TEÓRICO PRÁCTICO Nº 4: FUNCIÓN POLINÓMICA

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1 Departamento de Matemática TEÓRICO PRÁCTICO Nº 4: FUNCIÓN POLINÓMICA Primera parte La función polinómica es del tipo: O como y, se escribe directamente: es decir, tiene la expresión de un polinomio. Los polinomios son expresiones en las cuáles las variables sólo están afectadas por las operaciones adición, sustracción o multiplicación, y por potencias de exponentes naturales. Por ejemplo: El primer polinomio es de variable x, el segundo de variable t, el tercero de variable de z. En general, la letra más usada es la x. Entonces volviendo a la expresión general de la función polinómica: Donde son números reales, es un número natural o cero y todas las potencias a las que aparece elevado Si son números naturales o cero. se llaman coeficientes del polinomio se llama coeficiente principal se llama término independiente se llama grado del polinomio el polinomio se llama mónico o normalizado. El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros se llama polinomio nulo. El dominio de la función polinómica es el conjunto de los números reales, puesto que cualquier elemento de ese conjunto se puede elevar a una potencia natural y multiplicar por otro número real, cuyo resultado obtenido será un único número real, por eso su codominio también son los números reales (de ahí que se cumplen las condiciones de existencia y unicidad de una función. Es decir que esta función está definida de reales en reales: ) La imagen dependerá de cada función. Habrá funciones polinómicas cuya imagen serán los reales y otras en las que puede ser un intervalo cerrado o un intervalo del tipo. Eso dependerá si la función tiene máximos y mínimos absolutos, pero éstos no podremos determinarlos con los conocimientos adquiridos en este año, 1

2 será una tarea que aprenderán en Matemática de 4to año. Aquí sólo realizaremos gráficos aproximados (excepto para los casos especiales de la función polinómica, que son la función lineal y la función cuadrática y ya veremos con detalle más adelante). Para representar una función polinómica de manera aproximada, basta con hallar algunos puntos importantes de su gráfico como sus raíces reales si tiene (es decir las intersecciones con el eje x), ordenada al origen (intersección con el eje y) y algún punto más si se considera necesario. Veamos los siguientes ejemplos: 1) Tal como se dijo antes, busquemos las raíces, es decir los valores de x para los cuales y=0 y la ordenada al origen, es decir el valor de y para el cual x=0 y algunos puntos más mediante tabla de valores para obtener un gráfico aproximado. Raíces: f(x)=0 Entonces Es decir que esta función pasará por los puntos (1;0) y (-1; 0) Ordenada al origen: f(0)= 0 2-1= -1 entonces esta función pasa por (0;-1). Algunos puntos más: x y=f(x)=x Volcando todos los puntos al gráfico y trazando la curva que pasa por ellos, tenemos el gráfico de la función polinómica de grado 2 : Observando el gráfico, podemos decir que la imagen de la función es 2

3 2) Raíces: g(x)=0 Es decir que esta función pasará por el puntos (1,14; 0) Ordenada al origen: g(0)= = 3 entonces esta función pasa por (0;3). Algunos puntos más: x y=g(x)=-2.x Volcando todos los puntos al gráfico y trazando la curva que pasa por ellos, tenemos el gráfico de la función polinómica de grado 3 : Observando el gráfico, vemos que la imagen de la función son todos los números reales. 3

4 Observen que los dos ejemplos refieren a polinomios de pocos términos, sencillos y en los que se pudo buscar las raíces sin dificultad. Pero hallar las raíces de una función polinómica (o de un polinomio) no es tan sencillo en la mayoría de los casos, y para realizar tal tarea, debemos primero aprender varias cuestiones en general de los polinomios. Entonces primero aprenderemos ciertos conceptos importantes y las operaciones con polinomios, que nos ayudarán a aprender métodos para hallar las raíces, y así poder realizar un gráfico aproximado de las funciones polinómicas. GRADO DE UN POLINOMIO: Está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto. Ejemplos: P(x) = x 2 + 3x 4 Polinomio de grado 2 grado (P(x))= 2 R(x) = 3 Poinomio de grado 0 grado (P(x))= 0 Q(x) = x x 3 2 Polinomio de grado 5 grado (P(x))= 5 M(x) = 0 no tiene grado Polinomio nulo CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS: Los polinomios pueden clasificarse de 2 formas distintas: 1- Por su grado: P(x) = 7 x 6 3 x x grado (P(x)) = 6 Q(x)= x 3 x 5 grado (P(x)) = 5 R(x) = 6 x 2 + x grado (P(x))= 2 S(x) = 3x grado (P(x))= 1 T(x) = 5 grado (P(x))= 0 U(x) = -3 x 4 + 1/2 x 3 4/3 x 8 x + 1 grado (P(x))= 8 2- Por la cantidad de términos: Nº de términos Nombre 1 monomio 2 binomio 3 trinomio 4 cuatrinomio 5 ó más polinomio Combinando las clasificaciones, podemos decir que: P(x) = 7 x 4 3x x es un cuatrinomio de grado 4 Q(x)= x 3 x 5 es un trinomio de grado 5 R(x) = 6x 2 +x es un binomio de grado 2 S(x) = 3x es un monomio de grado 1 4

5 T(x) = 5 es un monomio de grado 0 (esto vale para todo número real) U(x) = -3 x 4 + 1/2 x 3 4/3 x 8 x + 1 es un polinomio de grado 8 V(x) = 0 es un polinomio nulo POLINOMIOS ORDENADOS: Un polinomio está ordenado si el primero es el término de mayor exponente, y los siguientes aparecen en forma decreciente teniendo en cuenta dichos exponentes. Ej: P(x) = -3 x 4 + 1/2 x 3 4/3 x 8 x + 1 Polinomio desordenado P(x) = 4/3 x 8-3 x 4 + 1/2 x 3 x + 1 Polinomio ordenado POLINOMIOS COMPLETOS Se dice que un polinomio está completo cuando en él figuran TODOS sus términos, desde el de mayor grado hasta o. Ej: P(x) = 3 x x ½ x 2 Polinomio incompleto Para completar los términos que faltan se utiliza como coeficiente el 0. P(x) = 3 x x x x ½ x 2 Polinomio completo P(x) = 3 x x x 3 ½ x 2 + x + 1 Polinomio completo y ordenado POLINOMIOS IDÉNTICOS O IGUALES Se dice que dos polinomios son idénticos cuando tienen el mismo grado, la misma cantidad de términos, y sus coeficientes de igual grado, son los mismos: Ej: P(x) = 3 x 2 x 2 y Q(x) = x 2 x P(x) = Q(x) P y Q tienen el mismo grado, la misma cantidad de términos y, además, Término de grado 2 coeficiente 3 Término de grado 1 coeficiente -1 Término de grado 0 coeficiente -2 Ejercicio: Calcular h y k para que: P(x)=2hx 2 + 4x +6 sea idéntico a Q(x)=6x 2 kx +6. Como P(x) = Q(x) entonces 2h=6 y 4= -k. De lo cual, despejando nos queda que h=3 y k= -4 POLINOMIOS OPUESTOS Dados dos polinomios, se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-" delante del polinomio. Ejemplo: sea P(x) = x 2 + 3x 4 (es opuesto a) -P(x) = -x 2 3x + 4 Ejercicio: Calcular p y m para que: P(x)=(p +m)x 3 + (4m-2p)x -4 sea opuesto a Q(x)=8x 3 (p+3)x +4. Como P(x) = -Q(x) entonces p+m= -8 4m-2p=p +3 4m=3p+3 Si de la primera ecuación despejamos p, nos queda: p= -8-m, si esta expresión la sustituimos en la segunda ecuación, entonces tenemos que: 4m = 3.(-8-m) +3 4m = -24-3m +3 7m =-21 m=-21/7 m= -3 Luego, p=-8 m entonces: p= -8- (-3)= -8+3 p=-5 5

6 VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO: Es el número que se obtiene al sustituir la indeterminada (x) por un valor dado y efectuar, luego, los cálculos: Ej: Para P(x) = 5 x 4 + 3/2 x 3 4 x 2 x + 1 encontrar el valor de P(3) P(3) = 5 (3) 4 + 3/2 (3) 3 4 (3) 2 (3) + 1 P(3) = / P(3) = 407,5 IMPORTANTE: Si P(a)=0, se dice que x=a es una raíz del polinomio P(x). x=-2 es raíz de P(x)= pues: P(-2)= Teorema de Gauss: Permite encontrar las raíces racionales de un polinomio y dice que: Las posibles raíces racionales de un polinomio P(X) con coeficientes enteros, son los resultados de los cocientes entre los divisores del término independiente y los divisores del coeficiente principal. Ejemplo: Sea el polinomio P(x)=4x 4 -x 3-28x x -6, aplicaremos el teorema de Gauss para hallar sus raíces. p= Conjunto formado por los divisores del término independiente, es decir los divisores de -6 ={±1; ±2 ; ±3; ±6 } q= Conjunto formado por los divisores del coeficiente principal, es decir los divisores de 4 ={±1; ±2 ; ±4 } Las posibles raíces serán los cocientes entre todos los valores de p y todos los valores de q: De las 16 posibles raíces, a lo sumo 4 lo serán. Para saber cuáles son raíz, hay que calcular el valor numérico de P(x) reemplazando por estos números encontrados, y si el resultado de estos cálculos es cero, entonces el valor reemplazado es raíz del polinomio. En este caso, si por ejemplo reemplazamos por x=-1, observamos que el valor numérico no es cero. Es decir, P(-1)=-60. Entonces x= -1 no es raíz. Pero podemos comprobar que P(1)=0, P(2)=0, P(-3)=0 y P( =0. Por lo tanto, x=1; x=2; x= -3 y x= son raíces del polinomio P(x). OPERACIONES CON POLINOMIOS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS ADICIÓN: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro. Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, y sumando sus coeficientes: Ej: P (x) = 3x 4 5x 2 + 7x + Q (x) = x 3 + 2x 2 11x + 3 6

7 P(x) = 3x 4 5x 2 + 7x Q(x) = x 3 + 2x 2 11x + 3 P(x) + Q (x) = 3x 4 + x 3-3 x 2 4 x +3 Qué conclusión pueden deducir sobre el grado de la suma de polinomios? SUSTRACCIÓN Se llama diferencia de dos polinomios, P (x) Q (x), al resultado de sumarle a P (x) el opuesto de Q (x). Ej: P (x) = 3x 4 5x 2 + 7x - Q (x) = x 3 + 2x 2 11x + 3 Obtenemos - Q (x) = - x 3-2x x 3 y calculamos P(x) + (-Q(x)) P(x) = 3x 4 5x 2 + 7x -Q(x) = - x 3-2x x - 3 P(x) + Q (x) = 3x 4 - x 3-7 x x -3 Ejercicios de aplicación. Dados P(x) = x 2-3x + 4, Q(x) = 3 x x ½ x 2, R(x) = 3x +1 y S(x) = -4 + x 3 Calcular a) P(x) + Q (x) b) P(x) - Q (x) c) P(x) + R (x) d) Q(x) - S(x) Respuestas: a) 3 x 5 + ½ x 2-2 x +5 b) - 3 x 5 + 3/2 x 2-4 x + 3 c) x 2 +5 d) 3 x 5 - x 3 - ½ x 2 + x +5 Para ampliar lo visto hasta el momento, les recomendamos consultar los siguientes enlaces: Suma de polinomios: Otros ejemplos de suma de polinomios: Resta de polinomios: MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN NÚMERO REAL Se aplica la propiedad distributiva: Calcular P(x). (-3) (3 x 3 x 2 + 5x -2). (-3) = -9 x 3 +3 x 2-15x + 6 Ejercicios de aplicación Calcular a) P(x). 2 b) P(x). (-1) c) P(x). (-2) Respuestas: a) 6 x 3 2x x -4 b) - 3 x 3 + x 2-5x + 2 c) - 6 x 3 + 2x 2-10x + 4 7

8 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Teniendo en cuenta que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición y sustracción, solo hace falta aplicar dicha propiedad: P (x). Q (x) = (x 3 + 2x 2 + 4) (5x + 11) (aplicamos distributiva) P (x). Q (x) = 5x x x + 11x x (sumamos los coeficientes de igual grado) P (x). Q (x) = 5x 4 + ( ) x x x + 44 P (x). Q (x) = 5x x x x + 44 Existe otro método que puede resultar más práctico para realizar esta operación: Para facilitar la operación, completamos y ordenamos el primer factor: P(x) = x 3 + 2x 2 + 0x + 4 y solamente ordenamos el segundo Q(x) = 5x + 11 x 3 + 2x x x x x x x x x x 5 x x x x + 44 Observación Dados dos polinomios P(x) y Q(x) se verifica que grado de (P(x).Q(x)) = grado (P(x)) + grado (Q(x)) En el ejemplo anterior: grado P(x) = 3 grado de Q(x) = 1 grado de (P(x).Q(x)) = 3+1 = 4 En el siguiente video, se presenta un paso por paso para efectuar la multiplicar polinomios: Ejercicios de aplicación: Dados P(x) = x + 4 x 2 x 3 y Q(x) = -3 + x 4 x 2 Calcular P(x).Q(x) Rta: (4x 5 17 x 4 +5 x 3 x 2 11x +6 ) MULTIPLICACIÓN DE 2 BINOMIOS IDÉNTICOS: (2x + 1)(2x + 1) = (2x + 1) 2 (cuadrado de binomio). Si se aplica propiedad distributiva, se puede observar que queda: 4x 2 +4x +1 o si se aplica la fórmula del cuadrado de un binomio, también se llega a lo mismo: (a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 MULTIPLICACIÓN DE 3 BINOMIOS IDÉNTICOS: (x - 1) (x - 1) (x -1) = (x - 1) 3 (cubo de 1 binomio). Se puede resolver aplicando propiedad distributiva o la fórmula de cubo de un binomio: (a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b +3ab 2 +b 3. En ambos casos, para nuestro ejemplo se llega a: x 3 +3x+3x 2 +1 MULTIPLICACIÓN DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE TÉRMINOS IGUALES (CONJUGADOS): El producto entre una suma y una diferencia de los mismos términos es llamado PRODUCTO ENTRE CONJUGADOS. Ej: (5 x x). (5 x 2-4 x) aplicamos propiedad distributiva obtenemos (5 x 2 ) 2 20 x x 2 - (4x) 2 cancelamos 20 x x 2 y nos queda (5 x 2 ) 2 - (4x) 2 aplicamos la potencia el resultado final es: 25 x 4 16 x 2 Conclusión: el producto entre conjugados es igual al cuadrado del 1º término menos el cuadrado del 2º. En símbolos: (a-b)(a+b)=a 2 -b 2 8

9 Ejercicios de aplicación: calcular (sin utilizar la propiedad distributiva) los siguientes productos: a) (x + 3 ) (x -3) Rta: x 2 9 b) (2 x 2 + 4x). (2 x 2-4x) Rta: (2 x 2 ) 2 ( 4x) 2 = 4 x 4 16 x 2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Para dividir dos polinomios que tengan es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual al grado del divisor. Los pasos a seguir son: 1) Completar y ordenar en forma decreciente el dividendo 2) Ordenar en forma decreciente el divisor 3) Dividir el 1º término del dividendo por el 1º término del divisor y colocarlo en el cociente 4) El cociente obtenido en el paso anterior se multiplica por el divisor y este producto se resta al dividendo. 5) Se baja el siguiente término y se vuelve al paso 3 mientras se obtenga una expresión algebraica entera con grado mayor o igual que el divisor. Ejemplo: (6 x x 4 2x + 4) : (2 x x) 1) Ordenamos y completamos el dividendo: 8 x x x 2 2x + 4 2) Ordenamos el divisor: 2 x 2 2x x x x 2 2x x 2 2x x x 3-4 x 2 4 x x x 3-4 x 2 2x -14 x x 2-7x 10 x 2-9 x x x -5 x -1 C(x) = 4 x x + 5 (cociente) R(x) = x -1 (resto) En los siguientes videos, se presenta un paso por paso para efectuar la división de polinomios: Cuando el divisor es un binomio de la forma (x a) se adopta una disposición práctica conocida con el nombre de Regla de Ruffini REGLA DE RUFFINI Para aplicar la regla de Ruffini el polinomio dividendo debe estar ordenado y completo y el divisor debe ser un binomio de la forma (x a). Veamos el procedimiento: P(x) = x 2 3 x y Q(x) = x+1. Calculamos P(x): Q(x) por Ruffini Ordenamos y completamos P(x) = 3 x x 3 + x 2 + 0x +5 9

10 3 x x 3 + x 2 + 0x resto 1- Colocamos los coeficientes del dividendo 2- Cambiamos de signo el valor de a del divisor 3- bajamos el primer coeficiente (-3) 4- Lo multiplicamos por a y colocamos el producto en la segunda fila 5- Calculamos la suma o resta de la 1º fila y la 2º y colocamos ese valor en la 3º fila 6- Continuamos el mismo procedimiento Armamos el cociente que comenzará con un grado menos que el dividendo: C(x) = -3 x x 2 2 x + 2 R(x) = 3 Ejercicio: Vamos a realizar la división común de polinomios que acabamos de estudiar y vamos a aplicar la Regla de Ruffini (procedimiento más sencillo que el anterior) para comprobar que obtenemos el mismo resultado: Dados P(x) = 2 x 4 3 x x y Q(x) = (x +2) calcular P(x) : Q(x) 2 x x 3 3 x 2 + x + 2 x +2-2 x 4 4 x 3 2 x 3 4 x 2 + 5x -9 4 x 3 3 x 2 4 x 3 +8 x 2 2 x x 3 3 x 2 + x x 2 + x - 5 x 2-10 x -9 x x C(x) = 2 x 3 4 x 2 + 5x -9 R(x) = 20 Hemos comprobado que los resultados son idénticos, sin embargo resulta más sencillo aplicar la Regla de Ruffini. RECORDAR: solo puede aplicarse en los casos donde el divisor es de la forma (x a) Ejercicio de aplicación: Calcular utilizando la Regla de Ruffini (3 x 3 2 x) : (x +3) Respuesta: C(x) = 3 x x + 25 R(x) = 75 En el siguiente video, se presenta el paso por paso para efectuar la división de polinomios utilizando la regla de Ruffini: TEOREMA DEL RESTO El RESTO de una división que tiene las condiciones para aplicar la Regla de Ruffini, es igual al valor numérico del dividendo cuando se reemplaza la indeterminada del mismo por el valor opuesto al término independiente del divisor. R = P (-a) 10

11 Ej: (2 x 4 3 x x) : (x + 2) Calculo SOLO el resto R(x) = P(-2) = 2 (-2) 4 3 (-2) (-2) P(-2) = R(x) = 20 Ejercicio de aplicación: Calcular el resto de (4x + 8 x 2 3) : (x + ½) R(x) = -3 IMPORTANCIA DEL TEOREMA DEL RESTO: nos permite calcular a priori si la división entre los polinomios será exacta, ya que si R(x) = 0 la división es exacta y los polinomios SON divisibles. OPERACIONES COMBINADAS 2 3 a) 3x 10 : x 2 x 4x 2 x separo en términos el contenido del corchete y resuelvo ( x 2 3x 10) : ( x 2) por Ruffini x x x 5 x 4x x 3 5 x 4x 2 = elimino paréntesis (el delante del 2º paréntesis cambia de signo el contenido) = resuelvo las operaciones entre coeficientes de igual exponente (5 4x 3 ) 2 = resuelvo el cuadrado del binomio x 3 + (4x 3 ) 2 = x x 6 b) (x 2 + 3x) 3 (x 3 4x). (-x 2 +1/2 x 5 ) = resuelvo el cubo del binomio (x 2 ) (x 2 ) 2.3x + 3.x 2.(3x) 2 + (3x) 3 = x 6 + 3x 4.3x + 3 x 2.9x x 3 = (x 6 + 9x x x 3 ) (x 3 4x).(-x 2 +1/2 x 5 ) = resuelvo (x 3 4x).(-x 2 +1/2 x 5 ) (-x 5 + ½ x x 3 2 x 6 ) (x 6 + 9x x x 3 ) (-x 5 + ½ x x 3 2 x 6 ) = elimino los paréntesis x 6 + 9x x x 3 + x 5 - ½ x 8-4 x x 6 = resuelvo las operaciones entre coeficientes de igual exponente 3 x x x x 3 + x 5 - ½ x 8 = ordeno el polinomio en forma decreciente - ½ x x x x x 3 11

12 1) Marcar con una cruz cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. Justificar cada respuesta. 2) Determinar el grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios. Ordenarlos y completarlos. a) P(x)= 4x 3-1+3x 2 b) Q(x)= ½ w 5 +w 6-8w 3 c) R(x)= t 4-6t 7-9+5t Clasificarlos según su grado y cantidad de términos. 3) Siendo P(x)=hx 4 +x 2 (5-h)x 3-10 y Q(x)=(2h +4)x 4-9x 3 +x Calcular el valor de h sabiendo que P(x) = Q(x). 4) Determinar el valor de los números reales h y k, sabiendo que los polinomios A(x) y B(x) son iguales. 5) Los polinomios C(x) y D(x) son opuestos. Calcular h y k. a) C(x)=(2x+h)x 3kx 2-2x+3 D(x)=4x 2 +(h-2k+1)x 3 b) C(x)=(4+2hx)(x-1)+2(x+3k) D(x)= -(h+2k)x 2 (2k-2)x -8 6) Obtener el valor numérico de P(x) = 6x 3 + 8x +3 según se indica: P(-2) = P( -1) = P(0) = P(1) = P(2) = 7) Calcular h y k sabiendo que T(x)=2hx 3 +(4h+2k).x 2-6x tiene por raíces a -1 y 2. 8) a) Calcular P(x) + Q (x) sabiendo que P(x)=7x 4 +4x 2 +7x+2 y Q(x)=6x 3 +8x+3 b) Calcular P(x) - Q (x) sabiendo que P(x)= 2x 3 +5x-3 y Q(x)= 2x 3-3x 2 +4x 9) Dados los siguientes polinomios: ; ; Resolver siguientes operaciones 12

13 10) Realizar las siguientes multiplicaciones: a) (5x+11). (x 3 +2x 2 +4)= b) (2x 2-3). (2x 3-3x 2 +4x)= c) (3x 4 +5x 3-2x +3). (2x 2 -x+3)= d) (x 4-2x 2 +2). (x 2-2x+3)= e) (3x 2-5x). (2x 3 +4x 2 -x+2)= f) (2x 2-5x+6). (3x 4-5x 3-6x 2 +4x-3)= g) (3x+2). (3x-2)= h) (4x 2-2x). (4x 2 +2x)= i) (x+3) 2 = j) (2x 2-1) 2 = k) (2x+2) 3 = l) (x 3-2) 3 = 11) Realizar las siguientes divisiones: a) (4x 8-10x 6-5x 4 ): (2x 3 )= b) (8x 7-16x 5 +4x 3 ): (-4x 2 )= c) (3x 3-12x 2 +4x+ ½ ) : (x+3)= d) e) (x 3-2) : (x-5)= f) (-2x 4 +2+x 2 ) : (x+1)= g) (x 5 +32) : (x+2)= h) (-x 7-1) : (x-1) = i) (x ) : (x-2) = j) k) l) m) (x 4-2x 3-11x 2 +30x-20) : (x 2 +3x-2) = n) (x 6 +5x 4 +3x 2-2) : (x 2 - x+3)= o) (2x 5 +2x 3 x -8) : (3x 2-2x +1) = 12) Hallar el resto de las siguientes divisiones sin realizar la operación: a) (x 5 2x 2 3) : (x 1) = b) (2x 4 2x 3 + 3x 2 + 5x + 10): (x + 2) = c) ( x 4 3x 2 + 2) : (x 3) = 13) Indicar cuáles de estas divisiones son exactas (utilizar el método más conveniente): a) (x 3 5x 1) : (x 3) b) (x 6 1) : (x + 1) c) (x 4 2x 3 + x 2 + x 1) : (x 1) d) (x ) : (x + 2) 14) Resolver las siguientes operaciones combinadas: a) b) (x+5)(x-5) (3x 2 +6x+15) = c) d) e) f) g) = 13

14 15) Escribir el polinomio reducido correspondiente al perímetro y área de cada una de las siguientes figuras: a) 16) Cuál es el polinomio que determina el volumen de una pileta de natación como la que aparece en esta figura? 14