UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I).

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I)."

Transcripción

1 UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I). Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Describir los cuerpos geométricos del espacio e identificar sus elementos. Deducir las fórmulas para el cálculo del área lateral y total de poliedros, de su desarrollo plano. Calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos: prismas, pirámides, conociendo los datos necesarios. Aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de poliedros a situaciones reales. Conocer los elementos cualquier poliedro. Aplicar las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de prismas o pirámides. Distinguir y calcular las áreas laterales, totales y volúmenes de los cuerpos geométricos. Resolver problemas de la vida cotidiana derivados de la geometría del espacio. - Unidad 11. Página 1/19 - de

2 - Unidad 11. Página 2/19 -

3 En esta unidad vamos a tratar sobre el cálculo de las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos con caras planas. Pero empezaremos repasando las ideas que ya se han dado en cursos anteriores. Rectas y planos en el espacio. Hasta ahora hemos estado tratando las rectas como si todas estuvieran sobre la pizarra o sobre el papel, pero no siempre es así. Piensa en una habitación, por ejemplo en el aula. Si nos fijamos en el suelo hay líneas rectas como las que hasta ahora hemos visto, son las de cada baldosa o las formadas por la unión del suelo con cada una de las paredes. Pero hay más rectas en la habitación: las que forman las paredes entre sí, las del techo con cada una de las paredes, las que delimitan las puertas, etc.. Estas últimas no se encuentran en el suelo, es decir, no están en la misma superficie. En este curso trataremos sobre rectas, que ya conoces. Para saber como es de grande la tenemos que medir con un metro, una regla, una cinta métrica; el resultado siempre es una única cantidad y una única unidad, por ejemplo 3 cm, 5 7 dm, etc.. Pero también trataremos sobre planos, que son superficies como las paredes de nuestra aula, en que para medirlas hace falta tomar medidas en dos direcciones: alto y profundo, o alto y ancho, o ancho y profundo; se dice que son cuerpos de dos dimensiones. Sus medidas serán en cm2, m2, mm2, etc.. Y también trataremos de otros cuerpos que no pueden estar contenidos en una recta o en un plano, sino que se salen de los mismos, por ejemplo, las mesas o las sillas. Se dice que están en el espacio. Para tomar sus medidas hacen falta tomarlas en tres direcciones diferentes: alto, ancho y profundo. Son cuerpos tridimensionales. En el espacio dos rectas pueden estar en tres posiciones diferentes: Cortándose, cuando tienen un punto en común (por ejemplo la línea que forma el suelo con la pared del fondo y la que forman la pared del fondo con la de la izquierda. Ambas líneas se cortan en un punto, que es el rincón del fondo abajo a la izquierda). Siendo paralelas, cuando tienen la misma dirección (por ejemplo, las que forman la pared del fondo con el suelo y la que forma la misma pared con el techo).las dos rectas están separadas en todos sus puntos a la misma distancia. Cruzándose, cuando no tienen ningún punto en común pero tampoco son paralelas (por ejemplo, las que forman la pared del fondo con el techo y la que forman el suelo con la pared de la izquierda) - Unidad 11. Página 3/19 -

4 Entre una recta y un plano en el espacio también pueden darse tres casos: La recta está contenida en el plano, cuando todos los puntos de la recta son también puntos del plano (en nuestra aula podría ser, por ejemplo, el techo y la recta formada por la pared del fondo con el mismo techo). La recta corta al plano, cuando tienen un único punto en común (por ejemplo, la recta formada por el suelo y la pared de la izquierda y el plano formado por la pared del fondo. Se cortan en el rincón del fondo, abajo a la izquierda). La recta es paralela al plano, cuando no tienen ningún punto en común (sería el caso de la recta formada por el suelo y la pared del fondo y el plano formado por el techo). Por su parte, dos planos entre sí pueden encontrarse en dos situaciones diferentes: Siendo paralelos, si no tienen ningún punto en común (el techo y el suelo, por ejemplo). O cortándose, entonces forman una línea recta (como es el plano del suelo y la pared del fondo). Lo has entendido? Pues todo lo dicho hasta ahora es falso!!. Bueno, bueno... no te pongas así, que lo arreglamos enseguida. Verás, es que en realidad cuando hablábamos de rectas no eran tales, sino segmentos, ya que, como recordarás de años anteriores, las rectas no tienen principio ni fin; no existen en la realidad, sino solamente en el pensamiento. Pero para que sirvan los ejemplos que hemos dado antes debemos imaginarnos que las líneas a las que nos referíamos no acababan en el aula, sino que seguían a ambos extremos. De la misma manera ocurre con los planos, que no acaban en la misma habitación, sino que continúan tras las paredes hasta el infinito. 1.- Hemos numerado las aristas de una caja. Comprueba que los números 1 y 2 se cortan; 2 y 4 son paralelas, y 1 y 8 se cruzan. Di otras dos aristas que se corten, otras dos que sean paralelas y dos que se crucen a) Di si cada una de las rectas 1, 2, 3 y 4 corta al plano de la base, es paralela a ella o está contenida en ella. b) Cuánto mide el ángulo que forma la recta 1 con el plano de la base? Y la recta 3? - Unidad 11. Página 4/

5 Decíamos antes que los planos tampoco tenían límites, como los tienen las paredes de nuestra aula, sino que debemos imaginarnos que las paredes continúan más allá de nuestra clase. Por lo tanto, los planos de dos paredes que se cortan forman, no un rincón, sino cuatro. Lo que vemos en la realidad, nuestros rincones de nuestra clase, son el espacio situado entre dos semiplanos (la mitad de un plano; o sea, un plano limitado por una recta). Cada uno de estos rinciones recibe el nombre de ángulo diedro (significa di= dos, edro=cara). La recta que une los dos semiplanos se llama arista. Los cuerpos limitados por caras planas reciben el nombre de poliedros (poli= muchas, edro= caras). Por ejemplo, una caja de zapatos es un poliedro, ya que tiene muchas caras, en este caso, 6: el fondo, las cuatro laterales y la tapadera. - Unidad 11. Página 5/19 -

6 3.- En esta curiosa caja, cada cara está contenida en un plano. Hemos nombrado del 1 al 6 las caras de las paredes laterales, y con las letras A y B el fondo y la tapa. a) Di si se cortan o si son paralelos cada par de planos siguientes: 1 y 2, 1 y 3, 2 y 5, 2 y B, A y B. b) Di la medida del ángulo que forman 1 con 2, 2 con A y 1 con 3. A B Prismas. Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos (llamados bases) y varios paralelogramos (llamados caras laterales). Recuerda de cursos anteriores que paralelogramo es un polígono de 4 lados en los que son paralelos dos a dos; o sea, rectángulo, rombo, cuadrado o romboide. En un prisma, la distancia entre las bases se llama altura. Si todas las caras laterales son rectángulos serán perpendiculares a las bases, formarán ángulos rectos. Se tratará de un prisma recto. Por contra, si las caras laterales no son perpendiculares a las bases, se tratará de un prisma oblícuo. Los prismas (ya sean rectos u oblícuos) se clasifican según el polígono de sus bases. Así tendremos el prisma triangular, si las bases son triángulos; prisma cuadrangular, si se trata de cuadrados; prisma pentagonal, si son pentágonos, etc. Los ejemplos más usuales de prismas son las cajas o las torres. Prisma recto cuadrangular Prisma oblícuo cuadrangular - Unidad 11. Página 6/19 -

7 Si tratamos de desarmar una caja de cartón, seguramente observaremos que está formada por una única pieza de cartón doblada oportunamente. Por tanto, podremos armar o construir una caja a partir de un trozo de cartón o cartulina, pero, claro está, debemos saber cpmo cortar y por donde doblar y pegar. Esto es hacer el desarrollo del prisma. Es bueno aprender como es el desarrollo de los prismas, ya que nos ayudará a entender las fórmulas para calcular la superficie de los mismos. Prisma recto hexagonal Desarrollo del prisma recto hexagonal 4.- Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes. Indica cuáles son regulares. Dibuja el desarrollo del primero de ellos. a) b) c) d) 5.- Una pirámide de Egipto es un poliedro? Por qué? 6.- Dibuja el desarrollo de: a) Un tetraedro regular de 3 cm de arista. b) Un cubo de 3 cm de arista - Unidad 11. Página 7/19 -

8 Superficie de un prisma. En muchas ocasiones es necesario calcular la superficie de un determinado prisma, por ejemplo cuando un pintor debe dar el presupuesto para pintar una habitación debe saber cuánto miden sus paredes, ya que si tienen más superficie, más pintura y tiempo empleará, por lo que la cantidad que debe cobrar debe ser mayor. Pero claro está, dependiendo del caso, unas veces será necesario calcular la superficie de las paredes solamente, otras de las paredes y el techo, otras de las paredes y techo menos los huecos de las ventanas y puertas de la habitación (como sería el caso de nuestro pintor), etc. Contemplaremos dos casos genéricos: Calcular sólo la superficie de las paredes (el área lateral) o todas las paredes además de las dos bases (el área total). Para buscar unas fórmulas que nos sirvan para facilitarnos estas tareas (una vez aprendidas de memoria) hemos de fijarnos en el desarrollo del prisma anterior, por ejemplo. Observaremos que todas las caras laterales juntas conforman un rectángulo en el que su base coincide con el valor del perímetro de la base del prisma, y su altura es igual que una de las aristas laterales. Por lo tanto, Área lateral = Perímetro de la base altura Para calcular el área total tan sólo habremos de sumar a la lateral la superficie de las dos bases, que como son iguales, quedaría así: Área total = Área lateral + 2 Área de la base Trataremos a continuación la medida de los áreas de algunas figuras. Paralelepípedo. Con esta palabra tan extraña se conoce a una serie de cuerpos geométricos que son prismas, pero que tienen una característica especial: que todas sus caras son paralelogramos; es decir, polígonos de 4 lados paralelos dos a dos (cuadrados, rectángulos, rombos o romboides). Para calcular sus áreas se aplican las fórmulas dadas en el apartado anterior: Área lateral = Perímetro de la base altura Área total = Área lateral + 2 Área de la base Por ser los más utilizados, estudiaremos con cierto detenimiento a dos tipos de paralelepípedos: los que sus caras son rectángulos y los que son cuadrados. - Unidad 11. Página 8/19 -

9 Ortoedro. Con este nombre se conocen a los paralelepípedos cuyas caras son rectángulos. En este tipo de cuerpos, cada cara tiene otra que es paralela a ella y es exactamente igual. Un ejemplo claro y habitual de este tipo de figura son las cajas de zapatos. Para calcular el área de estos paralelepípedos podríamos actuar como si fuera un prisma normal, pero hay otra manera más fácil. Vamos allá. Todos los ortoedros quedan perfectamente determinados conociendo las medidas de las tres aristas que coinciden en un mismo vértice. A estas medidas se les llaman dimensiones. Pues bien, si a las dimensiones del ortoedro se les nombran como a, b y c respectivamente, el área de una de sus caras sería a b, otra cara sería a c y otra distinta, b c. Y como el ortoedro está formado por tres pares de caras, su área en total sería: 2 ab + 2 ac + 2 bc. Si sacamos factor común quedaría: Área total = 2 (ab + ac + bc) 7.- Las bases de un prisma recto son rombos cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. La altura del prisma es 10 cm. Dibuja su desarrollo y halla su área total. 8.- Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos cuyos catetos miden 12 dm y 5 dm. La altura del prisma es 6 dm. Dibuja su desarrollo y halla el área total. 9.- Las dimensiones de un ortoedro son 6 cm, 11 cm y 10 cm. Halla su área Halla el área de un cubo cuya arista tiene una longitud de 10 cm El área de un cubo es 294 cm2. Halla su arista El área de un ortoedro es de 242 dm2. Dos de sus dimensiones son 3 dm y 7 dm. Cuál es su tercera dimensión? Pero hay ocasiones en lo que nos interesa es calcular la mayor longitud existente en un determinado ortoedro. La mayor distancia es la diagonal, que es la línea que une un vértice y su opuesto. En el dibujo siguiente la hemos llamado d. Con el nombre de l aparece la diagonal de la base y con a, b y c, las diferentes dimensiones - Unidad 11. Página 9/19 -

10 Para calcular la medida de la diagonal del ortoedro precisamos acordarnos del Teorema de Pitágoras, que era el que relacionaba los tres lados de un triángulo rectángulo, de manera que el cuadrado de la hipotenusa era igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pues bien, si nos fijamos en la base del ortoedro se ha formado un triángulo rectángulo con dos de sus lados y su diagonal. Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la diagonal de la base: Si volvemos a mirar en el dibujo de antes, la diagonal del ortoedro (d) forma otro triángulo rectángulo junto con la diagonal de la base (l) y la otra arista. Si volvemos a aplicar el Teorema de Pitágoras y despejar d obtendremos la fórmula para el cálculo de la diagonal de un ortoedro: - Unidad 11. Página 10/19 -

11 13.- Halla el área total y la longitud de la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 6 cm, 2 cm y 3 cm Las dimensiones de una caja de cartón son 40 cm, 25 cm y 20 cm. Se puede guardar en su interior una varilla de medio metro de larga? Cubo. Es un ortoedro en el que todas sus caras son cuadrados, por lo tanto mide igual de largo, que de ancho y alto. Para el cálculo de su área o de su diagonal, lo único que tendremos que hacer es repetir el mismo valor en cada una de las dimensiones. Veámoslo en general: Área total = 2ab + 2ac + 2bc = (como todas las dimensiones son iguales, quedaría...) 2aa + 2aa + 2aa = 6aa = 6a2 Área total = 6a Un cubo tiene 20 cm de arista. Halla su área total y la longitud de su diagonal. Pirámide. Dejamos ya los paralelepípedos y nos encontramos ahora con otro tipo de cuerpo geométrico que consta de una sola base y caras laterales que son triángulos que coinciden en un único vértice, son las pirámides. Al igual que los prismas, las pirámides pueden ser rectas, si sus caras laterales son triángulos isósceles, es decir, que todas sus aristas laterales son iguales; o bien - Unidad 11. Página 11/19 -

12 pueden ser oblícuas, si no son isósceles los triángulos que forman sus caras laterales. También se pueden clasificar según su base en pirámide triangular (si es un triángulo), cuadrangular (si es un cuadrado), pentagonal (si es un pentágono), etc. Y aún más, hay que tener en cuenta que la base sea un polígono regular, en el que todos sus lados son iguales (entonces la pirámide se dice que es regular) o no (entonces se tratará de una pirámide irregular). En las pirámides, además de los lados de la base y de las medidas de las aristas laterales, interesa conocer la altura, que no es más que la distancia desde el vértice de la pirámide hasta la base de la misma; y la apotema, que es la línea que une el vértice de la pirámide con el punto medio de un lado de la base. Lo veremos mejor en un dibujo: El desarrollo de esta figura consta de la base y tantos triángulos como lados tenga dicha base. En nuestro caso: - Unidad 11. Página 12/19 -

13 Para calcular su área lateral se puede hacer de dos maneras: o bien averiguar el área de uno de los triángulos laterales y multiplicarlo por la cantidad de caras que tenga la pirámide, o bien, aplicando la siguiente fórmula: Para buscar el área total habría que sumarle a la lateral la de la base. Recuerda que el área de cualquier polígono regular se obtiene multiplicando su perímetro por su apotema y dividiendo todo entre dos. Por eso, quedaría así: 16.- Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm La base de una pirámide es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 26 4 dm. Halla su área total Halla el área total de la siguiente pirámide... 6 dm 3 dm 3 dm Hemos visto cómo calcular el área lateral y total de las figuras elementales. Si nos encontramos con una figura diferente deberemos actuar de la misma manera, es decir, - Unidad 11. Página 13/19 -

14 calculando el área de cada una de las caras y sumándolas Halla el área de las siguientes figuras: 2 1 dm 4 cm 6 dm 11 cm 3 dm 10 cm 8 cm 20.- A una carpintería le han encargado fabricar papeleras con forma de tronco de pirámide de bases cuadradas, con las dimensiones que se indican en la figura. Qué superficie de madera necesita para fabricar una papelera? 60 cm 45 cm 40 cm Volúmenes. Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. A ese lugar se le llama volumen. Esta magnitud se mide en metros cúbicos (m3), que es el lugar que ocupa un cubo cuyos lados midan 1 metro. Como todas las unidades, el m3 tiene unos múltiplos y unos divisores, con la particularidad de que cada uno de ellos contiene 1000 unidades inferiores. Es decir, que un metro cúbico, por ejemplo, contiene 1000 decímetros cúbicos. Por lo tanto, para pasar de unas unidades grandes a otras menores habrá que pasar la coma a la derecha tres lugares decimales por cada unidad que descendamos en la escalera. Y, al contrario, si tenemos que pasar de una unidad a otra mayor, tendremos que desplazar la coma hacia la izquierda tres lugares por cada unidad que ascendamos en la escalera. - Unidad 11. Página 14/19 -

15 Recuerda que en este tipo de medidas pueden darse de forma compleja (con varias unidades) o incompleja (con una sola unidad). Veamos algunos ejemplos: Pasar a m3: 3 hm3 253 dam3 124 m3 450 dm3. Habría que pasar cada una de las partes a m3 y después sumarlas todas: 3 hm3 = m3 = m3 253 dam3 = m3 = m3 124 m3 = 124 m3 450 dm3 = 450 : 1000 m3 = 0'450 m3 TOTAL '450 m3 Pasar a complejo 0'07469 km3 Si pasamos la coma hacia la derecha de tres en tres lugares iremos pasando a unidades inferiores. Iremos haciéndolo y escribiendo la parte entera que nos vaya quedando, ya que en los números complejos no se escriben decimales. Los decimales que no vamos escribiendo tendremos que ir pasándolos a unidades aún más inferiores: 0'07469 km3 = 74'69 hm3 = 74 hm3 y 0'69 hm3 : 0'69 hm3 = 690 dam3 Por tanto: 0'07469 km3 = 74 hm3 690 dam3 En muchas ocasiones los cuerpos se construyen para que contengan cosas. Como ejemplo de lo que decimos es el envase de la leche; normalmente es un prisma rectangular. En estos casos no nos interesa lo que ocupe el envase, sino lo que pueda caber dentro de él, a esto se le llama capacidad, que se mide con el litro y sus correspondientes múltiplos y divisores, que van de 10 en 10, no de 1000 en 1000 como el volumen. - Unidad 11. Página 15/19 -

16 Como es fácil de entender, hay una correspondencia entre lo que ocupa el cuerpo (el volumen) y lo que cabe dentro de él (su capacidad). Así, 1 litro cabe dentro de 1 dm3; decimos en consecuencia que 1 litro equivale a 1 dm3. Sabiendo esto podemos hacer distintas conversiones entre volumen y capacidad, para lo que te puedes servir de la siguiente tabla, en la que se indican las unidades de una y otra correspondiéndose Expresa en dm3: a) 3 hm3 253 dam3 124 m3 450 dm3 b) cm3 c) (580 cm3800 mm3) d) 2 km3 150 dam3 25 dm3 780 mm Expresa en distintas unidades (pasa a forma compleja): a) dm3 b) ( cm3) c) hm Expresa en litros: a) 36 dam3 43 m3 114 dm3 500 cm3 b) mm3 c) hl 24.- Expresa en unidades de volumen (forma compleja): a) ( dl) 40 b) ( kl) Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con 0 4 dam3? 26.- Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en hectolitros: a) 0 46 dam m m3 b) km hm dam3 c) dam3 315 m3 800 dm Completa las siguientes igualdades: a) 1 hm3 =... hl b) 1 dam3 =... dal c) 1 m3 =... l d) 1 dm3 =... dl e) 1 cm3 =... cl f) 1 mm3 =... ml Ahora tendremos que afrontar la tarea de calcular el volumen de los cuerpos geométricos que hemos tratado anteriormente. Vamos allá! - Unidad 11. Página 16/19 -

17 Volumen de un ortoedro. Se calcula multiplicando las medidas de las tres dimensiones. Pero cuidado, deben estar expresadas las tres en la misma unidad Aplicando la fórmula para calcular el volumen de un ortoedro, averigua el volumen de este objeto: 1 2 m 1 3 m 1 5 m 1 8 m 1 1 m 3 5 m 29.- Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 3 cm x 5 cm x 11 cm. Volumen del cubo. Al ser el cubo un ortoedro en el que todas las dimensiones son iguales, su fórmula quedaría así: V = a La suma de todas las aristas de un cubo es de 60 cm. Halla su volumen Cuál es el volumen de un cubo de 12 cm de arista? - Unidad 11. Página 17/19 -

18 Volumen de un prisma. Sea como sea el prisma (recto u oblícuo, pentagonal, triangular, etc.) para calcular su volumen hay que emplear la siguiente fórmula: V = Área de la base altura 32.- La base de un paralelepípedo es un rombo de diagonales 10 cm y 20 cm. Su altura es de 15 cm. Halla su volumen. 15 cm 10 cm 20 cm 33.- La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 11 3 cm y 6 8 cm. La altura del prisma es de 2 dm. Halla su volumen Halla el volumen de esta figura: BASES 14 cm 3 dm 11 cm 20 cm Volumen de la pirámide. Al igual que en los prismas, sea como sea la pirámide, la fórmula a emplear es: V= 1 3 Área de la base altura - Unidad 11. Página 18/19 -

19 35.- La gran pirámide de Keops es una pirámide cuadrangular regular. El lado de la base mide 240 m y la altura alcanza los 160 metros. Calcula cuántos hectómetros cúbicos tiene su volumen Calcula el volumen de esta pirámide: 9 cm 5 cm 37.- Calcula el volumen de una pirámide recta de base hexagonal regular sabiendo que el lado de la base mide 30 cm, su apotema es de 26 cm y su altura es de 80 cm Halla el volumen de la siguiente figura: 6 cm 12 cm 8 cm - Unidad 11. Página 19/19 -

Qué son los cuerpos geométricos?

Qué son los cuerpos geométricos? Qué son los cuerpos geométricos? Definición Los cuerpos geométricos son regiones cerradas del espacio. Una caja de tetrabrick es un ejemplo claro de la figura que en matemáticas se conoce con el nombre

Más detalles

14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 14.1 Calcula el área de los ortoedros cuyas longitudes vienen dadas en centímetros. a) b) 6 6 6 5 1 a) El cuerpo es un cubo: A 6a 6 6 6

Más detalles

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado,

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, FICHA 1: Teorema de Pitágoras 1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, cuando proceda): a) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Más detalles

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta.

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. POLIEDROS Ejercicio nº 1.- a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. b Cuál es la relación llamada fórmula de Euler que hay entre el número de caras,

Más detalles

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS Se llaman poliedros todos los cuerpos geométricos que tienen todas sus caras planas. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen alguna de sus superficies

Más detalles

PRISMAS Y PIRÁMIDES. Qué es un poliedro? Un poliedro es un cuerpo geométrico que tiene alto, ancho y largo.

PRISMAS Y PIRÁMIDES. Qué es un poliedro? Un poliedro es un cuerpo geométrico que tiene alto, ancho y largo. PRISMAS Y PIRÁMIDES. 06 1 Comprende la relación que existe entre el volumen de un prisma con respecto al volumen de una pirámide que tienen la misma base y altura. En Presentación de Contenidos para explicar

Más detalles

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte)

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte) UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte) De manera intuitiva, el volumen de un objeto es el espacio que él ocupa. El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto dependerá del estado en que se encuentre:

Más detalles

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro 8 Cuerpos geométricos. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar que es un poliedro. Determinar los elementos de un poliedro: Caras, aristas y vértices. Clasificar los poliedros. Especificar

Más detalles

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones 1.- los polígonos. Un polígono es un trozo de plano limitado por una línea poligonal (sin curvas) cerrada. Es un polígono No son polígonos Hay dos clases de polígonos:

Más detalles

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS POLÍGONOS Es la porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. Es la superficie del plano limitada por una línea poligonal. La medida de un polígono es su área. Criterios de clasificación:

Más detalles

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS 1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Javier Rodrigo y Raquel Hernández Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 19 Índice 1. PERÍMETROS Y ÁREAS

Más detalles

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Tema 6 Semejanza de triángulos Matemáticas - 4º ESO 1 TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden,5 cm y,7 cm, respectivamente; en la realidad, María

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Volumen de los cuerpos geométricos.

Volumen de los cuerpos geométricos. 10 Volumen de los cuerpos geométricos. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Comprender el concepto de medida del volumen y conocer y manejar las unidades de medida del S.M.D. Obtener y aplicar expresiones

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

Unidad IV. Volumen. Le servirá para: Calcular el volumen o capacidad de diferentes recipientes o artefactos.

Unidad IV. Volumen. Le servirá para: Calcular el volumen o capacidad de diferentes recipientes o artefactos. Volumen Unidad IV En esta unidad usted aprenderá a: Calcular el volumen o capacidad de recipientes. Convertir unidades de volumen. Usar la medida del volumen o capacidad, para describir un objeto. Le servirá

Más detalles

13 LONGITUDES Y ÁREAS

13 LONGITUDES Y ÁREAS 1 LONGITUDES Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) cm cm cm cm a) p,5 8 5 1 cm b) p 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes MÓDULO Nº 4 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº4 Contenidos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Circunferencia y Círculo Circunferencia. Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad

Más detalles

Áreas de cuerpos geométricos

Áreas de cuerpos geométricos 9 Áreas de cuerpos geométricos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Calcular el área de prismas rectos de cualquier número de caras. Calcular el área de pirámides de cualquier número de caras. Calcular

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) Cóncavo b) Convexo 10.2 Completa la siguiente tabla. Caras (C ) Vértices (V ) Aristas (A) C V A 2 Tetraedro 4

Más detalles

Áreas de cuerpos geométricos

Áreas de cuerpos geométricos Áreas de cuerpos geométricos Contenidos 1. Área de los prismas Área de los prismas 2. Área de la pirámide y del tronco de pirámide Área de la pirámide Área del tronco de pirámide 3. Área de los cuerpos

Más detalles

Tema 6: Geometría en dimensión 3

Tema 6: Geometría en dimensión 3 Tema 6: Geometría en dimensión 3 Contenidos: 1. Introducción. 2. Poliedros. 3. Volumen. Capacidad. Unidades. 4. Volumen de sólidos básicos: prismas y cilindros. 5. Volumen de pirámides y conos. 6. Volumen

Más detalles

GEOMETRIA 8 AÑO 2011 1. Nombre:.Curso:

GEOMETRIA 8 AÑO 2011 1. Nombre:.Curso: GEOMETRIA 8 AÑO 2011 1 GUÍA DE APOYO AL TEMA : GEOMETRÍA Prof. Juan Schuchhardt E. Nombre:.Curso: UNIDAD #4 GEOMETRIA Tema # 2: Cuerpos geométricos En esta unidad aprenderás a: Identificar cuerpos poliédricos,

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos EL TRIÁNGULO 1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades

Más detalles

Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos

Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos 1. APERITIVO: Proporcionalidad Si el 01/02/2011 anotáis por la mañana la lectura de 01,0 m de consumo de agua y el 15/02/2011 por la mañana anotáis

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS.

TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS. TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS. Francisco Raposo Tecnología 3ºESO 1. LA REPRESENTACIÓN DE OBJETOS 1.1.EL DIBUJO TÉCNICO Es una de las técnicas que se utilizan para describir un objeto, con la intención

Más detalles

Polígonos, perímetros y áreas

Polígonos, perímetros y áreas 9 Polígonos, perímetros y áreas Objetivos Antes de empezar En esta quincena aprenderás a: Reconocer, representar e identificar los elementos geométricos que caracterizan a diferentes polígonos. Construir

Más detalles

Áreas de figuras planas (I) (p. 107)

Áreas de figuras planas (I) (p. 107) Tema 3: Áreas de figuras planas (I) (p. 107) El cálculo del área de regiones planas está en el origen de las matemáticas. (Egipto, el Nilo y sus crecidas). El proceso de medida de áreas es el mismo que

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 180 EJERCICIOS Semejanza de figuras 1 Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliado al triple de su tamaño: 2 En un mapa a escala 1 :50 000 la distancia entre dos pueblos,

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : DIVISIBILIDAD

EJERCICIOS SOBRE : DIVISIBILIDAD 1.- Múltiplo de un número. Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. De otra forma sería: un número es múltiplo de otro cuando la división del primero entre el segundo

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8. Preparado por: Héctor Muñoz

GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8. Preparado por: Héctor Muñoz GUÍAS DE TRABAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Guía de Trabajo

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN...1 2. SUPERFICIES POLIÉDRICAS. POLIEDROS...1 3. FIGURAS DE REVOLUCIÓN...3 4. POLIEDROS

Más detalles

Volumen de los cuerpos geométricos

Volumen de los cuerpos geométricos Volumen de los cuerpos geométricos Contenidos 1. Volumen y capacidad Unidades de volumen Capacidad y volumen 2. Volumen de un prisma Cubo Ortoedro Resto de prismas 3. Volumen de una pirámide Relación entre

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos.

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos. EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Relaciona cada enunciado con su epresión algebraica. Múltiplo de 3. Número par. El cuadrado de un número más 3. Un número más 5. El triple de un número más 7. 5 3 3 3 7 4. Escribe

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES.

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. Unidad 10: Proporcionalidad geométrica. Teorema de Tales. Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Reconocer figuras semejantes.

Más detalles

Problemas geométricos

Problemas geométricos 8 Problemas geométricos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Aplicar las razones trigonométricas para estudiar las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de las figuras planas. Calcular

Más detalles

5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114

5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114 5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 4 Pág. P RACTICA Ecuaciones: soluciones por tanteo Es o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) 5 b) 4 c) ( ) d) 4 4 a)? 0? 5 no

Más detalles

Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen de pirámides.

Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen de pirámides. DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con pirámide Introducción Figura 1. Pirámide de Guiza Objetivos de aprendizaje Desarrollar procesos de solución de situaciones

Más detalles

TORNEO DE LAS CUENCAS. 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL

TORNEO DE LAS CUENCAS. 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL TORNEO DE LAS CUENCAS 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL Problema 1- La figura adjunta está formada por un rectángulo y un cuadrado. Trazar una recta que la divida en dos figuras de igual área.

Más detalles

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO)

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) Son dos instrumentos de plástico transparente que se suelen usar de forma conjunta. La escuadra tiene forma de triángulo

Más detalles

1.- LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS.

1.- LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS. 1.- LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS. Línea poligonal.- Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Polígono.- Es la región

Más detalles

METROS CÚBICOS O LITROS?

METROS CÚBICOS O LITROS? METROS CÚBICOS O LITROS? 10 Comprende qué son las unidades de volumen (litros y decímetros cúbicos). En Presentación de Contenidos, para explicar las unidades de volumen se explica la diferencia entre

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15 LOS POLIEDROS Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras formadas por polígonos. Muchos objetos de nuestro alrededor tienen forma de poliedro: Los elementos de un poliedro son caras,

Más detalles

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133 PÁGINA 33 Pág. P RACTICA Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = 4 3x 4y = 0 a) b) 5x + y = 0 4x + 3y = 5 x y = 4 a) ( ) = 5? 4 No es solución. 5x + y = 0 5 =

Más detalles

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003 Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor

Más detalles

Actividades con Geoplano

Actividades con Geoplano Descripción General Actividades con Geoplano El Geoplano es un arreglo rectángular de puntos (clavos) de tal manera que entre puntos adyacentes horizontal o verticalmente hay una distancia constante. En

Más detalles

Tema 7 Sistema Métrico Decimal

Tema 7 Sistema Métrico Decimal 1. Magnitudes Tema 7 Sistema Métrico Decimal Cuando cogemos un objeto y queremos describirlo, nos fijamos en sus cualidades y características. Si describimos un objeto, por ejemplo, un libro, diremos que

Más detalles

PROGRAMACIÓN DE AULA MATEMÁTICAS 6º DE PRIMARIA

PROGRAMACIÓN DE AULA MATEMÁTICAS 6º DE PRIMARIA PROGRAMACIÓN DE AULA MATEMÁTICAS 6º DE PRIMARIA UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES Conocer los nueve primeros órdenes de unidades y sus equivalencias. Leer, escribir y descomponer números de hasta

Más detalles

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS En las pirámides egipcias, todo parece indicar que fueron diseñadas sobre la base de los Triángulos Sagrados egipcios, que son aquellos triángulos rectángulos

Más detalles

Dibujando y construyendo

Dibujando y construyendo Quinto GRADO - Unidad 2 - Sesión 13 Dibujando y construyendo En esta sesión se espera que los niños y las niñas dibujen, a medida, las diferentes vistas de prismas y pirámides. Antes de la sesión Dibujar

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. Página 9 PRACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 a) x y x y 5 x + y 8 El par (, ) es solución de un sistema si al sustituir x

Más detalles

Actividades con GeoGebra

Actividades con GeoGebra Conectar Igualdad - "Netbooks Uno a Uno" Actividades con GeoGebra Nociones básicas, rectas Silvina Ponce Dawson Introducción. El GeoGeobra es un programa que permite explorar nociones matemáticas desde

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES SANTIAGO DE CALI UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS SUMA DE VECTORES OBJETIVOS Usar la mesa de fuerzas

Más detalles

Poliedros regulares Cuerpos de revolución

Poliedros regulares Cuerpos de revolución Poliedros regulares Cuerpos de revolución Poliedro. Un poliedro es un cuerpo limitado por caras poligonales. Ángulo diedro. Ángulo poliedro Se llama ángulo diedro de un poliedro el que está formado por

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

FRACCIONES EJERCICIOS PARA REPASAR VERANO 2012

FRACCIONES EJERCICIOS PARA REPASAR VERANO 2012 FRACCIONES EJERCICIOS PARA REPASAR VERANO 2012 PORCENTAJES 1.- El precio de un libro sin IVA es de 50. Si nos cobran 55, cuàl es el porcentaje del IVA que nos han cobrado. 2.-En un tienda hemos comprado

Más detalles

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto?

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? GEOMETRÍA 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? A) 740 B) 840 C) 540 D) 640 308. El largo de un rectángulo

Más detalles

Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias

Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias Volvemos al hermoso tema de la simetría. Además de la imágenes de multitud de objetos y de seres vivos que poseen simetrías recuerdas en qué consistía una simetría desde el punto de vista matemático?,

Más detalles

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID TIEMPO: INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN 120 minutos. INSTRUCCIONES: La prueba consiste en la realización de cinco ejercicios, a elegir entre dos opciones, denominadas A y B. El alumno realizará una

Más detalles

Equivalencia financiera

Equivalencia financiera Equivalencia financiera 04 En esta Unidad aprenderás a: 1. Reconocer la equivalencia de capitales en distintas operaciones financieras a interés simple. 2. Calcular a interés simple los vencimientos común

Más detalles

Unidad III. Perímetro, diámetro y área

Unidad III. Perímetro, diámetro y área Perímetro, diámetro y área Unidad III En esta unidad usted aprenderá a: Calcular la longitud del contorno de una figura, lo que se llama perímetro. Medir terrenos y planos. Calcular la cantidad de material

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO EJERIIOS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. a) 6 b) 145 15 105 160 130 a) En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. p 180 90 6 8 El ángulo mide 8.

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

HIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh

HIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh 6 Ecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer situaciones que pueden resolverse con ecuaciones Traducir al lenguaje matemático enunciados del lenguaje ordinario. Conocer los elementos

Más detalles

Una medida es el resultado de comparar el objeto que estamos midiendo con una cantidad conocida, considerada como unidad.

Una medida es el resultado de comparar el objeto que estamos midiendo con una cantidad conocida, considerada como unidad. UNIDADES DE MEDIDA LA MEDIDA Magnitud es toda característica capaz de ser medida. La longitud, la masa, la capacidad, el tiempo, la temperatura son ejemplos de propiedades que se pueden medir. Otras propiedades,

Más detalles

Cuerpos geométricos: poliedros

Cuerpos geométricos: poliedros Cuerpos geométricos: poliedros Viajar desde la geometría en el plano hacia un espacio tridimensional, donde se insertan los cuerpos geométricos, nos acerca al mundo real. En el proceso de fabricación de

Más detalles

COMPARACIÓN DE ÁREAS DE FIGURAS POR ESTUDIANTES DE PRIMERO DE MAGISTERIO

COMPARACIÓN DE ÁREAS DE FIGURAS POR ESTUDIANTES DE PRIMERO DE MAGISTERIO COMPARACIÓN DE ÁREAS DE FIGURAS POR ESTUDIANTES DE PRIMERO DE MAGISTERIO Sonia Aguilera Piqueras y Pablo Flores Martínez Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada 1. Introducción

Más detalles

Actividades para la recuperación de Matemáticas de 1º de ESO. Nombre y apellidos:

Actividades para la recuperación de Matemáticas de 1º de ESO. Nombre y apellidos: 1 1.- Completa con el número que corresponda y explica en cada caso la propiedad que aplicas. a) 44 + 13 = 13 + b) 5 (7 + 8) = 35 + c) 133 = 86 100 14 = d) 12 ( + ) = 5 + 12 17 2.- Aplica los criterios

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

ACTIVIDADES DE UNIDAD DE SUPERFICIE

ACTIVIDADES DE UNIDAD DE SUPERFICIE ACTIVIDADES DE UNIDAD DE SUPERFICIE AUTORA: Caroline Flecchia Ramos DNI: 25732052C ESPECIALIDAD: EDUCACIÓN PRIMARIA ACTIVIDAD 1 SUPERFICIE DE FIGURAS PLANAS Para comenzar este nuevo tema, La medida de

Más detalles

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción

Más detalles

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES 3º ESO 2009. 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible.

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES 3º ESO 2009. 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible. PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES º ESO 009 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible. 1 A = 8 1 + 1 B = A = 8 1 = 8 = 8 = 6 4 B = = 4 4 = 4 16

Más detalles

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático PROYECTO DE L REL CDEMI DE CIENCIS Estímulo del talento matemático Prueba de selección 8 de junio de 2013 Nombre:... pellidos:... Fecha de nacimiento:... Teléfonos:... Información importante que debes

Más detalles

Sistema Métrico Decimal CONTENIDOS PREVIOS

Sistema Métrico Decimal CONTENIDOS PREVIOS CONTENIDOS PREVIOS Recuerdes las equivalencias entre los órdenes del sistema de numeración decimal. Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima DM UM C D U d c m Te

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

PRISMA OBLICUO > REPRESENTACIÓN Y DESARROLLO POR EL MÉTODO DE LA SECCIÓN NORMAL

PRISMA OBLICUO > REPRESENTACIÓN Y DESARROLLO POR EL MÉTODO DE LA SECCIÓN NORMAL 1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL PRISMA OBLICUO Desde el punto de vista de la representación en SISTEMA DIÉDRICO, el prisma oblicuo presenta dos características importantes que lo diferencian del prisma

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce

Más detalles

Ecuaciones de 1er y 2º grado

Ecuaciones de 1er y 2º grado Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) = P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = c) = d) = Carné calculista, : C =,; R = 0, Resuelve las siguientes ecuaciones:

Más detalles

Porcentajes. Cajón de Ciencias. Qué es un porcentaje?

Porcentajes. Cajón de Ciencias. Qué es un porcentaje? Porcentajes Qué es un porcentaje? Para empezar, qué me están preguntando cuando me piden que calcule el tanto por ciento de un número? "Porcentaje" quiere decir "de cada 100, cojo tanto". Por ejemplo,

Más detalles

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

Más detalles

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina Este trabajo de evaluación tiene como objetivo la caracterización de figuras del espacio. Para ello el alumno debe establecer la correspondencia entre la representación de la figura y algunas de sus propiedades.

Más detalles

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones 5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de

Más detalles