Pirámides y Cópulas. Claudio Moraga European Centre for Soft Computing 33600, Mieres, Asturias claudio.moraga@softcomputing.es

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1 ESTYLF08, Cuencas Mineras (Mieres - Langreo), 7-9 de Septiembre de 2008 Pirámides Cópulas Claudio Moraga European Centre for Soft Computing 33600, Mieres, Asturias claudio.moraga@softcomputing.es Resumen Se presenta una familia de funciones que en el cubo unitario tienen forma de pirámides. Se muestra que mediante manipulaciones elementales con geometría Euclidiana es posible calcular valores analizar algunas propiedades de estas funciones. Desde el punto de vista de la lógica borrosa, estas funciones son todavía etrañas, por cuanto pueden no ser ni asociativas ni conmutativas. La razón de esto es que son cópulas. INTRODUCCIÓN Las cópulas tienen su origen su abitat natural en el mundo de las probabilidades [], [2]. En el de la lógica borrosa son tratadas con respeto, pero aun no an encontrado demanda a la ora de las aplicaciones. Esta situación puede cambiar: a trabajos que abogan seriamente por un diseño de las reglas si entonces de la lógica borrosa (ver, por ejemplo, [3]), proceso en el cual no solo a que considerar que los conjuntos borrosos elegidos para representar formalmente las variables lingüísticas usadas en las premisas deben ser un reflejo fiel del uso de tales conceptos en el lenguaje, sino también que los conectivos utilizados lleven a conclusiones consistentes con las epectaciones del usuario o con los datos empíricos que estén disponibles. Otros trabajos an señalado situaciones en las cuales el conectivo establece diferentes requisitos al operador que vaa a realizarlo [4] o que no tengan representación adecuada con una t-norma [5], cuando frecuentemente una t-norma suele ser considerada como la opción obvia. Cabe destacar [6], trabajo en el cual se ace mención eplícita a las cópulas al papel que pueden ocupar en la lógica borrosa. El resto del trabajo está organizado de la siguiente manera: La próima sección abarca los formalismos necesarios, los cuales van a ser presentados de una manera didáctica, para acerlos accesibles a quienes no an tenido eperiencia previa con cópulas. Las secciones siguientes cubrirán las conclusiones, los agradecimientos la bibliografía. 2 DEFINICIONES, TEOREMAS Y PROPIEDADES Según la sabiduría popular, un cuadro dice mas que 000 palabras, razón por la cual se mostrará en la figura primeramente el dibujo de una pirámide, representativa de las que se estudiarán en este trabajo, antes de presentar la definición formal. 0 Figura : La función pirámide En el resto del trabajo se utilizarán paréntesis angulares para señalar las coordenadas de un punto en el cuadrado unitario, para evitar confusión con intervalos abiertos. Definición : El parámetro característico de una pirámide es el punto,, con + < 0 <. Si, la pirámide es simétrica si, es asimétrica. El triángulo cuos vértices son,, 0,,, se denominará proección triangular superior (de la pirámide) aquél cuos vértices son,,,, 0, proección triangular inferior. Para calcular la altura de la pirámide en un punto interior dado, se puede utilizar el siguiente procedimiento geométrico, ilustrado en la figura 2, suponiendo que el punto se encuentra en la proección triangular inferior.. Determinar la posición del punto, XIV Congreso Español sobre Tecnologías Lógica fuzz 405

2 ESTYLF08, Cuencas Mineras (Mieres - Langreo), 7-9 de Septiembre de 2008 p(, ) p( 2, 2 ) Figura 2: Obtención del valor de la función en un punto dado 2. Construir un plano vertical que pase por el punto, su orientación sea paralela a la arista frontal de la proección triangular inferior. Este plano intercepta la cara frontal de la pirámide a la altura, que es la altura de la pirámide en el punto, 3. El plano construido en el punto anterior intercepta la cara lateral de la pirámide. En la intersección, la altura es obviamente. Recordando que (por construcción) la cara lateral de la pirámide es un triángulo isósceles, la distancia desde la intersección del plano con la cara lateral de la pirámide al punto, 0 a lo largo de la línea, es también. 4. Proceder de manera análoga si el punto se encuentra en la proección triangular superior. Dado el análisis anterior, resulta evidente que si un punto está fuera de la pirámide (pero dentro del cuadrado unitario) tiene altura 0. Además, es posible calcular la altura de la pirámide en puntos dentro de su base, solamente utilizando la proección bidimensional, como se muestra en la figura 3, donde la función se denomina p (tomado de pirámide). La relación entre las figuras 2 3 es que el valor de en un punto i, j de la pirámide es igual a p( i, j ). Sean β /( ) β /( ). () La ecuación de la línea que pasa por los puntos, 0, es β ( ) (2) De modo similar, la ecuación de la línea a través de los puntos 0,, es o bien β ( ) (/β ) (3) (4) Figura 3: método simplificado para calcular el valor de la función en un punto dado Tomando en cuenta la ecuación (2), la ecuación de la recta paralela por el punto 2, 2 es de donde 2 β ( 2 ) + p( 2, 2 ) p( 2, 2 ) 2 β ( 2 ) De la misma manera, tomando en cuenta la ecuación (3), la ecuación de la recta paralela por el punto, es β ( ) + p(, ) (7) de donde p(, ) β ( ) (8) (5) (6) Definición 2: Una función p : [0,] [0,] [0,] que satisface las condiciones siguientes es una pirámide asimétrica: i) p(, ) ; p(, ) (i.e. es el elemento neutral o identidad) ii) Con β, β tal como en (), si < β (-) o si < β (-) -(vale decir, si, está fuera de las regiones de proección triangular)- entonces p(, ) 0 (Nótese el caso particular p(0, ) p(, 0) 0 i.e. 0 es un atractor o elemento dominante) iii) Si, está en la proección triangular inferior, entonces p(, ) β ( ) iv) Si, está en la proección triangular superior, entonces p(, ) β ( ) Los puntos iii) iv) especifican que la pirámide asimétrica no es conmutativa. Permítase en la definición anterior que con lo cual β β. Entonces la definición corresponde a una pirámide simétrica, la cual es conmutativa, porque 406 XIV Congreso Español sobre Tecnologías Lógica fuzz

3 ESTYLF08, Cuencas Mineras (Mieres - Langreo), 7-9 de Septiembre de 2008 de iii) se tiene p(, ) β ( ) de iv) se tiene p(, ) β ( ) de lo cual se sigue que p(, ) p(, ) Lemma : Una pirámide asimétrica no es asociativa. Supóngase que una pirámide asimétrica fuera asociativa. Se presentará un contraejemplo para obtener una prueba por contradicción. Para esto se utilizará un análisis geométrico ilustrado en la figura 4. Resulta obvio que p(p(u,v), z) > 0, mientras que p(u, p(v,z)) 0. Como esto contradice la suposición inicial, se conclue que una pirámide asimétrica no es asociativa. v z 23 0 v u p(u,v) p(p(u,v), z) p(u,v) p(v,z) Figura 4: Contraejemplo a una supuesta asociatividad de una pirámide asimétrica Análisis: Para calcular p(p(u,v), z), primero se determina el punto u, v se dibuja una paralela al borde inferior de la pirámide por dico punto, la cual intersecta la línea dando p(u,v). Usando como espejo la línea (en el cuadrado unitario), p(u,v) se convierte en abscisa para poder posicionar el punto p(u,v), z. Finalmente usando el mismo procedimiento antes señalado, se obtiene p(p(u,v), z) > 0. Para calcular p(u, p(v, z)), primero a que localizar el punto v, z. Como v tiene que ser abscisa, nuevamente se usa la diagonal del cuadrado unitario para realizar la transformación requerida con la ordenada z encontrar el punto deseado. Una paralela al borde inferior de la pirámide por dico punto, intersecta la línea dando p(v, z). El punto u, p(v, z) se obtiene con la intersección de la abscisa u de la ordenada p(v, z). Es claramente visible que este punto cae fuera de la pirámide; por lo tanto p(u, p(v, z)) 0. Se sigue que p(p(u,v), z) p(u, p(v,z)) i.e. p no es asociativa. Corolario.: Una pirámide simétrica tampoco es asociativa. El contraejemplo utilizado en el caso asimétrico también es válido para éste, por cuanto todos los puntos utilizados en los cálculos acen al mismo lado de la diagonal del cuadrado unitario. Sin embargo se realizará una demostración analítica la cual permitirá realzar un aspecto importante de esta pirámide. Sean β /(-). Además, sean u, v z tal como en el caso anterior. Según el punto iii) de la definición 3 (para el caso simétrico), p(u, v) v β( u) entonces: p( p(u, v), z) z β( p(u, v)) z β( (v β( u))) z β( v) β 2 ( u) p(u, p(v, z)) p(v, z) β( u) z β( v) β( u) Por lo tanto p( p(u, v), z) p(u, p(v, z)) Nótese que desde el punto de vista numérico, la asociatividad sería válida si β β 2 ; pero esto solo es posible si β 0 o lo cual requiere que 0 o ½, valores que están justo al borde, pero fuera del dominio de. Si tomara el valor 0, entonces la pirámide sería igual a la t-norma mínimo is tomara el valor ½ entonces la pirámide sería igual a la t-norma W de Łukasiewicz, (como puede deducirse de la figura ). Esto lleva a la siguiente conjetura: Eiste una familia infinita de pirámides entre la t- norma minimum la t-norma W de Łukasiewicz. Si p es una pirámide, entonces W < p < mínimo (9) Antes de abordar el Lemma principal, se necesitan algunas especificaciones formales adicionales. La ecuación de la diagonal de la (base de la) pirámide, i.e. la línea que une los puntos,, está dada por pero como (0) XIV Congreso Español sobre Tecnologías Lógica fuzz 407

4 ESTYLF08, Cuencas Mineras (Mieres - Langreo), 7-9 de Septiembre de ( ) + + entonces la ecuación (0) puede escribirse como sigue: ( ) + () Nótese además que + β (2) β + Reemplazando (2) en () se obtiene β ( ) + (3) Definición 3: [], [2] Una cópula bidimensional es una función C : [0,] [0,] [0,] la cual satisface las condiciones de contorno C(0,0) 0 C(,), a la vez que la condición de monotonía C(, ) C( 2, ) C(, 2 ) + C( 2, 2 ) > 0 (4) toda vez que < 2, < 2. Lemma 2: Una pirámide es una cópula. i) Según los puntos i) ii) de la definición 2, p(0,0) 0 p(,) Por lo tanto p satisface las condiciones de contorno especificadas en la definición 3. ii) Para el análisis de la inecuación de monotonía (4) se considerarán cuatro casos representativos con < 2 e < 2 ii.) Sea p( i, j ) > 0, i,j {, 2} con los cuatro puntos dentro de una misma proección triangular. Sin pérdida de generalidad se eligirá la región inferior. p(, ) β ( ) p( 2, ) β ( 2 ) p(, 2 ) 2 β ( ) p( 2, 2 ) 2 β ( 2 ) 2 2 p(, ) p( 2, ) p(, 2 ) + p( 2, 2 ) β( ) [ β( 2 )] [ 2 β( )] + [ 2 β( 2 )] 0 (5) ii.2) Sean 2 > 2 > > tal que todos los puntos estén dentro de las proecciones triangulares:, 2 en la superior los demás en la inferior. p(, ) β ( ) p( 2, ) β ( 2 ) p(, 2 ) β ( 2 ) p( 2, 2 ) 2 β ( 2 ) p(, ) p( 2, ) p(, 2 ) + p( 2, 2 ) β ( ) [ β ( 2 )]... [ β ( 2 )] + [ 2 β ( 2 )] β ( ) + β ( 2 ) + β ( 2 ). + 2 β ( 2 ) β ( ) + β ( 2 ) + 2 (β β ) + (β ) 2 (β ) Γ (6) Dado que, 2 está sobre la diagonal tomando en cuenta la ecuación (4), se tiene: β 2 > ( ) +, lo cual se puede epresar como β 2 ( ) + + δ con 0 < δ (7) Introduciendo (7) en (6) se obtiene: Γ (β β ) + (β ) (β )( ). (β )( + δ) β + β + (β ) (β ) + β ( β ) ( + δ) ( β ) δ > 0 (8) ii.3) Sean 2 > 2 > > tal que, esté fuera de la proección basal de la pirámide los restantes puntos en la proección triangular inferior. p(, ) 0 p( 2, ) β ( 2 ) p(, 2 ) 2 β ( ) p( 2, 2 ) 2 β ( 2 ) δ también tiene una cota superior para preservar que > 2, pero no es necesaria para la demostración que se está realizando XIV Congreso Español sobre Tecnologías Lógica fuzz

5 ESTYLF08, Cuencas Mineras (Mieres - Langreo), 7-9 de Septiembre de 2008 p(, ) p( 2, ) p(, 2 ) + p( 2, 2 ) 0 [ β ( 2 )] [ 2 β ( )] + + [ 2 β ( 2 )] + β ( ) Si se calcula la intersección de la arista inferior de la pirámide (ecuación (2)) con la vertical se obtiene la ordenada β ( ), la cual obviamente es maor que. Insertando esto en la epresión anterior, se obtiene: + β ( ) + > 0 (9) ii.4) Considérese, fuera de la proección basal;, 2 en la proección triangular superior los restantes dos puntos en la inferior p(, ) 0 p( 2, ) β ( 2 ) p(, 2 ) β ( 2 ) p( 2, 2 ) 2 β ( 2 ) p(, ) p( 2, ) p(, 2 ) + p( 2, 2 ) 0 [ β ( 2 )] [ β ( 2 )] + + [ 2 β ( 2 )] + β ( 2 ) + β ( 2 ) + 2 β ( 2 ) + β ( 2 ) β ( β ) Tal como en el caso ii.2 se tomará β 2 ( ) + + δ con 0 < δ (20) con lo cual la epresión anterior se convierte en: + β + ( β )( ) + ( β )( + δ) + β + ( β )( + δ) + ( ) β ( ) + β ( ) + β + ( β )( + δ) + ( ) [ + β ( )] + β + ( β ) + δ( β ) [ + β ( )] + δ( β ) utilizando la ecuación (9) finalmente se obtiene [ + β ( )] + δ( β ) [ ] + δ( β ) > 0 En todos los casos se cumple la condición de monotonía requerida en la definición, por lo tanto p es una cópula < C( 2, 2 ) C(, ) < Por lo tanto, toda cópula es no-decreciente en cada argumento tiene la continuidad de Lipscitz. Además cualquier cópula C satisface el entorno W < C < min (2) Resulta evidente que este Lemma confirma la conjetura planteada en la ecuación (9). Los márgenes estrictos especificados en (9) fueron elegidos así eplícitamente con restricciones en, (recordar la definición ) con el fin de destacar las cópulas no asociativas ( maormente no conmutativas). 3 COMENTARIO RETROSPECTIVO Los lectores familiarizados con el mundo de las cópulas abrán reconocido en este trabajo el ejercicio 3.8 propuesto en la página 65 de [] en las ecuaciones (9) (2), las cotas de Frécet-Hoeffding. 4 AGRADECIMIENTOS Al Profesor Enric Trillas, por aberme guiado con muca paciencia por los caminos de la Lógica Borrosa aberme brindado su amistad. BIBLIOGRAFÍA [] Nelsen R.: An introduction to Cópulas. (2nd. Edition), Springer, Heidelberg, 2006 [2] Alsina C., Frank M.J., Scweizer B.: Associative functions on intervals: A primer on triangular norms. World Scientific, Hackensack, 2005 [3] Trillas E.: On some features of fuzz logic. Proc. 27 t Annual Meeting of te Nort American Fuzz Information Processing Societ NAFIPS [4] Guadarrama S.: Contribución al estudio de la computación con palabras/percepciones. Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Madrid, 2007 [5] Moraga C., Temme K.-H.: Functional equivalence between S-neural networks and fuzz models. In: Tecnologies for Constructing Intelligent Sstems 2: Tools. (B. Boucon-Meunier, J. Gutiérrez Ríos, L. Magdalena and R.R. Yager, Eds.), , Psica-Verlag, Heidelberg, 2002 [6] Trillas E., Alsina C., Pradera A.: On a class of fuzz sets teories. Proc. FuzzIEEE-2007, IEEE-CS-Press, 2007 Lemma 3: [2] Si C es una cópula, entonces cuando < 2, < 2 XIV Congreso Español sobre Tecnologías Lógica fuzz 409