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1 CAPÍTULO II TUTORIAL DERIVE Aritmética, álgebra, funciones, derivadas e integrales 2.1 INTRODUCCIÓN DERIVE es un programa informático de cálculo simbólico. Es decir que, además de calcular el valor numérico de un polinomio, es capaz de efectuar la división de dos polinomios calculando el cociente y el resto. También es capaz de dada una función hallar su función derivada y su función integral. DERIVE representa funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y polar. Representa funciones especiales: definidas a trozos, valor absoluto, signo, parte entera y parte decimal. DERIVE también representa superficies en el espacio. Una vez que se conocen las partes principales del DERIVE el autoaprendizaje se torna sumamente sencillo, dependiendo únicamente del usuario explotar este asistente matemático en todo su potencial. Resultará especialmente útil, para los estudiantes de primeros cursos del área de ingeniería, puesto que le brindará la posibilidad de continuar aplicando sus conocimientos en todas las materias restantes del área de las matemáticas. DERIVE puede obtenerse como edición de prueba, válida para 30 días de la siguiente dirección:

2 2.2 PARTES DE LAS VENTANAS DE DERIVE Arriba a la derecha tenemos tres iconos:. El central reducirá la pantalla y se convertirá en el icono maximizar para restaurar la pantalla original Icono minimizar. Icono maximizar. Icono restaurar. Icono cerrar. La barra de menús, la barra de herramientas u órdenes y la barra de estado cambian según tengamos activa la Ventana de Álgebra o la Ventana 2D o la Ventana 3D BARRA DE ENTRADA DE EXPRESIONES En ella escribimos las expresiones, para que se introduzcan a la Ventana de Álgebra lo más cómodo es pulsar el icono Introducir y Simplificar.

3 Introducir expresión [Intro] Simplificar INTRODUCIR DATOS Para introducir vectores elegimos Para introducir matrices elegimos Introducir y simplificar Aproximar Introducir Vector Introducir Matriz Introducir y aproximar Para introducir sistemas de ecuaciones elegimos en la barra de menús Resolver/Sistema que desplegará la siguiente pantalla. Donde se puede elegir el número de ecuaciones a resolver, luego de aceptar se tiene Donde se deben introducir las ecuaciones como se indica, haciendo un clic en variables se visualizan las incógnitas x,y y con la opción resolver se tiene:

4 En los otros casos escribimos la expresión en la barra de Entrada de Expresiones. Los caracteres normales los escribimos desde el teclado y los símbolos especiales y letras griegas desde la ventana correspondiente MANEJO DE EXPRESIONES F3 Copia la expresión o subexpresión seleccionada en la barra de Entrada de Expresiones F4 Hace lo mismo que F3 pero copia la expresión entre paréntesis BARRA DE SÍMBOLOS En esta barra de herramientas podemos elegir los símbolos matemáticos para insertarlos en la barra de Entrada de Expresiones. Los más utilizados son: la raíz cuadrada, mayor o igual que, menor o igual que, el infinito y los números: π = 3, ê = 2, î = unidad imaginaria Si al número ê o a la unidad imaginaria î no les ponemos el acento circunflejo, supone que es una variable y no los reconoce como números BARRA DE LETRAS GRIEGAS

5 En esta barra de herramientas podemos elegir las letras griegas para insertarlas en la barra de Entrada de Expresiones BARRAS DE HERRAMIENTAS Las podemos mostrar y ocultar eligiendo en la barra de menús Ventana/Personalizar/Barra de Herramientas Las podemos arrastrar a cualquier parte de la ventana al igual que todas las barras de Windows, para encajarlas debemos arrastrarlas al lugar deseado y cuando el borde exterior se convierta en una línea fina indicando el acoplamiento las soltamos. 2.3 VENTANA ÁLGEBRA En ella aparecen las órdenes que escribimos, el texto y los gráficos que insertemos.

6 Cuando sólo trabajamos en la Ventana Álgebra es conveniente tenerla maximizada BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA ÁLGEBRA En ésta se encuentra el menú general de la Ventana Álgebra. Cada una de las opciones, a la vez, tiene otro submenú BARRA DE HERRAMIENTAS U ÓRDENES DE LA VENTANA DE ÁLGEBRA Nueva hoja Simplificar

7 Abrir Guardar la hoja Imprimir Cortar Copiar Pegar Borrar Objetos Insertar Texto Editar una Expresión Introducir Vector Introducir Matriz Aproximar Resolver o despejar Sustituir variables Calcular un límite Hallar una derivada Integrales Calcular sumatorias Calcular productorios Ventana 2D Ventana 3D Información sobre el programa BARRA DE FORMATO Mediante esta barra podemos darle formato al insertar texto en la ventana Álgebra. Fuente Tamaño de la Fuente Negrita Cursiva Justificar a la izquierda Justificar en el centro Justificar a la derecha Viñeta

8 Subrayar Texto Color BARRA DE ESTADO DE LA VENTANA DE ÁLGEBRA En la parte izquierda da información de la opción seleccionada. En el centro indica la operación efectuada. En la parte derecha tiene un reloj e indica el tiempo que ha tardado en realizar la operación. 2.4 VENTANA 2D En la Ventana 2D representamos gráficas en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares.

9 Para representar gráficas introducimos la fórmula en la barra de Entrada de Expresiones y una vez escrita en la Ventana Álgebra elegimos en la barra de órdenes Ventana 2D, al abrirse la ventana elegimos en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical y automáticamente aparecen ambas ventanas colocadas en la mitad de la pantalla. Para tener una buena visión de los gráficos y que las circunferencias salgan redondas en una resolución 1024 x 768 aconsejamos elegir en la barra de menús Opciones/Pantalla/Rejilla... Escribimos en Horizontal: 12 y en Vertical: 12 Luego para representar las gráficas hacemos clic sobre Expresión. Representar

10 2.4.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D En ésta se encuentra el menú general de la ventana Gráficas-2D. Cada una de las opciones, a la vez, tiene otro submenú BARRA DE ÓRDENES O HERRAMIENTAS DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D Nueva hoja Abrir Guardar la hoja Imprimir Copiar la Ventana Gráfica Representar Expresión Borrar la última gráfica Insertar Anotación Trazar las Gráficas Centrar en el cursor Centrar en el origen Seleccionar el rango Zoom hacia fuera Reducción vertical Reducción horizontal Zoom hacia dentro Ampliación vertical Ampliación horizontal Activar la Ventana de Álgebra BARRA DE ESTADO DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D En la parte izquierda da información sobre las coordenadas del cursor.

11 En el centro indica las coordenadas del centro. En la parte derecha escribe la escala BARRA DE TRAZADO Aumentar x Disminuir x Aumentar y Disminuir y Trazar la gráfica siguiente Trazar la gráfica anterior 2.5 VENTANA GRÁFICAS-3D En la Ventana Gráficas-3D representamos superficies en el espacio. Para representar superficies introducimos las ecuaciones en la barra de Entrada de Expresiones y una vez escritas en la Ventana a Álgebra elegimos en la barra de órdenes Ventana 3D, al abrirse la ventana elegimos en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical y automáticamente aparecen ambas ventanas colocadas en el centro de la pantalla.

12 Luego para representar las gráficas hacemos clic sobre Representar BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA GRÁFICAS-3D En ésta se encuentra el menú general de la Ventana 3D. Cada una de las opciones, a su vez, tiene otro submenú BARRA DE HERRAMIENTAS U ÓRDENES DE LA VENTANA GRÁFICAS-3D Nueva hoja Abrir Guardar la hoja Imprimir Copiar la Ventana Gráfica Borrar la gráfica Representar Insertar Anotación Trazar las Gráficas Ajustar el rango de la gráfica Zoom hacia fuera Zoom hacia dentro Girar las gráficas Girar hacia la izquierda Girar hacia la derecha Rotar hacia arriba Rotar hacia abajo Magnificar Contraer Activar la Ventana de Álgebra Fijar la posición del ojo Barra de estado de la ventana Gráficas-3D

13 En la parte izquierda da información sobre las coordenadas del ojo. En el centro indica las coordenadas del centro. En la parte derecha escribe el tamaño. 2.6 FUNCIONES UTILIZADAS EN DERIVE PARA INGENIERÍA OPERADORES MATEMÁTICOS a + b a b a * b, o espacio en blanco, a b a/b a^n Sumar Restar Multiplicar Dividir Potencia Raíz cuadrada a^(p/n) a Raíz n-ésima de a p Valor absoluto y Módulo n! Factorial Perm(m, p) Comb(m, p) Permutaciones Combinaciones OPERADORES RELACIONALES a = b a b Igual Distinto

14 a < b a b a > b a b Menor que Menor o igual que Mayor que Mayor o igual que OPERADORES BOLEANOS p Λ q p V q Conjunción Disyunción FUNCIONES DE TEORÍA DE NÚMEROS gcd(a, b,...) Máximo Común Divisor Si se introduce gcd (4,8,36) Se obtiene 4 lcm(a, b,...) Mínimo Común Múltiplo Si se introduce lcm (4,8,36) Se obtiene 72 Divisors(n) Todos los divisores positivos de n Si se introduce divisors (54) Se obtiene [1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54] next_prime(n) Primer primo mayor que n Si se introduce next_prime(54) Se obtiene POLINOMIOS quotient(p, q) Cociente de p entre q Se introduce Se obtiene x 2 - x - 1

15 quotient((x^3-2x^2+5),(x-1)) remainder(p, q) Se introduce remainder((x^3-2x^2+5),(x-1)) poly_gcd(p, q,...) Se introduce POLY_GCD(x^3 + 3 x^2 + 5 x + 6, x^3 + 2x - 3) Resto de p entre q Se obtiene 4 Polinomio M.C.D. Se obtiene x 2 + x VECTORES vector(a(n), n, p) v u. v Cross(u, v) Genera un vector desde n = 1 hasta p Módulo del vector Producto escalar Producto vectorial MATRICES A + B A B ka A. B A` A^( 1) Suma Resta Multiplicación por un número Producto de matrices Matriz traspuesta, acento grave Matriz inversa

16 det(a) row_reduce(a) rank(a) Determinante Reducidas por filas Rango FUNCIONES LOGARÍTMICAS ln(x) log(x, b) Logaritmo neperiano Logaritmo en base b FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Si el arco es x, se puede poner sin paréntesis, pero si es 3x, o bien, 7x 4 o bien, x 2, tenemos que ponerlo entre paréntesis. sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x) Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante En DERIVE sin (x 2 ) es sen x 2, y sin (x) 2 = (sin x) 2 es sen 2 x = (sen x) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS asin(x) acos(x) Ángulo cuyo seno es x Ángulo cuyo coseno es x

17 atan(x) acot(x) asec(x) acsc(x) Ángulo cuya tangente es x Ángulo cuya cotangente es x Ángulo cuya secante es x Ángulo cuya cosecante es x FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Abs(x), o bien, x Sign(x) Chi(a, x, b) Floor(x) Mod(x) Valor absoluto Signo Característica de [a, b]; es 1 si a < x < b y 0 en otro caso Parte entera de x Parte decimal de x 2.7 AYUDA En la barra de menús tenemos la Ayuda con las siguientes opciones: Se puede obtener información acerca de cualquier acción que se desee realizar con DERIVE a través de la opción índice, luego de ingresar a esta opción escriba la palabra que representa la acción que desea ejecutar, presione enter y se desplegará la ayuda correspondiente.

18 2.8 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES APLICANDO DERIVE Resolver x 3 Para resolver este problema con derive escriba lo siguiente en la Barra de Entrada de Expresiones solve (abs(x)>=3,x) Derive le proporcionará al presionar el ícono siguiente información en la ventana de álgebra: SOLVE( x 3, x) x -3 V x 3 introducir y simplificar la Si quiere obtener la gráfica, en la ventana de álgebra presione el ícono VENTANA 2D, luego en el menú VENTANA la opción MOSAICO VERTICAL que dividirá la pantalla en dos partes, una la ventana gráfica y otra la ventana de álgebra, haga un clic sobre la ventana gráfica (la ventana habilitada se mostrará resaltada) y presione el ícono REPRESENTAR EXPRESIÓN con lo que el gráfico quedará representado. Para trasladar una parte de la gráfica a la ventana de álgebra, un procesador de texto u otro paquete, en el menú EDITAR presione MARCAR Y COPIAR seleccione la región y péguela en la ventana de álgebra, obtendrá: Luego de construir su ventana de álgebra puede imprimirla con las opciones que se deseen. Otras inecuaciones pueden resolverse de manera similar. Los siguientes ejemplos son una muestra de los resultados en la ventana de álgebra del DERIVE, resultará muy útil que el alumno reproduzca por su cuenta el mismo archivo.

19 2.9 APLICACIONES EN DERIVE (VENTANA DE ÁLGEBRA).- #1 SOLVE(4 x 3 > 2 x + 1, x) #2 x > 2 #3 SOLVE( x x + 4, x) UTILIZANDO LA OPCIÓN APROXIMAR SE OBTIENE #4 x -5 ^ x MIENTRAS QUE UTILIZANDO LA OPCIÓN SIMPLIFICAR SE OBTIENE #5 x 5 x LA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO #6 SOLVE( x 2 2 x 8 > 0, x ) #7 x < 2 o x > 4 CASOS TRIVIALES (soluciones iguales al conjunto vacío o recta real) #8 SOLVE ( x < x 5, x) #9 false Lo cual significa que la solución es el conjunto vacío #10 SOLVE ( x < x + 5, x ) #11 true

20 Lo que significa que la solución es toda la recta real #12 SOLVE #13 #14 SOLVE #15 #16 SOLVE # SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES

21 EXPERIMENTA 1. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. Solución: Estando activa la ventana Álgebra elige Ventana 2D. Se abre dicha ventana. Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical Estando activa la Ventana 2D escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla/Rejilla..., escribe en Horizontal: 13 y en Vertical: 14 En la Entrada de Expresiones escribe la primera ecuación x + y > 2 Λ 3x y 5 Pulsa Introducir Expresión [Intro] Activa la Ventana 2D y haz clic en Expresión. Representar APRENDE Borrar gráficas Estando activa la Ventana 2D elegimos Borrar la última gráfica. RESUELVE 2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. 3. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. 4. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. 5. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. 6. Resuelve gráficamente el

22 Autores: J. M. Arias/E. Capintero/F. J. Sanz siguiente sistema de inecuaciones SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES (Resolución algebraica)

23 EXPERIMENTA 1. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. RESUELVE 2. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. Solución: Elige en la barra de menús Resolver/Sistema..., en el número de ecuaciones escribe 2 y pulsa el botón Sí. Introduce las ecuaciones, una en cada cuadro de texto y pulsa el botón Resolver. 3. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 4. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. El sistema es compatible determinado. APRENDE Clasificación de los sistemas lineales Sistema compatible Un sistema es compatible si tiene solución. Sistema compatible determinado 5. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 6. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. Un sistema es compatible determinado si tiene un número finito de soluciones. Sistema compatible indeterminado Un sistema es compatible indeterminado si tiene un número 7. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 8. Resuelve algebraicamente

24 infinito de soluciones. Sistema incompatible Un sistema es incompatible si no tiene solución. Clasificación con DERIVE Si el sistema es compatible determinado escribe la solución. Si el sistema es incompatible escribe [ ]. Si el sistema es compatible indeterminado elimina las ecuaciones dependiente. Después tenemos que elegir Resolver o despejar, en el cuadro Variables marcar la o las variables que queremos despejar y hacer clic en el botón Resolver. Autores: J. M. Arias/S. A. Pérez el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 9. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 10. Calcula dos números sabiendo que suman 12 y que el doble del primero más el triple del segundo suman Entre Juan y Juana tienen $. Si Juana tiene el triple que Juan, cuánto dinero tienen cada uno? 12. El perímetro de un triángulo isósceles mide 60 m y cada uno de los lados iguales mide el doble que el desigual. Cuánto mide cada lado? 2.12 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES

25 EXPERIMENTA 1. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. Solución: Estando activa la ventana Álgebra elige Ventana 2D. Se abre dicha ventana. Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical Estando activa la Ventana 2D escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla/Rejilla..., escribe en Horizontal: 13 y en Vertical: 14 En la Entrada de Expresiones escribe la primera ecuación x + y = 3 Pulsa Introducir Expresión [Intro] Activa la Ventana 2D y haz clic en Representar Expresión. En la Entrada de Expresiones escribe la segunda ecuación 3x y = 1 Pulsa Introducir Expresión [Intro] Activa la Ventana 2D y haz clic en Representar Expresión. APRENDE Clasificación Si el sistema es compatible determinado las dos rectas se cortan en un punto que es la solución. Si el sistema es incompatible las dos rectas son paralelas. Si el sistema es compatible indeterminado las dos rectas son la misma Borrar gráficas Estando activa la Ventana 2D elegimos gráfica. Borrar la última RESUELVE 2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. 3. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. 4. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado.

26 5. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. El sistema es compatible determinado. La solución es el punto. x = 1, y = 2 6. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. Autores: J. M. Arias/S. A. Pérez 2.13 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CON DERIVE #1 y = x 3 5 x

27 #2 x= y 2 + y - 2 #3 x 2 + y 2 = 4

28 #4 x 2 / 4 + y 2 / 9 = 4 #5 x 2-4y 2 = 4 FUNCIÓN INVERSA #6 SOLVE( y = x 3, x)

29 #7 x = y + 3 #8 SOLVE ( y = x 2 3, x) #9 COMO EXISTEN DOS VALORES, NO EXISTE LA FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN PARTE ENTERA DE X Esta función se puede graficar con derive con la sentencia: #10 y = - FLOOR ( - x ) 1 #11 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas f(x) = x 2, g(x) = 2 x + 4 Hallar f g y g f DEFINIMOS LAS FUNCIONES #12 f(x) := x 2 #13 g(x) := 2 x + 4 #14 f(g(x))

30 #16 4 ( x ) 2 #17 g(f(x)) #18 2 x PRÁCTICA Utilizando el asistente matemático DERIVE, dibujar las gráficas de cada una de las siguientes ecuaciones. 1) y = ( 9 - x²) 1/2 2) y = - x- 3 3) x² + y² - 9 = 0 4) y = - 2x² + x + 1 5) x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 6) 30xy + 24x - 25y - 80 = 0 7) 9x² + 3xy + 9y² = 5 8) x² - 2xy + y² - 4 = 0 9) y = 1 / (x² + 1) 10) 16x² + 24xy + 9y² +60x - 80y= Autor: José María Arias El presente capítulo fue desarrollado en base a las presentaciones señaladas por los autores citados, con aportes del autor del texto Alfredo Vargas Oroza

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