4 m. Sabemos que las caras de las pirámides son proporcionales. Los triángulos son equiláteros y la base es un cuadrado.

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1 M001 La pirámide A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA En el museo de una ciudad se va a presentar una exposición del arte egipcio y como parte de la decoración han mandado fabricar un par de pirámides. Ambas pirámides son triangulares con base cuadrada, cada cara triangular tiene lados iguales. El lado de los triángulos en la pirámide más alta es de cuatro metros. La altura de la pirámide menor es tres cuartas partes de la altura de la pirámide mayor. 4 m. B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA Pregunta 1. Encuentra el área del piso de la pirámide mayor. Área del piso de la pirámide mayor m 2. Pregunta 2. Encuentra el área del piso de la pirámide menor. Área del piso de la pirámide menor m 2. C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA: Pregunta 1: Sabemos que las caras de las pirámides son proporcionales. Los triángulos son equiláteros y la base es un cuadrado. En la pirámide más grande cada arista mide 4 metros. La base entonces es un cuadrado cuyos lados miden 4 metros. Por lo tanto el área es 16 m 2.

2 Pregunta 2: La altura de la pirámide menor es ¾ partes de la altura de la pirámide mayor. En cada lado de las pirámides se guarda la misma proporción, por lo tanto cada arista mide ¾ de 4, esto es 3 metros. El área de la base cuadrada es 9 m 2. H 4 h =3/4 H x x 4 3 H H 4 Entonces x = 3m y Área = 9m 2 D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS ESTÁNDARES DE PISA INTENCIÒN DE LA PREGUNTA: Evaluar la habilidad del alumno para modelar un problema de forma, codificar y decodificar información geométrica y hacer uso de conceptos geométricos como son triángulo equilátero, área de un cuadrado, figuras proporcionales, altura, cara, lado. Criterio de evaluación para las preguntas 1 y 2: Código 1: Respuesta correcta: pregunta 1: 16 m 2 ; pregunta 2: 9 m 2. No se penaliza la falta de unidades. Código 0: Respuesta incorrecta: Código 9: Cualquier otra respuesta

3 E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA. Identificación de un problema matemático. El problema es planteado en un escenario real; la exposición de arte egipcio en un museo En el museo de una ciudad se va a presentar una exposición de arte egipcio y como parte de la decoración han mandado fabricar un par de pirámides. Al estudiante le piden determinar características físicas de las pirámides que se van a construir Encuentra el área del piso de la pirámide mayor y encuentra el área del piso de la pirámide menor. El problema pertenece al dominio de la Espacio y forma. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. El problema demanda el conocimiento de algunos términos matemáticos que deben tener sentido para el alumno: pirámide, cara de la pirámide, base de la pirámide, triángulo, lado del triángulo, cuadrado y área de una figura. El estudiante requiere identificar la información relevante, elaborar un modelo, la comprensión del tamaño relativo, la comparación entre números, entender el significado de operaciones aritméticas, representar la magnitud de cantidades. Para solucionar el problema es necesario que el estudiante construya un modelo geométrico a partir de la información proporcionada: Se tienen un par de pirámides con base cuadrada, las caras son triángulos equiláteros. El lado del triángulo más grande mide 4 metros. La altura de la pirámide menor es ¾ de la altura de la pirámide mayor. 4

4 Abstracción matemática progresiva de la realidad El estudiante requiere paulatinamente traducir la situación problema a un problema por completo matemático y establecer relaciones entre el lenguaje simbólico y formal y la situación problema. L=4 x H h h = ¾ H Resolución del modelo matemático El objetivo para la primera pregunta es encontrar el área del piso en la pirámide más grande. El estudiante debe establecer relaciones y reconocer aspectos que son similares a problemas conocidos: las caras de la pirámide son triángulos equiláteros de manera que cada lado del cuadrado mide también 4 m, además el estudiante debe conocer y aplicar la fórmula del área para el cuadrado: A = L 2 Sustituyendo el valor conocido, puede calcular el área de la base de la pirámide: A = 4 2 A = 16 Al contextualizar la respuesta a la situación planteada el estudiante puede indicar las unidades que corresponden

5 al área de la base de la pirámide: A = 16 m 2 El objetivo para la segunda pregunta es encontrar el área del piso en la pirámide menor para lo cual el estudiante requiere establecer relaciones entre los dos cuerpos. H 4 h x El estudiante debe reconocer que si la altura de la pirámide mayor es ¾ de la altura de la pirámide menor, todas las caras de las pirámides van a ser figuras proporcionales: Si el lado de la pirámide más grande es L = 4 m, el lado de la pirámide más pequeña es: x = ¾ 4 x = 3 Al contextualizar la respuesta, tenemos x = 3 m 4 H h x

6 y al aplicar nuevamente la fórmula del área para el cuadrado: A = x 2 A = 3 2 A = 9 El área de la pirámide menor es 9 m 2. Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. El alumno contextualiza la respuesta indicando las unidades que se proporcionan en la situación problema. Además de reconocer que la proporción en que cambia el lado no es la proporción en que cambia el área. Un error común podría ser pensar que el área es 12 m 2 (tres cuartas partes de 16). F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Contexto Educacional / Profesional: El escenario del problema es un trabajo de diseño o construcción de las pirámides para una presentación en un museo. Dominio Espacio y Forma: El estudiante debe interpretar el problema para elaborar un modelo geométrico, establecer la relación entre las formas, codificar y decodificar información visual para identificar los elementos de las pirámides y reconocer regularidades entre ellas, y relaciones con conocimientos matemáticos que posee y le permiten solucionar el problema. Se sugiere plantear problemas que impliquen el uso de diversos conceptos geométricos y de. Para ello se pueden presentar problemas de cálculo del área en situaciones cotidianas, así como calcular el área sombreada de las figuras.

7 PROCESOS G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión El problema parece ser simple pero demanda conectar varias ideas. El alumno tiene que razonar la similitud de las dos pirámides y concluir que si la altura de la pirámide menor es ¾ la altura de la pirámide mayor también su lado será ¾ la longitud del lado de la pirámide mayor. El modelo (en este caso geométrico) no es del todo explicito pues no incluye la altura y tendrá que establecerse una conexión con el modelo de la pirámide que incluya su altura. La solución del problema demanda que el alumno establezca una semejanza de triángulos. Finalmente la representación del problema parece ser también conectiva. La representación de una pirámide es reproductiva pero ver las dos de la siguiente manera tiene características conectivas.

8 H) CONEXIONES CURRICULARES MÁS IMPORTANTES DEL REACTIVO PISA CON EL PROGRAMA DE LA SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP Este problema está relacionado directamente con conocimientos y habilidades: Medida Estimar, medir, calcular Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras Formas geométricas Cuerpos geométricos Describir las características de diferentes figuras. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico Medida Estimar, medir, calcular Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo del volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes s de prismas y pirámides. Realizar conversiones de s de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas Formas geométricas Semejanza Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles Medida Estimar, medir, calcular Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las s de los lados. Calcular s de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

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