Curso de Física Estadística. Jordi Ortín Rull José María Sancho Herrero

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1 Curso de Física Estadística Jordi Ortín Rull José María Sancho Herrero

2 CURSO DE FÍSICA ESTADÍSTICA Jordi Ortín Rull José María Sancho Herrero Publicacions i Edicions UNIVERSITAT DE BARCELONA U B

3 ÍNDICE GENERAL Prefacio 15 I FUNDAMENTOS Introducción Generalidades Ejemplo: la capacidad calorífica Fundamentación y estructura Breve perspectiva histórica Conceptos necesarios Teoría de colectividades. La colectividad microcanónica Introducción Macroestados y microestados Teoría de colectividades Postulados de la colectividad microcanónica Postulado de equiprobabilidad a priori Postulado sobre el número de microestados, Ω, enel equilibrio Postulado de compatibilidad con la termodinámica Equilibrio termodinámico en la colectividad microcanónica Entropía de Boltzmann Cálculo del número de microestados en la colectividad microcanónica Microestados discretos Microestados continuos La colectividad canónica Introducción Equilibrio de un sistema en contacto con un baño térmico Probabilidad del estado de energía E r Valor medio y fluctuaciones de la energía Colectividad canónica y termodinámica Equivalencia entre las colectividades microcanónica y canónica Bajas y altas temperaturas

4 10 Curso de Física Estadística 3.6. Grados de libertad, separabilidad y temperaturas características Clasificación de los grados de libertad Estadísticas clásica y cuántica Energías discretas y continuas Clasificación de los sistemas estadísticos La colectividad canónica en la estadística clásica continua Gas de partículas que obedecen la mecánica clásica Sistemas de partículaslocalizadas Teorema de equipartición de la energía La colectividad macrocanónica Introducción Equilibrio de un sistema en contacto con un baño térmico y un reservoir de partículas Fluctuaciones de energía y número de partículas en la colectividad macrocanónica Colectividad macrocanónica y termodinámica Equivalencia entre colectividades Función de partición macrocanónica de un sistema ideal Mecánica estadística cuántica Introducción La matriz densidad Propiedades de la matriz densidad Estado estacionario Las colectividades cuánticas La colectividad microcanónica La colectividad canónica La colectividad macrocanónica Sistemas de partículas idénticas y condiciones de simetría Funciones de onda Teorema de la conexión spin estadística Principio de exclusióndepauli Ejemplos Funciones de onda de un sistema de N partículas idénticas libres Ejemplos Función de partición canónicadeunsistemaideal Función de partición macrocanónica de un sistema ideal Notación unificada de las tres estadísticas Estadística de los númerosde ocupación de los estados monoparticulares Valor medio del número de ocupación

5 Índice general Fluctuaciones del número de ocupación Límite clásico Límite continuo y gases ideales cuánticos II APLICACIONES Gas ideal monoatómico en la colectividad microcanónica Introducción Propiedades macroscópicas de un gas ideal Modelo microscópico de un gas ideal monoatómico Gas ideal en la colectividad microcanónica Gas ideal de partículas que obedecen a la mecánica clásica: cómputo del número de microestados Gas ideal de partículas que obedecen a la mecánica cuántica: cómputo del número de microestados Propiedades termodinámicasdelgasideal Complemento: volumen y superficie de una hiperesfera de radio r en n dimensiones Ejercicios Defectos puntuales en sólidos Introducción Vacantes de Schottky Intersticios de Frenkel Ejercicios Mezcla ideal de gases perfectos. Paradoja de Gibbs Introducción Gas ideal en la colectividad canónica Partículas libres que obedecen a la mecánica clásica Partículas libres que obedecen a la mecánica cuántica Propiedades termodinámicas Entropía de mezcla y paradoja de Gibbs Estudio termodinámico Estudio mecánico-estadístico Ejercicios Paramagnetismo clásico y cuántico Introducción Aspectos macroscópicos del paramagnetismo Elementos microscópicos del paramagnetismo Paramagnetismo cuántico Paramagnetismo clásico Desimanación adiabática Ejercicios

6 12 Curso de Física Estadística 10.Vibraciones en sólidos Introducción Resultados experimentales Sólido ideal y modos normales Modelo de Einstein Modelo de Debye Cadena lineal armónica Ejercicios Equilibrio sólido-vapor Introducción y resultados genéricos Modelo A (sólidodeeinsteinygasideal) Modelo B (sólidoconvacantesygasideal) Ejercicios Gas de moléculas diatómicas Introducción Grados de libertad electrónicos Molécula AB: grados de libertad del núcleo Hamiltoniano de los grados de libertad vibracionales y rotacionales de una molécula diatómica Grados de libertad vibracionales Molécula AB: grados de libertad rotacionales Gas ideal de moléculas AB: comportamiento asintótico de la capacidad calorífica Molécula homonuclear, AA: acoplamiento entre los grados de libertad del núcleo y los grados de libertad rotacionales Análisis clásico (T Θ r ) Análisis cuántico (T Θ r ) Ejercicios Radiación térmica: gas de fotones Introducción Distribución de la energía del espectro de radiación Presión de radiación Otras propiedades termodinámicas Deducción de la densidad espectral por el método de Planck Ejercicios Gases ideales cuánticos en dimensión dos Introducción Gas ideal de bosones Potencial químicodelosbosones Comportamiento asintótico de la energía Solución exacta de la energía

7 Índice general Gas ideal de fermiones Potencial químicodelosfermiones Comportamiento asintótico de la energía Cálculo exacto de la energía Ecuaciones de estado Ejercicios Condensación de Bose Einstein Quéesycómo aparece la condensación? Coexistencia de fases e isotermas Ejercicios III APÉNDICES 185 A. Compendio de fundamentos físicos 187 A.1. Mecánica clásica A.1.1. Partículas libres A.1.2. Oscilador armónico A.1.3. Péndulo esférico A.1.4. Sistema de dos partículas en interacción A.2. Mecánica cuántica A.2.1. Partícula libre en una caja cúbica de lado L A.2.2. Partícula libre ultrarrelativista A.2.3. Oscilador armónicotridimensional A.3. Electromagnetismo A.3.1. Partícula con momento dipolar en presencia de un campo externo A.3.2. Ondas electromagnéticas en una cavidad. Fotones A.4. Vibraciones atómicas en sólidos. Fonones A.4.1. Modelo de Einstein A.4.2. Modelo de Debye A.4.3. Cadena lineal armónica B. Resumen de termodinámica 205 B.1. Conceptos básicosydefiniciones B.2. Principios de la termodinámica B.3. Funciones respuesta B.4. Sistema aislado B.5. Sistema en equilibrio con un baño térmico B.6. Sistema en equilibrio con un baño térmico y de partículas B.7. Magnitudes termodinámicas de un sistema magnético B.8. Condiciones de equilibrio de sistemas heterogéneos y pluricomponentes B.8.1. Equilibrio de fases

8 14 Curso de Física Estadística B.8.2. Equilibrio químico B.9. Límite termodinámico C. Elementos de teoría de la probabilidad 219 C.1. Permutaciones y combinaciones C.2. Funciones de distribución C.2.1. Variables aleatorias discretas C.2.2. Variables aleatorias continuas C.2.3. Probabilidad conjunta y probabilidad marginal C.3. Ejemplos de distribuciones C.3.1. Distribución exponencial C.3.2. Distribución binomial C.3.3. Distribuciones normal y gaussiana C.3.4. Distribución de Poisson BIBLIOGRAFÍA 228 ÍNDICE DE MATERIAS 231

9 PREFACIO El presente Curso de Física Estadística cubre los contenidos de la materia troncal del mismo nombre de la licenciatura de Física en España. Como libro de texto está dirigido primordialmente a los estudiantes de segundo ciclo de dicha licenciatura, si bien será útil también como libro de consulta a estudiantes de otras especialidades científicas, especialmente de química. Se trata de un curso introductorio y troncal, centrado en el desarrollo de la teoría de colectividades para los sistemas en equilibrio y su aplicación a sistemas en que sus constituyentes fundamentales no interaccionan, que se conocen como sistemas ideales. Pretende proporcionar al estudiante una buena formación básica, para abordar las ampliaciones de esta disciplina en posteriores asignaturas optativas. El libro está motivado por una serie de aspectos pedagógicos que echamos en falta en los libros de texto de esta materia. El aspecto más importante es la voluntad de separar claramente los fundamentos teóricos de las aplicaciones a sistemas concretos. Pensamos que mezclar el formalismo teórico con aplicaciones particulares, o introducir técnicas de cálculo específicas a cada aplicación, sin explicar su generalidad, desorienta a los estudiantes y les dificulta la elección del esquema teórico adecuado para afrontar el estudio de un problema nuevo. Por ello, con objeto de potenciar la formación conceptual de los estudiantes, hemos separado estos dos elementos. Así, los fundamentos se presentan en una primera parte del curso, en forma sucinta pero con la generalidad necesaria para abordar posteriormente el estudio de cualquier sistema mecánico estadístico. Hacemos especial énfasis en los aspectos fundamentales que deben guiar dicho estudio. En cada uno de los capítulos de la segunda parte del libro, dedicada a las aplicaciones, se presenta el estudio completo de un sistema físico particular. En esta parte el énfasis se pone en la elección del esquema teórico más adecuado en cada caso, los cálculos y aproximaciones necesarios para llegar a la solución, y la interpretación de los resultados. Cada capítulo de esta parte se completa con algunos ejercicios propuestos. El libro contiene una tercera parte de apéndices, en que se pone a disposición del estudiante un recordatorio de los fundamentos físicos y matemáticos

10 16 Curso de Física Estadística necesarios para el tratamiento estadístico de los sistemas considerados. De esta forma el texto es prácticamente autocontenido. En la preparación del texto nos hemos guiado por nuestra experiencia como docentes de la licenciatura en Física de la Universidad de Barcelona. Es el resultado del trabajo de los últimos tres años, en que ambos autores hemos impartido la asignatura troncal Física Estadística, de 7,5 créditos, a un total de unos doscientos estudiantes por año. Deseamos que el libro sea de utilidad como texto básico de trabajo a los futuros estudiantes de esta materia. Estamos convencidos de que asimilando razonablemente el material de este curso tendrán la formación adecuada para abordar problemas de física estadística de mucha mayor complejidad. Queremos agradecer a los profesores de nuestro departamento las numerosas conversaciones sobre temas de física estadística que de un modo u otro se ven reflejadas en el contenido del curso. Estamos particularmente agradecidos a Rolf Tarrach por sus comentarios al capítulo 5. También agradecemos a Ángel Sánchez, de la Universidad Carlos III, y a Raúl Toral, de la Universidad de las Islas Baleares, la lectura crítica de algunos capítulos. Este texto se enmarca en las actividades del Grup d Innovació Docenten Termodinàmica i Física Estadística de la Universidad de Barcelona. Jordi Ortín, José María Sancho. Barcelona, junio de 2001.

11 Parte I FUNDAMENTOS

12 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Generalidades La física estadística (llamada tambien mecánica estadística o termodinámica estadística) es aquella parte de la física que tiene como objetivo conectar la física microscópica, caracterizada por partículas o unidades elementales y sus interacciones, con el mundo macroscópico, objeto de estudio de la termodinámica. Pretende entender cómo ciertas propiedades macroscópicas de los cuerpos extensos formados por un inmenso número de partículas (sólidos, líquidos, gases... ) dependen de sus constituyentes microscópicos y sus interacciones. Por una parte el mundo microscópico está bien descrito por la mecánica clásica, la mecánica cuántica y el electromagnetismo. Por su parte el mundo macroscópico está bien caracterizado por la termodinámica y la física de los medios continuos, principalmente. La termodinámica da predicciones muy útiles sobre relaciones entre magnitudes macroscópicas pero no determina cómo éstas son consecuencia de las propiedades de los constituyentes microscópicos. El papel de la física estadística es establecer esta conexión. Mientras que un sistema macroscópico está formado por un ingente número de subsistemas, partículas o grados de libertad, el conjunto de cuyas ecuaciones dinámicas es imposible de resolver matemáticamente, resulta que para describir las propiedades macroscópicas únicamente son necesarias unas pocas variables. Nos encontramos, pues, ante un problema de reducción de variables. Para abordarlo, además de los fundamentos microscópicos, la física estadística necesita de forma natural de herramientas matemáticas adecuadas, como son el cálculo de probabilidades y la estadística matemática. La física estadística, en definitiva, es una parte de la física indisolublemente conectada al resto de disciplinas que forman parte de esta ciencia. Su estudio requiere por ello una buena preparación previa en termodinámica, electromagnetismo, mecánica clásica y mecánica cuántica. Para apreciar más claramente dónde se sitúa la física estadística respecto a la termodinámica y a las disciplinas de la física microscópica, vamos a explicar a continuación qué aportan cada una de ellas al estudio de una magnitud

13 20 Curso de Física Estadística térmica en particular como es la capacidad calorífica Ejemplo: la capacidad calorífica La capacidad calorífica es una magnitud importante porque es a la vez sensible a detalles microscópicos y medible experimentalmente. A los efectos de esta explicación no será necesario distinguir entre la capacidad calorífica a volumen constante o a presión constante, C v o C p respectivamente (ecuaciones (B.7) y (B.8)). Experimentalmente podemos estudiar la dependencia de esta magnitud en función de T, y encontramos una gran variedad de comportamientos: (a) Para un gas noble, la capacidad calorífica es constante en un intervalo de temperaturas muy amplio. (b) Para un sólido cristalino la capacidad calorífica tiende a cero para T muy bajas, y luego va creciendo con la temperatura hasta alcanzar un valor constante a altas temperaturas (ley de Dulong y Petit). (c) En un sólido paramagnético encontramos que la capacidad calorífica exhibe un máximo pronunciado a una cierta temperatura relativamente baja (pico Schottky). (d) Existen sistemas en los que la capacidad calorífica presenta anomalías notables. Por ejemplo, tanto cerca del punto crítico de la transición de fase líquido vapor, como cerca del punto de Curie de la transición paramagnética ferromagnética, la capacidad calorífica exhibe una divergencia. A pesar de esta diversidad de comportamientos, la termodinámica nos dice cómo medir la capacidad calorífica experimentalmente y cómo calcularla a partir de un potencial termodinámico. También nos dice que ha de estar relacionada de una forma muy determinada con otras propiedades del sistema como el coeficiente de dilatación térmica, la compresibilidad, etc., que se obtienen de la ecuación de estado. Sin embargo no nos dice cómo obtener explícitamente ni el potencial termodinámico ni la ecuación de estado, por lo que no podemos conocer la forma funcional de la capacidad calorífica en función de las variables termodinámicas del sistema. En cambio, la física microscópica nos ilustra sobre qué tipo de estructura interna de los sistemas anteriores podría ser responsable del comportamiento observado de esta magnitud: (a) Tenemos un sistema formado por partículas casi libres cuya única magnitud relevante es la energía cinética. La mecánica clásica es aquí el marco teórico microscópico.

14 Capítulo 1. Introducción 21 (b) Podemos suponer ahora que los átomos del sólido tienen energía cinética vibracional e interaccionan entre ellos a través de un potencial que podemos suponer armónico. Ahora necesitamos la mecánica cuántica, aunque únicamente resultan relevantes los aspectos de cuantización de la energía. (c) En este caso la energía cinética y de interacción no son muy relevantes y lo importante esperamos que sea la interacción entre el campo magnético externo y los momentos magnéticos internos de los átomos o moléculas del sólido paramagnético. Aquí debemos usar lo que nos dice la mecánica cuántica sobre cuantización del momento angular intrínseco de los componentes microscópicos. (d) Esta situación es ciertamente más difícil, pero se puede asegurar que la cantidad relevante es el potencial de interacción entre partículas, principal responsable de la existencia de una transición de fase y en consecuencia de la divergencia observada. El problema es muy difícil de resolver matemáticamente, pero como punto de partida basta la mecánica clásica. Hemos visto por tanto cómo diferentes comportamientos se corresponden con mecanismos microscópicos también diferentes. Los métodos habituales de la física microscópica no son factibles ni adecuados para estudiar un sistema macroscópico, formado por N partículas. Es la física estadística, usando sus propios axiomas, la encargada de poder explicar cómo tan variado comportamiento macroscópico es consecuencia directa de una determinada estructura e interacción microscópica. En todos los casos, el método de operar de la física estadística es el mismo. Usando la información microscópica, hay que calcular alguno de los potenciales termodinámicos (entropía, energía libre de Helmholtz o energía libre de Gibbs) y a partir de él encontrar la ecuación de estado del sistema y sus propiedades termodinámicas, tales como capacidades caloríficas, compresibilidades, susceptibilidades, etc Fundamentación y estructura Podríamos pensar que, dadas las partículas del sistema y sus interacciones, el comportamiento macroscópico queda ya determinado y por tanto no se necesita una nueva disciplina. Las simulaciones numéricas de la dinámica clásica de N partículas son un buen ejemplo. Sin embargo las cosas no son tan simples. Ciertamente obtenemos resultados numéricos exhaustivos y correctos pero nos hemos alejado de nuestro verdadero objetivo: entender el porqué y el cómo emergen los comportamientos cooperativos macroscópicos de la materia. Para poder hacer esta conexión se necesitan axiomas nuevos, que fundamentan la física estadística.

15 22 Curso de Física Estadística Aunque existen diferentes alternativas, en este curso seguiremos el método de la teoría de colectividades de Gibbs. Aún dentro de esta teoría hay diversas formulaciones que parten de axiomas diferentes: postulado de equiprobabilidad a priori, método de la distribución más probable, maximización de la entropía, etc. Nosotros seguiremos la primera de estas formulaciones. La física estadística puede dividirse en dos grandes cuerpos de doctrina, según estudie propiedades de sistemas en equilibrio termodinámico o fuera del equilibrio: La física estadística de equilibrio es unateoría bien establecida y elaborada. En un primer estadio, que se corresponde con la materia desarrollada en este curso, aborda problemas de sistemas ideales (sin interacción entre los constituyentes microscópicos del sistema) o reducibles a sistemas ideales, que sirven de base para el estudio de problemas más complejos en que la interacción es importante. La física estadística de no equilibrio está todavía por fundamentar de una manera comúnmente aceptada. En su estado actual es un conjunto de teorías parciales adaptadas a situaciones concretas: teoría cinética, teoría de distribuciones de no equilibrio, teoría de la respuesta lineal, etc. La física estadística de equilibrio puede dividirse a su vez en dos grandes partes: física estadística clásica y física estadística cuántica. Esta división, sin embargo, no es equivalente a la separación que se hace, por ejemplo, entre mecánica clásica y mecánica cuántica. (a) Física estadística cuántica El sistema viene descrito por el hamiltoniano cuántico, que en algunos casos tiene la misma forma que su correspondiente hamiltoniano clásico. A nivel de este curso es importante el conocimiento de las simetrías de las funciones propias, soluciones del problema, y el conocimiento de los valores propios que representan los niveles cuantizados de la energía del sistema y su degeneración. La característica fundamental de esta estadística es que tiene en cuenta la coherencia cuántica. Desde un punto de vista cuántico, las partículas idénticas de un sistema son mutuamente indistinguibles. Por esta razón, la función de onda que describe estos sistemas debe cumplir condiciones de simetría muy restrictivas. Estas condiciones dependen del spin de las partículas, que quedan clasificadas como bosones o fermiones. Como ejemplos podemos citar los gases cuánticos, en particular el gas de átomos bosónicos con masa y el gas de electrones (fermiones) en un metal.

16 Capítulo 1. Introducción 23 (b) Física estadística clásica La característica fundamental de esta estadística es que no tiene en cuenta la coherencia cuántica. Esta estadística se divide en dos partes: Sistemas con hamiltoniano clásico, que depende de variables canónicas conjugadas continuas. Para estos sistemas no sólo interesa conocer el hamiltoniano sino también el dominio de existencia de las variables, contenido en el dominio de los números reales. Sistemas con hamiltoniano cuántico. Ahora sólo se necesita el conocimiento de los valores propios que representan los niveles cuantizados de la energía del sistema y su degeneración. Como ejemplos representativos de este grupo señalamos dos: el problema de las vibraciones en sólidos ideales (modelos de Einstein y Debye), y el estudio del sólido paramagnético. Una idea central de este curso, que lo diferencia de la mayoría, es separar el formalismo de las aplicaciones. En la primera parte, de forma resumida pero completa, se presenta el cuerpo principal de la fundamentación, y en la segunda parte se desarrollan las aplicaciones a sistemas concretos usando únicamente los fundamentos introducidos. La tabla 1.1 ilustra el orden en que se encadenan metodológicamente las lecciones del curso. Asociada a cada lección de la parte de fundamentos hay una o varias lecciones de aplicaciones. La primera parte del curso se dedica a la fundamentación de la física estadística de equilibrio. En los primeros capítulos (2, 3 y 4) desarrollamos el formalismo adecuado (i) a sistemas clásicos y (ii) a sistemas cuánticos en que los aspectos cuánticos se reflejan únicamente en la discretización de los niveles de energía, sin efectos de coherencia cuántica. Este formalismo, en la práctica, describe correctamente las situaciones más comunes. Debe permitir al alumno familiarizarse con la nomenclatura y las diferentes técnicas matemáticas. Posteriormente este aparato matemático se generaliza a los sistemas con coherencia cuántica (capítulo 5). Esto completa el formalismo. La segunda parte del curso se dedica al estudio de las aplicaciones del formalismo a sistemas concretos de especial relevancia. Se tratan únicamente sistemas ideales, en que los constituyentes elementales no interaccionan, o sistemas con interacción que admiten una reformulación como sistemas ideales. En los primeros seis capítulos de esta segunda parte se abordan problemas sin coherencia cuántica, en la colectividad microcanónica (capítulos 6 y 7), canónica (capítulos 8 al 10) y macrocanónica (capítulo 11). Finalmente, los problemas querequieren un usoexplícito de las estadísticas cuánticas se tratan en los capítulos 12 al 15.

17 24 Curso de Física Estadística Cuadro 1.1: Estructura del presente curso. Curso de Física Estadística Parte I: Fundamentos Parte II: Aplicaciones 1. Introducción 2. La colectividad microcanónica 6. Gas ideal monoatómico 7. Defectos puntuales en sólidos 3. La colectividad canónica 8. Mezcla de gases y paradoja de Gibbs 9. Paramagnetismo clásico y cuántico 10. Vibraciones en sólidos 4. La colectividad macrocanónica 11. Equilibrio sólido-vapor 5. Mecánica estadística cuántica 12. Gas de moléculas diatómicas 13. Radiación térmica: gas de fotones 14. Gases ideales cuánticos 15. Condensación de Bose-Einstein Apéndice A: Resumen de fundamentos físicos Apéndice B: Resumen de termodinámica Apéndice C: Elementos de teoría de la probabilidad A un estudiante nuevo en esta disciplina, el camino propuesto le ayuda a asimilar mejor el cuerpo de doctrina principal de la física estadística. Posteriormente, si le interesa esta parte de la física, puede abordar el estudio de sistemas en interacción, clásicos o cuánticos, desde una perspectiva bien fundamentada Breve perspectiva histórica Encontrar una explicación de los fenómenos macroscópicos en la Naturaleza, a partir de su supuesta estructura microscópica, es uno de los objetivos fundamentales de la física. El otro objetivo fundamental es precisamente conocer esos constituyentes microscópicos y sus interacciones. En este contexto, ya desde el 1600 aproximadamente se trató de encontrar explicaciones sobre el comportamiento macroscópico de la materia suponiendo que estaba formada por partículas muy pequeñas que obedecían a las ecuaciones de la mecánica clásica. Este modo de operar dio lugar a una parte de la física llamada teoría cinética, en principio aplicable tanto a sistemas en equilibrio como fuera del equilibrio, que obtuvo logros muy remarcables. Actualmente sigue usándose principalmente en el estudio de los gases. Se logró así entender el comportamiento de los gases ideales y correcciones a los gases reales (ecuaciones de estado y energía interna). También se encontró la distribución de velocidades de las partículas de un gas en equilibrio (distribución de Maxwell)

18 Capítulo 1. Introducción 25 y los coeficientes de transporte (conductividad eléctrica y térmica, y coeficientes de viscosidad y difusión) en un gas. La teoría cinética culminó conla ecuación de Boltzmann, hacia el 1900, para la distribución de probabilidad de las posiciones y velocidades de las partículas con interacción de un gas. Sin embargoestateoría era de complicada extensión a los sistemas cuánticos y a los sistemas no mecanicistas, como por ejemplo, los sistemas magnéticos. Se necesitaba, pues, un marco teórico más general que fuera aplicable a todos los sistemas. En 1902 Gibbs desarrolla su teoría de colectividades, que permite estudiar cualquier sistema macroscópico, siempre y cuando estén bien definidos sus constituyentes microscópicos y sus interacciones. La teoría de Gibbs se desarrolla prácticamente de forma simultánea a los trabajos de Einstein sobre mecánica estadística, que llegan a conclusiones análogas aunque parten de ideas más ligadas a la teoría cinética y a la constitución atómica de la materia. La teoría de colectividades de Gibbs es una teoría abstracta y muy general, que si bien es aplicable únicamente a sistemas en equilibrio termodinámico, ha podido incorporar en su esquema el estudio de sistemas cuánticos sin dificultad gracias a los trabajos de Bose, Einstein, Fermi y Dirac. Los resultados de la física estadística son muy notables. Las propiedades de los gases reales clásicos pueden explicarse completamente usando únicamente fundamentación clásica. Los sistemas magnéticos también son abordables, si bien se ha de hacer uso de los fundamentos cuánticos. Fenómenos de bajas temperaturas, como la superfluidez y la superconductividad, típicamente cuánticos, se explican adecuadamente dentro de este marco. La física estadística ha mostrado con éxito que las transiciones de fase y los fenómenos críticos tienen su origen en las interacciones microscópicas, y ha permitido entender cómo el comportamiento colectivo cerca de un punto crítico hace irrelevantes muchos detalles microscópicos del sistema. Las técnicas de la física estadística son tan genéricas y potentes que se usan actualmente con gran éxito en el estudio de sistemas complejos (polímeros, cristales líquidos, redes neuronales... ). En este sentido se ha convertido en una materia interdisciplinaria imprescindible. Actualmente la física estadística se está convirtiendo en una disciplina de referencia para cualquier problema moderno que involucre muchos grados de libertad y del que se espera algún tipo de comportamiento cooperativo entre sus componentes, abarcando desde el funcionamiento del cerebro hasta el comportamiento social de los seres vivos, de los más pequeños como virus y bacterias hasta el hombre. Otros temas de actualidad que están atrayendo a los físicos estadísticos incluyen la dinámica del mercado bursatil y el tráfico de vehículos.

19 26 Curso de Física Estadística 1.4. Conceptos necesarios Dada la estrecha conexión de la física estadística con otras partes de la física, es conveniente tener frescos algunos conceptos de física y matemáticas necesarios para estudiar los sistemas macroscópicos. Presentamos a continuación una lista de temas que el alumno debería repasar y conocer antes de iniciar el estudio de esta disciplina. (a) Termodinámica: temperatura absoluta. Energía interna. Entropía. Energías libres de Helmholtz y de Gibbs. Condiciones de equilibrio termodinámico. Ecuación de estado, equilibrio entre fases y equilibrio en sistemas pluricomponentes. Funciones respuesta: compresibilidad de un gas, susceptibilidad magnética y capacidades caloríficas. (b) Mecánica clásica: hamiltoniano clásico de diferentes sistemas, variables canónicas conjugadas y espacio fásico. (c) Mecánica cuántica: hamiltoniano cuántico. Niveles de energía y degeneración. Simetrías de la función de onda y spin. Cuantización del momento angular. (d) Mecánica relativista: hamiltoniano de una partícula libre relativista. (e) Electromagnetismo: interacción de un dipolo eléctrico (magnético) con un campo eléctrico (magnético). Polarización, imanación, susceptibilidad magnética. Longitud de onda, frecuencia, energía y momento de las ondas electromagnéticas. (f) Estadística y teoría de la probabilidad: cálculo combinatorio, funciones de distribución discretas y continuas, cambios de variable, valor medio y varianza. Por su importancia en este curso, el libro se completa con tres apéndices que cubren la mayoría de los puntos señalados. En el apéndice A se repasan nociones de mecánica clásica, cuántica y electromagnetismo. En el apéndice B se hace un repaso de la termodinámica de equilibrio, y en el apéndice C se recuerdan algunos conceptos necesarios de probabilidad y estadística.

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