejercco (en t=0). (El argumento "tpo" es 1). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 80

81 Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 18 S exste un compromso de pagar unos captales de 6.000, a prncpo de cada uno de los próxmos 10 años. Cuál es el captal únco a pagar para lqudar la deuda s el tpo efectvo anual es el 3,7%? Es decr, Cuál es el valor actual equvalente a la renta prepagable? a n = ( 1 ( 1+ ) n ) a 10 3,7% = (1 (1 + 0,037) 0,037 = 8, ) V VA = * V = 6.000* a 0 n n ,7% V a = * VF a n = 6.000*8,2333 = ,37 81

82 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Rentas perpetuas Renta perpetua y pospagable: La duracón de la renta es perpetua, n. Por tanto, en rentas perpetuas no se obtenen valores fnales Por qué? El símbolo del valor actual de este tpo de rentas es a y se obtene de: a ( 1+ ) ( 1+ ) + ( 1+ ) +... = 1 1 ( 1+ ) = 1 = 1 El resultado fnal es el captal que habría que colocar en el momento ncal para poder cobrar una undad monetara al fnal de cada período con carácter ndefndo (perpetuo). 82

83 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Es mportante destacar que en las rentas perpetuas NO tene sentdo hablar del valor fnal (VF) ya que la duracón (n) es nfnta. Cuando la renta perpetua es de cuantía constante y pospagable, la formula para encontrar el valor actual (VA) es:, VA = VF a = pm * VF pm 83

84 Renta perpetua y prepagable: Este tpo de rentas, tenen como prncpal característca el pago nfnto de las cuantías que ntegran el captal únco equvalente. El valor actual (VA) se anota smbólcamente así: Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes ä = 1 1 ( 1+ ) ( 1+ ) + ( 1+ ) +... = 1 ä = 1+ S la renta es V&& A = VF ä constante, VA es: pm * 84

85 RENTAS CONSTANTES Fracconadas Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Una renta constante anual se puede fracconar m períodos guales. En rentas fracconadas, cada cuantía y cada período de maduracón se dvde en m partes guales y se establece la aplcacón byectva entre cada cuantía y cada subperíodo de maduracón. Para estmar el valor actual (VA) de una renta constante en períodos nferores al año (meses, trmestres...), es necesaro que todas las varables estén en la msma undad de tempo: Por ejemplo, s la renta es trmestral: El captal será trmestral (A 3 ) El tempo son trmestres (n=4) El tpo de nterés será trmestral ( 4 ) 85

86 Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Casos Práctcos Ejemplo Nº 19 Una persona desea obtener los valores actual (VA) y fnal (VF) de una renta fracconada valorada a un tpo de nterés efectvo anual del 12% en el sguente supuesto: º) Cuantías trmestrales constantes y pospagables de euros durante 10 años. 86

87 Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Solucón del supuesto: /4 2/4 3/4 1/4 2/4 3/4 t 0 t 1 t 9 t 10 El valor actual es: VA VF = * a n n VA = VF *( 1 ( 1+ ) ) / VA = *(( 1 ( , ) ) / 0, 02874) VA =2500. *( 25, 5939) VA = , t j = ( 1+ )

88 Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Y el valor fnal es: VF VF VA = * s n = VA* (( 1+ ) / n 4) 1 4 VF = *(( , ) 40 1) / 0, 02874) VF VF VF =2500. *( 21058, / 0, 02874) =2500. *( 73, 2792) = , t j = ( 1+ )

89 Recordando el Esquema Metodología de análss de las Rentas Constantes y Varables: RENTAS CONSTANTES RENTAS VARIABLES Anuales Valor Actual (VA) Valor Fnal (VF) Rentas Prepagables y Pospagables Rentas Perpetuas Fracconadas Anuales En progresón geométrca En progresón artmétca Fracconadas 89

90 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables RENTAS VARIABLES GENERALES En este tpo de rentas los térmnos son dferentes entre sí y su varacón no sgue nnguna ley conocda. Exsten 4 tpos de rentas varables generales: Renta Pospagable Renta Prepagable Renta Dferda Renta Antcpada 90

91 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Pospagable R: a 1 a 2 a s. a n t 0 t 1 t 2 t s t n Su Valor Actual se calcula así: VA = a n 1 2 n 1 *( 1+ ) + a2 *( 1+ ) an *( 1+ ) = as *( 1 s= 1 + ) s Y su Valor Fnal: VF = a n n 1 n 2 1 *( 1+ ) + a2 *( 1+ ) an = as *( 1 s= 1 + ) n s 91

92 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Prepagable R & a 1 a 2... a s... a n t 0 t 1 t s-1 t n-1 t n IMPORTANTE: En las rentas varables, al gual que en las constantes, el operador matemátco <<1+ >> permte obtener el valor de una renta prepagable a partr del correspondente valor de la pospagable. 92

93 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Dferda ( 1+ d ) *Vd V d a 1 a 2... a n 0 d d+1 d+2 d+n dfermento Al valorar la renta en d se obtene el valor V d correspondente a una renta nmedata; para trasladar este valor a 0 hay que multplcar por el factor de actualzacón (1+d) -d. Por tanto: d / d VA =1+ ( ) * V d 93

94 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Antcpada VF a 1 a 2... a n ( 1+ ) k *VF 0 t 1 t 2 t n n-k Antcpamento El valorar de la renta en n es VA (valor fnal de la renta nmedata) y hay que multplcarlo por (1+) k para trasladarlo a n+k. En consecuenca: k / + k VF =1 ( ) * V F 94

95 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA En estas rentas cada térmno se obtene a partr del anteror multplcándolo por un número q que le denomnaremos RAZÓN GEOMÉTRICA. La razón ha de ser postva q > 0. Cuando q > 1 los térmnos crecen y cuando q < 1 los térmnos decrecen. Al gual que las rentas constantes, las rentas varables en progresón geométrca pueden ser: Cuando la renta es temporal y pospagable. Cuando la renta es perpetua y pospagable. Cuando la renta es temporal y prepagable. Cuando la renta es perpetua y prepagable 95

96 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Por ejemplo, una renta temporal y pospagable en progresón geométrca se calcularía así: a 1 a 2 * q a 3 * q 2... a n * q n-1 t 0 t 1 t 2 t 3 t n A ( a; q) n Para obtener VA, cuyo símbolo estará representado por se valorarán en el orgen estos captales y después se sumarán: 1 2 n 1 A( a; q) = C *( 1+ ) + C * q *( 1+ ) C * q *( 1+ ) n = C *( 1+ ) * 1 n 1 ( n 1 [ 1+ q *( 1+ ) q *( 1+ ) ] = 1 ) n = 96

97 97 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Dentro del corchete se tene la suma de térmnos de renta en progresón geométrca de razón q*(1+) -1 =q/(1+) ) *( ) ( * ) *( q q C n = q q C q C A n n + + = * ) ; ( Y el cálculo del Valor Fnal (VF) sería: q q C q C A q C S n n n n n + + = + = ) ( * ) ; ( * ) ( ) ; (

98 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA En estas rentas cada térmno de renta se obtene en funcón del anteror sumándole una cuantía constante r que le llamaremos RAZÓN ARITMÉTICA. Esta razón puede ser postva o negatva; s es negatva estará condconada a que el últmo térmno de renta será postvo. Al gual que en la progresón geométrca, exsten cuatro tpo de rentas según su temporabldad y capacdad de lqudacón. 98

99 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Por ejemplo, una renta temporal y pospagable en progresón artmétca se calcularía así: a 1 a 2 + r a 3 + 2*r... a n + (n-1)*r t 0 t 1 t 2 t 3 t n A ( a; r) n Para obtener VA: A( C; r) n = C + r * a n r * n*( 1+ ) n Para obtener VF: n r r* n S( C; r) n = ( 1+ ) * A( C; r) n = C+ * sn 99

100 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables VALORACIÓN DE INVERSIONES Tal y como se ha menconado en la dapostva 13 de este materal, las decsones fnanceras comprenden dos tpos: las de nversón y las de fnancacón. Desde la perspectva de la valoracón fnancera, ambas operacones son duales la una de la otra, por lo que las defnremos así: Operacón de Inversón: Cuando en prmer lugar se desembolsa el captal y luego se va recuperando a lo largo del tempo. Operacón de Fnancacón: Cuando en prmer lugar se recbe el captal y luego se va devolvendo a lo largo del tempo. 100

101 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Las nversones se pueden clasfcar desde dstntos puntos de vsta, nosotros utlzaremos la sguente: Inversones reales: Cuando se trata de actvos físcos tales como edfcos, maqunara, equpo de ofcna, etc. Este tpo de nversones suele clasfcarse como operacones a largo plazo. Inversones fnanceras: Cuando se concretan en títulos de valores, y por lo regular se realzan en horzontes económcos cortos. 101

102 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables El esquema gráfco de una nversón es: -C 0 R 1 R 2 R s R n t 0 t 1 t 2 s t n En el que: C 0 es el desembolso ncal que genera la nversón. R s, con s=1,2,3,,n, son los rendmentos netos futuros que produce la nversón en cada uno de los períodos de maduracón. n, es la duracón u horzonte económco de la nversón. 102

103 Exsten dversos crteros para la eleccón de nversones. Los más destacados son: Valor Actual Neto (VAN): Tasa Interna de Rentabldad (TIR): Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables CRITERIOS DE DECISIÓN PARA LA ELECCIÓN DE INVERSIONES Ambos crteros son métodos de evaluacón de actvos que: Establecen la equvalenca fnancera en el punto de orgen. Resumen toda la nformacón de la nversón en una sola cuantía. Permten conocer s una nversón es aceptable o no. Ordena y seleccona nversones según su benefco actual esperado. 103

104 Se defne como el valor actual de la renta que forman los rendmentos netos restándole el captal ncal que se desembolsa en el orgen. Su especfcacón matemátca es: n VAN Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables VALOR ACTUAL NETO (VAN) = C + R S *1 ( + ) 0 s= 1 El resultado obtendo de esta expresón se denomna benefco actual neto esperado de cualquer nversón. Por tanto el VAN permte: Conocer s la nversón es aceptable (VAN>0) o no (VAN>0) S 104

105 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Por tanto, s los rendmentos netos forma una renta constante: VAN = R * an C 0 S los rendmentos netos forma una renta varable tendríamos: VAN = A( C; q) n C0 Progresón Geométrca VAN = A( C; r) n C0 Progresón Artmétca 105

106 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables TASA INTERNA DE RENTABILIDAD (TIR) Es el tanto que guala fnanceramente los rendmentos netos de la nversón al desembolso efectuado en el momento ncal (C 0 ). La TIR se obtene despejando la sguente gualdad: C 0 n = R S *1 ( + TIR) s= 1 S La TIR de una nversón es la rentabldad anual por undad monetara nvertda. Este tema se retomará al fnal del tema III. 106

107 Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Casos Práctcos Ejemplo Nº 20 Una empresa necesta establecer el orden de preferenca de dos nversones aplcando el crtero VAN. La cuantía ncal es de euros, tenen la msma duracón (5años) y el tpo de nterés efectvo anual es del 15%. Rendmentos Netos Anuales Inversón Co R1 R2 R3 R4 R5 A B

108 Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Solucón aplcando el VAN Inversón A: Rendmentos de una renta constante (40.000) VAN R* a = n C 0 VAN = * a = = 5 1 ( , ) * , * , , = 108

109 Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Inversón B: Rendmentos de una renta varable en progresón artmétca de r = VAN = A( C; r) n C0 = A( ;. ) 5 % = * a 015, , * 5*( , ) 015, = ( , * , ) , = 109

110 Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema III. OPERACIONES FINANCIERAS 110

111 III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras Concepto Operacones Fnanceras III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras Es un ntercambo no smultáneo de captales fnanceros entre las partes que ntervenen en dcho proceso de tal forma que los compromsos o acuerdos sean equvalentes. Por tanto, el concepto de operacón fnancera exge: Debe exstr cualquer temporabldad o duracón de la operacón. Intervendrán más de dos partes (físcas o jurídcas). Introduccón de dos nuevos conceptos: prestacón y contraprestacón. 111

112 Clasfcacón Operacones Fnanceras III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras Exsten dstntas perspectvas de clasfcacón de las Operacones Fnanceras, las más mportantes son: 1º Por el número de captales Operacones Smples Operacones Compuestas 2º Por su duracón Operacones a corto plazo Operacones a largo plazo 112

113 Operacones Fnanceras III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras 3º Por la ley fnancera Operacones de captalzacón Operacones de descuento 4º Por el objetvo Operacones de fnancacón Operacones de nversón 113

114 Operacones Fnanceras III.2 Equvalenca Fnancera III.2 Equvalenca fnancera En TODA operacón fnancera los compromsos acordados (prestacón y contraprestacón) entre dos partes deberán ser EQUIVALENTES. Es decr, una vez concertada una de las 5 leyes fnanceras de valoracón, la suma total de los captales fnanceros de la prestacón deberán ser guales a la suma de los captales fnanceros de la contraprestacón. Representado matemátcamente: n * ( ) n s C C` * ( ) n`s s 1 + = s 1 + s= 1 m s= 1 114

115 Operacones Fnanceras III.2 Equvalenca Fnancera III.3 Saldo Fnancero El saldo fnancero en un momento t del transcurso de la operacón fnancera es el captal que mde la dferenca entre la contraprestacón y la prestacón ya cumpldos por las partes. La ecuacón de la equvalenca de la operacón fnancera en t es: S S = S + S S S = S S = R t ( R t ; t) ( ) Por tanto, el captal es el saldo de la operacón cuya cuantía puede obtenerse de dos formas dstntas: R t Por dferenca entre los compromsos pasados: Por dferenca entre los compromsos futuros: S1 S 1 S 2 S 2 115

116 Bblografía: De Pablo López, Andres (2002). Valoracón Fnancera. Edtoral Centro de Estudos Ramón Areces, S.A. Tercera Edcón. Mendoza Resco, Carmen (2009). Matemátcas Fnanceras. UAM Edcones. Navarro, Elseo y Nave, Juan (2001). Fundamentos de Matemátcas Fnanceras. Edtor Anton Bosch. 116

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO CUESTIONARIO Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO 1. Cuánto vale una Letra del Tesoro, en tanto por cento de nomnal, s calculamos su valor al 3% de nterés y faltan 5 días para su vencmento? A) 97,2

Más detalles

Material realizado por J. David Moreno y María Gutiérrez. Asignatura: Economía Financiera

Material realizado por J. David Moreno y María Gutiérrez. Asignatura: Economía Financiera Tema - MATEMÁTICAS FINANCIERAS Materal realzado por J. Davd Moreno y María Gutérrez Unversdad Carlos III de Madrd Asgnatura: Economía Fnancera Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez Advertenca

Más detalles

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I CURSO 0/04 PRIMERA SEMANA Día 7/0/04 a las 6 horas MATERIAL AUXILIAR: Calculadora fnancera DURACIÓN: horas. a) Captal fnancero aleatoro: Concepto. Equvalente

Más detalles

TEMA 8: PRÉSTAMOS ÍNDICE

TEMA 8: PRÉSTAMOS ÍNDICE TEM 8: PRÉSTMOS ÍNDICE 1. CONCEPTO DE PRÉSTMO: SISTEMS DE MORTIZCIÓN DE PRÉSTMOS... 1 2. NOMENCLTUR PR PRÉSTMOS DE MORTIZCIÓN FRCCIOND... 3 3. CUDRO DE MORTIZCIÓN GENERL... 3 4. MORTIZCIÓN DE PRÉSTMO MEDINTE

Más detalles

1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son:

1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son: ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES. Departamento de Economía Aplcada (Matemátcas). Matemátcas Fnanceras. Relacón de Problemas. Rentas. 1.- Una empresa se plantea una nversón cuyas característcas

Más detalles

Rentas financieras. Unidad 5

Rentas financieras. Unidad 5 Undad 5 Rentas fnanceras 5.. Concepto de renta 5.2. Clasfcacón de las rentas 5.3. Valor captal o fnancero de una renta 5.4. Renta constante, nmedata, pospagable y temporal 5.4.. Valor actual 5.4.2. Valor

Más detalles

Matemáticas Financieras

Matemáticas Financieras Matemáticas Financieras Francisco Pérez Hernández Departamento de Financiación e Investigación de la Universidad Autónoma de Madrid Objetivo del curso: Profundizar en los fundamentos del cálculo financiero,

Más detalles

OPERACIONES ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS

OPERACIONES ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS P L V S V LT R A BANCO DE ESPAÑA OPERACIONES Gestón de la Informacón ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS El proceso de ntegracón fnancera dervado de la Unón Monetara exge la

Más detalles

2.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR). Flujo de Caja Netos en el Tiempo

2.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR). Flujo de Caja Netos en el Tiempo Evaluacón Económca de Proyectos de Inversón 1 ANTECEDENTES GENERALES. La evaluacón se podría defnr, smplemente, como el proceso en el cual se determna el mérto, valor o sgnfcanca de un proyecto. Este proceso

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

Créditos Y Sistemas de Amortización: Diferencias, Similitudes e Implicancias

Créditos Y Sistemas de Amortización: Diferencias, Similitudes e Implicancias Crédtos Y Sstemas de Amortzacón: Dferencas, Smltudes e Implcancas Introduccón Cuando los ngresos de un agente económco superan su gasto de consumo, surge el concepto de ahorro, esto es, la parte del ngreso

Más detalles

TEMA 10. OPERACIONES PASIVAS Y OPERACIONES ACTIVAS.

TEMA 10. OPERACIONES PASIVAS Y OPERACIONES ACTIVAS. GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 10. OPERACIONES PASIVAS Y OPERACIONES ACTIVAS. 1.- Funconamento de las cuentas bancaras. FUNCIONAMIENTO DE LAS CUENTAS BANCARIAS. Las cuentas bancaras se dvden en tres partes:

Más detalles

Comparación entre distintos Criterios de decisión (VAN, TIR y PRI) Por: Pablo Lledó

Comparación entre distintos Criterios de decisión (VAN, TIR y PRI) Por: Pablo Lledó Comparacón entre dstntos Crteros de decsón (, TIR y PRI) Por: Pablo Lledó Master of Scence en Evaluacón de Proyectos (Unversty of York) Project Management Professonal (PMP certfed by the PMI) Profesor

Más detalles

I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta 12 b. $60.000 durante 63 días al 9%. I =$60.000 t =63 días i =0,09

I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta 12 b. $60.000 durante 63 días al 9%. I =$60.000 t =63 días i =0,09 Problemas resueltos de matemátcas fnancera Indce 1. Problemas de Interés Smple 2. Problemas de Descuento 3. Transformacón de Tasas 4. Problemas de Interés Compuesto 5. Problemas de Anualdades Vencdas 6.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1. PROBLEMAS DE INTERÉS SIMPLE 2.

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1. PROBLEMAS DE INTERÉS SIMPLE 2. Indce 1. Problemas de Interés Smple 2. Problemas de Descuento 3. Transformacón de Tasas 4. Problemas de Interés Compuesto 5. Problemas de Anualdades Vencdas 6. Problemas de Anualdades Antcpadas 7. Problemas

Más detalles

Economía de la Empresa: Financiación

Economía de la Empresa: Financiación Economía de la Empresa: Fnancacón Francsco Pérez Hernández Departamento de Fnancacón e Investgacón de la Unversdad Autónoma de Madrd Objetvo del curso: Dentro del contexto de Economía de la Empresa, se

Más detalles

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública Undad Central del Valle del Cauca Facultad de Cencas Admnstratvas, Económcas y Contables Programa de Contaduría Públca Curso de Matemátcas Fnanceras Profesor: Javer Hernando Ossa Ossa Ejerccos resueltos

Más detalles

EJERCICIOS REPASO I. Profesor: Juan Antonio González Díaz. Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide

EJERCICIOS REPASO I. Profesor: Juan Antonio González Díaz. Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide EJERCICIOS REPASO I Profesor: Juan Antono González Díaz Departamento Métodos Cuanttatvos Unversdad Pablo de Olavde 1 EJERCICIO 1: Un nversor se plantea realzar varas operacones de las que desea obtener

Más detalles

Matemática Financiera Sistemas de Amortización de Deudas

Matemática Financiera Sistemas de Amortización de Deudas Matemátca Fnancera Sstemas de Amortzacón de Deudas 7 Qué aprendemos Sstema Francés: Descomposcón de la cuota. Amortzacones acumuladas. Cálculo del saldo. Evolucón. Representacón gráfca. Expresones recursvas

Más detalles

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO F UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO ACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATERIAL DIDÁCTICO: EJERCICIOS RESUELTOS PARA MATEMÁTICAS FINANCIERAS presenta: DR. FERNANDO AVILA CARREÓN

Más detalles

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. En el siguiente capítulo se presenta al inicio, definiciones de algunos conceptos actuariales

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. En el siguiente capítulo se presenta al inicio, definiciones de algunos conceptos actuariales CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA En el sguente capítulo se presenta al nco, defncones de algunos conceptos actuarales que se utlzan para la elaboracón de las bases técncas del Producto de Salud al gual que la metodología

Más detalles

RESUELTOS POR M. I. A. MARIO LUIS CRUZ VARGAS PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

RESUELTOS POR M. I. A. MARIO LUIS CRUZ VARGAS PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS. En las msmas condcones, qué tpo de anualdades produce un monto mayor: una vencda o una antcpada? Por qué? Las anualdades antcpadas producen un monto mayor

Más detalles

Matemática Financiera - Rentas constantes

Matemática Financiera - Rentas constantes Matemátca Fnancera - Rentas constantes Marek Šulsta Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Ekonomcká fakulta Katedra aplkované matematky a nformatky Unversdad de Bohema Sur Faculdad de Economía Departmento

Más detalles

1. Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación)

1. Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación) Apuntes: Matemátcas Fnanceras 1. Leccón 7 - Rentas - Valoracón (Contnuacón) 1.1. Valoracón de Rentas: Constantes y Dferdas 1.1.1. Renta Temporal y Pospagable En este caso, el orgen de la renta es un momento

Más detalles

FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA TEMA 2- Parte III CONCEPTO DE INVERSIÓN Y CRITERIOS PARA SU VALORACIÓN

FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA TEMA 2- Parte III CONCEPTO DE INVERSIÓN Y CRITERIOS PARA SU VALORACIÓN FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA TEMA 2- Parte III CONCEPTO DE INVERSIÓN Y CRITERIOS PARA SU VALORACIÓN 1 CÁLCULO DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA Y TOMA DE DECISIONES DE INVERSIÓN PRODUCTIVA Peculardades

Más detalles

CESMA BUSINESS SCHOOL

CESMA BUSINESS SCHOOL CESMA BUSINESS SCHOOL MATEMÁTICAS FINANCIERAS. TEMA 4 RENTAS y MÉTODOS DE AMORTIZACIÓN Javer Blbao García 1 1.- Introduccón Defncón: Conjunto de captales con vencmentos equdstantes de tempo. Para que exsta

Más detalles

OFICINA DE CAPACITACIÓN, PRODUCCIÓN DE TECNOLOGÍA Y COOPERACIÓN TÉCNICA BIENVENIDOS(AS) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

OFICINA DE CAPACITACIÓN, PRODUCCIÓN DE TECNOLOGÍA Y COOPERACIÓN TÉCNICA BIENVENIDOS(AS) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS OFICIN DE CPCITCIÓN, PRODUCCIÓN DE TECNOLOGÍ Y COOPERCIÓN TÉCNIC CURSO FUNDMENTOS DE MTEMÁTICS FINNCIERS IH: 30 HORS DURCIÓN: 5 SEMNS MODLIDD: PRESENCIL INICIO Grupo 01: INICIO Grupo 02: martes 4 de novembre

Más detalles

Histogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos.

Histogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos. ESTADÍSTICA I. Recuerda: Poblacón: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determnada propedad, que llamamos carácter estadístco. Los elementos de la poblacón se llaman ndvduos. Muestra:

Más detalles

Rentas o Anualidades

Rentas o Anualidades Rentas o Anualdades Patrca Ksbye Profesorado en Matemátca Facultad de Matemátca, Astronomía y Físca 10 de setembre de 2013 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 1 / 31 Introduccón Rentas o Anualdades

Más detalles

GUIA DE ALCANCE FINANCIERO CAE OPERACIONES DE CRÉDITO HIPOTECARIO

GUIA DE ALCANCE FINANCIERO CAE OPERACIONES DE CRÉDITO HIPOTECARIO INTRODUCCIÓN La ley 2.555 publcada el día 5 de dcembre de 211 y que entró en vgenca el día 4 de marzo de 212, que modca la ley 19.496 Sobre Proteccón de los Derechos de los Consumdores (LPC, regula desde

Más detalles

12-16 de Noviembre de 2012. Francisco Javier Burgos Fernández

12-16 de Noviembre de 2012. Francisco Javier Burgos Fernández MEMORIA DE LA ESTANCIA CON EL GRUPO DE VISIÓN Y COLOR DEL INSTITUTO UNIVERSITARIO DE FÍSICA APLICADA A LAS CIENCIAS TECNOLÓGICAS. UNIVERSIDAD DE ALICANTE. 1-16 de Novembre de 01 Francsco Javer Burgos Fernández

Más detalles

Relaciones entre variables

Relaciones entre variables Relacones entre varables Las técncas de regresón permten hacer predccones sobre los valores de certa varable Y (dependente), a partr de los de otra (ndependente), entre las que se ntuye que exste una relacón.

Más detalles

Clase 25. Macroeconomía, Sexta Parte

Clase 25. Macroeconomía, Sexta Parte Introduccón a la Facultad de Cs. Físcas y Matemátcas - Unversdad de Chle Clase 25. Macroeconomía, Sexta Parte 12 de Juno, 2008 Garca Se recomenda complementar la clase con una lectura cudadosa de los capítulos

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Soluconaro 7 Números complejos ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Clasfca los sguentes números, dcendo a cuál de los conjuntos numércos pertenece (entendendo como tal el menor conjunto). a) 0 b) 6 c) d) e) 0 f)

Más detalles

2.5 Especialidades en la facturación eléctrica

2.5 Especialidades en la facturación eléctrica 2.5 Especaldades en la facturacón eléctrca Es necesaro destacar a contnuacón algunos aspectos peculares de la facturacón eléctrca según Tarfas, que tendrán su mportanca a la hora de establecer los crteros

Más detalles

TEMA 7 RENTAS FRACCIONADAS

TEMA 7 RENTAS FRACCIONADAS TEMA 7 RENTAS FRACCIONADAS. INTRODUCCIÓN En la actvdad normal de las entdades fnanceras es muy frecuente ue la perodcdad con ue se hacen efectvos los sucesvos térmnos no sean anuales, como hasta ahora

Más detalles

TEMA 6. La producción, el tipo de interés y el tipo de cambio: el modelo Mundell-Fleming

TEMA 6. La producción, el tipo de interés y el tipo de cambio: el modelo Mundell-Fleming TEMA 6. La produccón, el tpo de nterés y el tpo de cambo: el modelo Mundell-Flemng Anhoa Herrarte Sánchez Dpto. de Análss Económco: Teoría Económca e Hstora Económca Curso 2010-2011 Bblografía 1. Blanchard,

Más detalles

VP = 1 VF. Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo.

VP = 1 VF. Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes UNIDAD II. FACTORES USADOS EN LA INGENIERÍA ECONÓMICA Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Saber: Descrbr los factores

Más detalles

Tema 1: Estadística Descriptiva Unidimensional Unidad 2: Medidas de Posición, Dispersión y de Forma

Tema 1: Estadística Descriptiva Unidimensional Unidad 2: Medidas de Posición, Dispersión y de Forma Estadístca Tema 1: Estadístca Descrptva Undmensonal Undad 2: Meddas de Poscón, Dspersón y de Forma Área de Estadístca e Investgacón Operatva Lceso J. Rodríguez-Aragón Septembre 2010 Contendos...............................................................

Más detalles

C I R C U L A R N 2.133

C I R C U L A R N 2.133 Montevdeo, 17 de Enero de 2013 C I R C U L A R N 2.133 Ref: Insttucones de Intermedacón Fnancera - Responsabldad patrmonal neta mínma - Susttucón de la Dsposcón Transtora del art. 154 y de los arts. 158,

Más detalles

GANTT, PERT y CPM INDICE

GANTT, PERT y CPM INDICE GANTT, PERT y CPM INDICE 1 Antecedentes hstórcos...2 2 Conceptos báscos: actvdad y suceso...2 3 Prelacones entre actvdades...3 4 Cuadro de prelacones y matrz de encadenamento...3 5 Construccón del grafo...4

Más detalles

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS FÍSICAS: MEDIDA DE UNA MASA

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS FÍSICAS: MEDIDA DE UNA MASA CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS FÍSICAS: MEDIDA DE UNA MASA Alca Maroto, Rcard Boqué, Jord Ru, F. Xaver Rus Departamento de Químca Analítca y Químca Orgánca Unverstat Rovra Vrgl. Pl. Imperal Tàrraco,

Más detalles

Prof. Antonio Santillana del Barrio y Ainhoa Herrarte Sánchez Universidad Autónoma de Madrid Curso 2012-2013

Prof. Antonio Santillana del Barrio y Ainhoa Herrarte Sánchez Universidad Autónoma de Madrid Curso 2012-2013 Tema 6 El modelo IS-LM Prof. Antono Santllana del Barro y Anhoa Herrarte Sánchez Unversdad Autónoma de Madrd Curso 2012-2013 Bblografía oblgatora Capítulo 5, Macroeconomía, (Blanchard et al) Apuntes de

Más detalles

Introducción al riesgo de crédito

Introducción al riesgo de crédito Introduccón al resgo de crédto Estrella Perott Investgador Senor Bolsa de Comerco de Rosaro eperott@bcr.com.ar. Introduccón El resgo credtco es el resgo de una pérdda económca como consecuenca de la falta

Más detalles

Lo que necesito saber de mi Tarjeta de Crédito

Lo que necesito saber de mi Tarjeta de Crédito Lo que necesto saber de m Tarjeta de Crédto Informatvo tarjetas de crédto bancaras Cómo obtener una 3 Qué es una La tarjeta de crédto es un medo de pago que permte a los clentes utlzar una línea de crédto

Más detalles

Una renta fraccionada se caracteriza porque su frecuencia no coincide con la frecuencia de variación del término de dicha renta.

Una renta fraccionada se caracteriza porque su frecuencia no coincide con la frecuencia de variación del término de dicha renta. Rentas Fnanceras. Renta fracconada 6. RETA FRACCIOADA Una renta fracconada se caracterza porque su frecuenca no concde con la frecuenca de varacón del térmno de dcha renta. Las característcas de la renta

Más detalles

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 132 GUIS DE CTIIDDES Y TJO PCTICO Nº 22 OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la nformacón de un vector.

Más detalles

Valoración de Instrumentos del Vector de Precios

Valoración de Instrumentos del Vector de Precios Valoracón de Instrumentos del Vector de Precos VERSIÓN DICIEMBRE VERSIÓN DICIEMBRE CONTENIDO INTRODUCCIÓN.... INSTRUMENTOS FINANCIEROS.... Títulos de Deuda de Emsores Públcos... A) Bonos de Establzacón

Más detalles

Trabajo y Energía Cinética

Trabajo y Energía Cinética Trabajo y Energía Cnétca Objetvo General Estudar el teorema de la varacón de la energía. Objetvos Partculares 1. Determnar el trabajo realzado por una fuerza constante sobre un objeto en movmento rectlíneo..

Más detalles

METODOLOGÍAS SISTEMA INTEGRAL DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS

METODOLOGÍAS SISTEMA INTEGRAL DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS METODOLOGÍAS SISTEMA INTEGRAL DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS SIARGAF 4.0 FEBRERO 008 CONTENIDO..... Valor en Resgo aramétrco... A) Meddas de Sensbldad... B) Meddas Estadístcas... 6 C) Volatldad... 7 D) Valor

Más detalles

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. (IV): Ajustes de Tendencia

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. (IV): Ajustes de Tendencia Investgacón y Técncas de Mercado Prevsón de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. (IV): s de Tendenca Profesor: Ramón Mahía Curso 00-003 I.- Introduccón Hasta el momento,

Más detalles

Ingeniería Económica y Análisis Financiero Finanzas y Negocios Internacionales Parcial 3 Diciembre 10 de Nombre Código.

Ingeniería Económica y Análisis Financiero Finanzas y Negocios Internacionales Parcial 3 Diciembre 10 de Nombre Código. Ingenería Económca y Análss Fnancero Fnanzas y Negocos Internaconales Parcal 3 Dcembre 0 de 20 Nombre Códgo Profesor: Escrba el nombre de sus compañeros Al frente Izquerda Atrás Derecha Se puede consultar

Más detalles

LECCIÓN Nº 11 y 12 ANUALIDADES VENCIDAS

LECCIÓN Nº 11 y 12 ANUALIDADES VENCIDAS UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI LECCIÓN Nº 11 y 12 ANUALIDADES VENCIDAS OBJETIVO: El objetvo de este captulo es reconocer, defnr y clasfcar los dferentes de tpos de anualdades y en espacal las anualdades

Más detalles

INSTRUCTIVO No. SP 04 / 2002 INSTRUCTIVO PARA LA DETERMINACIÓN Y CÁLCULO DEL SALARIO BÁSICO REGULADOR

INSTRUCTIVO No. SP 04 / 2002 INSTRUCTIVO PARA LA DETERMINACIÓN Y CÁLCULO DEL SALARIO BÁSICO REGULADOR El Superntendente de Pensones, en el ejercco de las facultades legales contempladas en el artículo 13, lteral b) de la Ley Orgánca de la Superntendenca de Pensones, EMITE el : INSTRUCTIVO No. SP 04 / 2002

Más detalles

DEFINICIÓN DE INDICADORES

DEFINICIÓN DE INDICADORES DEFINICIÓN DE INDICADORES ÍNDICE 1. Notacón básca... 3 2. Indcadores de ntegracón: comerco total de benes... 4 2.1. Grado de apertura... 4 2.2. Grado de conexón... 4 2.3. Grado de conexón total... 5 2.4.

Más detalles

Lo que necesito saber de mi tarjeta de crédito

Lo que necesito saber de mi tarjeta de crédito Lo que necesto saber de m tarjeta de crédto Informatvo tarjetas de crédto bancaras Cómo obtener una tarjeta de crédto 3 Qué es una tarjeta de crédto La tarjeta de crédto es un medo de pago que permte a

Más detalles

De factores fijos. Mixto. Con interacción Sin interacción. No equilibrado. Jerarquizado

De factores fijos. Mixto. Con interacción Sin interacción. No equilibrado. Jerarquizado Análss de la varanza con dos factores. Introduccón Hasta ahora se ha vsto el modelo de análss de la varanza con un factor que es una varable cualtatva cuyas categorías srven para clasfcar las meddas de

Más detalles

PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS

PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS Contendo:. Introduccón.. Fondos Mutuos. Rendmento y Resgo.. Parámetros estadístcos de un Portafolo de Tres Actvos. a) El Retorno de un Portafolo. b) El Resgo de un

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingeniería Informática Examen de Investigación Operativa 21 de enero de 2009

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingeniería Informática Examen de Investigación Operativa 21 de enero de 2009 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingenería Informátca Examen de Investgacón Operatva 2 de enero de 2009 PROBLEMA. (3 puntos) En Murca, junto al río Segura, exsten tres plantas ndustrales: P, P2 y P3. Todas

Más detalles

1. Sustituir el punto 1.1. de la Sección 1. de las normas sobre Tasas de interés en las operaciones de crédito por el siguiente:

1. Sustituir el punto 1.1. de la Sección 1. de las normas sobre Tasas de interés en las operaciones de crédito por el siguiente: "2014 - AÑO DE HOMENAJE AL ALMIRANTE GUILLERMO BROWN, EN EL BICENTENARIO DEL COMBATE NAVAL DE MONTEVIDEO" COMUNICACIÓN A 5590 10/06/2014 A LAS ENTIDADES FINANCIERAS, A LAS CAJAS DE CRÉDITO COOPERATIVAS

Más detalles

Capítulo 5 Anualidades.

Capítulo 5 Anualidades. Capítulo 5 Anualdades. Hasta ahora solo hemos estudado operacones fnanceras que se componen de un captal únco (captal ncal o monto), por ejemplo, podemos saber el valor presente de una suma de dnero en

Más detalles

PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA ANALÓGICA (Diodos)

PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA ANALÓGICA (Diodos) PROBLEMAS DE ELECTRÓNCA ANALÓGCA (Dodos) Escuela Poltécnca Superor Profesor. Darío García Rodríguez . En el crcuto de la fgura los dodos son deales, calcular la ntensdad que crcula por la fuente V en funcón

Más detalles

EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I)

EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I) EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I) En un expermento comercal el nvestgador modfca algún factor (denomnado varable explcatva o ndependente) para observar el efecto de esta modfcacón sobre otro factor (denomnado

Más detalles

El Modelo IS-LM. El modelo IS-LM

El Modelo IS-LM. El modelo IS-LM El Modelo IS-LM El modelo IS-LM 4. Introduccón 4.2 La demanda agregada: La funcón de nversón 4.3 Equlbro del mercado de benes: La curva IS 4.4 Equlbro del mercado de dnero: La curva LM 4.5 Equlbro de la

Más detalles

La planificación financiera

La planificación financiera Tema 5 La planfcacón fnancera 5.1 El paso de prevsones económcas a prevsones fnanceras Entre el plan fnancero de una empresa y su plan económco hay dferencas de la msma naturaleza que las estentes conceptualmente

Más detalles

Unidad I. 1. 1. Definición de reacción de combustión. 1. 2. Clasificación de combustibles

Unidad I. 1. 1. Definición de reacción de combustión. 1. 2. Clasificación de combustibles 2 Undad I.. Defncón de reaccón de combustón La reaccón de combustón se basa en la reaccón químca exotérmca de una sustanca (o una mezcla de ellas) denomnada combustble, con el oxígeno. Como consecuenca

Más detalles

Análisis de Regresión y Correlación

Análisis de Regresión y Correlación 1 Análss de Regresón y Correlacón El análss de regresón consste en emplear métodos que permtan determnar la mejor relacón funconal entre dos o más varables concomtantes (o relaconadas). El análss de correlacón

Más detalles

1.- Elegibilidad de estudiantes. 2.- Selección de estudiantes - 2 -

1.- Elegibilidad de estudiantes. 2.- Selección de estudiantes - 2 - Unversdad Euskal Herrko del País Vasco Unbertstatea NORMATIVA PARA SOCRATES/ERASMUS Y DEMÁS PROGRAMAS DE MOVILIDAD AL EXTRANJERO DE ALUMNOS (Aprobada en Junta de Facultad del día 12 de marzo de 2002) La

Más detalles

Modelado de Contratos en Modalidad de Take Or Pay

Modelado de Contratos en Modalidad de Take Or Pay Modelado de Contratos en Modaldad de Tae Or ay Enrque Brgla, UTE Elías Carnell, UTE Fernando Ron, UTE Resumen-- El objetvo del trabajo es modelar en el software de smulacón de sstemas eléctrcos SIMSEE,

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE AÑOS EXÁMENES PROPUESTOS Y RESUELTOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES CONVOCATORIAS DE --- F Jménez Gómez Este cuaderno

Más detalles

Valoración de Instrumentos del Vector de Precios

Valoración de Instrumentos del Vector de Precios Valoracón de Instrumentos del Vector de Precos VERSIÓN SEPTIEMBRE 9 VERSIÓN SEPTIEMBRE 9 CONTENIDO INTRODUCCIÓN.... INSTRUMENTOS FINANCIEROS.... Títulos de Deuda de Emsores Públcos... A) Bonos de Establzacón

Más detalles

El costo de oportunidad social de la divisa ÍNDICE

El costo de oportunidad social de la divisa ÍNDICE El Costo de Oportundad Socal de la Dvsa El costo de oportundad socal de la dvsa ÍNDICE. INTRODUCCIÓN. EL MARCO TEÓRICO 3. CÁLCULO DEL COSTO DE OPORTUNIDAD SOCIAL DE LA DIVISA 3. Nvel agregado 3. Nvel desagregado

Más detalles

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II PRACTICA 11: Crcutos no lneales elementales con el amplfcador operaconal OBJETIVO: El alumno se famlarzará con

Más detalles

LA FINANCIACION DE PROVEEDORES Y LA GESTION DE STOCKS. UNA VISION CONJUNTA.

LA FINANCIACION DE PROVEEDORES Y LA GESTION DE STOCKS. UNA VISION CONJUNTA. LA FINANCIACION DE PROVEEDORES Y LA GESTION DE STOCKS. UNA VISION CONJUNTA. Lucía Isabel García Cebrán Departamento de Economía y Dreccón de Empresas Unversdad de Zaragoza Gran Vía, 2 50.005 Zaragoza (España)

Más detalles

Ejercicios y Problemas Resueltos. Paquete didáctico para el curso de Macroeconomía I*

Ejercicios y Problemas Resueltos. Paquete didáctico para el curso de Macroeconomía I* Ejerccos y Problemas Resueltos Paquete ddáctco para el curso de Macroeconomía I* AZCAPOTZALCO Departamento de Economía Ma. Beatrz García Castro** Mayo de 2003 *Agradezco a la ayudante de nvestgacón Paola

Más detalles

Correlación y regresión lineal simple

Correlación y regresión lineal simple . Regresón lneal smple Correlacón y regresón lneal smple. Introduccón La correlacón entre dos varables ( e Y) se refere a la relacón exstente entre ellas de tal manera que a determnados valores de se asocan

Más detalles

CONTROVERSIAS A LAS BASES TÉCNICO ECONOMICAS PRELIMINARES PROCESO TARIFARIO CONCESIONARIA COMPAÑÍA DE TELÉFONOS DE COYHAIQUE S.A.

CONTROVERSIAS A LAS BASES TÉCNICO ECONOMICAS PRELIMINARES PROCESO TARIFARIO CONCESIONARIA COMPAÑÍA DE TELÉFONOS DE COYHAIQUE S.A. CONTROVERSIAS A LAS BASES TÉCNICO ECONOMICAS PRELIMINARES PROCESO TARIFARIO CONCESIONARIA COMPAÑÍA DE TELÉFONOS DE COYHAIQUE S.A. PERÍODO 201-2020 Introduccón Las Bases Técnco Económcas Prelmnares, en

Más detalles

1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo

1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Defncón del álgebra geométrca del espaco-tempo Defno el álgebra geométrca del espaco y tempo como el álgebra de las matrces

Más detalles

Unidad II: Análisis de la combustión completa e incompleta. 2. 1. Aire

Unidad II: Análisis de la combustión completa e incompleta. 2. 1. Aire 4 Undad II: Análss de la combustón completa e ncompleta. 1. Are El are que se usa en las reaccones de combustón es el are atmosférco. Ya se djo en la Undad I que, debdo a que n el N n los gases nertes

Más detalles

1. Introducción 2. El mercado de bienes y la relación IS 3. Los mercados financieros y la relación LM 4. El modelo IS-LM

1. Introducción 2. El mercado de bienes y la relación IS 3. Los mercados financieros y la relación LM 4. El modelo IS-LM Tema 4 Los mercados de benes y fnanceros: el modelo IS-LM Estructura del Tema 1. Introduccón 2. El mercado de benes y la relacón IS 3. Los mercados fnanceros y la relacón LM 4. El modelo IS-LM 4.1 La polítca

Más detalles

Tema 3. Estadísticos univariados: tendencia central, variabilidad, asimetría y curtosis

Tema 3. Estadísticos univariados: tendencia central, variabilidad, asimetría y curtosis Tema. Estadístcos unvarados: tendenca central, varabldad, asmetría y curtoss 1. MEDIDA DE TEDECIA CETRAL La meda artmétca La medana La moda Comparacón entre las meddas de tendenca central. MEDIDA DE VARIACIÓ

Más detalles

Análisis de Sistemas Multiniveles de Inventario con demanda determinística

Análisis de Sistemas Multiniveles de Inventario con demanda determinística 7 Congreso Naconal de Estadístca e Investgacón Operatva Lleda, 8- de abrl de 00 Análss de Sstemas Multnveles de Inventaro con demanda determnístca B. Abdul-Jalbar, J. Gutérrez, J. Scla Departamento de

Más detalles

ADENDA 008 LICITACIÓN L-CEEC-001-12

ADENDA 008 LICITACIÓN L-CEEC-001-12 ADENDA 008 LICITACIÓN L-CEEC-001-12 OBJETO: CONTRATACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN DE LA FASE I DEL RECINTO FERIAL, DEL CENTRO DE EVENTOS Y EXPOSICIONES DEL CARIBE PUERTA DE ORO POR EL SISTEMA DE ECIOS UNITARIOS

Más detalles

PRINCIPIOS PARA LA VALORACIÓN DE INVERSIONES

PRINCIPIOS PARA LA VALORACIÓN DE INVERSIONES PRINCIPIOS PARA LA VALORACIÓN DE INVERSIONES Y SELECCIÓN N DE PROYECTOS FELIPE ANDRÉS HERRERA R. - ING. ADMINISTRADOR Especalsta en Ingenería Fnancera Unversdad Naconal de Colomba Escuela de la Ingenería

Más detalles

Econometría. Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresión. Profesor: Carlos R. Pitta 1

Econometría. Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresión. Profesor: Carlos R. Pitta 1 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresón Profesor: Carlos R. Ptta 1 1 cptta@spm.uach.cl Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Parte 01: Comentes Señale

Más detalles

TEMA 6 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

TEMA 6 AMPLIFICADORES OPERACIONALES Tema 6 Amplfcadores peraconales ev 4 TEMA 6 AMPLIFICADES PEACINALES Profesores: Germán llalba Madrd Mguel A. Zamora Izquerdo Tema 6 Amplfcadores peraconales ev 4 CNTENID Introduccón El amplfcador dferencal

Más detalles

Texto comparativo en caracteres especiales (tachado y negrita) para resaltar los cambios respecto del texto de la Comunicación A 5369.

Texto comparativo en caracteres especiales (tachado y negrita) para resaltar los cambios respecto del texto de la Comunicación A 5369. Texto comparatvo en caracteres especales (tachado y negrta) para resaltar los cambos respecto del texto de la Comuncacón A 5369. Normas sobre Captales mínmos de las entdades fnanceras -Índce- Seccón 1.

Más detalles

Media es la suma de todas las observaciones dividida por el tamaño de la muestra.

Media es la suma de todas las observaciones dividida por el tamaño de la muestra. Estadístcos Los estadístcos son valores calculados con los datos de una varable cuanttatva y que mden alguna de las característcas de la dstrbucón muestral. Las prncpales característcas son: tendenca central,

Más detalles

Presentación. Carmen Alcaide Guindo Presidenta del INE

Presentación. Carmen Alcaide Guindo Presidenta del INE Presentacón El Índce de Precos de Consumo (PC), base 20, es el punto de partda de una nueva forma de concebr este ndcador, cuya característca prncpal es su rápda adaptacón a los cambos de la economía y,

Más detalles

CAPÍTULO 5 REGRESIÓN CON VARIABLES CUALITATIVAS

CAPÍTULO 5 REGRESIÓN CON VARIABLES CUALITATIVAS CAPÍTULO 5 REGRESIÓN CON VARIABLES CUALITATIVAS Edgar Acuña Fernández Departamento de Matemátcas Unversdad de Puerto Rco Recnto Unverstaro de Mayagüez Edgar Acuña Analss de Regreson Regresón con varables

Más detalles

Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio

Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio Análss de error tratamento de datos obtendos en el laboratoro ITRODUCCIÓ Todas las meddas epermentales venen afectadas de una certa mprecsón nevtable debda a las mperfeccones del aparato de medda, o a

Más detalles

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES INSTITUION EDUTIV L PRESENTION NOMRE LUMN: RE : MTEMÁTIS SIGNTUR: GEOMETRÍ DOENTE: JOSÉ IGNIO DE JESÚS FRNO RESTREPO TIPO DE GUI: ONEPTUL - EJERITION PERIODO GRDO FEH DURION 3 11 JUNIO 3 DE 2012 7 UNIDDES

Más detalles

Programa de Asesor Financiero (PAF) Nivel I

Programa de Asesor Financiero (PAF) Nivel I Programa de Asesor Fnancero (PAF) Nvel I MÓDULO 1_Fundamentos de la Inversón SOLUCIÓN_CUESTIONARIOS DEL LIBRO Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD Capítulo

Más detalles

TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO

TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO I.- ERRORES 1.- Introduccón Todas las meddas epermentales venen afectadas de una mprecsón nherente al proceso de medda. Puesto que en éste se trata, báscamente, de comparar

Más detalles

TRABAJO 1: Variables Estadísticas Unidimensionales (Tema 1).

TRABAJO 1: Variables Estadísticas Unidimensionales (Tema 1). TRABAJO 1: Varables Estadístcas Undmensonales (Tema 1). Técncas Cuanttatvas I. Curso 2016/2017. APELLIDOS: NOMBRE: GRADO: GRUPO: DNI (o NIE): A: B: C: D: En los enuncados de los ejerccos que sguen aparecen

Más detalles

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID DELTA MATE OMAÓN UNETAA / Gral. Ampuda, 6 8003 MADD EXÁMEN NTODUÓN A LA ELETÓNA UM JUNO 008 El examen consta de ses preguntas. Lea detendamente los enuncados. tene cualquer duda consulte al profesor. Todas

Más detalles

Unidad 3 PLANIFICACIÓN DE TIEMPOS, PROGRAMACIÓN DE RECURSOS Y ESTIMACIÓN DE COSTOS DE LA EJECUCIÓN Y MANTENIMIENTO DE LOS STI

Unidad 3 PLANIFICACIÓN DE TIEMPOS, PROGRAMACIÓN DE RECURSOS Y ESTIMACIÓN DE COSTOS DE LA EJECUCIÓN Y MANTENIMIENTO DE LOS STI Undad 3 PLANIFICACIÓN DE TIEMPOS, PROGRAMACIÓN DE RECURSOS Y ESTIMACIÓN DE COSTOS DE LA EJECUCIÓN Y MANTENIMIENTO DE LOS STI 3.1. DINÁMICA DE LA GESTIÓN DE PROYECTOS. 3.1.1. GESTIÓN DE PROYECTOS. La gestón

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Francsco Álvarez González http://www.uca.es/serv/fag/fct/ francsco.alvarez@uca.es Bajo el térmno Estadístca Descrptva

Más detalles

COMPARADOR CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL

COMPARADOR CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL COMAADO CON AMLIFICADO OEACIONAL COMAADO INESO, COMAADO NO INESO Tenen como msón comparar una tensón arable con otra, normalmente constante, denomnada tensón de referenca, dándonos a la salda una tensón

Más detalles